Fächer

Fächer

Mehr

Graphen Verschieben, Strecken und Stauchen - Ganzrationale Funktionen und Symmetrie einfach erklärt

Öffnen

Graphen Verschieben, Strecken und Stauchen - Ganzrationale Funktionen und Symmetrie einfach erklärt
user profile picture

okeystudy

@okeystudy_d5d140

·

11.634 Follower

Follow

Eine umfassende Einführung in wichtige Konzepte der Funktionslehre, einschließlich Graphen verschieben, strecken, stauchen, zusammengesetzte Funktionen, ganzrationale Funktionen und Symmetrie von Graphen. Der Leitfaden bietet detaillierte Erklärungen, Formeln und visuelle Darstellungen, um Schülern ein tiefes Verständnis dieser mathematischen Konzepte zu vermitteln.

• Grundlegende Definition von Funktionen und ihrer graphischen Darstellung
• Techniken zum Verschieben und Strecken von Graphen mit entsprechenden Formeln
• Bildung und Analyse zusammengesetzter Funktionen
Verhalten im Unendlichen bei ganzrationalen Funktionen
• Untersuchung der Symmetrie von Graphen bezüglich Achsen- und Punktsymmetrie

2.12.2020

2389

Mathe KA
1. Funktionen
Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl
aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.

Symmetrie von Graphen

Der letzte Abschnitt behandelt die Symmetrie von Graphen, ein wichtiges Konzept für das Verständnis und die Analyse von Funktionen.

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x ∈ Df gilt: f(-x) = f(x).

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x ∈ Df gilt: f(-x) = -f(x).

Diese präzisen Definitionen ermöglichen es Schülern, die Symmetrie einer Funktion zu bestimmen und zu verstehen, wann ein Graph punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist.

Highlight: Die Symmetrie von Graphen ist ein wichtiges Werkzeug in der Funktionsanalyse und hilft bei der Vorhersage des Funktionsverhaltens.

Das Verständnis von Symmetrie ist besonders nützlich bei der Skizzierung von Graphen und der Lösung komplexer mathematischer Probleme. Es bildet auch die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis und der theoretischen Mathematik.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn b = 0.

Durch die Beherrschung dieser Konzepte können Schüler Symmetrie von Graphen Aufgaben effektiv lösen und ein tieferes Verständnis für die geometrischen Eigenschaften von Funktionen entwickeln.

Mathe KA
1. Funktionen
Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl
aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.

Öffnen

Grundlagen der Funktionen und Graphenmanipulation

In diesem Abschnitt werden die fundamentalen Konzepte der Funktionslehre und die Methoden zur Manipulation von Graphen erläutert.

Definition: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder reellen Zahl aus der Definitionsmenge Df von f genau eine reelle Zahl, den Funktionswert von x, zuordnet. Dieser Funktionswert wird mit f(x) bezeichnet.

Highlight: Die Punkte P(x|y) mit y = f(x) bilden den Graphen von f.

Der Leitfaden geht detailliert auf die Techniken zum Verschieben und Strecken von Graphen ein. Diese Manipulationen werden durch Veränderungen des Funktionsterms erreicht:

  1. Strecken in y-Richtung: g(x) = a · f(x)
  2. Verschiebung von Graphen in x-Richtung: h(x) = f(x - b)
  3. Funktion auf x-Achse verschieben: i(x) = f(x) + c

Beispiel: Bei g(x) = a · f(x) wird der Graph von f mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt.

Der Abschnitt behandelt auch zusammengesetzte Funktionen, wobei die Summe und Differenz von Funktionen erklärt werden.

Vocabulary: Die Definitionsmenge von g+h und g-h umfasst nur die Zahlen, die in Dg und in Dh liegen.

Eine praktische Vorgehensweise zur Skizzierung zusammengesetzter Funktionen wird am Beispiel f(x) = √x - 0,5x demonstriert, was Schülern hilft, komplexe Funktionen visuell zu verstehen.

Mathe KA
1. Funktionen
Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl
aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.

Öffnen

Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten im Unendlichen

Dieser Abschnitt widmet sich den ganzrationalen Funktionen und ihrem Verhalten im Unendlichen, einem wichtigen Konzept in der höheren Mathematik.

Definition: Eine Funktion f der Form f(x) = an·x^n + ... + a1·x + a0 mit Df = ℝ heißt ganzrationale Funktion vom Grad n (n ∈ ℕ₁, an ≠ 0).

Vocabulary: Die reellen Zahlen a0, a1, ..., an heißen Koeffizienten von f.

Ein zentraler Satz besagt, dass bei einer ganzrationalen Funktion f das Verhalten für x → ±∞ vom Summanden an·x^n bestimmt wird. Der Leitfaden unterscheidet vier Fälle basierend auf der Parität von n und dem Vorzeichen von an.

Beispiel: f(x) = 7x⁴ - 15x + 2 ist eine ganzrationale Funktion vom Grad vier mit Koeffizienten a4 = 7, a3 = 0, a2 = 0, a1 = -15, a0 = 2.

Anhand von Beispielfunktionen wie g(x) = 0,1x⁴ - 2x² + x, h(x) = -x³ + 6x und i(x) = 0,1(x² - 1)(x + 1) wird das Verhalten im Unendlichen anschaulich demonstriert.

Highlight: Bei g(x) wird 0,1x⁴ betrachtet: Für x → +∞ und für x → -∞ gilt g(x) → +∞.

Diese Analyse hilft Schülern, das asymptotische Verhalten von Funktionen zu verstehen, was für fortgeschrittene mathematische Konzepte und Anwendungen unerlässlich ist.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Graphen Verschieben, Strecken und Stauchen - Ganzrationale Funktionen und Symmetrie einfach erklärt

user profile picture

okeystudy

@okeystudy_d5d140

·

11.634 Follower

Follow

Eine umfassende Einführung in wichtige Konzepte der Funktionslehre, einschließlich Graphen verschieben, strecken, stauchen, zusammengesetzte Funktionen, ganzrationale Funktionen und Symmetrie von Graphen. Der Leitfaden bietet detaillierte Erklärungen, Formeln und visuelle Darstellungen, um Schülern ein tiefes Verständnis dieser mathematischen Konzepte zu vermitteln.

• Grundlegende Definition von Funktionen und ihrer graphischen Darstellung
• Techniken zum Verschieben und Strecken von Graphen mit entsprechenden Formeln
• Bildung und Analyse zusammengesetzter Funktionen
Verhalten im Unendlichen bei ganzrationalen Funktionen
• Untersuchung der Symmetrie von Graphen bezüglich Achsen- und Punktsymmetrie

2.12.2020

2389

 

10/11

 

Mathe

109

Mathe KA
1. Funktionen
Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl
aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.
register

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Symmetrie von Graphen

Der letzte Abschnitt behandelt die Symmetrie von Graphen, ein wichtiges Konzept für das Verständnis und die Analyse von Funktionen.

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x ∈ Df gilt: f(-x) = f(x).

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x ∈ Df gilt: f(-x) = -f(x).

Diese präzisen Definitionen ermöglichen es Schülern, die Symmetrie einer Funktion zu bestimmen und zu verstehen, wann ein Graph punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist.

Highlight: Die Symmetrie von Graphen ist ein wichtiges Werkzeug in der Funktionsanalyse und hilft bei der Vorhersage des Funktionsverhaltens.

Das Verständnis von Symmetrie ist besonders nützlich bei der Skizzierung von Graphen und der Lösung komplexer mathematischer Probleme. Es bildet auch die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis und der theoretischen Mathematik.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn b = 0.

Durch die Beherrschung dieser Konzepte können Schüler Symmetrie von Graphen Aufgaben effektiv lösen und ein tieferes Verständnis für die geometrischen Eigenschaften von Funktionen entwickeln.

Mathe KA
1. Funktionen
Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl
aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.
register

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Grundlagen der Funktionen und Graphenmanipulation

In diesem Abschnitt werden die fundamentalen Konzepte der Funktionslehre und die Methoden zur Manipulation von Graphen erläutert.

Definition: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder reellen Zahl aus der Definitionsmenge Df von f genau eine reelle Zahl, den Funktionswert von x, zuordnet. Dieser Funktionswert wird mit f(x) bezeichnet.

Highlight: Die Punkte P(x|y) mit y = f(x) bilden den Graphen von f.

Der Leitfaden geht detailliert auf die Techniken zum Verschieben und Strecken von Graphen ein. Diese Manipulationen werden durch Veränderungen des Funktionsterms erreicht:

  1. Strecken in y-Richtung: g(x) = a · f(x)
  2. Verschiebung von Graphen in x-Richtung: h(x) = f(x - b)
  3. Funktion auf x-Achse verschieben: i(x) = f(x) + c

Beispiel: Bei g(x) = a · f(x) wird der Graph von f mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt.

Der Abschnitt behandelt auch zusammengesetzte Funktionen, wobei die Summe und Differenz von Funktionen erklärt werden.

Vocabulary: Die Definitionsmenge von g+h und g-h umfasst nur die Zahlen, die in Dg und in Dh liegen.

Eine praktische Vorgehensweise zur Skizzierung zusammengesetzter Funktionen wird am Beispiel f(x) = √x - 0,5x demonstriert, was Schülern hilft, komplexe Funktionen visuell zu verstehen.

Mathe KA
1. Funktionen
Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl
aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.
register

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten im Unendlichen

Dieser Abschnitt widmet sich den ganzrationalen Funktionen und ihrem Verhalten im Unendlichen, einem wichtigen Konzept in der höheren Mathematik.

Definition: Eine Funktion f der Form f(x) = an·x^n + ... + a1·x + a0 mit Df = ℝ heißt ganzrationale Funktion vom Grad n (n ∈ ℕ₁, an ≠ 0).

Vocabulary: Die reellen Zahlen a0, a1, ..., an heißen Koeffizienten von f.

Ein zentraler Satz besagt, dass bei einer ganzrationalen Funktion f das Verhalten für x → ±∞ vom Summanden an·x^n bestimmt wird. Der Leitfaden unterscheidet vier Fälle basierend auf der Parität von n und dem Vorzeichen von an.

Beispiel: f(x) = 7x⁴ - 15x + 2 ist eine ganzrationale Funktion vom Grad vier mit Koeffizienten a4 = 7, a3 = 0, a2 = 0, a1 = -15, a0 = 2.

Anhand von Beispielfunktionen wie g(x) = 0,1x⁴ - 2x² + x, h(x) = -x³ + 6x und i(x) = 0,1(x² - 1)(x + 1) wird das Verhalten im Unendlichen anschaulich demonstriert.

Highlight: Bei g(x) wird 0,1x⁴ betrachtet: Für x → +∞ und für x → -∞ gilt g(x) → +∞.

Diese Analyse hilft Schülern, das asymptotische Verhalten von Funktionen zu verstehen, was für fortgeschrittene mathematische Konzepte und Anwendungen unerlässlich ist.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.