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Erklärung zu Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

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 Extremwertprobleme mit
Nebenbedingungen
was sind Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen?
Dies sing Aufgaben bei denen man die Technik der

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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen was sind Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen? Dies sing Aufgaben bei denen man die Technik der Extremwertberechnung nutzt um Aufgaben zu lösen, bei denen die Funktion, deren Extrema man berechnen muss, noch nicht existieren. Die Aufgabe bestent darin, aus verschiedenen Bedingungen zunächst die Funktion zu bestimmen, bevor man ihre Extrema berechnet. 1. Aufstellen der Zielfunktion → Funktion für die Größe, die den Extremwelt annehmen soll (Formel aufstellen) 2. Nebenbedingung aufstellen. → Zusammenhang zw. den variabeln aus 1 herstellen & diese Gleichung nach einer der variablen auflösen und in die Zielfunktion einsetzen. 3. Bestimmung des Extremwerts → Max. bzw. Min. der Zielfunktion bestimmen Beispiel: wie groß müssen die kantenlängen sein um mit 400m Zaun ein möglichst großes Gebiel einzuzäunen? Ala,b)= a.b Hauptbedingung: maximale Fläche Rechteck Hauptbedingung Randbedingung: 400 m Zaun u(a,b) = 2. (a+b) = 400m Ziel: Möglichst große Fläche → Maximum Funktion: Fläche von der Wiese Extremstelle: HP der Funktion a b 1. NB 2. HB 3. Zielfunktion 4. Definitionsbereich s. Extrempunkte 6. Randextrema 1. Hauptbedingung aufstellen: maximale Fläche Rechteck HB: Ala,b)= a. b 2. Randbedingung aufstellen. 400 m Zaun, 400 = umfang NB: U (a,b) = za+zb=400m 3. Randbedingung nach variable umformen. Auflösen nach b. 400 a 2 b= b=200-a 4. in Hauptbedingung einsetzen A = a (200-a) = 2009-a² = Zielfunution: A (a)=- a² +2009 NB: alle Infos aus der Aufgabe 5. Extremstelle d. Zielfunktion + 200a A(a) = - a² + A'(a)= -2a + 200 = 0 - 2α = -200 a = 100 A" (100) = -2...

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<0 = HP 6. Restlichen Größen ausrechnen: α=100m b=200-a b=200-100 1-200 b=100 Rechteck auf X-Achse unter einer Parabel maximieren: geg. Parabel: f(x)= - x² +5 (α = x₁ - (-x₁) = 2 · X₁ → B-A b= f(x₁)-0= f(x₁)→ C-B A(x₁) = a·b = 2x₁ •{(x₁) A(x₁) = 2x₁-(-x ²₂₁ +5) A(x₁) = -2x²³₁ + 10×₁ →Funktion für Flächeninhalt Extrempunkte berechnen. Ableitung: 2 A'(x₁) = -6x²₁² + 10 A² (x₁) = -12x₁ not. Bed.: f'(x)=0 f'(x)=0 - 6x² + 10 =0 1-10 1: (-6) IS 2 - 6x² = - 10 x = √5 X hinr. Ur. : f'(x) = 0 & f¹(x) +0 2. √3/ <0=> HP ₁² (√) = - 12 √ • für f(x₁) funktion einsetzen HP bei X₁ = A wird maximal für X₁: wial 1-x₂|f(n)) D Ex₂10) A A max = Y₁ aix = -2 5 EIN - 2 ( √5)²³ + 10. √3/ 8,61 FE ((x₂ If(x₂)) → liegt auf Funktion Max. Fläche berechnen: A(x₁) = -2x³ + 10x B (₂10) → × ₁ = √5/ 1. Skizze 2.Funktion aufstellen. 3. Extremwert bestimmen 4. Max. Fläche bestimmen Flächeninhalt HB: Ala, b) = a∙b NB: U(a,b) = 20+2b U= 2a + 2b 4/1/12 = = atb Beispiel: 400m Zaun, max. FE HB: A (a,b)= a b 1:2 l-b a = 1/1/12 - b Zielfunktion: Alb) = -b² + a Kreis: A0 = πTr² •=> was soll maximal werden? A(a,b) = (200-b) b → A= a·b Ala,b)= 200b-b² NB: U(a,b) = 20+2b = 400 400 -b a= ž a=200-b Zielfunktion: A (a, b) = 1200-b). Alb) = 2006-b² → nach a umformen Extremwertaufgaben → =1/12,- b SIN HB: A=2r.a → 2r=b NB: U= 2a +4r = 10m 2r a 1. NB 2. HB 3. Zielfunktion 4. Definitionsbereich s. Extrempunkte 6. Randextrema - Flächeninhalt: A = a∙b - Flächeninhalt Dreieck : As = 1/2 ·g.h - Volumen Quader: v= a·b·c - umfang: U=2·a+ 2.b Beispiel:max FE 60m Zaun, nur für 3 Seiten, max. FE HB: A(a,b) = 0·b. NB: U(ab)=2a +b = 60 b=60-29 Ableitung: A'(a)=60-4a A" (a) = -4 1-20 not. Bed.: A'(a)=0 A'(a)=0 60-4a=0 1-60 -4α = -60 1:1-4) α = 15 Zielfunktion: A (a) = a · (60-2α) => a. 60, a. (-20) A (a) = 60a-2a² Beispiel • nach b auflösen hinr. Ur.: A¹(α) =0 & A" (a) ±0 A "(15) = -4 < 0 => HP a=15 y- Wert: A(15)= 60-15-2-15² = 450 FE=450 Randextrema: A (0)=60-0-2-0² = 0 <15 A(60)=60-60-2-60² = = -3600 <15 b ausrechnen: b= 60-2-15 = 30 b=30 Antwort: Damit die Fläche maximal wird muss 9= 15 m und b=30m sein.

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