Alternativer Bildtext:

zu den elektrischen Feldlinien. Positive Ladungen erfahren Kräfte in Richtung der Feldlinien, negative ihnen entgegen. Zusätzlich zu den elektrischen Feldlinien (rot) lassen sich elektrische Potentiallinien (blau) darstellen. Diese stehen orthogonal auf den Feldlinien. Wichtige Fällte: Homogenes-Feld und Dipol-Feld Das Potenzial eines Punktes P ist die Spannung von P gegen ein Bezugsniveau B. Die Spannung zwischen zwei Punkten P₁ und P₂ ist die Potentialdifferenz ₁- 2. Das Potenzial eines Punktes mit dem Abstand r vom Mittelpunkt einer Kugel mit der gegen unendlich: Ladung Q ist seine Spannung 2 40 + + + + 2- 2 9... 2² E φ: J 1 Q 4π * ⁹0 * r 2 Fellinie Feldfreier Punkt Aquipatestialitie 2012 25V 50V 1014 2.2 Influenz, Polarisation und der Faradaysche Käfig Bewegen sich freie Metall-Elektronen aufrund eines elektrischen Feldes, so nennt man dies „Influenz“. Trifft ein elektrisches Feld auf ein Faradayschen Käfig, so sammeln sich die Elektronen zunächst nach der Regel der Influenz im Käfig und erzeugen ein elektrisches Feld, welches sich anschließend exakt das Ausgangsfeld ersetzt und aufhebt. Somit ist im Käfig ein feldfreier Raum. In Leitern können Feldkräfte Ladungen trennen und so auf der Oberfläche Influenzladungen bilden. Die Ladungen werden so lange verschoben bis die Feldlinien auf der Leiteroberfläche senkrecht enden und an den Feldlinienenden Ladungen sitzen. Im Innern stromführender Leiter besteht dagegen ein Feld, das die Ladungen bewegt. Auch Nichtmetallisches, also elektrisch neutrales, reagiert auf elektrische Felder: Mittels Polarisation. Polarisation bedeutet, dass die Atomhülle eines Atoms verschoben wird. Damit bekommt das Atom eine positive und eine negative Seite (8+ und 8¯) und es entsteht ein Dipol. 2.3 Die Stärke des elektrischen Feldes Man definiert die elektrische Feldstärke E als Kraft pro Ladung: q Die Richtung von E ist die Richtung der Kraft F auf eine positive Probeladung. Der Feldstärke- Vektor E zeigt in Richtung der Tangente an die Feldlinie. In einem homogenen Feld ist die Feldstärke nach Betrag und Richtung überall gleich. Eine Ladung q erfährt im elektrischen Feld die elektrische Kraft Fel Fel = q .. Lsg: E E == = U 4000V d 0,04m Fel Fel In einem Plattenkondensator kann man die Feldstärke E aus der Spannung U und dem Plattenabstand d berechnen: E = U d = 100.000 Einheit: [E] S = F Fg ī Aufgabe: Ein Plattenkondensator wird mit U=4000 V Spannung geladen. Berechne das homogene Elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten, die einen Abstand von d=4cm haben. 3 Newton Coulomb ZIU + + + + · + + T + + Metall- kugel 2.4 Flächenladungsdichte Elektrische Felder sind dort besonders groß, wo Ladungen dicht beieinandersitzen. Auf einem Plattenkondensator verteilen sich die Ladungen gleichmäßig auf den Kondensatorplatten. Auf spitzen Oberflächen ist die Flächenladungsdichte besonders groß. Der Quotient der Ladung Q auf einer Fläche A nennt man Flächenladungsdichte. Flächenladungsdichte: o = 오 oder o=E₁ E A Bei homogenen Feldern ist die Flächenladungsdichte proportional zur erzeugten Feldstärke: o~E Der Proportionalitätsfaktor E heißt „Elektrische Feldkonstante" o = E₁ · E. Sie gibt einen wichtigen Zusammenhang zwischen der Ladungsdichte o, der Ladung und der von dieser erzeugten Feldstärke E an. Es gilt: E₁ = 8.85 · 10−¹². Einheit der Flächenladungsdichte: [0] = 1 C m² Aufgabe: Berechne die Flächenladungsdichte, wenn ein Draht (r=2mm) für 1 Nanosekunde von I=5A Storm durchflossen wird. = 16 * 10-7 Q I*t 5A*2*10-⁹S Lsg.: o === = π*r2 π*0,002m A 2.5 Die Coulomb-Kraft C m² Bei einem geladenen Pendelkügelchen nimmt die Feldkraft F, die durch eine andere geladene Kugel auf sie einwirkt, mit dem Abstand r der Kugelmittelpunkte umgekehrt proportional zum quadrierten Mittelpunktabstand r ab: F~ As Vm Die Kraft die die beiden Kugeln aufeinander ausüben hängt auch von der Ladung Q und q der einzelnen Kugeln ab. Die Kraft zwischen zweien Ladungen ist zu ihrem Produkt proportional: F~Q * q 1 4π * EO Kombiniert man die beiden Proportionalitäten erhält man: F~ Q*q r² Der Betrag der Kraft zwischen zwei punkt- oder kugelförmigen Ladungen Q und q mit dem Abstand r der Kugelmitten ist: F Q*q k* = r² Mit k = Nm² = 9 * 10⁹ = C² ergibt sich dann: Fel el 1 r2 1 4π.Eo 4 91¹ 92 r² Superpositionsgesetz: Haben wir mehrere Punktladungen, so ist die resultierende Kraft auf eine kleine ruhende Probeladung die vektorielle Summe der Einzelkräfte. Alle Kräfte der Elektrostatik lassen sich so aus Coulomb-Kräften zusammensetzen. Herleitung aus dem Unterricht: Fel (1) E : (2) G~ E Q (3) G U = Eel q = = mit 1 →Fel q Q 4πr² E E " = q Fel = 1 4π. Eo 2.6 Energie eines Teilchens im Plattenkondensator Deutung der Formel Eel = q · U Eel = q • U Zwei Ladungen Q₁ und Q₂ üben aufeinander die Coulomb-Kraft aus: Q₁ Q2 r² Einheit: [U] U = = Aufgabe: Die Ladung Q₁-5C und die Ladung Q₂= 7C sind 8cm voneinander entfernt. Berechne die Coulombkraft Fel, die sie aufeinander ausüben. 1 5C*7C Lsg.: Fel 1 Q1 Q2 4πT*E0 r2 * * = = 800 * 10³ N 4π Eo (0,08m)² E 1J C . = 5 mit 2 mit 3 -> Ein Teilchen der Ladung q, dass die Spannung U durchläuft, enthält die Energie Eel U d Einheit: [E] =1 -> Der Begriff Spannung sagt etwas über die Energie pro Ladungsteilchen aus. Durch Feldkräfte wird der Ladung q beim Transport von einer geladenen Kondensatorplatte zur anderen die Energie Eel zugeführt. Die elektrische Spannung U zwischen den Platten ist der Quotient: Eel q V →Fel = Fel = 1V (Volt) m Fel = = N C · q Eo Q 4π r² Eo 1 4π. Eo Die elektrische Feldstärke E im homogenen Feld eines Kondensators mit Plattenabstand d und angelegter Spannung U ist: • q 9. Q r² Bewegt sich eine Ladung / ein Teilchen allerdings entlang einer Leiteroberfläche, also senkrecht zu deren Feldlinien, so wirkt keine Kraft Fel auf die Probeladung / das Teilchen ein. Aufgabe: Errechne die Energie eines Ladungsteilchens (q=1,6*10-¹⁹℃) wenn diese in einen Kondensator (U=1400V; d=2cm) geraten. Lsg: Eel = q * U = 1,6 × 10−¹⁹C * 1400V = 2,24 * 20-16 * 2.7 Teilchenbewegung im E-Feld Eel = q • U Eel ist die Energie eines Teilchens mit der Ladung q. Werden Teilchen aufgrund von Ladung im E-Feld beschleunigt, so gilt die Energieerhaltung: 1 Eel = Ekin (mit Ekin =='m' v²) 2 Wird die Spannung U voll durchlaufen und die Reibung vernachlässigt, so hat das Teilchen eine Endgeschwindigkeit von: Konstante Bewegung: Konstant beschleunigte Bewegung: Beschleunigungskraft: v= Lsg: U = v² *m 29 2.q.U m v = SI = = 2,84 V . 2 v = a.t F = m a Die Ablenkung y des Elektronenstrahls in einer braunschen Röhre ist proportional zur Ablenkspannung Uy und dem Kehrwert der Anodenspannung: 1 UA N C a.t² Aufgabe: Ein Elektron soll in einer Braunschen-Röhre eine Geschwindigkeit von v=1*106 m/s erreichen. Welche Spannung muss im Elektronenbeschleuniger angelegt werden? 1*106*9,1*10-31 kg 2*1,6*10-19 C 6 2.8 Kapazität eines Kondensators Die Kapazität eines Kondensators vergrößert sich beim Einsatz eines Dielektrikums um die Dielektrizitätszahl &. Das Dielektrikum wird vom E-Feld des Plattenkondensators derart polarisiert, dass vom polarisierten Dielektrikum noch mehr Ladung auf die Platte des Plattenkondensators gezogen wird. Die Ladung (Q+/Q) die ein Kondensator aufnimmt ist proportional zur Spannung U (Q~U). Die Kapazität eines Kondensators berechnet sich: C = Parallelschaltung: Für den Plattenkondensator gilt: A C = Eo * d A = Fläche einer Kondensatorplatte (m²) d = Plattenabstand o = 8,85 * 10-¹2 → Permittivität oder elektrische Feldkonstante C [C] = 1 1-4 = F (Farad) Q Die Permittivität å gibt die Erhöhung der Kapazität durch ein Dielektrikum an. Im Vakuum ist Er = 1. Die Kapazität eines Plattenkondensators mit der Fläche A und dem Plattenabstand d ist bei homogenem Feld: A C = Eo * & * d Bei Schaltungen mit mehreren Kondensatoren kann man die Gesamtkapazität wie folgt berechnen: Cges = C₁ + C₂ + Cn Die Ersatzkapazität von parallel geschalteten Kondensatoren ist die Summe der Einzelkapazitäten. 8,85 * 10-12 * 15 * Reihenschaltung: Cges = 1/2 + 1/2+1/2/20 C₁ C2 Cn Bei der Reihenschaltung addieren sich die Kehrwerte der Einzelkapazität. Diese ist kleiner als jede Einzelkapazität. Aufgabe: Berechne die Kapazität des Kondensators [ε = 15; A=0,35m²; d=6*10-³ m; U=4500V]: Lsg: C = Eo * * = 0,35m² 6*10-3m 7 = 8 pF 2.9 Energie eines Kondensators Die Energie eines geladenen Kondensators ist 1 Ec = = * Q * U 2 Ec Pel = = = * C * U² Ec Beim Entladen des Kondensators wird diese Energie frei. Das elektrische Feld ist Sitz von Energie. Die räumliche Energiedichte beträgt dort: Ec 1 U 2 = 1 Q² C =-*- 2 · * Ɛ。 * Ɛr * E² Aufgabe: Ein Kondensator (r = 5; A = 0,75m²; d = 0,5cm) wird mit U=4500 V geladen. Berechen die im Kondensator gespeicherte Energie: 1 1 Lsg: Ec = + (&o * &r *) * U² = *(8,85 * 10-12 * 5 * * 4500 V = 2 0,75m² 0,005m, 67,2 * 10-³J 2.10 Auf- und Endladevorgang am Kondensator Ein Kondensator sollte immer über einen Widerstand R geladen und entladen werden, da sonst kurzzeitig ein sehr großer Strom fließt. Lade- und Entladestrom I(t) ist im Verlauf exponetiell abnehmend. Zu Beginn ist die Spannung noch groß, also auch der Entladestrom. Doch die Ladung und der Strom nimmt nach Q=C*U schnell ab. U und Q nähert sich somit asymptotisch dem Wert Null. Eine Entladezeit kann nicht angegeben werden (asymptotisch), wohl aber eine Halbwertszeit [im Sinne des beschränkten Wachstums]. 3. Elektromagnetismus 3.1 Magnete und Magnetfelder Ein Magnet ist ein Körper, der Gegenstände aus Eisen oder Stahl anzieht. Auch Körper aus bestimmten Keramiksorten zeiht er an. Diese Keramiksorten sind wie Eisen magnetisierbare Stoffe. 8 Ein Magnet wirkt mithilfe seiner Pole. Ein Stabmagnet hat 2 Pole. Die Magnetischen Pole tragen die Namen Nord- und Südpol. Der Nordpol ist meistens Rot gekennzeichnet und der Sündpol meistens Grün. Magnetische Kräfte wirken selbst durch den luftfreien Raum. Den Wirkungsbereich von magnetischen Kräften bezeichnet man als magnetisches Feld. Ein Magnet wirkt mit Hilfe seines Magnet-Feldes. Wir zeichnen die Strukturen eines Magnetfelds durch (blaue) Feldlinien ein. Diese Feldlinien laufen von Nord zum Sündpol, oder: Die Feldlinien laufen wie ein kleiner, einzelner Nordpol (den es nicht geben kann) laufen würde. So entsteht ein großes Feldlinienbild. Dort wo Feldlinien im Feldlinienbild parallel und geradlinig verlaufen, bezeichnet man das Feld als homogen. 3.2 Stom erzeugt Magnetismus Ein stromführender Leiter erzeugt ein Magnetfeld, dessen Feldlinien geschlossene Kreise um den Draht sind. Ein solches Magnetfeld ohne Pole bezeichnet man als magnetisches Wirbelfeld. Die Richtung des Magnetfeldes eines Stromführenden Leiters bestimmt man nach der Linken-Faust-Regel: Man umfasst den Leiter so mit der Linken Faust, dass der abgespreizte Daumen in Richtung des Stromes der Elektronen zeigt (von — nach +). Die gekrümmten Finger geben die Richtung der Magnetfeldlinien des Wirbelfeldes an. Elektrische Felder können sich gegenseitig verstärken. In stromführenden Spulen überlagern sich die Magnetfelder der einzelnen Windungen. Sie verstärken einander im Inneren der Spule und im Außenbereich. Zwischen den Windungen schwächen sie sich gegenseitig ab. Die Feldlinien einer stromführenden Spule sind geschlossen. Im Innern ist das Feld homogen, dort verlaufen die Feldlinien vom Süd- zum Nordpol; außen sind die Feldlinien wie bei einem Stabmagneten vom Nord- zum Südpol ausgerichtet. Es entsteht ein abschaltbarer Magnet. Fügt man in eine Spule einen Eisenkern ein, so vergrößert sich das Magnetfeld der Spule sehr. Dies liegt daran, da sich die Elementarmagnete des Eisenkerns durch das Magnetfeld der Spule ausrichten und dieses Verstärken. 3.3 Die Lorentzkraft N Elektronenfluss € 9 + l l l l l l Wir beobachteten, dass ein stromführender Leiter in einem nicht parallel gerichteten Magnetfeld eine Kraft erfährt. Diese Kraft existiert auch, wenn man nur bewegte Elektronen, also einen Elektronenstrahl ohne Leiter, betrachtet. Diese werden durch die Kraft quer zu den Feldlinien abgelenkt. Wichtig ist die Bewegung der Elektronen, da auf ruhende Ladungsträger keine Kraft wirkt. Auf jedes einzelne bewegte Elektron wirkt, wenn es nicht parallel zum Magnetfeld fließt/fliegt, die Lorentzkraft F₁. (-> Hendrik A. Lorentz (Nobelpreis 1902)). Die Richtung der Lorentzkraft bestimmt man mit der Drei-Finger-Regel der linken Hand: Man hält den Daumen der linken Hand in die Bewegungsrichtung der Elektronen und den Zeigefinger in Richtung des Magnetfelds. Dreht man dann den ausgestreckten Mittelfinger senkrecht zu Daumen und Zeigefinger, so zeigt er in die Richtung der Lorentzkraft. Dies gilt nur bei negativ geladenen Teilchen. Bei positiv geladenen Teilchen nimmt man die Finger der rechten Hand. Bewegen sich negativ geladenen Teilchen in einem Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien, so wirkt auf sie eine Lorentzkraft. Ihre Richtung bestimmt man nach der Drei-Finger-Regel der linken Hand. Steht ein stromführender Leiter senkrecht zu den Feldlinien eines äußeren Magnetfeldes, so erfährt er eine Kraft nach der Drei-Finger-Regel der linken Hand. Richtung des Magnetfeldes S 7ttt Aufgabe: Bestimme die Richtung der Lorentzkraft. ХХХ X X X X X ges: Richtung LORENTZ-Kraft; Teilchenbahn ХХХХ FL X X X X X X X X X X X X ges.: Richtung LORENTZ-Kraft; Teilchenbahn 3.4 Mit der Lorentzkraft Magnetfelder messen Um die stärke eines Magnetfeldes zu bestimmen, betrachten wir die die Kraft auf ein Leiterstück der Länge s, das senkrecht zur Richtung der magnetischen Feldlinien horizontal innerhalb des Magnetfeldes verläuft. Diese Länge s nennt man wirksame Leiterlänge. Hier bei gilt: FL~I und F F ~S→ B = I * s Hierbei wird das Feld als stärker angesehen, das auf die gleiche wirksame Leiterlänge s bei gleichem Strom I die größere Kraft ausübt. B ist eine Größe, die zur Kennzeichnung der Stärke von Magnetfeldern geeignet ist. Die Kraft des Magnetfeldes wirkt senkrecht zur Richtung der magnetischen Feldlinien und senkrecht zur wirksamen Leiterlänge. Der Vektor B ist das Maß für die Stärke des Magnetfeldes. Der Betrag von B ist durch F I*S definiert und B wirkt in Richtung der Magnetfeldlinien. Der Vektor B, dessen Richtung gleich der Richtung der magnetischen Feldlinien ist, und dessen Betrag durch FL I * S N = Am [mit der Einheit [B] = 1 A 1 T (Tesla)] gegeben ist, heißt magnetische Flussdichte. I ist die Stromstärke in einem Leiter in einem Magnetfeld, s die wirksame Leiterlänge (im Feld, senkrecht zur Richtung der magnetischen Feldlinien) und F die auf die wirksame Leiterlänge wirkende Kraft. B FL = FG * = Man kann den Betrag der Lorentzkraft wie folgt berechnen: oder F₁ = B * I * S S 1 Demnach lautet die Drei-Finger-Regel der linken Hand so: Der Daumen zeigt in Richtung des Elektronenflusses in der wirksamen Leiterlänge s, der Zeigefinger in Richtung von B und der Mittelfinger in Richtung der Kraft auf den Leiter. 10 Bewegungsrichtung des negativen Teilchens (Ursache) Feldrichtung (Vermittlung) Kraftrichtung (Wirkung) Aufgabe: Bestimme die nötige magnetische Flussdichte, wenn ein 5cm langer Leiter von einem 8A starken Strom durchflossen wird und auf ihn die Lorentzkraft F₁ = 1,5 N einwirkt. Lsg: B - FL 1,5N I*S 8A*0,05m = = 3,75 T 3.5 Lorenzkraft auf freie Elektronen Ein Elektron, das sich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem B-Feld bewegt, erfährt dort die Lorentzkraft F₁ = q * v * B. Um die Richtung der Lorentzkraft zu bestimmen, wendet man bei einem positiv geladenen Teilchen die Rechte-Hand-Regel an und bei einem negativ geladenen Teilchen die Linke-Hand-Regel an. Da Kraft F₁ genau senkrecht auf der Bewegungsrichtung v steht... wird weder gebremst noch beschleunigt. ... bleibt der Betrag von v und Ekin unverändert. ... wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich verändert. ... entsteht eine Kreisbahn mit Radius r. B Aufgabe: Berechne die Lorentzkraft FL die auf ein Elektron wirkt, welches sich in einem B- Feld (B = 3 mT) mit der Geschwindigkeit v = 5*108 m/s bewegt. Lsg: F₁ = 1,6 * 10−¹⁹C * 5 * 108. — * 3 * 10−³T = 2,4 × 10-¹³ N m 13 S 3.6 Wienscher Filter und Massenspektrograph m Der Wien-Filter und der Massenspektrograph sind wichtige Hilfsmittel für die Kernphysik. Mit dem Massenspektrographen kann man spezifische Ladungen und damit atomare 9 Massen geladener Atome und Moleküle sehr genau bestimmen. Man bezeichnet sie als negative oder positive lonen. Um lonen, welche unterschiedliche Geschwindigkeitsbeträge und Richtungen aufweisen, auf eine einheitliche Geschwindigkeit zu bekommen, setzt man einen Geschwindigkeitsfilter, den Wienschen Filter, ein. Kommt ein Elektron von der Quelle (lonenquelle) in den Wienschen Filter (Plattenkondensator welcher zusätzlich zum E-Feld von einem B-Feld durchdrungen wird, sodass Lorentzkraft wirken kann), so wirkt elektrische Kraft und Lorenzkraft auf das Elektron ein. Diese sind genau entgegengerichtet. Bei passender Geschwindigkeit v halten sich diese Kräfte die Waage und das Teilchen kann den Filter passieren. Ist die Geschwindigkeit zu klein oder zu groß, so prallen die Elektronen gegen Blöcke oder Kondensatorplatten und können den Filter nicht passieren. Es gilt im Wienschen Filter: F₁ = Fel q * v * B = q * E V * B = E 11 Im Massenspektrographen gilt nun, dass unterschiedliche Teilchen bei ihrer Ablenkung durch die Lorentzkraft unterschiedliche Bahnen [je nach ihrer Masse] beschreiben. Hierbei wirkt nur Lorentzkraft, welche als Zentripetalkraft wirkt, auf die lonen ein. Es gilt im Massenspektrographen: Lsg: r = m * v m*v q*B r Fz = FL = q*v*B m * v q* B = 2*106 m/s, Aufgabe: Berechne den Radius eines lons, welches mit der Geschwindigkeit v = der Masse m = 31*10-³¹ kg, und der Ladung q = -2e in einen mit einem Magnetfeld (B=30 mT) durchdrungenen Massenspektrographen eindringt. 31*10-31 kg*2*106m = = 0,65 mm 2*1,6*10-1⁹ C*30*10-³T r = 3.8 Das Magnetfeld einer Spule Um Magnetfelder zu erzeugen benutzt man häufig stromführende Spulen, in deren inneren die Magnetfelder homogen sind. Versuche mit Spulen zeigten, dass B bei konstantem I nur von der Windungszahl und der Länge I abhängt, aber nicht von der Größe der Querschnittsfläche. B~I und B 17/1 Bei konstantem I gilt zusätzlich: B~n Setzt man diese Proportionalitäten zusammen, so erhält man eine Formel: Die magnetische Flussdichte einer Spule ergibt sich aus der Proportionalitätskonstante µo, dem durchfließenden Strom I und der Windungsdichte: n B = μ₁ * I *. *7 ī Hat die Spule einen Kern, so vergrößert sich die magnetische Flussdichte um dessen Permeabilitätszahl μr: n B = Mo * Mr * I * ī [Mit μ = 1,26 * 10-6 12 Aufgabe: Berechne die magnetische Flussdichte einer Spule (n=15000; l=35cm), welche einen Eisenkern besitzt (µµ= 8) und von dem Strom I=8A durchflossen wird. Lsg: B=Mo* r * I * = 1,26 * 10-6 * 8 * 8A * T = 3,456 T n 15000 0,35 T*m A 4. Induktion 4.1 Induktionstypen Es gibt zwei verschiedene Arten, wie man elektrische Spannung induzieren kann: 1. Eine Leiterschleife wird in ein homogenes Magnetfeld eingetaucht. Dabei steigt die Zahl der sie durchsetzenden Magnetfeldlinien. In der Schleife wird nach dem Induktionsgesetz eine Spannung induziert. Eine Leiterschleife nähert sich einem Elektromagneten mit inhomogenem Magnetfeld. Auch dabei nimmt die Zahl der Feldlinien zu, die die Leiterschleife durchsetzen. 2. Bleibt der Abstand zwischen einer Leiterschleife und dem Elektromagneten konstant, dafür wird aber die Stromstärke im Elektromagneten erhöht. Das Magnetfeld am Ort der Leiterschleife wird stärker, die Zahl der Feldlinien, die (z. B. eine Fläche von 1 cm²) durchsetzen, steigt und es wird eine Induktionsspannung Uind induziert. Der magnetische Fluss bedeutet: Die gezeichneten Feldlinien liegen umso dichter, je größer der magnetische Fluss ist. Der magnetische Fluss durch eine Fläche A ist das Produkt aus magnetischer Flussdichte B und Flächeninhalt As der Projektion der Fläche senkrecht zu den Feldlinien: = B * As Einheit: [] = Vs Ändert sich der magnetische Fluss Þ(t) = B(t) * As(t) in einer Spule mit n Windungen, so wird dort eine Spannung induziert: AB* A Uind (t) = n* ΔΦ -= n* At At (gleichgültig, ob sich B, As oder beide zugleich ändern) In differenzieller Form geschrieben: Uina (t) = = n* * $(t) Durch die Bewegung des Leiters im Magnetfeld bildet sich eine Lorentzkraft aus, die auf die Elektronen im Leiter wirken und somit im Leiter einen Plus- und Minuspol ausbilden. Es entsteht eine Induktionsspannung zwischen den Leiterenden die immer das Vorzeichen mit Änderung der Bewegungsrichtung ändern. Bewegt sich ein Stab der Länge d orthogonal zu einem B-Feld mit einer Geschwindigkeit v, so entsteht zwischen seinen Enden die Induktionsspannung Uind. Uind = B * v * d Vom allgemeinen Induktionsgesetz zu den beiden Spezialfällen: Fall 1: A konstant ΔΦ Uind = n * = n* At = n* Φ1 * Φι At A(B₂ − B₁) = n* At = n*A* 13 ΔΒ At A B₂- A B₁ At Fall 2: B konstant: U ind = n* ΔΦ At = n* = n* B * Φη - Φι 2 At (d = Rahmenbreite; v = Geschwindigkeit) A₂ – A₁ = n* B * 4.2 Induktion durch Änderung der magnetischen Flussdichte B In einer B-Feld erzeugenden Spule (Feldspule) ruht eine zweite Spule mit n Windungen (Induktionsspule). Um eine induzierte Spannung zu erhöhen, erhöht man auch die magnetische Flussdichte B, die die Induktionsspule durchsetzt. Die Induktionsspannung Uind stiegt, wenn die Änderungsrate - größer wird, d.h. die Flussänderung AÞ in kürzerer Zeit ΔΦ At At = t₂t₁ erfolgt. Bei einer zeitlich ändernden magnetischen Flussdichte B erhalten wir also in einer Spule mit n Windungen und der Fläche As als Induktionsspannung. Aufgabe: Berechne die induzierte Spannung Uind einer Spule (n=250; r=8,7cm), wenn sie sich vollständig in einem Magnetfeld befindet, welches innerhalb von 3 ms von B=75mT auf B=0T abfällt. U ind = n* At ΔΑ Ändert sich die magnetische Flussdichte B durch eine Spule mit n Windungen, so wird die Spannung Uind induziert Uind = n* A * ΔΒ Lsg: Uind = n* A * = 250 * (π * (0,087m)²) × * At Bei Flächenänderung durch Verschieben At A₂ * B - A₁ B * At 14 ΔΒ At 4.3 Änderung der felddurchsetzten Fläche As Eine Leiterschleife wird in ein homogenes Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien eingeschoben. Dabei wird der magnetische Fluss ☀ = B * Aç vergrößert, weil die von den Magnetfeldlinien senkrecht durchsetzte Fläche As innerhalb der Leiterschleife zunimmt (während B konstant bleibt). Die induzierte Spannung ist bei gleicher Flussänderung A = Þ(t₂) – Þ(t₁) umso größer, je schneller diese geschieht, je kleiner also die Zeitdifferenz At = t₂ — t₁ ist. Ändert sich die Fläche A einer Leiterschleife, die von der magnetischen Flussdichte B durchströmt wird, so wird an deren Enden die Spannung Uind induziert. ΔΑ = n* B * At 75*10-³T 3*10-³s = 148,62 V geht anstelle von Uind = n * B * auch Uind = n* B * D * v ΔΑ At Aufgabe: Berechne die Induktionsspannung einer Spule (n=50; r=14,5cm) wenn sich die vom magnetischen Fluss (B=20 mT) durchsetzte Fläche A von 20 cm² innerhalb von 6s auf 66 cm² ändert. ΔΑ Lsg: Uind = n * B * = 50 * 20 * 10-³ * At 4.4 Induktion bei rotierender Fläche Dreht sich eine Spule im homogenen Magnetfeld, so wird eine Sinusförmige Wechselspannung induziert: Für die Kreisfrequenz gilt: Uind -Ũ * sin(w * t) == Der Maximalwert von Ĵ hängt von der Windungszahl, der Spulenfläche, der B-Feld-Stärke und der Kreisfrequenz ab. Û = Lsg: (0,066m²-0,02m²) 6*10-³s W = = n* A₁ * B * w 2π t oder w 2π * = f = 11 V Aufgabe: Berechne die Induktionsspannung einer rotierenden Spule (n=10000; r=8cm) in einem homogenen Magnetfeld (B=75mT) wenn sich die Spule einmal in 0,5 Sekunden dreht. 2π W = 2π t = = 12,57 0,5s Û = n * A。 * B * w = 10000 * [π * (0,08m)²] ⋆ 75 * 10−³T * 12,57 = 189,55 V 15 4.5 Das Lenzsche Gesetz Lenzsches Gesetz: Die Induktionsspannung ist stets so gepolt, dass sie durch ihren Strom ihrer Ursache entgegenwirken kann. Lsg: t = Uind 2s a Somit müssen unsere Formeln nun lauten: = Uind = Allgemeines Induktionsgesetz: bzw. Uind Uind = Das Minuszeichen im Induktionsgesetz berücksichtigt das lenzsche Gesetz bezüglich der im Stromkreis schon wirkenden Spannung U₁: Uina(t): = −n * Ġ(t) - = -n * Induktion bei Flächenänderung ΔΑ n* B * bzw. Uind = -n – B – À At ΔΦ At Induktion bei Änderung der magnetischen Flussdichte: bzw. Uind=-n * A * B Vind = n * A * Aufgabe: Berechne die induzierte Spannung ein einer Induktionsspule (n=10000; I=15cm; r=4cm), wenn diese aus 1km [B (1000 m) =28µT; B(0m) = 48µT] Höhe im freien Fall auf die Erdoberfläche (senkrecht zu den Erdmagnetfeldlinien) fällt. AB At = −n * ф = = 1,428 s ΔΒ 2*1000m m B = 4 48μT -28 μ. 1,428 s 9,81 At -n * A * B = −10000 * [π * (0,04m)²] * 1,4 × 10−5 Für die Stromstärke gilt: * $(t)) n* R I(t) = 16 = T S (U₁ = 1,4 * 10-5 T S = -0,7 mV 4.6 Selbstinduktion Schält man in einen einfachen Stromkreis eine Lampe und eine Spule an, so leuchtet die Lampe erst mit zeitlicher Verzögerung gegenüber dem Einschalten der Spannungsquelle auf. Ohne Eisenkern in der Spule ist diese Verzögerungswirkung nicht so stark. Der zeitlich ansteigende magnetische Fluss durchsetzt alle Windungen der Spule und Induziert in der Spule selbst eine Spannung, die Selbstinduktionsspannung Uind. Sie ist nach dem lenzschen Gesetz so gepolt, dass sie ihrer Ursache (dem Anstieg der Stromstärke in diesem Falle) entgegenwirkt. Diese Selbstinduktionsspannung verzögert den Anstieg der Stromstärke in der Spule, man sagt durch Selbstinduktion. Ändert sich in einer Spule die Stromstärke I, so wird dort eine Selbstinduktionsspannung Uind induziert. Sie wirkt ihrer Ursache, der Stromstärkeänderung, entgegen. Uind ist zur Änderungsrate İ der Stromstärke proportional. Für konstantes µ‚ gilt: Uind (t) = −L * İ(t) Die Proportionalitätskonstante L heißt Induktivität der Leiteranordnung (z.B. einer Spule). Vs Ihre Einheit ist: [L] = 1 = 1 H (Henry). A Die Induktivität einer Spule ist L = µ。 * µr * n² * 244 Die Selbstinduktionsspannung Uind(t) : = −L * İ(t) verzögert nach Lenz sowohl den Anstieg des Stroms als auch seine Abnahme, und zwar umso stärker, je größer die Induktivität L der Spule ist. Nach Abschalten der äußeren Spannung U₁ fließen die Elektronen in der ursprünglichen Richtung weiter, wenn sie können. Aufgabe: Berechne die Selbstinduktionsspannung einer 15 cm langen, 8 cm dicken, mit Eisenkern (μ-10) versehenen, runden Spule mit 1500 Windungen, wenn diese von einem Strom von 6 A durchflossen wird und dieser Strom innerhalb von 3 Nanosekunden abnimmt. Uind Lsg: L = µ。 * µr * n² * = 1,26 10-6. * 10 * 1500² * A 1 T MA ΔΙ = −L * İ(t) = −L *— = −0,95H * At 17 6A 3*10-⁹S = [T*(0,04m)²] 0,15m −1,9 GV = 0,95 H