Extremstellen und Wendepunkte einfach berechnen - Aufgaben und Beispiele

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brn01

19.10.2021

Mathe

Extrempunkte, Wendepunkte, Steckbriefaufgaben, Intervall

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Nullstellenform

Extremstellen und Wendepunkte einfach berechnen - Aufgaben und Beispiele

Eine umfassende Anleitung zur Berechnung von Extremstellen, Wendepunkten und Nullstellen in der Analysis. Der Leitfaden behandelt verschiedene Methoden wie die pq-Formel, das Bestimmen von Hoch- und Tiefpunkten sowie das Lösen von Steckbriefaufgaben. Besonderer Fokus liegt auf der schrittweisen Erklärung von Berechnungsmethoden und der Anwendung des Taschenrechners.

Detaillierte Erläuterungen zu Nullstellenberechnung, Extremwertaufgaben und Wendepunktbestimmung
Praxisnahe Beispiele und Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen
Wichtige Formeln und Bedingungen für Extrempunkte und Wendepunkte
Anleitung zur Erstellung und Lösung von Steckbriefaufgaben
Methoden zur Berechnung von Integralen und orientierten Flächen

19.10.2021

gegeben:
I: 3x+6x-2x
II: 3x +2x + x
TIL: 4,5x+5x -5x
GTR
S
linSolve
Taschenrechner:
ausklammern:
= -4
= O
= -9
3.x+6y-2-2=-4
3x +2y + 2
- 15

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Extrempunkte berechnen

Dieser Teil erklärt die Berechnung von Extrempunkten anhand eines detaillierten Beispiels. Es werden die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen erläutert.

Definition: Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f' $x$ = 0, die hinreichende Bedingung ist f' $x$ = 0 und f'' $x$ ≠ 0.

Es wird ein Beispiel mit der Funktion f $x$ = x⁴ - 8x³ + 16x² durchgerechnet, wobei die erste und zweite Ableitung bestimmt und das Vorzeichen der zweiten Ableitung untersucht wird.

Highlight: Das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt: f'' $x$ < 0 => Hochpunkt, f'' $x$ > 0 => Tiefpunkt.

Der Abschnitt schließt mit der Berechnung der konkreten y-Werte für die gefundenen Extrempunkte.

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Wendepunkte berechnen

Dieser Abschnitt erklärt die Berechnung von Wendepunkten anhand eines Beispiels. Es werden die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendepunkte vorgestellt.

Definition: Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f'' $x$ = 0, die hinreichende Bedingung ist f'' $x$ = 0 und f''' $x$ ≠ 0.

Am Beispiel der Funktion f $x$ = 2x³ - 6x² wird die Berechnung eines Wendepunktes Schritt für Schritt durchgeführt.

Beispiel: Für f $x$ = 2x³ - 6x² ergibt sich der Wendepunkt bei x = 1 mit f $1$ = -4, also WP $1|-4$ .

Der Abschnitt betont die Wichtigkeit, die berechneten x-Werte in die ursprüngliche Funktion einzusetzen, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes zu erhalten.

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Steckbriefaufgaben

Dieser Teil behandelt Steckbriefaufgaben, bei denen eine Funktion anhand gegebener Eigenschaften bestimmt werden soll. Es werden wichtige Merkmale wie Achsen- und Punktsymmetrie sowie der Grad der Funktion erläutert.

Vocabulary: Eine Steckbriefaufgabe ist eine Aufgabe, bei der eine Funktion anhand bestimmter Eigenschaften rekonstruiert werden muss.

Es werden Beispiele für verschiedene Eigenschaften gegeben, wie Nullstellen, Schnittpunkte mit Achsen, Extrempunkte und Wendepunkte.

Beispiel: "Die Funktion verläuft durch den Punkt $2|6$ , hat eine Nullstelle bei x = 9 und schneidet die y-Achse bei 3."

Der Abschnitt zeigt auch, wie man ein lineares Gleichungssystem aufstellt und mit dem Taschenrechner löst, um die Koeffizienten der gesuchten Funktion zu bestimmen.

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Übungsaufgaben zu Steckbriefaufgaben

Dieser Abschnitt enthält zwei Übungsaufgaben zu Steckbriefaufgaben mit detaillierten Lösungswegen.

Die erste Aufgabe behandelt eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit gegebenen Eigenschaften wie Ursprungsdurchgang und Wendetangente.

Beispiel: "Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung und hat in W $-2|2$ eine Wendetangente mit der Steigung -3."

Die zweite Aufgabe bezieht sich auf eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades mit Wendestelle und Tangente.

Highlight: Bei Steckbriefaufgaben ist es wichtig, die gegebenen Informationen systematisch in Gleichungen umzusetzen und diese dann zu lösen.

Beide Aufgaben zeigen, wie man die gegebenen Informationen in ein lineares Gleichungssystem überführt und dieses mit dem Taschenrechner löst, um die gesuchte Funktion zu bestimmen.

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Integralrechnung und Flächenberechnung

Dieser Teil behandelt die Grundlagen der Integralrechnung und Flächenberechnung. Es wird der Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Integral und Ableitung erläutert.

Definition: Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f $x$ dx berechnet die orientierte Fläche zwischen der Funktionskurve und der x-Achse im Intervall $a,b$ .

Es werden Beispiele für die Berechnung von bestimmten Integralen gegeben, sowohl graphisch als auch rechnerisch.

Beispiel: Die Berechnung von ∫₁³ x²dx wird Schritt für Schritt erklärt.

Der Abschnitt enthält auch Anweisungen zur Verwendung des Taschenrechners für Integralberechnungen.

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Übungsaufgabe zur Integralrechnung

Der letzte Abschnitt präsentiert eine komplexe Übungsaufgabe zur Integralrechnung, die das Berechnen von Schnittstellen zweier Funktionen und die Integration der Differenzfunktion beinhaltet.

Beispiel: Gegeben sind die Funktionen f $x$ = x $x-3$ ² und g $x$ = $x-2,5$ ² + 1,75. Es sollen die Schnittstellen und das Integral der Differenzfunktion berechnet werden.

Die Aufgabe wird schrittweise gelöst, beginnend mit der Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen der Funktionen, gefolgt von der Integration der Differenzfunktion.

Highlight: Diese Aufgabe kombiniert verschiedene Konzepte wie Funktionsgleichsetzung, Nullstellenberechnung und Integralrechnung.

Der Lösungsweg demonstriert die Anwendung verschiedener mathematischer Techniken in einem komplexen Kontext.

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Nullstellenberechnung und pq-Formel

Dieser Abschnitt behandelt verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen, einschließlich der pq-Formel und des Ausklammerns. Es werden Beispiele für quadratische und lineare Funktionen gegeben.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x² - 6x + 8 werden die Nullstellen mit der pq-Formel berechnet: x₁,₂ = 3 ± √ $3² - 8$ = 3 ± 1, also x₁ = 4 und x₂ = 2.

Highlight: Die pq-Formel ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen.

Vocabulary: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert 0 annimmt.

Der Abschnitt zeigt auch, wie man vom Integral zur Stammfunktion und von der Ableitung zurück zur Stammfunktion gelangt.

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19. Okt. 2021

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Eine umfassende Anleitung zur Berechnung von Extremstellen, Wendepunkten und Nullstellen in der Analysis. Der Leitfaden behandelt verschiedene Methoden wie die pq-Formel, das Bestimmen von Hoch- und Tiefpunktensowie das Lösen von Steckbriefaufgaben. Besonderer Fokus liegt auf der schrittweisen... Mehr anzeigen

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Extrempunkte berechnen

Dieser Teil erklärt die Berechnung von Extrempunkten anhand eines detaillierten Beispiels. Es werden die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen erläutert.

Definition: Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f' $x$ = 0, die hinreichende Bedingung ist f' $x$ = 0 und f'' $x$ ≠ 0.

Es wird ein Beispiel mit der Funktion f $x$ = x⁴ - 8x³ + 16x² durchgerechnet, wobei die erste und zweite Ableitung bestimmt und das Vorzeichen der zweiten Ableitung untersucht wird.

Highlight: Das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt: f'' $x$ < 0 => Hochpunkt, f'' $x$ > 0 => Tiefpunkt.

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Wendepunkte berechnen

Dieser Abschnitt erklärt die Berechnung von Wendepunkten anhand eines Beispiels. Es werden die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendepunkte vorgestellt.

Definition: Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f'' $x$ = 0, die hinreichende Bedingung ist f'' $x$ = 0 und f''' $x$ ≠ 0.

Am Beispiel der Funktion f $x$ = 2x³ - 6x² wird die Berechnung eines Wendepunktes Schritt für Schritt durchgeführt.

Beispiel: Für f $x$ = 2x³ - 6x² ergibt sich der Wendepunkt bei x = 1 mit f $1$ = -4, also WP $1|-4$ .

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Steckbriefaufgaben

Vocabulary: Eine Steckbriefaufgabe ist eine Aufgabe, bei der eine Funktion anhand bestimmter Eigenschaften rekonstruiert werden muss.

Es werden Beispiele für verschiedene Eigenschaften gegeben, wie Nullstellen, Schnittpunkte mit Achsen, Extrempunkte und Wendepunkte.

Beispiel: "Die Funktion verläuft durch den Punkt $2|6$ , hat eine Nullstelle bei x = 9 und schneidet die y-Achse bei 3."

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Beispiel: "Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung und hat in W $-2|2$ eine Wendetangente mit der Steigung -3."

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Definition: Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f $x$ dx berechnet die orientierte Fläche zwischen der Funktionskurve und der x-Achse im Intervall $a,b$ .

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Beispiel: Die Berechnung von ∫₁³ x²dx wird Schritt für Schritt erklärt.

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Beispiel: Gegeben sind die Funktionen f $x$ = x $x-3$ ² und g $x$ = $x-2,5$ ² + 1,75. Es sollen die Schnittstellen und das Integral der Differenzfunktion berechnet werden.

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Highlight: Die pq-Formel ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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