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Alena-Maria
4.4.2022
Mathe
Analysis Mathe GK
16.643
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4. Apr. 2022
•
Alena-Maria
@lernzettelstudi
Die Vielfachheit von Nullstellenund deren Eigenschaften bei ganzrationalen Funktionen... Mehr anzeigen
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In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen vorgestellt. Die Vorgehensweise hängt vom Grad der Funktion ab.
Für Funktionen ersten Grades (lineare Funktionen) wird die Gleichung nach x aufgelöst. Bei Funktionen zweiten Grades (quadratische Funktionen) kommt die pq-Formel zum Einsatz oder man löst durch Ausklammern, wenn die Funktion die Form f(x) = ax² + bx hat.
Beispiel: Für f(x) = x² + 4x + 2 verwendet man die pq-Formel: x₁/₂ = -2 ± √(2² - 2) = -2 ± √2
Für Funktionen dritten Grades wird die Polynomdivision angewendet. Bei Funktionen vierten Grades oder höher kann eine Substitution hilfreich sein, bei der x² durch z ersetzt wird, um die Gleichung auf eine quadratische Form zu reduzieren.
Highlight: Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen. Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
Diese Methoden bilden die Grundlage für die Lösung komplexerer Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen, wie sie oft in Übungen und Prüfungen vorkommen.
Dieser Abschnitt behandelt fortgeschrittene Techniken zur Berechnung von Nullstellen bei komplexeren ganzrationalen Funktionen. Für Funktionen mit ungeraden Exponenten wird die Punktsymmetrie ausgenutzt, während bei geraden Exponenten die Achsensymmetrie zum Tragen kommt.
Beispiel: Bei f(x) = x³ + 2x² + 7x ist f(-x) = -f(x), was auf Punktsymmetrie hinweist.
Für Funktionen mit gemischten Exponenten, wie f(x) = 3x³ + x² + 6x + 2x² + 3x + 7, wird oft eine mehrfache Polynomdivision angewendet. Dabei wird zunächst eine Nullstelle durch Ausprobieren oder mithilfe eines Taschenrechners gefunden und dann die Division wiederholt durchgeführt.
Highlight: Bei der mehrfachen Polynomdivision ist es wichtig, nach jeder Division eine neue Nullstelle zu suchen und den Prozess zu wiederholen.
Diese fortgeschrittenen Techniken sind besonders nützlich für Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades und bilden oft den Kern von anspruchsvolleren Übungen und Prüfungsaufgaben.
In diesem Abschnitt wird die Verschiebung von Funktionen parallel zur x- und y-Achse behandelt. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis von Funktionsmanipulationen und deren graphischer Darstellung.
Für eine Verschiebung parallel zur y-Achse wird zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder subtrahiert. Bei einer Verschiebung parallel zur x-Achse wird zu jeder x-Variable eine Zahl addiert oder von ihr subtrahiert.
Beispiel: f(x) = x² wird zu f(x) = x² - 1 für eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten und zu f(x) = (x+1)² für eine Verschiebung um 1 Einheit nach links.
Highlight: Bei Funktionen mit mehreren x-Variablen muss jedes einzelne x verändert werden.
Diese Konzepte sind besonders wichtig für das Verständnis von ganzrationalen Funktionen und deren Graphen. Sie bilden die Grundlage für komplexere Transformationen und sind oft Bestandteil von Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Die Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.
Definition: Der Differentialquotient ist die mittlere Änderungsrate und entspricht der Steigung der Tangente durch zwei Punkte auf der Funktion.
Es werden wichtige Ableitungsregeln vorgestellt:
Highlight: Der Grenzwert des Differentialquotienten für h → 0 ergibt die Ableitung der Funktion f an der Stelle x.
Diese Grundlagen der Differentialrechnung sind essentiell für das Verständnis von Funktionsverhalten und bilden die Basis für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie sind oft Bestandteil von Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen und deren Eigenschaften.
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Konzepte von Nullstellen in der Analysis. Nullstellen werden als Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse definiert, wo f(x) = 0 gilt. Es wird zwischen Nullstellen ungerader und gerader Ordnung unterschieden.
Definition: Eine Nullstelle ungerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine ungerade Potenz hat. Der Graph weist hier einen Vorzeichenwechsel auf.
Definition: Eine Nullstelle gerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine gerade Potenz hat. Der Graph weist hier keinen Vorzeichenwechsel auf.
Beispiel: f(x) = 1,5x - 1,5 = 1,5(x-1) hat eine einfache Nullstelle bei x = 1, während f(x) = (x-1)² eine doppelte Nullstelle bei x = 1 hat.
Die Visualisierung dieser Konzepte wird durch Graphen unterstützt, die das Verhalten der Funktion an den Nullstellen zeigen. Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Aufgaben zur Vielfachheit von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Stefan S
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Samantha Klich
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Alena-Maria
@lernzettelstudi
Die Vielfachheit von Nullstellen und deren Eigenschaften bei ganzrationalen Funktionen werden erläutert. Nullstellen ungerader und gerader Ordnung werden unterschieden und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgraphen erklärt. Verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen, einschließlich der Polynomdivision, werden vorgestellt. Die Verschiebung... Mehr anzeigen
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In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen vorgestellt. Die Vorgehensweise hängt vom Grad der Funktion ab.
Für Funktionen ersten Grades (lineare Funktionen) wird die Gleichung nach x aufgelöst. Bei Funktionen zweiten Grades (quadratische Funktionen) kommt die pq-Formel zum Einsatz oder man löst durch Ausklammern, wenn die Funktion die Form f(x) = ax² + bx hat.
Beispiel: Für f(x) = x² + 4x + 2 verwendet man die pq-Formel: x₁/₂ = -2 ± √(2² - 2) = -2 ± √2
Für Funktionen dritten Grades wird die Polynomdivision angewendet. Bei Funktionen vierten Grades oder höher kann eine Substitution hilfreich sein, bei der x² durch z ersetzt wird, um die Gleichung auf eine quadratische Form zu reduzieren.
Highlight: Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen. Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
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Beispiel: Bei f(x) = x³ + 2x² + 7x ist f(-x) = -f(x), was auf Punktsymmetrie hinweist.
Für Funktionen mit gemischten Exponenten, wie f(x) = 3x³ + x² + 6x + 2x² + 3x + 7, wird oft eine mehrfache Polynomdivision angewendet. Dabei wird zunächst eine Nullstelle durch Ausprobieren oder mithilfe eines Taschenrechners gefunden und dann die Division wiederholt durchgeführt.
Highlight: Bei der mehrfachen Polynomdivision ist es wichtig, nach jeder Division eine neue Nullstelle zu suchen und den Prozess zu wiederholen.
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In diesem Abschnitt wird die Verschiebung von Funktionen parallel zur x- und y-Achse behandelt. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis von Funktionsmanipulationen und deren graphischer Darstellung.
Für eine Verschiebung parallel zur y-Achse wird zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder subtrahiert. Bei einer Verschiebung parallel zur x-Achse wird zu jeder x-Variable eine Zahl addiert oder von ihr subtrahiert.
Beispiel: f(x) = x² wird zu f(x) = x² - 1 für eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten und zu f(x) = (x+1)² für eine Verschiebung um 1 Einheit nach links.
Highlight: Bei Funktionen mit mehreren x-Variablen muss jedes einzelne x verändert werden.
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Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Die Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.
Definition: Der Differentialquotient ist die mittlere Änderungsrate und entspricht der Steigung der Tangente durch zwei Punkte auf der Funktion.
Es werden wichtige Ableitungsregeln vorgestellt:
Highlight: Der Grenzwert des Differentialquotienten für h → 0 ergibt die Ableitung der Funktion f an der Stelle x.
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Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Konzepte von Nullstellen in der Analysis. Nullstellen werden als Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse definiert, wo f(x) = 0 gilt. Es wird zwischen Nullstellen ungerader und gerader Ordnung unterschieden.
Definition: Eine Nullstelle ungerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine ungerade Potenz hat. Der Graph weist hier einen Vorzeichenwechsel auf.
Definition: Eine Nullstelle gerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine gerade Potenz hat. Der Graph weist hier keinen Vorzeichenwechsel auf.
Beispiel: f(x) = 1,5x - 1,5 = 1,5(x-1) hat eine einfache Nullstelle bei x = 1, während f(x) = (x-1)² eine doppelte Nullstelle bei x = 1 hat.
Die Visualisierung dieser Konzepte wird durch Graphen unterstützt, die das Verhalten der Funktion an den Nullstellen zeigen. Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Aufgaben zur Vielfachheit von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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