Nullstellen und Polynomdivision leicht erklärt: Aufgaben, Beispiele und Übungen für dich!

Öffnen

351

Alena-Maria

4.4.2022

Mathe

Analysis Mathe GK

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

Nullstellen und Polynomdivision leicht erklärt: Aufgaben, Beispiele und Übungen für dich!

Die Vielfachheit von Nullstellen und deren Eigenschaften bei ganzrationalen Funktionen werden erläutert. Nullstellen ungerader und gerader Ordnung werden unterschieden und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgraphen erklärt. Verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen, einschließlich der Polynomdivision, werden vorgestellt. Die Verschiebung von Funktionen entlang der x- und y-Achse wird behandelt. Grundlagen der Differentialrechnung, einschließlich des Differentialquotienten und wichtiger Ableitungsregeln, werden eingeführt.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen werden nach Grad und Berechnungsmethode klassifiziert
Verschiebung von Funktionen wird anhand von Beispielen erläutert
Differentialrechnung wird mit Fokus auf Ableitungsregeln und den Differentialquotienten eingeführt

4.4.2022

16460

1. Nullstellen:
• Die Schnittstelle einer Funktion mit der
bezeichnet → f(x₂)=0
Allgemeine Vorgehensweise:
Funktionsgleichung 0 setzen → f(x

Öffnen

Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen vorgestellt. Die Vorgehensweise hängt vom Grad der Funktion ab.

Für Funktionen ersten Grades $lineare Funktionen$ wird die Gleichung nach x aufgelöst. Bei Funktionen zweiten Grades $quadratische Funktionen$ kommt die pq-Formel zum Einsatz oder man löst durch Ausklammern, wenn die Funktion die Form f $x$ = ax² + bx hat.

Beispiel: Für f $x$ = x² + 4x + 2 verwendet man die pq-Formel: x₁/₂ = -2 ± √ $2² - 2$ = -2 ± √2

Für Funktionen dritten Grades wird die Polynomdivision angewendet. Bei Funktionen vierten Grades oder höher kann eine Substitution hilfreich sein, bei der x² durch z ersetzt wird, um die Gleichung auf eine quadratische Form zu reduzieren.

Highlight: Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen. Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.

Diese Methoden bilden die Grundlage für die Lösung komplexerer Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen, wie sie oft in Übungen und Prüfungen vorkommen.

Öffnen

Spezielle Techniken zur Nullstellenberechnung

Dieser Abschnitt behandelt fortgeschrittene Techniken zur Berechnung von Nullstellen bei komplexeren ganzrationalen Funktionen. Für Funktionen mit ungeraden Exponenten wird die Punktsymmetrie ausgenutzt, während bei geraden Exponenten die Achsensymmetrie zum Tragen kommt.

Beispiel: Bei f $x$ = x³ + 2x² + 7x ist f $-x$ = -f $x$ , was auf Punktsymmetrie hinweist.

Für Funktionen mit gemischten Exponenten, wie f $x$ = 3x³ + x² + 6x + 2x² + 3x + 7, wird oft eine mehrfache Polynomdivision angewendet. Dabei wird zunächst eine Nullstelle durch Ausprobieren oder mithilfe eines Taschenrechners gefunden und dann die Division wiederholt durchgeführt.

Highlight: Bei der mehrfachen Polynomdivision ist es wichtig, nach jeder Division eine neue Nullstelle zu suchen und den Prozess zu wiederholen.

Diese fortgeschrittenen Techniken sind besonders nützlich für Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades und bilden oft den Kern von anspruchsvolleren Übungen und Prüfungsaufgaben.

Öffnen

Verschiebung von Funktionen

In diesem Abschnitt wird die Verschiebung von Funktionen parallel zur x- und y-Achse behandelt. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis von Funktionsmanipulationen und deren graphischer Darstellung.

Für eine Verschiebung parallel zur y-Achse wird zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder subtrahiert. Bei einer Verschiebung parallel zur x-Achse wird zu jeder x-Variable eine Zahl addiert oder von ihr subtrahiert.

Beispiel: f $x$ = x² wird zu f $x$ = x² - 1 für eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten und zu f $x$ = $x+1$ ² für eine Verschiebung um 1 Einheit nach links.

Highlight: Bei Funktionen mit mehreren x-Variablen muss jedes einzelne x verändert werden.

Diese Konzepte sind besonders wichtig für das Verständnis von ganzrationalen Funktionen und deren Graphen. Sie bilden die Grundlage für komplexere Transformationen und sind oft Bestandteil von Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen.

Öffnen

Einführung in die Differentialrechnung

Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Die Ableitungsfunktion f' $x$ einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.

Definition: Der Differentialquotient ist die mittlere Änderungsrate und entspricht der Steigung der Tangente durch zwei Punkte auf der Funktion.

Es werden wichtige Ableitungsregeln vorgestellt:

Potenzregel: f $x$ = xⁿ → f' $x$ = n · xⁿ⁻¹
Summenregel: $f(x$ + g $x$ )' = f' $x$ + g' $x$
Faktorregel: $c · f(x$ )' = c · f' $x$

Highlight: Der Grenzwert des Differentialquotienten für h → 0 ergibt die Ableitung der Funktion f an der Stelle x.

Diese Grundlagen der Differentialrechnung sind essentiell für das Verständnis von Funktionsverhalten und bilden die Basis für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie sind oft Bestandteil von Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen und deren Eigenschaften.

Öffnen

Nullstellen und ihre Eigenschaften

Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Konzepte von Nullstellen in der Analysis. Nullstellen werden als Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse definiert, wo f $x$ = 0 gilt. Es wird zwischen Nullstellen ungerader und gerader Ordnung unterschieden.

Definition: Eine Nullstelle ungerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine ungerade Potenz hat. Der Graph weist hier einen Vorzeichenwechsel auf.

Definition: Eine Nullstelle gerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine gerade Potenz hat. Der Graph weist hier keinen Vorzeichenwechsel auf.

Beispiel: f $x$ = 1,5x - 1,5 = 1,5 $x-1$ hat eine einfache Nullstelle bei x = 1, während f $x$ = $x-1$ ² eine doppelte Nullstelle bei x = 1 hat.

Die Visualisierung dieser Konzepte wird durch Graphen unterstützt, die das Verhalten der Funktion an den Nullstellen zeigen. Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Aufgaben zur Vielfachheit von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.

Öffnen

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

21 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 17 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

Mathe

•

16.460

•

11. Juli 2025

•

28 Seiten

Nullstellen und Polynomdivision leicht erklärt: Aufgaben, Beispiele und Übungen für dich!

Alena-Maria

@lernzettelstudi

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen vorgestellt. Die Vorgehensweise hängt vom Grad der Funktion ab.

Beispiel: Für f $x$ = x² + 4x + 2 verwendet man die pq-Formel: x₁/₂ = -2 ± √ $2² - 2$ = -2 ± √2

Highlight: Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen. Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.

Diese Methoden bilden die Grundlage für die Lösung komplexerer Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen, wie sie oft in Übungen und Prüfungen vorkommen.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Spezielle Techniken zur Nullstellenberechnung

Beispiel: Bei f $x$ = x³ + 2x² + 7x ist f $-x$ = -f $x$ , was auf Punktsymmetrie hinweist.

Highlight: Bei der mehrfachen Polynomdivision ist es wichtig, nach jeder Division eine neue Nullstelle zu suchen und den Prozess zu wiederholen.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Verschiebung von Funktionen

Beispiel: f $x$ = x² wird zu f $x$ = x² - 1 für eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten und zu f $x$ = $x+1$ ² für eine Verschiebung um 1 Einheit nach links.

Highlight: Bei Funktionen mit mehreren x-Variablen muss jedes einzelne x verändert werden.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Einführung in die Differentialrechnung

Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Die Ableitungsfunktion f' $x$ einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.

Definition: Der Differentialquotient ist die mittlere Änderungsrate und entspricht der Steigung der Tangente durch zwei Punkte auf der Funktion.

Es werden wichtige Ableitungsregeln vorgestellt:

Potenzregel: f $x$ = xⁿ → f' $x$ = n · xⁿ⁻¹
Summenregel: $f(x$ + g $x$ )' = f' $x$ + g' $x$
Faktorregel: $c · f(x$ )' = c · f' $x$

Highlight: Der Grenzwert des Differentialquotienten für h → 0 ergibt die Ableitung der Funktion f an der Stelle x.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Nullstellen und ihre Eigenschaften

Definition: Eine Nullstelle ungerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine ungerade Potenz hat. Der Graph weist hier einen Vorzeichenwechsel auf.

Definition: Eine Nullstelle gerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine gerade Potenz hat. Der Graph weist hier keinen Vorzeichenwechsel auf.

Beispiel: f $x$ = 1,5x - 1,5 = 1,5 $x-1$ hat eine einfache Nullstelle bei x = 1, während f $x$ = $x-1$ ² eine doppelte Nullstelle bei x = 1 hat.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Nullstellen und Polynomdivision leicht erklärt: Aufgaben, Beispiele und Übungen für dich!

Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Spezielle Techniken zur Nullstellenberechnung

Verschiebung von Funktionen

Einführung in die Differentialrechnung

Nullstellen und ihre Eigenschaften

Ähnliche Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

21 M

#1

950 K+

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Nullstellen und Polynomdivision leicht erklärt: Aufgaben, Beispiele und Übungen für dich!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Spezielle Techniken zur Nullstellenberechnung

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Verschiebung von Funktionen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Einführung in die Differentialrechnung

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Nullstellen und ihre Eigenschaften

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ähnliche Inhalte

Potenzfunktionen

Extrem- und Wendepunkte

Kurvendiskussion + Kurvenschar

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

4.8/5