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Integralrechnung: Stammfunktion leicht gemacht

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L

Laura

9.3.2022

Mathe

Integralrechnung

Integralrechnung: Stammfunktion leicht gemacht

Integralrechnung ist ein wichtiger Bereich der Mathematik, der sich mit der Berechnung von Flächen und Stammfunktionen befasst. Diese Methode ermöglicht es, komplexe mathematische Probleme zu lösen und Flächeninhalte präzise zu bestimmen.

  • Die Integralrechnung umfasst das Bestimmen von Stammfunktionen und die Berechnung von Flächeninhalten.
  • Es gibt zwei Hauptarten von Integralen: das unbestimmte und das bestimmte Integral.
  • Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Differentiation und Integration.
  • Die Flächenberechnung kann für Bereiche oberhalb, unterhalb oder beidseitig der x-Achse durchgeführt werden.
  • Komplexere Anwendungen beinhalten die Berechnung von Flächeninhalten zwischen verschiedenen Funktionsgraphen.
...

9.3.2022

6911

INTEGRALPECHNUNG
Stammfunktionen bestimmen:
f"(x) = f'(x) + f(x) →→→ F(x)
2. Ableitung 1. Ableitung Ausgangsfunution Stammfunution
Konstante

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Vorgehen bei der Flächenberechnung

Die Flächenberechnung mittels Integralrechnung erfordert ein systematisches Vorgehen, das je nach Lage der Fläche zur x-Achse variiert. Dieser Abschnitt erläutert die verschiedenen Methoden für unterschiedliche Szenarien.

Für Flächen ober- oder unterhalb der x-Achse:

  1. Stammfunktion bilden
  2. Integral nach dem Hauptsatz aufstellen
  3. Betragsstriche hinzufügen, wenn das Integral unterhalb der x-Achse liegt
  4. Integral ausrechnen

Für Flächen, die sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse liegen:

  1. Stammfunktion bilden
  2. Nullstellen berechnen oder vom Graphen ablesen
  3. Integral aufstellen und Betragsstriche hinzufügen
  4. Integral ausrechnen

Example: Bei mehr als einer Nullstelle verwendet man die Formel: ∫a,ba,b |fxx| dx = Fx2x₂ - Faa + Fbb - Fx2x₂

Für Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen:

  1. Schnittpunkte berechnen alsIntervallals Intervall
  2. Beide Funktionen mit Betragsstrichen subtrahieren
  3. Stammfunktion bilden
  4. Integral aufstellen
  5. Integral ausrechnen

Highlight: Die Integralrechnung zur Bestimmung der Stammfunktion kann auch mithilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, was besonders bei komplexeren Funktionen hilfreich ist.

Diese Methoden ermöglichen es, eine Vielzahl von Flächenberechnungsproblemen effizient zu lösen und das unbestimmte und bestimmte Integral zu verstehen.

INTEGRALPECHNUNG
Stammfunktionen bestimmen:
f"(x) = f'(x) + f(x) →→→ F(x)
2. Ableitung 1. Ableitung Ausgangsfunution Stammfunution
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Praktische Anwendungen der Flächenberechnung

Dieser Abschnitt demonstriert die praktische Anwendung der Integralrechnung anhand verschiedener Beispiele zur Flächenberechnung. Die Beispiele umfassen Flächen oberhalb, unterhalb und beidseitig der x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen.

  1. Flächenberechnung oberhalb der x-Achse: Für die Funktion fxx = x1x-1²/3 + 1 im Intervall 0;20; 2 wird die Stammfunktion gebildet und das bestimmte Integral berechnet.
  2. Flächenberechnung unterhalb der x-Achse: Bei der Funktion fxx = x1x-1² - 1 im Intervall 0;20; 2 werden Betragsstriche verwendet, um den positiven Flächeninhalt zu erhalten.
  3. Flächenberechnung ober- und unterhalb der x-Achse symmetrischsymmetrisch: Für fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1 wird die Symmetrie ausgenutzt, um die Berechnung zu vereinfachen.
  4. Flächenberechnung ober- und unterhalb der x-Achse nichtsymmetrischnicht symmetrisch: Bei fxx = x² + 2x im Intervall 1;3-1; 3 werden die Flächen in verschiedenen Teilintervallen berechnet und addiert.

Example: Für die Funktion fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1: A = 2 · ∫0,10,1 x3xx³ - x dx = 1/2 FE

Diese Beispiele verdeutlichen, wie die Integralrechnung zur Berechnung von Flächeninhalten in verschiedenen Situationen angewendet werden kann. Sie zeigen auch, wie wichtig es ist, die Lage der Fläche zur x-Achse zu berücksichtigen und gegebenenfalls die Berechnung in Teilintervalle aufzuteilen.

INTEGRALPECHNUNG
Stammfunktionen bestimmen:
f"(x) = f'(x) + f(x) →→→ F(x)
2. Ableitung 1. Ableitung Ausgangsfunution Stammfunution
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Fortgeschrittene Anwendungen der Integralrechnung

In diesem Abschnitt werden komplexere Anwendungen der Integralrechnung vorgestellt, insbesondere die Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen und die Bestimmung der Flächenbilanz.

Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen: Für die Funktionen fxx = -x1x-1² + 2,5 und gxx = x2x-2² wird die Fläche zwischen den Graphen berechnet. Hierbei ist es wichtig, die Schnittpunkte der Funktionen zu bestimmen und das Integral der Differenz der Funktionen zu bilden.

Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionen ist es entscheidend, die obere von der unteren Funktion zu subtrahieren: ∫a,ba,b f(xf(x - gxx) dx

Berechnung der Flächenbilanz:

  1. Für eine Funktion unterhalb der x-Achse: Am Beispiel von fxx = x1x-1² - 1 im Intervall 0;20; 2 wird gezeigt, wie die Flächenbilanz berechnet wird, ohne Betragsstriche zu verwenden.
  2. Für eine Funktion ober- und unterhalb der x-Achse: Mit fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1 wird demonstriert, wie sich positive und negative Flächenanteile ausgleichen können.

Example: Für fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1: Flächenbilanz = ∫1,1-1,1 x3xx³ - x dx = 0 FE

Diese fortgeschrittenen Anwendungen zeigen, wie vielseitig die Integralrechnung zur Bestimmung von Stammfunktionen und zur Berechnung von Flächeninhalten eingesetzt werden kann. Sie verdeutlichen auch die Bedeutung des unbestimmten und bestimmten Integrals für komplexe mathematische Probleme.

INTEGRALPECHNUNG
Stammfunktionen bestimmen:
f"(x) = f'(x) + f(x) →→→ F(x)
2. Ableitung 1. Ableitung Ausgangsfunution Stammfunution
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Komplexe Anwendungsaufgabe der Integralrechnung

In diesem Abschnitt wird eine anspruchsvolle Anwendungsaufgabe der Integralrechnung vorgestellt, die die Berechnung von Flächeninhalten zwischen mehreren Funktionsgraphen beinhaltet.

Die Aufgabe umfasst drei Funktionen fxx, gxx und hxx, die zusammen drei Flächen A₁, A₂ und A₃ bilden. Ziel ist es, den Gesamtflächeninhalt zu berechnen.

Vorgehen:

  1. Bestimmung der Funktionen und ihrer Stammfunktionen: fxx = -0,5xx3x-3 = -0,5x² + 1,5x Fxx = -0,5x³ + 0,75x² gxx = -0,5x1x-1x4x-4 = 0,5x² - 2,5x + 2 Gxx = -0,5x³ + 1,25x² - 2x hxx = 0,25xx4x-4 = 0,25x² - x Hxx = 0,125x³ - 0,5x²
  2. Berechnung der einzelnen Flächeninhalte: A₁ wird berechnet durch Integration von fxx A₂ ist symmetrisch zu A₁ und daher gleich groß A₃ wird durch Integration von hxx bestimmt
  3. Summierung der Teilflächen: Agesamt = A₁ + A₂ + A₃

Example: Ergebnis der Berechnung: A₁ = 1,67 FE A₂ = 1,67 FE wegenSymmetriewegen Symmetrie A₃ = 2,67 FE Agesamt = 1,67 + 1,67 + 2,67 = 6,01 FE

Diese komplexe Aufgabe demonstriert, wie die Integralrechnung zur Berechnung von Flächeninhalten in anspruchsvollen Szenarien angewendet werden kann. Sie zeigt auch, wie wichtig es ist, die geometrischen Eigenschaften der Funktionsgraphen zu berücksichtigen und die Berechnung in sinnvolle Teilschritte zu zerlegen.

Highlight: Die Fähigkeit, solche komplexen Aufgaben zu lösen, verdeutlicht das tiefe Verständnis des unbestimmten und bestimmten Integrals sowie die Beherrschung der Integralrechnung zur Bestimmung von Stammfunktionen.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

6.911

9. März 2022

5 Seiten

Integralrechnung: Stammfunktion leicht gemacht

L

Laura

@laura.marie

Integralrechnung ist ein wichtiger Bereich der Mathematik, der sich mit der Berechnung von Flächen und Stammfunktionen befasst. Diese Methode ermöglicht es, komplexe mathematische Probleme zu lösen und Flächeninhalte präzise zu bestimmen.

  • Die Integralrechnungumfasst das Bestimmen von Stammfunktionen und die... Mehr anzeigen

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Vorgehen bei der Flächenberechnung

Die Flächenberechnung mittels Integralrechnung erfordert ein systematisches Vorgehen, das je nach Lage der Fläche zur x-Achse variiert. Dieser Abschnitt erläutert die verschiedenen Methoden für unterschiedliche Szenarien.

Für Flächen ober- oder unterhalb der x-Achse:

  1. Stammfunktion bilden
  2. Integral nach dem Hauptsatz aufstellen
  3. Betragsstriche hinzufügen, wenn das Integral unterhalb der x-Achse liegt
  4. Integral ausrechnen

Für Flächen, die sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse liegen:

  1. Stammfunktion bilden
  2. Nullstellen berechnen oder vom Graphen ablesen
  3. Integral aufstellen und Betragsstriche hinzufügen
  4. Integral ausrechnen

Example: Bei mehr als einer Nullstelle verwendet man die Formel: ∫a,ba,b |fxx| dx = Fx2x₂ - Faa + Fbb - Fx2x₂

Für Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen:

  1. Schnittpunkte berechnen alsIntervallals Intervall
  2. Beide Funktionen mit Betragsstrichen subtrahieren
  3. Stammfunktion bilden
  4. Integral aufstellen
  5. Integral ausrechnen

Highlight: Die Integralrechnung zur Bestimmung der Stammfunktion kann auch mithilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, was besonders bei komplexeren Funktionen hilfreich ist.

Diese Methoden ermöglichen es, eine Vielzahl von Flächenberechnungsproblemen effizient zu lösen und das unbestimmte und bestimmte Integral zu verstehen.

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Praktische Anwendungen der Flächenberechnung

Dieser Abschnitt demonstriert die praktische Anwendung der Integralrechnung anhand verschiedener Beispiele zur Flächenberechnung. Die Beispiele umfassen Flächen oberhalb, unterhalb und beidseitig der x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen.

  1. Flächenberechnung oberhalb der x-Achse: Für die Funktion fxx = x1x-1²/3 + 1 im Intervall 0;20; 2 wird die Stammfunktion gebildet und das bestimmte Integral berechnet.
  2. Flächenberechnung unterhalb der x-Achse: Bei der Funktion fxx = x1x-1² - 1 im Intervall 0;20; 2 werden Betragsstriche verwendet, um den positiven Flächeninhalt zu erhalten.
  3. Flächenberechnung ober- und unterhalb der x-Achse symmetrischsymmetrisch: Für fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1 wird die Symmetrie ausgenutzt, um die Berechnung zu vereinfachen.
  4. Flächenberechnung ober- und unterhalb der x-Achse nichtsymmetrischnicht symmetrisch: Bei fxx = x² + 2x im Intervall 1;3-1; 3 werden die Flächen in verschiedenen Teilintervallen berechnet und addiert.

Example: Für die Funktion fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1: A = 2 · ∫0,10,1 x3xx³ - x dx = 1/2 FE

Diese Beispiele verdeutlichen, wie die Integralrechnung zur Berechnung von Flächeninhalten in verschiedenen Situationen angewendet werden kann. Sie zeigen auch, wie wichtig es ist, die Lage der Fläche zur x-Achse zu berücksichtigen und gegebenenfalls die Berechnung in Teilintervalle aufzuteilen.

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Fortgeschrittene Anwendungen der Integralrechnung

In diesem Abschnitt werden komplexere Anwendungen der Integralrechnung vorgestellt, insbesondere die Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen und die Bestimmung der Flächenbilanz.

Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen: Für die Funktionen fxx = -x1x-1² + 2,5 und gxx = x2x-2² wird die Fläche zwischen den Graphen berechnet. Hierbei ist es wichtig, die Schnittpunkte der Funktionen zu bestimmen und das Integral der Differenz der Funktionen zu bilden.

Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionen ist es entscheidend, die obere von der unteren Funktion zu subtrahieren: ∫a,ba,b f(xf(x - gxx) dx

Berechnung der Flächenbilanz:

  1. Für eine Funktion unterhalb der x-Achse: Am Beispiel von fxx = x1x-1² - 1 im Intervall 0;20; 2 wird gezeigt, wie die Flächenbilanz berechnet wird, ohne Betragsstriche zu verwenden.
  2. Für eine Funktion ober- und unterhalb der x-Achse: Mit fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1 wird demonstriert, wie sich positive und negative Flächenanteile ausgleichen können.

Example: Für fxx = x³ - x im Intervall 1;1-1; 1: Flächenbilanz = ∫1,1-1,1 x3xx³ - x dx = 0 FE

Diese fortgeschrittenen Anwendungen zeigen, wie vielseitig die Integralrechnung zur Bestimmung von Stammfunktionen und zur Berechnung von Flächeninhalten eingesetzt werden kann. Sie verdeutlichen auch die Bedeutung des unbestimmten und bestimmten Integrals für komplexe mathematische Probleme.

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In diesem Abschnitt wird eine anspruchsvolle Anwendungsaufgabe der Integralrechnung vorgestellt, die die Berechnung von Flächeninhalten zwischen mehreren Funktionsgraphen beinhaltet.

Die Aufgabe umfasst drei Funktionen fxx, gxx und hxx, die zusammen drei Flächen A₁, A₂ und A₃ bilden. Ziel ist es, den Gesamtflächeninhalt zu berechnen.

Vorgehen:

  1. Bestimmung der Funktionen und ihrer Stammfunktionen: fxx = -0,5xx3x-3 = -0,5x² + 1,5x Fxx = -0,5x³ + 0,75x² gxx = -0,5x1x-1x4x-4 = 0,5x² - 2,5x + 2 Gxx = -0,5x³ + 1,25x² - 2x hxx = 0,25xx4x-4 = 0,25x² - x Hxx = 0,125x³ - 0,5x²
  2. Berechnung der einzelnen Flächeninhalte: A₁ wird berechnet durch Integration von fxx A₂ ist symmetrisch zu A₁ und daher gleich groß A₃ wird durch Integration von hxx bestimmt
  3. Summierung der Teilflächen: Agesamt = A₁ + A₂ + A₃

Example: Ergebnis der Berechnung: A₁ = 1,67 FE A₂ = 1,67 FE wegenSymmetriewegen Symmetrie A₃ = 2,67 FE Agesamt = 1,67 + 1,67 + 2,67 = 6,01 FE

Diese komplexe Aufgabe demonstriert, wie die Integralrechnung zur Berechnung von Flächeninhalten in anspruchsvollen Szenarien angewendet werden kann. Sie zeigt auch, wie wichtig es ist, die geometrischen Eigenschaften der Funktionsgraphen zu berücksichtigen und die Berechnung in sinnvolle Teilschritte zu zerlegen.

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Grundlagen der Integralrechnung

Die Integralrechnung ist ein fundamentales Konzept in der höheren Mathematik, das sich mit der Bestimmung von Stammfunktionen und der Berechnung von Flächeninhalten befasst. Dieser Abschnitt führt in die wichtigsten Begriffe und Methoden ein.

Definition: Eine Stammfunktion Fxx ist eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion fxx ergibt.

Die Integralrechnung unterscheidet zwischen dem unbestimmten und dem bestimmten Integral:

Vocabulary:

  • Unbestimmtes Integral: ∫ fxx dx = Fxx + C
  • Bestimmtes Integral: ∫a,ba,b fxx dx = Fbb - Faa

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt eine wichtige Verbindung zwischen diesen beiden Konzepten her.

Highlight: Der Flächeninhalt und die Flächenbilanz sind zwei unterschiedliche Konzepte bei der Flächenberechnung mit Integralrechnung. Während der Flächeninhalt alle Flächen positiv wertet, berücksichtigt die Flächenbilanz das Vorzeichen der Flächen ober- und unterhalb der x-Achse.

Diese Grundlagen bilden die Basis für komplexere Anwendungen der Integralrechnung in verschiedenen mathematischen und praktischen Kontexten.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Jana V

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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