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Spezielle Relativitätstheorie

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Alina Bernhard

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Spezielle Relativitätstheorie

 Physikklausur 30.09.24
Klausurthemen
4) Michelson-Morey - Experiment
-Aufbau (+Skizze)
-Durchführung
-Beaeutung des Athers
-Nachweis aurch

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Physikklausur 30.09.24 Klausurthemen 4) Michelson-Morey - Experiment -Aufbau (+Skizze) -Durchführung -Beaeutung des Athers -Nachweis aurch aas mm Experiment 21 Einsteinischen Postulate 1) Michelson-Morey - Experiment Skizze Atherwing v Lichtquelle "₁ V Senkrecht zum Atherwina v' 1 Detektor t₁ = 21₁ √C²-V² 3) Licht in aer Rakete -Aufpau (Srizzel V -Durchfahrung -Herleitung der Zeitailatation -Grenzwert betrachtung -Langenkontraktion Spiegel A Bedeutung Nach der Drehung des Experiments konnten keine signifikanten Verschiebung- im Interferenzmuster testgestellt werden. ungen Der Äther wurde als ein ruhences Inertial system gesehen has als Außbrei. tungsmedium für Licht fungieren sorte una nachaem Nuuresultat war sich die Wissenschaft uneinig über ale Gründe für aleses Resultat. Letztendlich entspricht aas Nunresultat der Einsteinischen Relativitäts- theorie, ale besagt, dass es kein absolutes Inertialsystem gibt una sich Licht in einem Vakuum unaokanig der Geschwindigkeit der Lichtquelle oder des Betrachters mit der Geschwinaigkeit & ausbreitet. Habaurchlässiger Spiegel 12 túr Hier bewegt sich der Laserstrahı Senkrecht zum Atherwina. Durch aen Satz des Phytagoras ist Forgenae Formel gültig: Der Weg wurde 2 mai zurückgelegt Spiegel 2 y² 4) Gallei una Lorentz-Transformationen -ONSHansformationen Aufpau Aus aer Lichtquelle wird monochromatisches Licht aurch aen halbaurchlässigen Spiegel (HDS) in zwei Strahlenbūnael zerlegt, wodurch sich aas eine Strahien- būnael Richtung Spiegel 1 und das andere Richtung Spiegel 2 bewegt. Die Strahlen Dürgel werden von den Spiegein reflektiert liegen? also jeweils Strecke 1₁ Dzw 1₂ zweimal zurück+) una werden nach dem Durchgang aurch den HDS wieder zusammengeführt una vom Detektor aufgenommen, aer aie Inter- ferenz misst. -Geschwindigkeitstransformationen Durchführung Die Ziersetzung des Versuchs sonte ale Geschwindigkeit des Äthers bestimmen, aa man aavon ausging aass aie Geschwindigkeit aes Lichts von...

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aem Atherwina av hängt. -Rücktransformationen • Herleitung der Längen kontraktion -Herreitung der Zeitailatation - Herleitung der Geschwinaigrettstransformation | Lackengleichung) Nachdem man also die Werte des ersten, wie oben beschriebenen Ablants notiert hatte, wurde der Versuch um 90° gearent, wobei man erwartete, pass sich das Interferenzmuster aufgrund des Athers andert. autgruna v' Nachweis aurch aas mm Experiment Bewegt sich aas Experiment relativ zum Ather, so ergeben sich im Laporsystem S aie folgenden Ausbreitungsgeschwindigkeiten v' C mit aem Atherwina C gegen den Atherwing V V [+₂²_1₂_ C+V T Hinweg + aus Hier bewegt sich der laserstrahl mit dem Atherwina soasss sich die Geschwindigkeiten saaieren Lorentz Rückweg Auf dem Rückweg strahit aer Laser gegen den Atherwing, sodass sich aie Geschwinaigreiten subtrahieren 2) Einsteinische Postulate Il Die Gesetze der Physik haven in allen Inertialsystemen aie gleiche Form Lane Inertialsysteme sina gleichwertig Les gibt kein ausgezeichnetes Inertialsystem (2.B Ather) Il Licht breitet sich im Vakuum mit einer bestimmten Geschwindigkeit caus, die unaphầnig von der Geschwinaigkeit aer Lichtquelle over aes Betrachters 1st 3) Licht in aer Rakete Skizze 14444444 V √0² +2² Far aie Laufzeit gilt: Ats 2-D² +4² C y A+= 2D -in aer Rakete g 2 A + Grenzwert betrachtung für ge für V->C Spiegel D Lichtquelle + für V->0 ->A von außen 9 ->8 + Empfänger L √√0² +2²¹ => At ist sehr viel größer als Ato -> bewegte Uhren gehen langsamer Je schneller man sich bewegt, desto langsamer vergeht die Zelt. D Aufbau In der Rakete wird ein Lichtsignal aus Lichtquelle geschickt, vom Spiegel reflektiert una vom Empfänger wiener aufgenommen una das Licht- signal gemessen. Dabei mal aie Strecke von D (Hin -& Rückweg) zurück. Durchführung Die Laufzeit aes Lichtes werden zum einen von einem Betrachter im Raum- schiff (seibes Inertialsystem) una von einem Außenstehenden (in einem anderen Inertialsystem) gemessen. Man kann eikennen, dass das Licht einen längeren Weg für den Außenstehenden zurück legi. Herleitung Zeitailatation aus Sicht aes ruhengen Systems. 2L= V. At =>L=(v.At): 2 c=2D = Ato 20:2 Ate <=> D² Ato Von aupen (Betrachter) 40² sto D² At <=> 4+²=40² <=> C² = 40² + V² 4+² <=> c²-v²=40² 4+² A+² = 4D² C²-v² 2-D²42² At At=2p D² 1 At = 1 = 40² + V² 4+² + 1 yo C(1-1²) C-A-VE -√4-1² + v².At 22 At V₁ 4 • Ate | 0² 1.4 40²c² Ato Love - v² • At² ; :c²-v² i causkiammern |f 20 = Ato C regt In einem ruhenaen System (Insasse) 4) Galilei una Lorentz - Transformationen Gaulei Transformationen X-X'+V.+¹ yoy' 2-2¹ V₂ = ax = ax¹ d+ d+ at' V₂ = V₂¹ +V = Vx¹ +V Ux ² Ux ² + V Ug = Uy! U₂ = U₂' + Formelsammlung +V.at' d+' alu-+'? at Galilei: xxxvt Loventz x-x'+V+ Geschwindigkeitstransformationen x=x-V-+ y²=y +'st Zeltailatation to th -√4-V² У kann au belbig gropen Vi führen +* +¹ + x. — √A-VE C² JA-Y₂ x=y² (x²+x+) toy (+²+x²) Geschwindigkeiten u-u²tv 4+4²-v C² U₁₂ U1-V 1-Uv at=at' C² At = y².st' Längenkontraktion: 2= (²-√A-V² Lo-yr. L' Lorenztransformationen x=y (x² +V+¹) yoy¹ toy (+²4²) Herleitung der Geschwindigkeitstransformation u=v in s u'-v in s' u= ax = a[y (x² +v++')] at at u= = y² [alx' tv-t'l. at' ] at at <-³ u=y [ax² + a[v.+1]. a+' u=y² ▬ at "y" (1+00') at' <=> u = y^² (u²+V²) ў (ниш) «>uutV (u'+v). ^ Ot at' AS 1+ vu² Herleitung der Zeitallatation A+= 1₂-ta • gilt + "ylt;t! Atr yr At •y (t₂-ta") 'y 4+¹ VX₂ ² 1 - y² (+ ₁ + Vx₂² ) -- Herleitung der Längenkontraktion X₁ L at at' => clo Lo X₂² x'=y- (x-4) y'=y Lo ²x₂ − x₁ = y²₁ (x₂² + v +¹ ) −y^{ x'+v+¹) ³y² (x₂ ¹ +v+¹-x₁¹- V+¹) =y² (x₂-x^²) =y.l +²y+sal (ale Systeme sina gleichwertig) Itati I Promeme aer Gleichzeitigkeit) ax- u at S¹ Die Länge / wurde in S' gemessen: Lê Kg - Xả X₂'una x,' wurden zum gleichen Zeitpunkt + gemessen ax ax' Abungsaufgaben 37.8 Nr. 14 14 (I) Eine Person in einer Rakete, die sich mit 0,50c (re- lativ zur Erde) bewegt, beobachtet einen von hinten ankommenden Meteor, der mit 0,50c vorbeifliegt. Wie schnell bewegt sich der Meteor relativ zur Erde? einsetzen: u'= -DSC-0.5c 37.8 Nr.16 = -AC 37.8 Nr. 45 15 (II) Zwei Raumschiffe verlassen die Erde in entgegen- gesetzte Richtungen, jeweils mit einer Geschwindigkeit von 0,50c. (a) Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Raumschiffes 1 relativ zum Raumschiff 2? (b) Wie hoch ist die Geschwindigkeit von Raumschiff 2 relativ zum Raumschiff 1? einsetzen u'= -0.5C -0.5c - 1,58 4 - (-0,Se). (0,5đ) C² 4-(-0,25c²) = -0,8c x0,98 c - Ac 4,25 = 1,58€ 1,6477 a) u=0.87c+07AC 16 (II) Ein Raumschiff verlässt die Erde mit der Geschwin- digkeit 0,71c. Ein zweites Raumschiff verlässt das erste mit einer Geschwindigkeit von 0,87c relativ zum er- sten. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des zweiten Raumschiffes relativ zur Erde, wenn es (a) in die gleiche Richtung gestartet ist wie das erste, (b) in entgegenge- setzte Richtung, also auf die Erde zu gestartet ist. A+ (0,87c) (0,7 Ac) C² 4 - (052)-(-06) C² -AC A+ 0,25 = -0,8c 1+0,6477 = -0,16c s-le 0,33 23 x-01919c b) u = -0,87 (+0,71c A +1-0₁87c) (D₁7A c) C² 1-0,6177 • Der Meteor Dewegt sich mit co -0,8 c relativ zur Erae > Die Geschwindigkeit des zweiten Raumschiffs, relativ zur Erde wenn es in ale Seloe Richtung gestartet ist beträgt ca 0,98c gegeven: u.-0,5c V-0,5c >> Die Geschwindigkeit des Raumschiff 2 beträgt relativ zum Raumschiff 1-0,8c => Die Geschwindigkeit als zweiten Raumschiffs, relativ aur Erge, wenn es in entgegengesetzer Richtung gestartet ist, beträgt ca. -0.419. Skizze u=-0,5c Skizze: 21 bl ¹0-4 V= 0,5c A n = 0,37c 1₁ V=0₁71² erae ₁ V=OiMC 0₂1²= -0,37c O gesucht u gegeben. *** n₁ v=0,Sc u=-0,5c A-VU C² U's U-V A-UV gegeven, u = 0,87c v= 0,7AC 1 + VU C₂ gegeben, u'= -0,87c V²0₁7 Ac gesucht. u gesucht u gesucht u 37.4 -37.6 Nr.8 8 (II) Angenommen, eine Schlagzeile meldet, dass das Raumschiff Enterprise soeben von einer 5-jährigen Reise mit der Geschwindigkeit 0,84c zurückgekehrt ist. (a) Wenn in der Schlagzeile 5 Erdjahre gemeint sind, wie viel Zeit ist auf dem Raumschiff vergangen? (b) Wenn in der Schlagzeile 5 Raumschiffjahre gemeint sind, wie viel Zeit ist auf der Erde vergangen? a) zeltailatation einsetzen 5= gr. to (²) 5 = 1 √1-10,8401² (²> 5. A 14-10,848 45= 1 0,543 (²3 2,7429 = Ato . 37.4-37.6 Nr. 9 a) += L 1st ankommen a) V=L At .to Ato 1.0,543 • Ato A = 26,6 La 27.78 Das Raumschiff würde aus Sicht von der Erde nach 98,99 Jahren A+ = 95 La 0,96c (=> +-98.99 a Im Raumschiff sina ca. 2,7429 a (=> y=0,96 c → Die Geschwindigkeit 0,96 c würde erechnet werden vergangen 9 (II) Ein bestimmter Stern ist 95,0 Lichtjahre von uns entfernt. Wie lange würde ein Raumschiff mit der Ge- schwindigkeit 0,96c brauchen, um den Stern von der Erde aus zu erreichen, aus Sicht eines Beobachters (a) auf der Erde, (b) im Raumschiff? (c) Wie groß ist die zurückgelegte Entfernung aus Sicht der Beobach- ter im Raumschiff? (d) Welche Geschwindigkeit würde die Besatzung des Raumschiffes aus den Ergebnissen (b) und (c) berechnen? 6) Lo=yr.1 95 La 1 √1-10,960³ (²395 La=1 √1-(0.96)² (²) 95 La = 1.1 1-0,28 0,28 bl Zeitaliatation einsetzen sto 1 (=> Ato³9,208 al Effekt Zeitailatation L>bewegte unien gehen Langsamer" DI Effekt:Zeitailstation L>, bewegte unien gehen Langsamer" -√4-10,84)2² (²) Ato= 1 .S 0.543 +26,642 0,96 (26,6 La 1 > Das Raumschiff würde aus sicht des (²²+ = 27,78 Raumschiffs nach 27,7 Jahren ankommen 6² .5 Skizze al * aus der Erae sind ca. 9,208 a vergangen 95 18 Érae gegeven. s-Evde 0 S'* Raumschiff v= 0,84c +5 la gegeben Sierae v=0,96c C) 26,68 => aie zurückgelegte Entfehrnung beträgt aus Sicht des Raumschifts ca. 26,6 la S = Raumschiff vs b,git to = 5 La Den: V = 0,96c 40.95 La gegeven: gesucht: to +s y to gesucht. + to t yo

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Q

So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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D Aufbau In der Rakete wird ein Lichtsignal aus Lichtquelle geschickt, vom Spiegel reflektiert una vom Empfänger wiener aufgenommen una das Licht- signal gemessen. Dabei mal aie Strecke von D (Hin -& Rückweg) zurück. Durchführung Die Laufzeit aes Lichtes werden zum einen von einem Betrachter im Raum- schiff (seibes Inertialsystem) una von einem Außenstehenden (in einem anderen Inertialsystem) gemessen. Man kann eikennen, dass das Licht einen längeren Weg für den Außenstehenden zurück legi. Herleitung Zeitailatation aus Sicht aes ruhengen Systems. 2L= V. At =>L=(v.At): 2 c=2D = Ato 20:2 Ate <=> D² Ato Von aupen (Betrachter) 40² sto D² At <=> 4+²=40² <=> C² = 40² + V² 4+² <=> c²-v²=40² 4+² A+² = 4D² C²-v² 2-D²42² At At=2p D² 1 At = 1 = 40² + V² 4+² + 1 yo C(1-1²) C-A-VE -√4-1² + v².At 22 At V₁ 4 • Ate | 0² 1.4 40²c² Ato Love - v² • At² ; :c²-v² i causkiammern |f 20 = Ato C regt In einem ruhenaen System (Insasse) 4) Galilei una Lorentz - Transformationen Gaulei Transformationen X-X'+V.+¹ yoy' 2-2¹ V₂ = ax = ax¹ d+ d+ at' V₂ = V₂¹ +V = Vx¹ +V Ux ² Ux ² + V Ug = Uy! U₂ = U₂' + Formelsammlung +V.at' d+' alu-+'? at Galilei: xxxvt Loventz x-x'+V+ Geschwindigkeitstransformationen x=x-V-+ y²=y +'st Zeltailatation to th -√4-V² У kann au belbig gropen Vi führen +* +¹ + x. — √A-VE C² JA-Y₂ x=y² (x²+x+) toy (+²+x²) Geschwindigkeiten u-u²tv 4+4²-v C² U₁₂ U1-V 1-Uv at=at' C² At = y².st' Längenkontraktion: 2= (²-√A-V² Lo-yr. L' Lorenztransformationen x=y (x² +V+¹) yoy¹ toy (+²4²) Herleitung der Geschwindigkeitstransformation u=v in s u'-v in s' u= ax = a[y (x² +v++')] at at u= = y² [alx' tv-t'l. at' ] at at <-³ u=y [ax² + a[v.+1]. a+' u=y² ▬ at "y" (1+00') at' <=> u = y^² (u²+V²) ў (ниш) «>uutV (u'+v). ^ Ot at' AS 1+ vu² Herleitung der Zeitallatation A+= 1₂-ta • gilt + "ylt;t! Atr yr At •y (t₂-ta") 'y 4+¹ VX₂ ² 1 - y² (+ ₁ + Vx₂² ) -- Herleitung der Längenkontraktion X₁ L at at' => clo Lo X₂² x'=y- (x-4) y'=y Lo ²x₂ − x₁ = y²₁ (x₂² + v +¹ ) −y^{ x'+v+¹) ³y² (x₂ ¹ +v+¹-x₁¹- V+¹) =y² (x₂-x^²) =y.l +²y+sal (ale Systeme sina gleichwertig) Itati I Promeme aer Gleichzeitigkeit) ax- u at S¹ Die Länge / wurde in S' gemessen: Lê Kg - Xả X₂'una x,' wurden zum gleichen Zeitpunkt + gemessen ax ax' Abungsaufgaben 37.8 Nr. 14 14 (I) Eine Person in einer Rakete, die sich mit 0,50c (re- lativ zur Erde) bewegt, beobachtet einen von hinten ankommenden Meteor, der mit 0,50c vorbeifliegt. Wie schnell bewegt sich der Meteor relativ zur Erde? einsetzen: u'= -DSC-0.5c 37.8 Nr.16 = -AC 37.8 Nr. 45 15 (II) Zwei Raumschiffe verlassen die Erde in entgegen- gesetzte Richtungen, jeweils mit einer Geschwindigkeit von 0,50c. (a) Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Raumschiffes 1 relativ zum Raumschiff 2? (b) Wie hoch ist die Geschwindigkeit von Raumschiff 2 relativ zum Raumschiff 1? einsetzen u'= -0.5C -0.5c - 1,58 4 - (-0,Se). (0,5đ) C² 4-(-0,25c²) = -0,8c x0,98 c - Ac 4,25 = 1,58€ 1,6477 a) u=0.87c+07AC 16 (II) Ein Raumschiff verlässt die Erde mit der Geschwin- digkeit 0,71c. Ein zweites Raumschiff verlässt das erste mit einer Geschwindigkeit von 0,87c relativ zum er- sten. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des zweiten Raumschiffes relativ zur Erde, wenn es (a) in die gleiche Richtung gestartet ist wie das erste, (b) in entgegenge- setzte Richtung, also auf die Erde zu gestartet ist. A+ (0,87c) (0,7 Ac) C² 4 - (052)-(-06) C² -AC A+ 0,25 = -0,8c 1+0,6477 = -0,16c s-le 0,33 23 x-01919c b) u = -0,87 (+0,71c A +1-0₁87c) (D₁7A c) C² 1-0,6177 • Der Meteor Dewegt sich mit co -0,8 c relativ zur Erae > Die Geschwindigkeit des zweiten Raumschiffs, relativ zur Erde wenn es in ale Seloe Richtung gestartet ist beträgt ca 0,98c gegeven: u.-0,5c V-0,5c >> Die Geschwindigkeit des Raumschiff 2 beträgt relativ zum Raumschiff 1-0,8c => Die Geschwindigkeit als zweiten Raumschiffs, relativ aur Erge, wenn es in entgegengesetzer Richtung gestartet ist, beträgt ca. -0.419. Skizze u=-0,5c Skizze: 21 bl ¹0-4 V= 0,5c A n = 0,37c 1₁ V=0₁71² erae ₁ V=OiMC 0₂1²= -0,37c O gesucht u gegeben. *** n₁ v=0,Sc u=-0,5c A-VU C² U's U-V A-UV gegeven, u = 0,87c v= 0,7AC 1 + VU C₂ gegeben, u'= -0,87c V²0₁7 Ac gesucht. u gesucht u gesucht u 37.4 -37.6 Nr.8 8 (II) Angenommen, eine Schlagzeile meldet, dass das Raumschiff Enterprise soeben von einer 5-jährigen Reise mit der Geschwindigkeit 0,84c zurückgekehrt ist. (a) Wenn in der Schlagzeile 5 Erdjahre gemeint sind, wie viel Zeit ist auf dem Raumschiff vergangen? (b) Wenn in der Schlagzeile 5 Raumschiffjahre gemeint sind, wie viel Zeit ist auf der Erde vergangen? a) zeltailatation einsetzen 5= gr. to (²) 5 = 1 √1-10,8401² (²> 5. A 14-10,848 45= 1 0,543 (²3 2,7429 = Ato . 37.4-37.6 Nr. 9 a) += L 1st ankommen a) V=L At .to Ato 1.0,543 • Ato A = 26,6 La 27.78 Das Raumschiff würde aus Sicht von der Erde nach 98,99 Jahren A+ = 95 La 0,96c (=> +-98.99 a Im Raumschiff sina ca. 2,7429 a (=> y=0,96 c → Die Geschwindigkeit 0,96 c würde erechnet werden vergangen 9 (II) Ein bestimmter Stern ist 95,0 Lichtjahre von uns entfernt. Wie lange würde ein Raumschiff mit der Ge- schwindigkeit 0,96c brauchen, um den Stern von der Erde aus zu erreichen, aus Sicht eines Beobachters (a) auf der Erde, (b) im Raumschiff? (c) Wie groß ist die zurückgelegte Entfernung aus Sicht der Beobach- ter im Raumschiff? (d) Welche Geschwindigkeit würde die Besatzung des Raumschiffes aus den Ergebnissen (b) und (c) berechnen? 6) Lo=yr.1 95 La 1 √1-10,960³ (²395 La=1 √1-(0.96)² (²) 95 La = 1.1 1-0,28 0,28 bl Zeitaliatation einsetzen sto 1 (=> Ato³9,208 al Effekt Zeitailatation L>bewegte unien gehen Langsamer" DI Effekt:Zeitailstation L>, bewegte unien gehen Langsamer" -√4-10,84)2² (²) Ato= 1 .S 0.543 +26,642 0,96 (26,6 La 1 > Das Raumschiff würde aus sicht des (²²+ = 27,78 Raumschiffs nach 27,7 Jahren ankommen 6² .5 Skizze al * aus der Erae sind ca. 9,208 a vergangen 95 18 Érae gegeven. s-Evde 0 S'* Raumschiff v= 0,84c +5 la gegeben Sierae v=0,96c C) 26,68 => aie zurückgelegte Entfehrnung beträgt aus Sicht des Raumschifts ca. 26,6 la S = Raumschiff vs b,git to = 5 La Den: V = 0,96c 40.95 La gegeven: gesucht: to +s y to gesucht. + to t yo