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Funktionsscharen

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 WAS IST EINE FUNKTIONSSCHAR E
Eine Funktionsschar ist eine Funktion mit einem Parameter k (oder a, b, c usw...).
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•Was ist eine Funtionsschar? •Kurvendiskussion (zu Funktionsscharen) •Ortskurve •Gemeinsame Punkte von Funktionsscharen •Parameter einer Funktionsschar bestimmen

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WAS IST EINE FUNKTIONSSCHAR E Eine Funktionsschar ist eine Funktion mit einem Parameter k (oder a, b, c usw...). Sie entsteht, wenn man für Parameter in einer Funktion verschiedene Werte einsetzt. Daher ist eine Funktionsschar eine Henge verschiedener Kurven. Aus diesem Grund nennt man sie auch Kurvenschar oder Parameterfunktion. Eine mögliche Gleichung ist fk (x) = x² + k. Werden verschiedene Werte für den Parameter k eingesetzt, verändert sich die Funktion: • Sie wird gestrecht (schmaler) → k>d • Sie wird gestaucht (breiter) → Ocked • Sie wird verschoben entlang der y-Achse → k>0, kao Setzt man, also fürk verschiedene. Werte erhält man einen Funktionschar Bespiel: fk (x) = x² + k • Sie wird verschoben entlang der x-Achse → k>0 h²o nach links U S-4-3-2 ·S 4 ● k= 0,2,4,6 nach oben k=6 k=4 k=2. k = 0 nach unten nach rechts Welche Parametergleichung entspricht dieser Gleichungen Gleichungen: f(x)=4x³+2x+2 g(x) = 6 x ³ + 3x + 2 h(x) = 10x³ + 5x + 2 8 i(x)=x²+x+2/ Parametergleichung: fa(x) = 2ax³ + ax + 2 MERKE Das Parameter (2.B. k, a, p. usw.) wird beim Rechnen mit Funktionsscharen immer wie eine normale Zahl behandelt. Sie ist nicht die Variabel der Funktion 1. Das ist das x KURVENDISKUSSION fa (x) = x² + ax ²; a&R 1. Definitionsbereich: D=R 2. Symmetrie: Weder y-Achsensymmetrie noch Punktsymmetrie zum Ursprung 3. Nullstellen: x² + ax² = 0 | ausklammern x²(x+a)=0 | Regel vom Nullprodukt ✓ x²=0 X412= 0 x+a=01-a x₂ = -a → mobile Nullstelle hängt ↓ doppelte Nullstelle & Stationare "Nullstelle hängt nicht vom Scharparameter 4. Ableitungen: fa (x) = x²...

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+ ax² fa'(x) = 3x² + 2ax fa'(x) = 6x + 2a fa(x) = 6 vom Scharparameter ab 5. Extrempunkte 1) Gleichung ableiten: Nr. 4. 2) n.B.: f (x) = 0 x=0 3) h.B.: 3x² + 2ax = 0 | ausklammern x (3x + 2a) = 0 | Regel uom 3x + 2a=01-2a 3x = -2a 1:3 ..ª X = f₂(x) = 0 ^ fa" (x) ‡ O fa" (0) = 6.0 + 2a fa"(ª)= 6· (-—ª) + 2ª 2a für a=0 h.B. nicht erfällt für a > 0: ist an der Stelle 0 (x=0) eine Tiefpunkt stelle 4) y-Koordinate: fa (x) = x² + ax ² fa (0) = 0² +0.0² E. (010) für a< 0: ist an der Stelle 0" (x=0) eine Hochpunkt stelle Nullprodukt n 12ª + 2a | erweitern - Sa - 2a für a=0 h.B. nicht erfällt für a > 0: ist an der Stelle - — a (x=-—a) eine Hochpunkt stelle für a< 0: ist an der Stelle - — a (x=-=—a) eine Tiefpunkt stelle fa (x) = x² + ax ² fa ( = ª)-(¯ ¾ª)²+ ª ·( ‡ ª)² 22 ²³ +12 a ²³ 27° E₁ (-ª | 14/1²²) 6. Wendepunkte: 1). Gleichung ableiten: Nr. 4. 2) n.B.: fa" (x) = 0 6x + 2a = 0 1-2a = -2a 1:6 - 20 = - 14 3) h.B.: fa" (x) = 0 ^ f." (x) ‡ 0 6x fő" (-1/3²ª) = 6 + 0 ⇒ Wendepunkt vorhanden 4) y-Koordinate: fa (x) = x² + ax ² fat 1) - (1¹) ³ + a. (+¹)* Ad² +0.4²² = -4ª² +4³² = -4ª²+10¹ 2² W(-1/²³²) ORTEKURVE Die Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Gemeinsamkeit haben. Die Gemeinsamkeiten kann zum Beispiel sein, das sie alle Extrempunkte, Scheitelpunkte oder Wendepunkte der Funktionsschar sind. Ortskurven kann man auch Trägergraphen nennen. -4-3 Wichtig! In der Abbildung geht die Ortskurve durch alle Scheitelpunkte der Parabeln. ●● die von „a" (h, c, pusw...) abhängigen Koordinaten es werden die von a benötigt → mobiler Punkt.

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