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2,028
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Aktualisiert Mar 17, 2026
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Komplexe Zahlen: Grundlagen und Beispiele
Philine
@philine_bt
1 / 5
Zahlenmengen und komplexe Zahlen
Du kennst bereits natürliche Zahlen (ℕ), ganze Zahlen (ℤ) und rationale Zahlen (ℚ). Komplexe Zahlen (ℂ) sind die nächste Stufe in diesem System.
Das Problem entsteht bei Gleichungen wie x² = -1. In den reellen Zahlen gibt es keine Lösung, weil keine reelle Zahl zum Quadrat -1 ergibt. Hier kommt die imaginäre Einheit i ins Spiel mit i² = -1.
Eine komplexe Zahl z hat die Form z = x + yi, wobei x und y reelle Zahlen sind. Der Realteil ist x, der Imaginärteil ist y. Du kannst komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene zeichnen - wie ein normales Koordinatensystem, nur dass die y-Achse für den Imaginärteil steht.
💡 Merktipp: Konjugiert komplexe Zahlen sind Spiegelbilder an der x-Achse. Aus z₁ = 3 + 2i wird z₂ = 3 - 2i.
Rechnen mit komplexen Zahlen
Das Addieren komplexer Zahlen ist total easy: Du addierst einfach Real- und Imaginärteile getrennt. Bei z₁ + z₂ = + i rechnest du wie gewohnt.
Multiplizieren ist etwas kniffliger, aber folgt klaren Regeln: z₁ · z₂ = + i. Das Dividieren machst du am besten, indem du mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweiterst.
Der Betrag einer komplexen Zahl |z| = √ ist einfach der Abstand zum Nullpunkt. Du kannst komplexe Zahlen auch trigonometrisch darstellen: z = r · , wobei r der Betrag und α das Argument ist.
💡 Wichtig: Das Argument α berechnest du mit α = arctan, aber pass auf die Quadranten auf!
Multiplikation in trigonometrischer Form
Wenn du komplexe Zahlen in trigonometrischer Form multiplizierst, wird alles viel einfacher. Die Beträge multiplizierst du und die Argumente addierst du.
Aus z₁ = r₁ und z₂ = r₂ wird z₁ · z₂ = r₁ · r₂ · . Diese Regel macht Berechnungen mit komplexen Zahlen deutlich übersichtlicher.
💡 Praxis-Tipp: Diese Multiplikationsregel ist besonders nützlich für Potenzen komplexer Zahlen!
Quadratische Gleichungen lösen
Komplexe Zahlen ermöglichen es dir, jede quadratische Gleichung zu lösen - auch die, die in den reellen Zahlen unlösbar sind. Das Prinzip der quadratischen Ergänzung funktioniert genauso wie bei reellen Zahlen.
Bei der Gleichung x² - x + = 0 ergänzt du quadratisch zu ² = 2+2i. Dann musst du die Wurzel aus 2+2i ziehen, was mit der trigonometrischen Form am besten geht.
Die Formel von Moivre hilft dabei: ⁿ = cos(nα) + i sin(nα). Für Wurzeln teilst du das Argument durch 2. So erhältst du zwei Lösungen: x₁ = 3,85 + 1,64i und x₂ = 0,45 + 0,36i.
💡 Erfolgs-Strategie: Verwende immer die trigonometrische Form für Wurzeln und Potenzen - das spart Zeit und Fehler!
Eulersche Formel und Exponentialform
Die Eulersche Formel e^(yi) = cos y + i sin y ist ein echtes Highlight der Mathematik. Sie verbindet die Exponentialfunktion mit trigonometrischen Funktionen auf geniale Weise.
Dadurch kannst du komplexe Zahlen in Exponentialform schreiben: z = r · e^(αi). Das ist besonders praktisch für Rechnungen und sieht auch noch elegant aus.
Ein Beispiel: z = 1 + 2i wird zu z = √5 · e^(1,107i). Dabei musst du nur darauf achten, dass α im Bogenmaß steht, nicht im Gradmaß.
💡 Fun Fact: Die Exponentialform macht Multiplikation und Division komplexer Zahlen so einfach wie bei normalen Potenzen!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Komplexe Zahlen: Grundlagen und Beispiele
Philine
@philine_bt
Komplexe Zahlen erweitern dein bisheriges Zahlensystem und ermöglichen es dir, Gleichungen wie x² = -1 zu lösen. Sie sind super nützlich in der Mathematik, Physik und Ingenieurswissenschaften und gar nicht so kompliziert, wie sie klingen.
Zahlenmengen und komplexe Zahlen
Du kennst bereits natürliche Zahlen (ℕ), ganze Zahlen (ℤ) und rationale Zahlen (ℚ). Komplexe Zahlen (ℂ) sind die nächste Stufe in diesem System.
Das Problem entsteht bei Gleichungen wie x² = -1. In den reellen Zahlen gibt es keine Lösung, weil keine reelle Zahl zum Quadrat -1 ergibt. Hier kommt die imaginäre Einheit i ins Spiel mit i² = -1.
Eine komplexe Zahl z hat die Form z = x + yi, wobei x und y reelle Zahlen sind. Der Realteil ist x, der Imaginärteil ist y. Du kannst komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene zeichnen - wie ein normales Koordinatensystem, nur dass die y-Achse für den Imaginärteil steht.
💡 Merktipp: Konjugiert komplexe Zahlen sind Spiegelbilder an der x-Achse. Aus z₁ = 3 + 2i wird z₂ = 3 - 2i.
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Das Addieren komplexer Zahlen ist total easy: Du addierst einfach Real- und Imaginärteile getrennt. Bei z₁ + z₂ = + i rechnest du wie gewohnt.
Multiplizieren ist etwas kniffliger, aber folgt klaren Regeln: z₁ · z₂ = + i. Das Dividieren machst du am besten, indem du mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweiterst.
Der Betrag einer komplexen Zahl |z| = √ ist einfach der Abstand zum Nullpunkt. Du kannst komplexe Zahlen auch trigonometrisch darstellen: z = r · , wobei r der Betrag und α das Argument ist.
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Multiplikation in trigonometrischer Form
Wenn du komplexe Zahlen in trigonometrischer Form multiplizierst, wird alles viel einfacher. Die Beträge multiplizierst du und die Argumente addierst du.
Aus z₁ = r₁ und z₂ = r₂ wird z₁ · z₂ = r₁ · r₂ · . Diese Regel macht Berechnungen mit komplexen Zahlen deutlich übersichtlicher.
💡 Praxis-Tipp: Diese Multiplikationsregel ist besonders nützlich für Potenzen komplexer Zahlen!
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Quadratische Gleichungen lösen
Komplexe Zahlen ermöglichen es dir, jede quadratische Gleichung zu lösen - auch die, die in den reellen Zahlen unlösbar sind. Das Prinzip der quadratischen Ergänzung funktioniert genauso wie bei reellen Zahlen.
Bei der Gleichung x² - x + = 0 ergänzt du quadratisch zu ² = 2+2i. Dann musst du die Wurzel aus 2+2i ziehen, was mit der trigonometrischen Form am besten geht.
Die Formel von Moivre hilft dabei: ⁿ = cos(nα) + i sin(nα). Für Wurzeln teilst du das Argument durch 2. So erhältst du zwei Lösungen: x₁ = 3,85 + 1,64i und x₂ = 0,45 + 0,36i.
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Eulersche Formel und Exponentialform
Die Eulersche Formel e^(yi) = cos y + i sin y ist ein echtes Highlight der Mathematik. Sie verbindet die Exponentialfunktion mit trigonometrischen Funktionen auf geniale Weise.
Dadurch kannst du komplexe Zahlen in Exponentialform schreiben: z = r · e^(αi). Das ist besonders praktisch für Rechnungen und sieht auch noch elegant aus.
Ein Beispiel: z = 1 + 2i wird zu z = √5 · e^(1,107i). Dabei musst du nur darauf achten, dass α im Bogenmaß steht, nicht im Gradmaß.
💡 Fun Fact: Die Exponentialform macht Multiplikation und Division komplexer Zahlen so einfach wie bei normalen Potenzen!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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