Spezielle Relativitätstheorie

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Geschwindigkeit aes Åthers bestimmen, aa man aavon ausging, dass die Geschwindigkelt aes Lichts von aem Atherwina av hängt. Nachdem man also aie Werte des ersten, wie open beschriebenen Ablaufs notiert hatte, wurde der Versuch um 90° geareht, wobei man erwartete pass sich das Interferenzmuster aufgruna aes Athers anaert. Nachweis aurch gas mm Experiment Bewegt sich aas Experiment relativ zum Ather, so ergeben sich im Labor system aie folgenden Ausbreitungsgeschwindigkeiten v'. C mit dem Atherwina VI gegen den Atherwing Hinweg Hier Dewegt sich aer laserstrahl mit dem Atherwina soaass sich die Geschwindigkeiten aaaieren $₂²_1₁ +1₁ C+V C-V aus Lorentz Auf dem Rückweg strahit aer Laser gegen den Atherwing, sodass sich die Geschwindigkeiten subtrahieren Rückweg 2) Einsteinische Postulate Il Die Gesetze der Physik haven in allen Inertialsystemen aie gleiche form Laue Inertialsysteme sina gleichwertig Les gibt kein ausgezeichnetes Inertialsystem (2.B Ather) I) Licht breitet sich im Vakuum mit einer bestimmten Geschwindigkeit caus, die unaphanig von der Geschwinaigkeit aer lichtquelle over ges Betrachters ist 3) Licht in aer Rakete Skizze |||||||||||||||| √0² +2² Für die Laufzelt gilt: 4+² 20 -in aer Rakete At=2-D¹ +2¹ Spiegel D Lich queue + Empränger √1-V²7 von aupen Grenzwert betrachtung für ge y = ->A √D² + L²² y für v->0 y far v->c -> 00 => At ist sehr viel größer als Ato -bewegte Uhren gehen langsamer Je schneller man sich bewegt, desto langsamer vergeht aie Zelt. Aufpau In aer Rakete wird ein Lichtsignal aus Lichtquelle geschickt, vom Spiegel reflektiert una vom Empfänger wieder aufgenommen una gemessen. . Dabei legt das Licht- 2 mai aie Strecke von D (Hin- & Rückweg) zurück. signal Durchführung Die Laufzeit aes Lichtes werden zum einen von einem Betrachter im Raum- schiff (seibes Inertialsystem) una von einem Außenstehenaen (in einem anderen Inertialsystem) gemessen. Man kann eikennen, dass das Licht einen längeren Weg für den Außenstehenden zurück legi. Herleitung Zeitailatation aus Sicht aes ruhengen Systems. 2-0² +2² At <=> 2D = 2√√ D² At. (0) c= 20 = Ato Dª =D² Ato At <-> (²=40² + V² 4+² <=> c²-y²=40² 4+² <=> <=> A+²= 4D² et.vt von aupen (Betrachter) <=> A+²=40² 40² = 40² +v² st₂² 4+² At 2 + C(4-1²) At = 1 -JA-V I y V².A+² At Ato 2L- V. At =>L(v.At:2 |0² 1.4 40²c² sto -V² -At Causklammern |r ; :c²-V² 20= Ato C In einem ruhengen System (Insasse) 4) Gallei una Lorentz - Transformationen Gallei Transformationen x-x'+V-4¹ yoy! 242¹ v₂ = ax = ax + a[v-+²2 d+ 0+ at =ax² +v.at' at' a+' =Vx' +V V₂ = V₂ +V UxUx'+V ug. Uy' U₂ U₂' Formelsammlung Galilei: xxvt Loventa x-x'+V+ -√4-y C² Geschwindigkeitstransformationen tet' Zeitailatation x-x-V-t y=y 2'32 +'st 4 kann zu bellbig großen Vx führen +*+¹ +2 -₁ √4-12 x=y²(x²+x+) ++y(+²+xx²) Geschwindigkeiten Hou²tv 1+U²-v 警 At=y". At' u's U-V 4-uv at .at' Längenkontraktion: L=L²-√√A-y Lo-y. L' Lorenztransformationen x+y (x² +V+¹) toy (+²+x²) Herleitung ner Geschwindigkeitstransformation uvin s u'-v in s' u• ax= a[y² lx' +v++*)] at at (=) (0) u=y [alx²4v-t²l, at ] u=y [ax + av. +)]). co² u=y² (u²+v). 1 Ot at' <=> y = y^² (U²+V') y (1 + VW) <> LAV 14 Herleitung der Zeitallatation Att₂-ta AS •y (t₂- +₂²) 'y 4+¹ "W (12² x 1-y (+₂+x²) yli tuk-tuk Atry st (1+U²) Herleitung der Längenkontraktion S' x₂ Â واء اده L X₂' Lo X₂² x'sy (x-4) y'sy t'è Lo=x₂-x₁ = y (x₂+x+¹) -y (x²+v+') •y (x₂' + H+¹-x₂¹-V+¹) =y² (x₂-x₁²) =y.L. +y+v (ave Systeme sina gleichwertig) I Propeme aer Gleichzeitigkeit) ax. u Q+ ax ax U² Die Länge Lwurae in 5¹ gemessen: La X₂¹-X₂' x₂'una x,' wurden zum gleichen Zeitpunkt +'gemessen Mbungsaufgaben 37.8 Nr. 14 14 (1) Eine Person in einer Rakete, die sich mit 0,50c (re- lativ zur Erde) bewegt, beobachtet einen von hinten ankommenden Meteor, der mit 0,50c vorbeifliegt. Wie schnell bewegt sich der Meteor relativ zur Erde? einsetzen u' -0.5C-0,5c 57.8 Nr.16 37.8 Nr. 45 15 (II) Zwei Raumschiffe verlassen die Erde in entgegen- gesetzte Richtungen, jeweils mit einer Geschwindigkeit von 0,50c. (a) Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Raumschiffes 1 relativ zum Raumschiff 2? (b) Wie hoch ist die Geschwindigkeit von Raumschiff 2 relativ zum Raumschiff 1? einsetzen u' -0.SC -0.5C - 1,58 4-(-0,5c). (0,5L) (² = -0,3c -AC 1-(-0,25c²) = 1,58 - AC 4.25 4,6477 x0,98 c a) u 0,87c07dc 16 (II) Ein Raumschiff verlässt die Erde mit der Geschwin- digkeit 0,71c. Ein zweites Raumschiff verlässt das erste mit einer Geschwindigkeit von 0,87c relativ zum er- sten. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des zweiten Raumschiffes relativ zur Erde, wenn es (a) in die gleiche Richtung gestartet ist wie das erste, (b) in entgegenge- setzte Richtung, also auf die Erde zu gestartet ist. A(0,87c) (0,7 Ac) C² 4 - (0,52)-(-06) C² - AC 40,25 1+0,6477 -0,8c -0,6c 0,33 25 % -0,1949c (0) -0,87 (+0,71c -0,16c 1-0,6177 4 + (-0,87c)-(0₁71 c) C² => Der Meteor Dewegt sich mit ca -0,8c relativ zur Erae >> Die Geschwindigkeit des zweiten Raumschiers relativ aur Erde wenn es in ale Serpe Richtung gestattet ist beträgt ca 0.98c gegeven: u.-0,5c v.0.5c > Die Geschwindigkeit des Raumschiff 2 beträgt relativ zum Raumschiff A-0,8c => Die Geschwindigkeit des aweiten Raumschiffs, relativ aur Erde, wenn es in entgegengesetzer Richtung gestartet ist, beträgt ca. -0,419 C Skizze u=-0.5c Skizze: 21 A n=0,37c O Erae V= 0,5c O V=0,71² 0. v=0;Mc 0₂²--0₁37c gesucht u gegeven: v.0.Sc u=-0.5c u's U-V 1-04 u'= U-V A-UV gegeven. u²0,87c v= 0,₁7AC W.MAY A+YU gegeben. '.-0,37c vs 0₁7dc gesucht.u gesucht- gesucht: u 37.4-37.6 Nr.8 8 (II) Angenommen, eine Schlagzeile meldet, dass das Raumschiff Enterprise soeben von einer 5-jährigen Reise mit der Geschwindigkeit 0,84c zurückgekehrt ist. (a) Wenn in der Schlagzeile 5 Erdjahre gemeint sind, wie viel Zeit ist auf dem Raumschiff vergangen? (b) Wenn in der Schlagzeile 5 Raumschiffjahre gemeint sind, wie viel Zeit ist auf der Erde vergangen? zeltailatation einsetzen 5 y.to (=> 5. 1 √(0,840) C² (=> 5. A 14-10,8431 075= 1 0,543 (²) 2,7429 = Ato 37.4-37.6 Nr. 9 al to t al va ·to Ato 1-0,543 St - Ato AV = 26,6 La 27.78 Das Raumschiff würde aus Sicht von der Erde nach 98,99 Jahren анкоммен A+=95 La 0,96€ co>+.98.99 a => Im Raumschiff sina ca. 2,7419 a (2)y= 0,96 c "Die Geschwindigkeit 0,96 c würde erechnet werden vergangen 9 (II) Ein bestimmter Stern ist 95,0 Lichtjahre von uns entfernt. Wie lange würde ein Raumschiff mit der Ge- schwindigkeit 0,96c brauchen, um den Stern von der Erde aus zu erreichen, aus Sicht eines Beobachters (a) auf der Erde, (b) im Raumschiff? (c) Wie groß ist die zurückgelegte Entfernung aus Sicht der Beobach- ter im Raumschiff? (d) Welche Geschwindigkeit würde die Besatzung des Raumschiffes aus den Ergebnissen (b) und (c) berechnen? b) Lo-y.1 95 la 1 11-10,960 (² 95 La=1 √1-(0.96)² .I -1 (²95 la 1.1 1-0,28 0,28 sto" bl Zeitaliatation einsetzen (=> Ato:9,208 al Effekt Zeitgilatation L>bewegie unien gehen Langsamer (²) oto= 1 .S 0.593 +26,642 0,96 (²) 26,6/201 >Das Raumschiff würde aus sicht des DIEffekt:deitaivalation -√4-10,84) c² 0²²+ = 27,78 L>bewegie unien gehen Langsamer" Raumschiffs nach 27,7 Jahren ankommen Skitze al ★ "aus der Erae sind ca. 9,208 a vergangen 95 La Érae gegevens.Erde 0 v=0,84€ +5 la gegeben si Erae V-0,96c S'. Raumschiff C) 26,6a =>aie surückgelegte Enifelumung betragt aus Sicht des Raumschifes ca. 26,6 La S = Raumschiff V= 0,34 € to ³5 La gegeben. V. 0,96c 40.95 La gesucht: to +=ly to gesucht. + to tr 37.4-37.6 Nr. 10 10 (II) Ihre Freundin fährt in ihrem schnellen Sportwagen mit der Geschwindigkeit 0,660c an Ihnen vorbei. Von Ihrem Bezugssystem aus betrachtet, ist das Auto 4,80 m lang und 1,25 m hoch. (a) Welche Abmessungen hat das Auto in Ruhe? (b) Wie viele Sekunden wären auf der Uhr Ihrer Freundin vergangen, wenn auf Ihrer 20,00 s vergangen sind? (c) Mit welcher Geschwindigkeit ha- ben Sie sich für Ihre Freundin scheinbar bewegt? (d) Wie viele Sekunden wären aus der Sicht Ihrer Freundin auf Ihrer Uhr vergangen, wenn sie 20,00 s auf ihrer eigenen misst? al Langenkontaktion Lol'y L₂=4,3m 1 (2) L₁= 4,8m. 1 √4-(0,660 20 √1-04356 (₁4,8m 1,334 6034₁=6,589m -A-V² 14 Bel wie viel Prozent Lichtgeschwindigkeit ist yr = 1,01? y 1.01 4,04 1 GTR ADA A => -4-x Solve XRD,A4 6₂4,25 (da vin x-Richtung) => Das Auto hat die folgenden Aromes sungen in Ruhe. Breite 6,389 m, 4,25 m Höhe => Vr 0,14 C Bei einer 10% Lichtgeschwindigkeit haben wir einen 1% en Ettekt 203 ol Ato 205 zeltailatation sto = y. st! (1) 2051 Skizze A √1-10,66c!² √4-(0.66)² & c=> 15,025 St .At (33 205 = 4,334.0t 1: 4,334 aut aer Uhr wären 15,025s vergangen 4,80m 5/1,25m V²0,660 c) Geschwindigkeitstransformation. u. L'ev A+ UV v=0,66 c ->mit einer Geschwindigkeit von 0,66c