Komplexe Anwendungsaufgabe der Integralrechnung
In diesem Abschnitt wird eine anspruchsvolle Anwendungsaufgabe der Integralrechnung vorgestellt, die die Berechnung von Flächeninhalten zwischen mehreren Funktionsgraphen beinhaltet.
Die Aufgabe umfasst drei Funktionen fx, gx und hx, die zusammen drei Flächen A₁, A₂ und A₃ bilden. Ziel ist es, den Gesamtflächeninhalt zu berechnen.
Vorgehen:
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Bestimmung der Funktionen und ihrer Stammfunktionen:
fx = -0,5xx−3 = -0,5x² + 1,5x
Fx = -0,5x³ + 0,75x²
gx = -0,5x−1x−4 = 0,5x² - 2,5x + 2
Gx = -0,5x³ + 1,25x² - 2x
hx = 0,25xx−4 = 0,25x² - x
Hx = 0,125x³ - 0,5x²
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Berechnung der einzelnen Flächeninhalte:
A₁ wird berechnet durch Integration von fx
A₂ ist symmetrisch zu A₁ und daher gleich groß
A₃ wird durch Integration von hx bestimmt
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Summierung der Teilflächen:
Agesamt = A₁ + A₂ + A₃
Example: Ergebnis der Berechnung:
A₁ = 1,67 FE
A₂ = 1,67 FE wegenSymmetrie
A₃ = 2,67 FE
Agesamt = 1,67 + 1,67 + 2,67 = 6,01 FE
Diese komplexe Aufgabe demonstriert, wie die Integralrechnung zur Berechnung von Flächeninhalten in anspruchsvollen Szenarien angewendet werden kann. Sie zeigt auch, wie wichtig es ist, die geometrischen Eigenschaften der Funktionsgraphen zu berücksichtigen und die Berechnung in sinnvolle Teilschritte zu zerlegen.
Highlight: Die Fähigkeit, solche komplexen Aufgaben zu lösen, verdeutlicht das tiefe Verständnis des unbestimmten und bestimmten Integrals sowie die Beherrschung der Integralrechnung zur Bestimmung von Stammfunktionen.