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Aktualisiert 22. Feb. 2026

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Grundlagen der Linearen Algebra: Vektoren, Funktionen und Systeme

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Lisa

@lisa.dcs

Heute tauchen wir in die Welt der 3D-Mathematik ein! Von... Mehr anzeigen

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Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Funktionsscharen verstehen

Eine Funktionsschar wie fa(x)=x2−axf_a(x) = x^2 - ax ist nicht nur eine Funktion, sondern eine ganze Familie von Funktionen. Der Scharparameter a bestimmt, welche konkrete Funktion du erhältst.

Beim Ableiten behandelst du den Parameter a wie eine normale Zahl. Aus fa(x)=x2−axf_a(x) = x^2 - ax wird fa′(x)=2x−af'_a(x) = 2x - a.

Du musst oft Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte in Abhängigkeit von a berechnen. Das bedeutet: Deine Lösungen enthalten den Parameter a und beschreiben, wie sich die Eigenschaften der Funktion ändern, wenn a sich ändert.

Verstehenshilfe: Stell dir vor, du drehst an einem Regler (Parameter a) und beobachtest, wie sich die Kurve verändert!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Geraden im 3D-Raum

Eine Gerade im Raum beschreibst du mit der vektoriellen Geradengleichung: g⃗:x⃗=a⃗+rm⃗\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{m}. Dabei ist a⃗\vec{a} der Stützvektor (ein fester Punkt), m⃗\vec{m} der Richtungsvektor und rr der Parameter.

Zum Zeichnen einer Geraden setzt du verschiedene r-Werte ein: r=0 gibt dir den Stützpunkt, r=1 und r=-1 geben weitere Punkte. Mit drei Punkten kannst du die Gerade gut skizzieren.

Die Punktprobe zeigt dir, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Setze die Punktkoordinaten in die Geradengleichung ein und löse nach r auf. Bekommst du für alle drei Gleichungen denselben r-Wert? Dann liegt der Punkt auf der Geraden!

Merkhilfe: Der Richtungsvektor zeigt dir, in welche Richtung die Gerade "läuft" - wie ein Pfeil, der die Richtung angibt!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

3D-Koordinatensystem und Punkte

Das 3D-Koordinatensystem ist wie das normale 2D-System, nur mit einer zusätzlichen z-Achse für die Höhe. Jeder Punkt hat drei Koordinaten: P(x|y|z).

Bei negativen Werten gehst du einfach in die entgegengesetzte Richtung der jeweiligen Achse. Ein Punkt wie P(-4|-5|-3) liegt im "hinteren unteren linken" Bereich des Koordinatensystems.

Die Koordinatenebenen teilen den Raum auf: Die x-y-Ebene z=0z=0, die x-z-Ebene y=0y=0 und die y-z-Ebene x=0x=0. Diese drei Ebenen sind wie die Wände und der Boden eines Raumes.

Tipp: Stell dir das 3D-System wie dein Zimmer vor - x ist links/rechts, y ist vor/zurück, z ist hoch/runter!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Punkt-Ebene-Beziehungen

Du kannst auf zwei Wege prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt. Bei der Parameterform setzt du den Punkt gleich der Ebenengleichung und löst das entstehende Gleichungssystem.

Bei der Koordinatenform wie−5x−6y+2z=19wie -5x - 6y + 2z = 19 setzt du einfach die Punktkoordinaten ein. Kommt eine wahre Aussage raus? Dann liegt der Punkt auf der Ebene.

Die Parameterform ist oft aufwendiger, aber sie zeigt dir auch die Parameter r und s, mit denen du den Punkt in der Ebene "erreichen" kannst.

Praxistipp: Die Koordinatenform ist meist schneller - einfach einsetzen und rechnen!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Lineare Gleichungssysteme lösen

Es gibt drei Standardverfahren: Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren. Jedes hat seine Stärken je nach Aufgabentyp.

Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach derselben Variable um und setzt sie gleich. Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt sie in die andere ein.

Das Additionsverfahren nutzt geschickte Addition/Subtraktion, um eine Variable zu eliminieren. Du multiplizierst oft eine Gleichung, damit sich beim Addieren eine Variable weghebt.

Erfolgsgeheimnis: Wähle das Verfahren, das am wenigsten Brüche und komplizierte Rechnungen erzeugt!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Punkt-Strecke-Beziehungen

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Strecke liegt, machst du zuerst eine normale Punktprobe für die Gerade durch die Endpunkte.

Der entscheidende Trick: Der Parameter r muss zwischen 0 und 1 liegen! Bei r=0 bist du am ersten Endpunkt, bei r=1 am zweiten. Dazwischen liegst du auf der Strecke.

Ist r<0 oder r>1, liegt der Punkt zwar auf der Geraden, aber außerhalb der Strecke. Entstehen Widersprüche, liegt er gar nicht auf der Geraden.

Checkpoint: Erst prüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt, dann checken, ob 0 ≤ r ≤ 1 - dann liegt er auf der Strecke!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Abstandsberechnungen

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Abstandsformel - einer Erweiterung des Satzes von Pythagoras.

In 2D: ∣AB∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} In 3D: ∣AB∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}

Die Formel ist logisch: Du bildest in jeder Koordinatenrichtung die Differenz, quadrierst sie, addierst alles und ziehst die Wurzel.

Merkregel: Differenz bilden, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen - wie beim guten alten Pythagoras, nur mit mehr Dimensionen!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Gerade-Ebene-Beziehungen

Es gibt drei Möglichkeiten für die Lage von Gerade und Ebene: Sie schneiden sich in einem Punkt, sind parallel, oder die Gerade liegt komplett in der Ebene.

Bei der eindeutigen Lösung findest du genau einen Parameter-Wert. Bei Parallelität entstehen Widersprüche wie 5=3. Liegt die Gerade in der Ebene, bekommst du wahre Aussagen wie 0=0.

Zum Lösen setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Je nach Lösung erkennst du die Lagebeziehung.

Strategie: Erst das Gleichungssystem aufstellen, dann systematisch lösen - die Art der Lösung verrät dir die Lagebeziehung!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Grundlagen der Vektoren

Ein Vektor ist eine Pfeilklasse - alle Pfeile mit gleicher Länge und Richtung gehören zum selben Vektor. Du schreibst ihn als Spaltenvektor mit seinen Komponenten.

Verschiebungsvektoren berechnest du aus zwei Punkten: PQ⃗=(q1−p1 q2−p2 q3−p3)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \ q_2 - p_2 \ q_3 - p_3 \end{pmatrix}. Du gehst vom ersten zum zweiten Punkt.

Die Komponenten zeigen dir, wie weit du in jede Koordinatenrichtung gehen musst. Ein Vektor (2 −3 1)\begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix} bedeutet: 2 nach rechts, 3 nach hinten, 1 nach oben.

Visualisierung: Stell dir Vektoren wie Wegbeschreibungen vor - sie sagen dir, in welche Richtung und wie weit du gehen sollst!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Lösungsverhalten von Gleichungssystemen

Ein Gleichungssystem kann unlösbar, eindeutig lösbar oder unendlich viele Lösungen haben. Das erkennst du, wenn du beide Gleichungen nach y umstellst.

Unlösbar: Gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte (parallele Geraden). Eindeutig lösbar: Verschiedene Steigungen (Geraden schneiden sich in einem Punkt).

Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen sind identisch nach dem Umstellen - es ist eigentlich dieselbe Gerade, nur unterschiedlich geschrieben.

Durchblick: Stelle beide Gleichungen in die Form y = mx + b um - dann siehst du sofort, welcher Fall vorliegt!



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Stefan S

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

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Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

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Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Paul T

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Funktionsscharen verstehen

Eine Funktionsschar wie fa(x)=x2−axf_a(x) = x^2 - ax ist nicht nur eine Funktion, sondern eine ganze Familie von Funktionen. Der Scharparameter a bestimmt, welche konkrete Funktion du erhältst.

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3D-Koordinatensystem und Punkte

Das 3D-Koordinatensystem ist wie das normale 2D-System, nur mit einer zusätzlichen z-Achse für die Höhe. Jeder Punkt hat drei Koordinaten: P(x|y|z).

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Punkt-Ebene-Beziehungen

Du kannst auf zwei Wege prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt. Bei der Parameterform setzt du den Punkt gleich der Ebenengleichung und löst das entstehende Gleichungssystem.

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Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Strecke liegt, machst du zuerst eine normale Punktprobe für die Gerade durch die Endpunkte.

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Abstandsberechnungen

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Abstandsformel - einer Erweiterung des Satzes von Pythagoras.

In 2D: ∣AB∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} In 3D: ∣AB∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}

Die Formel ist logisch: Du bildest in jeder Koordinatenrichtung die Differenz, quadrierst sie, addierst alles und ziehst die Wurzel.

Merkregel: Differenz bilden, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen - wie beim guten alten Pythagoras, nur mit mehr Dimensionen!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

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Gerade-Ebene-Beziehungen

Es gibt drei Möglichkeiten für die Lage von Gerade und Ebene: Sie schneiden sich in einem Punkt, sind parallel, oder die Gerade liegt komplett in der Ebene.

Bei der eindeutigen Lösung findest du genau einen Parameter-Wert. Bei Parallelität entstehen Widersprüche wie 5=3. Liegt die Gerade in der Ebene, bekommst du wahre Aussagen wie 0=0.

Zum Lösen setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Je nach Lösung erkennst du die Lagebeziehung.

Strategie: Erst das Gleichungssystem aufstellen, dann systematisch lösen - die Art der Lösung verrät dir die Lagebeziehung!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

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Grundlagen der Vektoren

Ein Vektor ist eine Pfeilklasse - alle Pfeile mit gleicher Länge und Richtung gehören zum selben Vektor. Du schreibst ihn als Spaltenvektor mit seinen Komponenten.

Verschiebungsvektoren berechnest du aus zwei Punkten: PQ⃗=(q1−p1 q2−p2 q3−p3)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \ q_2 - p_2 \ q_3 - p_3 \end{pmatrix}. Du gehst vom ersten zum zweiten Punkt.

Die Komponenten zeigen dir, wie weit du in jede Koordinatenrichtung gehen musst. Ein Vektor (2 −3 1)\begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix} bedeutet: 2 nach rechts, 3 nach hinten, 1 nach oben.

Visualisierung: Stell dir Vektoren wie Wegbeschreibungen vor - sie sagen dir, in welche Richtung und wie weit du gehen sollst!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

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Lösungsverhalten von Gleichungssystemen

Ein Gleichungssystem kann unlösbar, eindeutig lösbar oder unendlich viele Lösungen haben. Das erkennst du, wenn du beide Gleichungen nach y umstellst.

Unlösbar: Gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte (parallele Geraden). Eindeutig lösbar: Verschiedene Steigungen (Geraden schneiden sich in einem Punkt).

Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen sind identisch nach dem Umstellen - es ist eigentlich dieselbe Gerade, nur unterschiedlich geschrieben.

Durchblick: Stelle beide Gleichungen in die Form y = mx + b um - dann siehst du sofort, welcher Fall vorliegt!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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