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Mathe

Funktionen und analysis

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Quotientenregel

2.447

•

2. Dez. 2020

•

3 Seiten

Graphen Verschieben, Strecken und Stauchen - Ganzrationale Funktionen und Symmetrie einfach erklärt

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okeystudy

@okeystudy_d5d140

Eine umfassende Einführung in wichtige Konzepte der Funktionslehre, einschließlich Graphen... Mehr anzeigen

Mathe KA 1. Funktionen Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.

Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten im Unendlichen

Dieser Abschnitt widmet sich den ganzrationalen Funktionen und ihrem Verhalten im Unendlichen, einem wichtigen Konzept in der höheren Mathematik.

Definition: Eine Funktion f der Form fxx = an·x^n + ... + a1·x + a0 mit Df = ℝ heißt ganzrationale Funktion vom Grad n n∈N1,an≠0n ∈ ℕ₁, an ≠ 0.

Vocabulary: Die reellen Zahlen a0, a1, ..., an heißen Koeffizienten von f.

Ein zentraler Satz besagt, dass bei einer ganzrationalen Funktion f das Verhalten für x → ±∞ vom Summanden an·x^n bestimmt wird. Der Leitfaden unterscheidet vier Fälle basierend auf der Parität von n und dem Vorzeichen von an.

Beispiel: fxx = 7x⁴ - 15x + 2 ist eine ganzrationale Funktion vom Grad vier mit Koeffizienten a4 = 7, a3 = 0, a2 = 0, a1 = -15, a0 = 2.

Anhand von Beispielfunktionen wie gxx = 0,1x⁴ - 2x² + x, hxx = -x³ + 6x und ixx = 0,1x2−1x² - 1x+1x + 1 wird das Verhalten im Unendlichen anschaulich demonstriert.

Highlight: Bei gxx wird 0,1x⁴ betrachtet: Für x → +∞ und für x → -∞ gilt gxx → +∞.

Diese Analyse hilft Schülern, das asymptotische Verhalten von Funktionen zu verstehen, was für fortgeschrittene mathematische Konzepte und Anwendungen unerlässlich ist.

Mathe KA 1. Funktionen Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.

Symmetrie von Graphen

Der letzte Abschnitt behandelt die Symmetrie von Graphen, ein wichtiges Konzept für das Verständnis und die Analyse von Funktionen.

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x ∈ Df gilt: f−x-x = fxx.

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x ∈ Df gilt: f−x-x = -fxx.

Diese präzisen Definitionen ermöglichen es Schülern, die Symmetrie einer Funktion zu bestimmen und zu verstehen, wann ein Graph punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist.

Highlight: Die Symmetrie von Graphen ist ein wichtiges Werkzeug in der Funktionsanalyse und hilft bei der Vorhersage des Funktionsverhaltens.

Das Verständnis von Symmetrie ist besonders nützlich bei der Skizzierung von Graphen und der Lösung komplexer mathematischer Probleme. Es bildet auch die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis und der theoretischen Mathematik.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion fxx = ax² + bx + c ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn b = 0.

Durch die Beherrschung dieser Konzepte können Schüler Symmetrie von Graphen Aufgaben effektiv lösen und ein tieferes Verständnis für die geometrischen Eigenschaften von Funktionen entwickeln.

Mathe KA 1. Funktionen Eine Funktion f ist eine zuordnung, die jeder reellen zanl aus der Definitions menge Ds von f genau eine reelle zani.

Grundlagen der Funktionen und Graphenmanipulation

In diesem Abschnitt werden die fundamentalen Konzepte der Funktionslehre und die Methoden zur Manipulation von Graphen erläutert.

Definition: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder reellen Zahl aus der Definitionsmenge Df von f genau eine reelle Zahl, den Funktionswert von x, zuordnet. Dieser Funktionswert wird mit fxx bezeichnet.

Highlight: Die Punkte Px∣yx|y mit y = fxx bilden den Graphen von f.

Der Leitfaden geht detailliert auf die Techniken zum Verschieben und Strecken von Graphen ein. Diese Manipulationen werden durch Veränderungen des Funktionsterms erreicht:

  1. Strecken in y-Richtung: gxx = a · fxx
  2. Verschiebung von Graphen in x-Richtung: hxx = fx−bx - b
  3. Funktion auf x-Achse verschieben: ixx = fxx + c

Beispiel: Bei gxx = a · fxx wird der Graph von f mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt.

Der Abschnitt behandelt auch zusammengesetzte Funktionen, wobei die Summe und Differenz von Funktionen erklärt werden.

Vocabulary: Die Definitionsmenge von g+h und g-h umfasst nur die Zahlen, die in Dg und in Dh liegen.

Eine praktische Vorgehensweise zur Skizzierung zusammengesetzter Funktionen wird am Beispiel fxx = √x - 0,5x demonstriert, was Schülern hilft, komplexe Funktionen visuell zu verstehen.



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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Eine umfassende Einführung in wichtige Konzepte der Funktionslehre, einschließlich Graphen verschieben, strecken, stauchen, zusammengesetzte Funktionen, ganzrationale Funktionen und Symmetrie von Graphen. Der Leitfaden bietet detaillierte Erklärungen, Formeln und visuelle Darstellungen, um Schülern ein tiefes Verständnis dieser mathematischen... Mehr anzeigen

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Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten im Unendlichen

Dieser Abschnitt widmet sich den ganzrationalen Funktionen und ihrem Verhalten im Unendlichen, einem wichtigen Konzept in der höheren Mathematik.

Definition: Eine Funktion f der Form fxx = an·x^n + ... + a1·x + a0 mit Df = ℝ heißt ganzrationale Funktion vom Grad n n∈N1,an≠0n ∈ ℕ₁, an ≠ 0.

Vocabulary: Die reellen Zahlen a0, a1, ..., an heißen Koeffizienten von f.

Ein zentraler Satz besagt, dass bei einer ganzrationalen Funktion f das Verhalten für x → ±∞ vom Summanden an·x^n bestimmt wird. Der Leitfaden unterscheidet vier Fälle basierend auf der Parität von n und dem Vorzeichen von an.

Beispiel: fxx = 7x⁴ - 15x + 2 ist eine ganzrationale Funktion vom Grad vier mit Koeffizienten a4 = 7, a3 = 0, a2 = 0, a1 = -15, a0 = 2.

Anhand von Beispielfunktionen wie gxx = 0,1x⁴ - 2x² + x, hxx = -x³ + 6x und ixx = 0,1x2−1x² - 1x+1x + 1 wird das Verhalten im Unendlichen anschaulich demonstriert.

Highlight: Bei gxx wird 0,1x⁴ betrachtet: Für x → +∞ und für x → -∞ gilt gxx → +∞.

Diese Analyse hilft Schülern, das asymptotische Verhalten von Funktionen zu verstehen, was für fortgeschrittene mathematische Konzepte und Anwendungen unerlässlich ist.

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Symmetrie von Graphen

Der letzte Abschnitt behandelt die Symmetrie von Graphen, ein wichtiges Konzept für das Verständnis und die Analyse von Funktionen.

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x ∈ Df gilt: f−x-x = fxx.

Definition: Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x ∈ Df gilt: f−x-x = -fxx.

Diese präzisen Definitionen ermöglichen es Schülern, die Symmetrie einer Funktion zu bestimmen und zu verstehen, wann ein Graph punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist.

Highlight: Die Symmetrie von Graphen ist ein wichtiges Werkzeug in der Funktionsanalyse und hilft bei der Vorhersage des Funktionsverhaltens.

Das Verständnis von Symmetrie ist besonders nützlich bei der Skizzierung von Graphen und der Lösung komplexer mathematischer Probleme. Es bildet auch die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis und der theoretischen Mathematik.

Beispiel: Bei einer quadratischen Funktion fxx = ax² + bx + c ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn b = 0.

Durch die Beherrschung dieser Konzepte können Schüler Symmetrie von Graphen Aufgaben effektiv lösen und ein tieferes Verständnis für die geometrischen Eigenschaften von Funktionen entwickeln.

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Grundlagen der Funktionen und Graphenmanipulation

In diesem Abschnitt werden die fundamentalen Konzepte der Funktionslehre und die Methoden zur Manipulation von Graphen erläutert.

Definition: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder reellen Zahl aus der Definitionsmenge Df von f genau eine reelle Zahl, den Funktionswert von x, zuordnet. Dieser Funktionswert wird mit fxx bezeichnet.

Highlight: Die Punkte Px∣yx|y mit y = fxx bilden den Graphen von f.

Der Leitfaden geht detailliert auf die Techniken zum Verschieben und Strecken von Graphen ein. Diese Manipulationen werden durch Veränderungen des Funktionsterms erreicht:

  1. Strecken in y-Richtung: gxx = a · fxx
  2. Verschiebung von Graphen in x-Richtung: hxx = fx−bx - b
  3. Funktion auf x-Achse verschieben: ixx = fxx + c

Beispiel: Bei gxx = a · fxx wird der Graph von f mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt.

Der Abschnitt behandelt auch zusammengesetzte Funktionen, wobei die Summe und Differenz von Funktionen erklärt werden.

Vocabulary: Die Definitionsmenge von g+h und g-h umfasst nur die Zahlen, die in Dg und in Dh liegen.

Eine praktische Vorgehensweise zur Skizzierung zusammengesetzter Funktionen wird am Beispiel fxx = √x - 0,5x demonstriert, was Schülern hilft, komplexe Funktionen visuell zu verstehen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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