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Mathematik

Trigonometrische Funktionen und Identitäten

Mathe2.468Aktualisiert 13. Sept. 202610 Seiten

Mathe Klassenarbeit: Trigonometrie, Gleichungen und mehr

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Du lernst heute alles Wichtige über Trigonometrie und Mathematik für die Mittelstufe! Hier findest du die wichtigsten Formeln und Berechnungen, die du für Dreiecke, Funktionen und Gleichungen brauchst.
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Trigonometrische Berechnungen in Dreiecken

Du kennst bestimmt schon den Satz des Pythagoras - aber es gibt noch zwei weitere super wichtige Sätze für rechtwinklige Dreiecke! Der Kathetensatz und der Höhensatz helfen dir, wenn du nicht alle Seiten kennst.

Der Kathetensatz sagt: Das Quadrat einer Kathete ist genauso groß wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem dazugehörigen Abschnitt. Die Formel dafür ist a² = p · c.

Für Sinus, Kosinus und Tangens musst du dir nur merken: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, und Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete.

Tipp: Bei beliebigen Dreiecken (nicht nur rechtwinkligen) kannst du mit der Höhe h arbeiten: sin α = h/b und sin β = h/a. So findest du auch hier alle Winkel und Seiten!

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Dreiecke in Körpern und Flächen

Dreiecke verstecken sich überall - auch in 3D-Körpern und anderen geometrischen Formen! Du musst nur lernen, sie zu finden und dann wie gewohnt zu berechnen.

Für allgemeine Dreiecke gibt es zwei Superhelden-Formeln: den Sinussatz und den Kosinussatz. Der Sinussatz ist: sin α/a = sin β/b = sin γ/c. Der Kosinussatz erweitert den Pythagoras: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

Bei gleichseitigen Dreiecken haben alle Winkel 60°. Bei Trapezen sind gegenüberliegende Winkel zusammen immer 180°. Die Mittellinie m eines Trapezes ist der Durchschnitt der beiden parallelen Seiten.

Merke dir: In jedem Dreieck sind alle Winkel zusammen genau 180°, und bei jedem Viereck sind es 360°!

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Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis

Der Einheitskreis ist dein bester Freund, wenn du Winkel größer als 90° verstehen willst! Hier hat der Kreis den Radius r = 1, und du kannst Sinus und Kosinus für alle Winkel ablesen.

Sinus am Einheitskreis: Du kannst Winkel "umrechnen" - zum Beispiel ist sin 170° = sin 10°, weil 170° nur 10° von 180° entfernt ist. Bei sin 200° wird es negativ: sin 200° = -sin 20°.

Die allgemeine Sinusfunktion hat die Form y = a · sinbx+cbx + c + d. Dabei ist a die Höhe (Amplitude), b bestimmt die Periodenlänge, c verschiebt an der x-Achse und d an der y-Achse.

Cool zu wissen: Sinus ist punktsymmetrisch, Kosinus ist achsensymmetrisch. Die kleinste Periode ist 2π/b!

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Goniometrische Gleichungen und Potenzgesetze

Goniometrische Gleichungen löst du, indem du sie auf die Grundform bringst und dann die Lösungen im gegebenen Bereich suchst. Bei Sinus und Kosinus gibt es meist zwei Lösungen pro Periode!

Potenzgesetze sind eigentlich ganz logisch: Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten. Bei gleichen Exponenten multiplizierst du die Basen. a^m · a^n = a^m+nm+n und (ab)^n = a^n · b^n.

Negative Exponenten bedeuten einfach "eins durch die positive Potenz": a^−n-n = 1/a^n. Und a^0 ist immer 1 (außer wenn a = 0 ist).

Wichtig: Du kannst Potenzen normalerweise nicht einfach addieren - nur wenn Basis UND Exponent gleich sind!

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Wurzeln und Wurzelgesetze

Wurzeln sind das Gegenteil von Potenzen - genau wie Plus und Minus sich aufheben! Das wichtigste Wurzelgesetz ist: √a · √b = √(ab).

Aber Vorsicht: √a + √b ist NICHT gleich √a+ba+b! Das ist ein häufiger Fehler. Du kannst Wurzeln nur unter bestimmten Bedingungen zusammenfassen.

Beim Rechnen mit Wurzeln hilft es oft, sie als Potenzen mit Bruchexponenten zu schreiben: √a = a^1/21/2. Dann kannst du die normalen Potenzgesetze anwenden.

Merktrick: Wurzeln verhalten sich beim Multiplizieren wie normale Zahlen, aber beim Addieren musst du aufpassen!

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Lineare Funktionen verstehen und anwenden

Lineare Funktionen haben die Form y = mx + n - das ist die wichtigste Formel der ganzen Mittelstufe! m ist die Steigung (Anstieg) und n der y-Achsenabschnitt (wo die Linie die y-Achse schneidet).

Zum Zeichnen gehst du immer 1 nach rechts und m nach oben (bei negativem m nach unten). Bei Brüchen wie m = 3/2 gehst du 2 nach rechts und 3 nach oben.

Parallele Funktionen haben die gleiche Steigung m, aber verschiedene n-Werte. Senkrechte Funktionen haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren: Wenn fxx = 4x hat, dann hat die senkrechte Funktion m = -1/4.

Praxis-Tipp: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Funktion liegt, setzt du einfach x ein und schaust, ob das richtige y herauskommt!

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Punkte berechnen und Funktionen transformieren

Du kannst jeden Punkt einer Funktion berechnen, indem du entweder x oder y einsetzt und nach der anderen Variable auflöst. Das ist wie ein Puzzle - du kennst ein Teil und findest das andere!

Funktionen spiegeln ist einfach: An der x-Achse änderst du beide Vorzeichen, an der y-Achse nur das Vorzeichen von m. Für senkrechte Funktionen drehst du den Bruch um und änderst das Vorzeichen.

Die Nullstelle findest du, indem du y = 0 setzt und nach x auflöst. Das ist der Punkt, wo die Funktion die x-Achse schneidet.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten: Erst berechnest du m mit der Formel y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁, dann setzt du einen Punkt ein, um n zu finden!

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Lineare Gleichungssysteme lösen

Lineare Gleichungssysteme haben mehrere Unbekannte - meist x und y. Du hast drei Methoden zur Auswahl: Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren und Gleichsetzungsverfahren.

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt sie in die andere ein. Das ist oft am einfachsten, wenn schon eine Variable "alleine" steht.

Das Additionsverfahren funktioniert, indem du die Gleichungen so veränderst, dass eine Variable wegfällt, wenn du sie addierst oder subtrahierst. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach derselben Variable um.

Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen findest du, indem du sie gleichsetzt - das ist ein Gleichungssystem mit einer Unbekannten!

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Quadratische Funktionen - Die Parabel

Quadratische Funktionen haben die Form fxx = ax² + bx + c (Normalform) oder fxx = ax+dx + d² + e (Scheitelpunktform). Ihr Graph ist immer eine Parabel.

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. In der Scheitelpunktform kannst du ihn direkt ablesen: S−d/e-d/e. Das Vorzeichen von a entscheidet, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder unten (a < 0) geöffnet ist.

Verschiebungen sind einfach: +e verschiebt nach oben, -e nach unten. +d verschiebt nach links, -d nach rechts. Der Faktor a macht die Parabel schmaler (|a| > 1) oder breiter (|a| < 1).

Normalparabel fxx = x² hat ihren Scheitelpunkt bei 0/00/0 und öffnet sich nach oben - sie ist deine Grundlage für alle anderen Parabeln!

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Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen der Form x² = a löst du mit Wurzelziehen: x = ±√a. Das ± bedeutet, dass es meist zwei Lösungen gibt - eine positive und eine negative.

Es gibt drei Fälle: Wenn a > 0 ist, hast du zwei Lösungen. Wenn a = 0 ist, gibt es eine Lösung x=0x = 0. Wenn a < 0 ist, gibt es keine reelle Lösung, weil du keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kannst.

Graphisch löst du quadratische Gleichungen, indem du schaust, wo die Parabel die entsprechende horizontale Gerade schneidet. Zwei Schnittpunkte = zwei Lösungen, ein Schnittpunkt = eine Lösung, kein Schnittpunkt = keine Lösung.

Beispiel: x² = 4 hat die Lösungen x₁ = -2 und x₂ = 2, weil beide Zahlen zum Quadrat 4 ergeben!

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