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Flächen und Volumen leicht erklärt: Graphen & Rotationskörper

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Jule

16.11.2021

Mathe

Integralrechnung, Rotationsvolumen, Exponentialfunktion

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Exponentialfunktion

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Flächen und Volumen leicht erklärt: Graphen & Rotationskörper

Integralrechnung und Exponentialfunktionen sind zentrale Themen der höheren Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Integralrechnung unterhalb der x-Achse, Volumen durch Rotationskörper berechnen und die Kettenregel bei natürlichen Exponentialfunktionen.

  • Integralrechnung wird für Flächenberechnungen über und unter der x-Achse sowie zwischen Funktionsgraphen verwendet.
  • Rotationsvolumen kann durch Integration berechnet werden.
  • Natürliche Exponentialfunktionen haben besondere Eigenschaften bei Ableitung und Integration.
  • Die Kettenregel und Produktregel sind wichtige Werkzeuge für komplexe Ableitungen.
...

16.11.2021

550

INTEGRALRECHNUNG. 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1)² + 1 A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²] = (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6 (2) A

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Rotational Volumes

This page focuses on calculating the volume of rotational solids formed by rotating a region bounded by a function and the x-axis around the x-axis.

Definition: The volume of a rotational solid is given by the formula V = π ∫ f(x)f(x)² dx, where fxx is the function being rotated.

The page provides a detailed example of calculating the rotational volume for the function fxx = x - 1 over the interval 0,20, 2.

Example: For fxx = x - 1, the volume is calculated using V = π ∫ x−1x - 1² dx, which is then solved step-by-step.

Highlight: The formula πf(x)f(x)² represents the area of the circular cross-section at any given point x.

This concept is crucial for understanding Rotationskörper Aufgaben mit Lösungen PDF rotationalbodyproblemswithsolutionsPDFrotational body problems with solutions PDF and Rotationsvolumen Rechner rotationalvolumecalculatorrotational volume calculator applications.

INTEGRALRECHNUNG. 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1)² + 1 A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²] = (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6 (2) A

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Exponential Functions

This page delves into exponential functions, with a focus on the natural exponential function e^x.

Definition: The general form of an exponential function is fxx = a·b^x, where 'a' is the initial value and 'b' is the growth factor.

Key properties of the natural exponential function e^x are discussed:

  1. f'xx = e^x thederivativeofexisitselfthe derivative of e^x is itself
  2. It is strictly monotonically increasing
  3. Its domain is all real numbers, and its range is all positive real numbers

Example: For fxx = e^x + 1, the derivative is f'xx = e^x.

The page also covers the Ableitung Exponentialfunktion derivativeofexponentialfunctionderivative of exponential function for various forms:

  • fxx = e^kx: f'xx = k·e^kx
  • fxx = e^kx+mkx+m: f'xx = k·e^kx+mkx+m

Highlight: The natural exponential function is crucial in calculus due to its unique property of being its own derivative.

This section is particularly useful for understanding Ableitung Exponentialfunktion Beweis proofofexponentialfunctionderivativeproof of exponential function derivative and Ableitung Exponentialfunktion Rechner exponentialfunctionderivativecalculatorexponential function derivative calculator concepts.

INTEGRALRECHNUNG. 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1)² + 1 A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²] = (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6 (2) A

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Derivatives of Exponential Functions

This page expands on the derivatives of exponential functions, focusing on the natural logarithm and general exponential functions.

Definition: For a general exponential function fxx = b^x, the derivative is f'xx = lnbb · b^x.

The page provides examples of finding derivatives for various exponential functions:

  1. fxx = 2 · 3^x: f'xx = 2 · ln33 · 3^x
  2. fxx = 3^x - e^x: f'xx = ln33 · 3^x - e^x

Vocabulary: The natural logarithm lnln is the inverse function of e^x and plays a crucial role in exponential derivatives.

The page also includes a brief review of logarithms and their properties, which is essential for understanding ableitung exponentialfunktion a^x herleitung derivationofexponentialfunctionaxderivativederivation of exponential function a^x derivative.

Highlight: The natural logarithm function lnxx is the inverse of e^x and has important properties such as limx→0+x→0+ lnxx = -∞ and limx→+∞x→+∞ lnxx = +∞.

This information is particularly useful for solving problems related to Ableitung Exponentialfunktion ohne e derivativeofexponentialfunctionwithoutederivative of exponential function without e and understanding the Ableitung Exponentialfunktion Graph graphofexponentialfunctionderivativegraph of exponential function derivative.

INTEGRALRECHNUNG. 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1)² + 1 A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²] = (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6 (2) A

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Advanced Derivative Rules

This final page covers advanced derivative rules, specifically the chain rule and product rule, which are essential for differentiating complex exponential and logarithmic functions.

Definition: The chain rule states that for fxx = uv(xv(x), the derivative is f'xx = u'v(xv(x) · v'xx.

Definition: The product rule states that for fxx = uxx · vxx, the derivative is f'xx = u'xx · vxx + v'xx · uxx.

The page provides several examples applying these rules to exponential and logarithmic functions:

  1. Chain Rule Example: fxx = e^x3+5x2x³ + 5x²
  2. Product Rule Example: fxx = 5x−25x - 2 · e^x

Example: For fxx = e^x3+5x2x³ + 5x², using the chain rule, f'xx = e^x3+5x2x³ + 5x² · 3x2+10x3x² + 10x

The page also covers finding critical points, including:

  • Zeros: fxx = 0
  • Extrema: f'xx = 0
  • Inflection points: f''xx = 0

Highlight: These advanced rules are crucial for solving complex problems involving Rotationskörper Integral Aufgaben rotationalbodyintegralproblemsrotational body integral problems and Fläche zwischen zwei Graphen Aufgaben mit Lösungen areabetweentwographsproblemswithsolutionsarea between two graphs problems with solutions.

This section provides valuable insights for tackling advanced calculus problems and understanding the behavior of complex functions.

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550

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16. Nov. 2021

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Flächen und Volumen leicht erklärt: Graphen & Rotationskörper

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Jule

@juleee.rg04

Integralrechnung und Exponentialfunktionen sind zentrale Themen der höheren Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Integralrechnung unterhalb der x-Achse, Volumen durch Rotationskörper berechnen und die Kettenregel bei natürlichen Exponentialfunktionen.

  • Integralrechnung wird für Flächenberechnungen über und unter der x-Achse... Mehr anzeigen

INTEGRALRECHNUNG. 1) A, oberhalb der x-Achse f(x) = (x-1)² + 1 A = √(- (x-A) ² + A) dx = [- £₁²³+x²] = (-²² +2²) - (- 0²+0² ) = $ 7E₁6 (2) A

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Rotational Volumes

This page focuses on calculating the volume of rotational solids formed by rotating a region bounded by a function and the x-axis around the x-axis.

Definition: The volume of a rotational solid is given by the formula V = π ∫ f(x)f(x)² dx, where fxx is the function being rotated.

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Example: For fxx = x - 1, the volume is calculated using V = π ∫ x−1x - 1² dx, which is then solved step-by-step.

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Exponential Functions

This page delves into exponential functions, with a focus on the natural exponential function e^x.

Definition: The general form of an exponential function is fxx = a·b^x, where 'a' is the initial value and 'b' is the growth factor.

Key properties of the natural exponential function e^x are discussed:

  1. f'xx = e^x thederivativeofexisitselfthe derivative of e^x is itself
  2. It is strictly monotonically increasing
  3. Its domain is all real numbers, and its range is all positive real numbers

Example: For fxx = e^x + 1, the derivative is f'xx = e^x.

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  • fxx = e^kx: f'xx = k·e^kx
  • fxx = e^kx+mkx+m: f'xx = k·e^kx+mkx+m

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Derivatives of Exponential Functions

This page expands on the derivatives of exponential functions, focusing on the natural logarithm and general exponential functions.

Definition: For a general exponential function fxx = b^x, the derivative is f'xx = lnbb · b^x.

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  1. fxx = 2 · 3^x: f'xx = 2 · ln33 · 3^x
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Vocabulary: The natural logarithm lnln is the inverse function of e^x and plays a crucial role in exponential derivatives.

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Advanced Derivative Rules

This final page covers advanced derivative rules, specifically the chain rule and product rule, which are essential for differentiating complex exponential and logarithmic functions.

Definition: The chain rule states that for fxx = uv(xv(x), the derivative is f'xx = u'v(xv(x) · v'xx.

Definition: The product rule states that for fxx = uxx · vxx, the derivative is f'xx = u'xx · vxx + v'xx · uxx.

The page provides several examples applying these rules to exponential and logarithmic functions:

  1. Chain Rule Example: fxx = e^x3+5x2x³ + 5x²
  2. Product Rule Example: fxx = 5x−25x - 2 · e^x

Example: For fxx = e^x3+5x2x³ + 5x², using the chain rule, f'xx = e^x3+5x2x³ + 5x² · 3x2+10x3x² + 10x

The page also covers finding critical points, including:

  • Zeros: fxx = 0
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Highlight: These advanced rules are crucial for solving complex problems involving Rotationskörper Integral Aufgaben rotationalbodyintegralproblemsrotational body integral problems and Fläche zwischen zwei Graphen Aufgaben mit Lösungen areabetweentwographsproblemswithsolutionsarea between two graphs problems with solutions.

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Integral Calculus: Area Calculations

This page introduces various methods for calculating areas using integral calculus. It covers areas above and below the x-axis, as well as areas between two function graphs.

Definition: The area between two functions can be calculated using the integral of the difference between the functions.

The page presents four main scenarios for area calculations:

  1. Area above the x-axis
  2. Area below the x-axis
  3. Area both above and below the x-axis
  4. Area between two function graphs

Example: For the area between two function graphs, the formula A = ∫f(x)−g(x)f(x) - g(x)dx is used, where fxx and gxx are the two functions.

Highlight: When dealing with areas below the x-axis, absolute value signs are used in the integral to ensure a positive result.

Vocabulary: "Betragsstriche" absolutevaluesignsabsolute value signs are used in integrals when the result would be negative, typically for areas below the x-axis.

The page also mentions that for symmetric functions, calculating half the area and doubling the result can be an efficient approach.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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