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Aktualisiert Mar 10, 2026
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Nullstellen und Polynomdivision leicht erklärt: Aufgaben, Beispiele und Übungen für dich!
Alena-Maria
@lernzettelstudi
1 / 10
Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen
In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen vorgestellt. Die Vorgehensweise hängt vom Grad der Funktion ab.
Für Funktionen ersten Grades (lineare Funktionen) wird die Gleichung nach x aufgelöst. Bei Funktionen zweiten Grades (quadratische Funktionen) kommt die pq-Formel zum Einsatz oder man löst durch Ausklammern, wenn die Funktion die Form f(x) = ax² + bx hat.
Beispiel: Für f(x) = x² + 4x + 2 verwendet man die pq-Formel: x₁/₂ = -2 ± √(2² - 2) = -2 ± √2
Für Funktionen dritten Grades wird die Polynomdivision angewendet. Bei Funktionen vierten Grades oder höher kann eine Substitution hilfreich sein, bei der x² durch z ersetzt wird, um die Gleichung auf eine quadratische Form zu reduzieren.
Highlight: Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen. Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
Diese Methoden bilden die Grundlage für die Lösung komplexerer Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen, wie sie oft in Übungen und Prüfungen vorkommen.
Spezielle Techniken zur Nullstellenberechnung
Dieser Abschnitt behandelt fortgeschrittene Techniken zur Berechnung von Nullstellen bei komplexeren ganzrationalen Funktionen. Für Funktionen mit ungeraden Exponenten wird die Punktsymmetrie ausgenutzt, während bei geraden Exponenten die Achsensymmetrie zum Tragen kommt.
Beispiel: Bei f(x) = x³ + 2x² + 7x ist f = -f(x), was auf Punktsymmetrie hinweist.
Für Funktionen mit gemischten Exponenten, wie f(x) = 3x³ + x² + 6x + 2x² + 3x + 7, wird oft eine mehrfache Polynomdivision angewendet. Dabei wird zunächst eine Nullstelle durch Ausprobieren oder mithilfe eines Taschenrechners gefunden und dann die Division wiederholt durchgeführt.
Highlight: Bei der mehrfachen Polynomdivision ist es wichtig, nach jeder Division eine neue Nullstelle zu suchen und den Prozess zu wiederholen.
Diese fortgeschrittenen Techniken sind besonders nützlich für Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades und bilden oft den Kern von anspruchsvolleren Übungen und Prüfungsaufgaben.
Verschiebung von Funktionen
In diesem Abschnitt wird die Verschiebung von Funktionen parallel zur x- und y-Achse behandelt. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis von Funktionsmanipulationen und deren graphischer Darstellung.
Für eine Verschiebung parallel zur y-Achse wird zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder subtrahiert. Bei einer Verschiebung parallel zur x-Achse wird zu jeder x-Variable eine Zahl addiert oder von ihr subtrahiert.
Beispiel: f(x) = x² wird zu f(x) = x² - 1 für eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten und zu f(x) = ² für eine Verschiebung um 1 Einheit nach links.
Highlight: Bei Funktionen mit mehreren x-Variablen muss jedes einzelne x verändert werden.
Diese Konzepte sind besonders wichtig für das Verständnis von ganzrationalen Funktionen und deren Graphen. Sie bilden die Grundlage für komplexere Transformationen und sind oft Bestandteil von Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
Einführung in die Differentialrechnung
Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Die Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.
Definition: Der Differentialquotient ist die mittlere Änderungsrate und entspricht der Steigung der Tangente durch zwei Punkte auf der Funktion.
Es werden wichtige Ableitungsregeln vorgestellt:
- Potenzregel: f(x) = xⁿ → f'(x) = n · xⁿ⁻¹
- Summenregel: ' = f'(x) + g'(x)
- Faktorregel: (c · f(x))' = c · f'(x)
Highlight: Der Grenzwert des Differentialquotienten für h → 0 ergibt die Ableitung der Funktion f an der Stelle x.
Diese Grundlagen der Differentialrechnung sind essentiell für das Verständnis von Funktionsverhalten und bilden die Basis für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie sind oft Bestandteil von Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen und deren Eigenschaften.
Nullstellen und ihre Eigenschaften
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Konzepte von Nullstellen in der Analysis. Nullstellen werden als Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse definiert, wo f(x) = 0 gilt. Es wird zwischen Nullstellen ungerader und gerader Ordnung unterschieden.
Definition: Eine Nullstelle ungerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine ungerade Potenz hat. Der Graph weist hier einen Vorzeichenwechsel auf.
Definition: Eine Nullstelle gerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine gerade Potenz hat. Der Graph weist hier keinen Vorzeichenwechsel auf.
Beispiel: f(x) = 1,5x - 1,5 = 1,5 hat eine einfache Nullstelle bei x = 1, während f(x) = ² eine doppelte Nullstelle bei x = 1 hat.
Die Visualisierung dieser Konzepte wird durch Graphen unterstützt, die das Verhalten der Funktion an den Nullstellen zeigen. Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Aufgaben zur Vielfachheit von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Nullstellen und Polynomdivision leicht erklärt: Aufgaben, Beispiele und Übungen für dich!
Alena-Maria
@lernzettelstudi
Die Vielfachheit von Nullstellen und deren Eigenschaften bei ganzrationalen Funktionen werden erläutert. Nullstellen ungerader und gerader Ordnung werden unterschieden und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgraphen erklärt. Verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen, einschließlich der Polynomdivision, werden vorgestellt. Die Verschiebung... Mehr anzeigen
Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen
In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen vorgestellt. Die Vorgehensweise hängt vom Grad der Funktion ab.
Für Funktionen ersten Grades (lineare Funktionen) wird die Gleichung nach x aufgelöst. Bei Funktionen zweiten Grades (quadratische Funktionen) kommt die pq-Formel zum Einsatz oder man löst durch Ausklammern, wenn die Funktion die Form f(x) = ax² + bx hat.
Beispiel: Für f(x) = x² + 4x + 2 verwendet man die pq-Formel: x₁/₂ = -2 ± √(2² - 2) = -2 ± √2
Für Funktionen dritten Grades wird die Polynomdivision angewendet. Bei Funktionen vierten Grades oder höher kann eine Substitution hilfreich sein, bei der x² durch z ersetzt wird, um die Gleichung auf eine quadratische Form zu reduzieren.
Highlight: Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nullstellen. Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
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Spezielle Techniken zur Nullstellenberechnung
Dieser Abschnitt behandelt fortgeschrittene Techniken zur Berechnung von Nullstellen bei komplexeren ganzrationalen Funktionen. Für Funktionen mit ungeraden Exponenten wird die Punktsymmetrie ausgenutzt, während bei geraden Exponenten die Achsensymmetrie zum Tragen kommt.
Beispiel: Bei f(x) = x³ + 2x² + 7x ist f = -f(x), was auf Punktsymmetrie hinweist.
Für Funktionen mit gemischten Exponenten, wie f(x) = 3x³ + x² + 6x + 2x² + 3x + 7, wird oft eine mehrfache Polynomdivision angewendet. Dabei wird zunächst eine Nullstelle durch Ausprobieren oder mithilfe eines Taschenrechners gefunden und dann die Division wiederholt durchgeführt.
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Diese fortgeschrittenen Techniken sind besonders nützlich für Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades und bilden oft den Kern von anspruchsvolleren Übungen und Prüfungsaufgaben.
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Verschiebung von Funktionen
In diesem Abschnitt wird die Verschiebung von Funktionen parallel zur x- und y-Achse behandelt. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis von Funktionsmanipulationen und deren graphischer Darstellung.
Für eine Verschiebung parallel zur y-Achse wird zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder subtrahiert. Bei einer Verschiebung parallel zur x-Achse wird zu jeder x-Variable eine Zahl addiert oder von ihr subtrahiert.
Beispiel: f(x) = x² wird zu f(x) = x² - 1 für eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten und zu f(x) = ² für eine Verschiebung um 1 Einheit nach links.
Highlight: Bei Funktionen mit mehreren x-Variablen muss jedes einzelne x verändert werden.
Diese Konzepte sind besonders wichtig für das Verständnis von ganzrationalen Funktionen und deren Graphen. Sie bilden die Grundlage für komplexere Transformationen und sind oft Bestandteil von Aufgaben zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
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Einführung in die Differentialrechnung
Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen der Differentialrechnung ein. Die Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotienten an der Stelle x zu.
Definition: Der Differentialquotient ist die mittlere Änderungsrate und entspricht der Steigung der Tangente durch zwei Punkte auf der Funktion.
Es werden wichtige Ableitungsregeln vorgestellt:
- Potenzregel: f(x) = xⁿ → f'(x) = n · xⁿ⁻¹
- Summenregel: ' = f'(x) + g'(x)
- Faktorregel: (c · f(x))' = c · f'(x)
Highlight: Der Grenzwert des Differentialquotienten für h → 0 ergibt die Ableitung der Funktion f an der Stelle x.
Diese Grundlagen der Differentialrechnung sind essentiell für das Verständnis von Funktionsverhalten und bilden die Basis für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie sind oft Bestandteil von Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen und deren Eigenschaften.
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Nullstellen und ihre Eigenschaften
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Konzepte von Nullstellen in der Analysis. Nullstellen werden als Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse definiert, wo f(x) = 0 gilt. Es wird zwischen Nullstellen ungerader und gerader Ordnung unterschieden.
Definition: Eine Nullstelle ungerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine ungerade Potenz hat. Der Graph weist hier einen Vorzeichenwechsel auf.
Definition: Eine Nullstelle gerader Ordnung liegt vor, wenn der zugehörige Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung eine gerade Potenz hat. Der Graph weist hier keinen Vorzeichenwechsel auf.
Beispiel: f(x) = 1,5x - 1,5 = 1,5 hat eine einfache Nullstelle bei x = 1, während f(x) = ² eine doppelte Nullstelle bei x = 1 hat.
Die Visualisierung dieser Konzepte wird durch Graphen unterstützt, die das Verhalten der Funktion an den Nullstellen zeigen. Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer Aufgaben zur Vielfachheit von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
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4.7/5
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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