Mathe Abitur 2022

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dl 10 e 100 hl Flächen. Quadrat: -f(x) = f(-x) allg.: bei Punktsym. zu Plalb) gilt: b=1 (f(a+x) + f(a-x)) oder 26= f(a+x) + f(a-x) körper Quader. AM = 2(ac+bc) Ao = 2 (ab+QC+ bc) V = abc (5) ²-9 Rechteck: A=a.b kugel: Ao = 4πr² = πTd² V = 4 πr 3 = 3 ↳ punktsymmetrisch zum koordinatenursprung: nur ungerade Exponenten, AU gerade können weggelassen werden, y = ax³ + bx statt y = ax ³ + bx² + cx +d * 1 πd ³ 6 x4±∞ ·achsen symmetrisch zur y-Achse: nur gerade Exponenten, ·y= ax² + c statt y = ax² + bx + C. Grad der Funktion soviel wie es mind sein müssen (1EP→ 2. Grad, 2 EP→→ 3. Grad) Y 8118 f/x)→ +∞ f/x) →∞ f/x)-∞ f/x)++∞ Abhängig vom hochsten/ niedrigsten Grad 23x = 16 3x = log₂ (16) kreis: A = πr ² U= 2πr = πd würfel: AM = 4a² Ao=a² v=a³ f(-x) = f(x) = -f(x) log5 (x-3)=2 (x-3)=5² kreiskegel: AM = Trs Ao = πr (r+S) V = Ir²² h 3 O Pyramide: AM = zah Ao = V= 2 Differenzialrechnung Abwandlung von Funktionen verschiebung g(x) = f(x) +d・d>0 in y- Richtung -Grenzwerte ganzrat. Fkt: in x- Richtung g(x)=f(x+c) < >0 ~ verschiebung C²0 verschiebung - f(x)=x² W g(x) = (x-4)² g(x) = (x+4) ². - wein. Grenzwert 3 d<0 / 90x)= x/²0 f(x)=x? 1 g(x)=x²-1 1 • Verhalten im unendlichen Exponenten Verlauf für X4+∞ am größten Exponent n gerade an> 0 gerade an <0 ungerade an>0 ungerade an <0 f(x)=x²-1 f/x)++∞0 Bsp.: f(x) = 1/2 x³ +3x²-2 f/x) →∞0 f/x)++∞0 f/x)-00 x-1 xo=1.0=x²-1 Grenzwerte an x-a lucke: verschiebung! verschiebung & 2 (lim∞ (1 x ³ + 3 x ² - 2.) - lim x³ (2+2-²₁) 1/2 x ²³ x übrig - kein lim f/x)=2=g lim f/x) = 3²-18-4-g 3-1 2 lim fix)=2=g 84-8 f/x)→ +∞ f/x)→-∞ f1x)--∞ f/x)=+∞ Sprung. f₂lx) = {1x+1 far x<1 1+1+1=1,5=9₁ 1·1+2=2.5 =9R XER Xo = -2 Streckung / Stauchung g(x)= a. f(x) a> 1 → Stauchung (länger) 0<a<1 •Nullstellen bleiben gleich Y Streckung (breiter) g(x) = f(b.x) b>.1 → → neg. vorz. ^ Spieglung X-A. f(x)=x²³-2x² g(x) = 0,5x²³- g(x) = 2x³ 4x2- Stauchung 0<b<1 Streckung. nsm lim f/x)=0 → Nullstellen verschoben → neg. vorz. Spieglung y-A. f(x)=x3-2x² Exponential Fkt: Bsp. A positive Basis: lim ×10 g(x) = (2x) ³-2-(2x)² g(x) = (0,5x) ³-2-(0,5x)² (3x+1) kein g 0 lim (3x+1)- 1=9 X118 - Verhalten: nach großten Exponent Polstelle: f(x) = ax" +- bxm n=m lim f/x) = = = a -Stetigkeit: Eine Funktion f(x) heißt stetig an einer Stelle a wenn: (1) f(x) = a definiert 1 keine Lücke, Polstelle (2) lim f(x) existiert 1 Grenzwert existiert x-a (3) lim f(x) = f(a) & Grenzwert = Fict. wert x11 Bsp: f(x)= x+1 gebrochenrat. Fut. soviele x ausklammern, wie im Nenner lim X-18 5 lim 5x = lim X-18 x-5 x-100 x(1-₂) "Zahlen vor dem größten Exponenten =x +440 • divergent; y = x Schräge Asymptode f₂/x) = -1 x-1 f/x)=0=g fy (x) = 40 Xo = weine lim +/x) =0=g n>m lim f/x) kein Grenzwert 5=9 lim fix) exestiert nicht zähler Nenner XER, X*.1 lim 12.00 bei x = 1 ist eine Polstelle (Asymptode) mit vorzeichen wechsel lim f/x) exestiert nicht XER, XO % - keine BSP.: f(x) = (x + 1)² + 2 für a=0 f(a) = f(0) = 3 lim f(x) = lim f(x) = 3 xma x10 Stetig - Differenzierbarkeit. notwendige Bed. Stetigkeit. hinreichende Bed.: Differenzialquotient existiert. · Regeln zum Ableiten Potenzregel Summenregel Faktorregel kettenregel Produktregel bei e-Fict.: f(x) = x²-1 f'(x) = 2x. ex².1 1.6= wurzel -Logarithmusfunktionen ac=b f'(x) = ... 1 m +y=mx+ Ausgangsflet. f(x) = xn. f(x)= a.xn f(x) = u(x) ±v (x) f(x) = u(v(x)) f(x) = u(x). V(x) ·Bsp.loge ³ = 3 3 3 m= f'(x) n・ MN = -1 ) ННА MT Exponent alogeleitet multipliziert mit e¨ → Peinsetzen → n c=logab Logarithmus Aufstellung Tangenten und Normalen f(x) = ... Punkt P(xly) Potenz Gauß- Algorithmus I 1x + 1y + 2z = 1 2x - ly + 17 =-1 1x + 2y + 2z = 1 ↓ 1x + y + 2z = 1 -3y - 32= -3. ₁+ 3y + 4z = 2 ↓ 1x + y + 2z = 1 - 3y 32-3 12 = -1 ex = 42. x = ln 42 -(-2) I: Z=-1 I: 3y-3 (-1) = -3; y = 2 I: 1x + 1.2 +2₁ (-1) = 1 ; x = 1 L= {(1121-1)} 3+] + Ableitungsflt. f'(x)=nx" f'(x)=n·a·x^-^ f'(x) = u(x) = v' (x) f'(x)=u' (v(x)): V'(x) f'(x)=u'v + uv' n-1 Bsp.: x²-1 f(x)= 31nx f(x)= In (3x+7) f(x) = (Inx)² f(x) = 5x²x 3x = 81 x = 1093.81 T T nicht differenzierbar an xo, da keine eindeutige Tangente möglich o=lnx Xo = 1 Ja P() BSP. keine Lösung. 2x + 4y + 5z = 9 2x-3y-2-5 4x-6y-22-7/ x-2y-25z = -4,5 y + 4z = 14 0-3 Z.B. (41011) (51212) I/x+y = 3z=1 -y + 2z = 2 2z=2=y x + 2z-2-3z=1 .L= {} unendlich viele Lsg.: BSP unendlich viele I x+y3z=1 =(-₁)] + x+2y-52=-1 x=2+3 L-(2+3/22-2/2)] ZER → mehr variabeln als Gleichungen Bsp: f(x)=0,8x² im Punkt P(1.51?) - P(1,511,8) +: y=mx+n m= f'(x) 121-140 2ex = 36 ex = 18 f(x) = sinx f'(x) = cosx f(x)= cos f'(x) = -sinx f(x)=√x f'(x) = 1 f'(x) = /// f'(x) = 4x+7-4 f'(x) = 21nx (4) f'(x) = 10 (nx + 5x² 4 f(x)= ex f(x) = lnx X = in 18 mehrere/keine Lsg.: -unendlich viele bei 0=0 oder immer wahre Aussage, unabhängig von Variablen - keine Lösung: wenn Gleichung unabhängig von x,y,z nie erfüllt ist, also wenn mathematischer widerspruch entsteht f'(x) = 1,6x f'(1,5) = 2,4 = y= 2,4x+n HHHHHHC BSP unendlich viele |2x - 2y2z = -21 x+2y-13 2-8 x + y - 92 = 5 I Nullstelle: %= ± 1 Stetig an xo? ja You = 1 = 10 inx + 5x = 5x (2lnx+1) - 5z = 2 y-42-3 0 = 0 L = {(2+5213 +4z/z), ZER } ㅍ 21x f'(x) = ex f'(x) = 1 x 1-2-8 2x+y-z-8. 2-2 2x+y-2-8 y+z=-2 2,25-0,8 -(-2)] II y=-2 in I 2x-2-2-2-8 2x2z 10 4 0-0 W.A. 2x = 22 +10 x= Z+5 -L-{(2+51-2-21-2)}. das selbe! f(1) = 0 lim x-1=0 1 >= → Stetig 4 -Funktionen zeichnen Nullstellen, SP mit y-Achse Hochpunkt/ Tiefpunkt, Wendepunkt wertetabelle -kurvendiskussion - Monotonie Steigungsverhalten f'(x) >0 im Intervall I - Streng monoton Steigend f'(x) <0. im Intervall I → fallend Extremwerte - x-werte mit Steigung 0 f'(x) = 0 - Beachte: lokal (in bestimmtem Intervall - Randpunkte bestimmen) oder global - f'(x) = 0. - f"(x)=0 - VZW f'(x) = ('(W) 5 f(x)=6x f'(x)= 3x² f(x)= x³-6x +-- - Linkskurve / Rechtskurve: Linkskurve falls in diesem Intervall... f'(x) ist streng monoton Steigend .. dann ist in diesem Intervall.... f'(x) 10 oder oder f(x)=(x-3) ex u (x-3) 1 v' ex f'(x) = ex ex (x-3) f'(x) = ex (x-2) XE Maximum / Minimum, y ausrechnen in f(x) Maximum, Minimum, f" (x) < 0 f" (x) > 0 €₂ u ex (x-2) v' 1 f"(x)= ex (x-2) + ex f (x)= x (x-1) f'(x) übergang: steilste Stelle von f(x) - f'(x) hat Anstieg 0 von links rechts von rechts- links -Wendestellen: f" (xw) = 0 fill (xw).O. sonst Sattelpkt. full (xw) ≤0 f (xw) >0 vzw. "(x) + → - vzw. f" (x) → + Nullstelle 0=(x-3) e* %= 3 wende tangente: y = mx + n +'(^)=-e - 2e=e+n =MT 1) notw. Bedingung f'(x) = 0 2) hinr Bed. → Extrempunkt bestimmen f(x)= x³6x² + 9x -4 f'(x)= 3x²-12x +9 f(x) = 6 x 12 notwendige Bedingung: 0= 3x² - 12x +9 1:3 0= x² - 4x +3 Môn 22 ty-g = 2 + 1 größter wert von ('(x) → also Maximum von f'(x) tolgt f'(x) = 0 negativ; f(x) fallend positiv, f(x) Steigen hinreichende Bedingung: Maximum →Anderung monotonie Minimum LK-RK RK-LK Rechtskurve falls in diesem Intervall... f'(x) ist streng monoton fallend dann ist in diesem Intervall.... f" (x) < 0 Extrempunkite 6f'(x)=0 O= ex (x-2) keo g XE2-3 Anstieg f(1) = 6·1-12 = -6 < o f(3) = 6:3- 12 = 6 >0 XE 2 YE = (2-3) e². Ye-e² ↳ f"(x) für max. / Min. f(2)= e²(2-2) - e² e² >0 Minimum T(21-e²) - wendetangenten. y=mx+n WP (xly) f'(x) = m+ → WP einsetzen →→ wendetangente +: y=mx+n 1st Null → Hochpunkt →Tierpunkt Wendepunkt 0= ex (x-1) xw = 1. xy=-2e H (110) T(31-4) -Bestimmen ganzrat. Funktionen. 1) Bedingungen an die Funktion 2) Festlegen einer allgemeinen Funktionsgleichung 3) Erstellen eines linearen Gleichungssystems aus den Bedingungen 4) Bestimmen der koeffizienten durch Lösen des linearen Gleichungssystems 5) Probe am Graphen mithilfe eines GTR Bop. durch (Olo) durch (214) f"(2)=0 f'(2)=-3. BSP.: 1. V-850 ml 850 cm³ -minimaler abhängt 4. Extremstelle bestimmen, → für Teil. A: Ableiten, Nullsetzen, Prüfen mit 2. Ableitung → für Teil B: GTR, G-Solv Antwort mit Einheiten, evtl. weitere Werte - 2. A 2πr²+ 2πrh 3. V. Tr².h d=0 4= 8a+ 4b + 2C 0= 120+2b -3=12a + 4b1.c -Extremwertaufgaben 1 Zusammenstellen der gegebenen Fakten, evtl. Skizze, Einheiten prüfen 2. Zielfunktion aufschreiben für diejenige Größe, die extrem werden soll 3. Nebenbedingungen einsetzen, sodass die Zielfunktion nur noch von ener Variablen 860- Trh | TTCL h=850 ; πTr² fato Materialverbrauch Ao 2πTr²+2th 850 Tr L= {(1,251-7,5112 (0) } f(x)= 1,25x³-7,5x² + 12x Ao 2tr²17.00 Př 4. GTR Minimum bel (5,131496,7) 5. r-5, 13 cm h- 10,28 cm Ap=496,7 cm¹ 11- 1dm³ Winkel mit der vertikalen: : f(x) f'(x) = ... = vierten Grades y=QxY+bx³+Cx² +dx+e durch Olo e-o durch (-11-31 f'(0)=0 f*(-1)=0 f'(-1)=5 Begriffe -monoton Steigend: f'(x) 20, Anstiege sind positiv / Null. - Streng monoton. Steigend: f'(x) >0, Anstiege sind positiv Absissenachse: x- Achse f(x) = -0,42 x + 2 2. A = abA= xy 3 AX (-0142 × +2) 4. A=0₁4x2 + 2x A'(x)==0,8x + 2 tanp tan -3=a-b+c-d 0 = d 0-12a-6b+25 5=-40+36-2c Differenzierbarkeit: Stetig, Grenzwert = f(x), keine Spitzen ^ 1 orthogonal: + Skalarprodukt ist o, sind Senkrecht unterschiedliche vorzeichen + Zahlen sind kehrwert. ß. d = 0=-0,8x+2 → nach x umstellen XE 2,5 A"(x)=-0,8 A' (2,5) = -0,8 <0 Maximum bei x = 2,5 ordinaten achse: y- Achse Funktionsgraphen berühren sich: gemeinsamer. Punkt und gleicher Anstieg Stetig keine Lücke/Spring/ Poistelle P(xly) 90° -ß یز I f'(x) = ax³ + 3bx² + 2Cx+d f"(x)= 12ax² +Gbx+2c L-((1111-31010)} -f(x)= x + x²-3x² im Dreieck: Rechteck mit A max winkel go, Anstiege f'(20) M (0,04 e 0,04:20 -0,04 € -0,04:20) = 9,78 in table Edit tanß- 0,78 1 tan^ B = 38° α= 90°-38° = 52° I winkel der raus kommt schließt mit x Acuire abo für Winker mot y Achie or 90°-B 6 Integrale - unbestimmtes integral Integration als umkehrung der Differentialrechnung. f(x) = 2x differenzieren F(x)=x² dem F'(x) = 2x 2 Besitzt die Funktion f(x) und die Funktion F(x) einen gemeinsamen Definitionsbereich und gilt F'(x) = f(x); für alle xEDB, so heiß F(x) Stamm. funktion von f(x).. f(x)= 3x² integrieren 7 S 2x F(x)= x3 G(x)= x³ + 1. H(x)= x³ 7 f(x) = u(x) ±v(x) •Regeln für ganzrat. Funktionen: . f(x) = x^ F(x) = 1 f(x) = axn Regeln F'(x) G'(x). H'(x) f(x) dx = F(x) + C C Integrand -bestimmtes integral Hauptsatz der Integralrechnung. allgemein: Laib] a<b a A # .4 x F(x) = ax^+^ n+1 F(x) = u(x) = V(x) ffix) d zeigt was integrierd werden soll ·3x² n+1 Integrationsvariable Run OPTN → F4/ Calc 1 f(x) dx = 0 a 2: • ffux) dx = =ff(x) dx 10+1 f(x) dx = F(b)-F(a) arb ५. • Su-flixide Flächen unterhalb der x-Achse fx geg f(x)= 3x²2x²+² = ges: Stammfunktion durch (011) Los: F(x)= 3 x²-3x² + 7x + C 1 Flacheninhalt zwischen der Funktion, koordinatenachsen Geraden x = 6. 1. berechnet mithilfe Stammfunktionen FY/Sdx f(x), untere Grenze, Obere Grenze 5. [ f(x) dx = f g(x) dx = f(f(x) dx = g(x) dx) ° - a 2 (011) 10-0+0+ C einsetzen C = A F(x)= 1x6- (-1)³ = 1 NC -4-²-4-4 3. • Sfial dhe + feel dae of that doe f(x) dx dx dx nb 2- k. f(x) dx = f(x) dx | f(x). 4) dx = x³ de [32*² + 4x] - Regeln für ganzrat. Funktionen: f(x)= xn F(x) = 1 n+1 ·f(x) = axn. f(x) = u(x) ±v(x) - 1 2 ³ + 4· 2 - (- 1 (-2) ³ + 4 : (-21)) = 32 3 fixe son [10²-40] - 1.020-42 -1.600 dx 4x 3 -2 3 3 4.2.1. (-2)³ 4.(-2)= - 32 3 1 A=IS.. dxl A=-S LE² = FE Bedingung: keine Nullstellen zwischen unterer und oberer Grenze x^+1 F(x) = ax^+1 n+1. F(x) = u(x) ± V(x) -Flächen zw. 2. kurven x² +1: 1 a Y 1 1 a f(x). F(x) 1 4 f(x) F(x) ㅅ 3 2 _S²x² + 1)² = [4x³ + x ] ² = (1-2³ + 2 ) - ( 1 (-1)³ + (-1))= 6 _S²4ײ dx = [4 x²] ²1.2³ - 1·6-1)³ = 2 = 0,75 3 3 12 12 A = A₁-A₂6-0175= 5,25 6 Bogenlänge 1 f(x) F(x) y 3 f(x) F(x) F'(x) F"(x) E (fix) dx = fºg(x)dx = f*(x)dx= g(x)dx) f(x) F(x) 1 E 4 f'(x) f"(x) Integration einer linear verketteten Fkt. Regel: f(x)= (ax+b)" F(x) = 1 1 (ax+b) n+ a n+1 zm ziz N ·N· E Bei Flächen zw. zwei Funktionen dürfen sich die Flächen im Intervall nicht schneiden. Sonst Teilflächen einzeln berechnen. N Z.ME Fläche zw. f(x) = x² + 1 g(x) = 1 x ² (a+b)⁰ (a+b)1 N = = V E W (f(x) F(x) [-1:2] f(x)= F'(x) n e = " √ √1 + f'(x) dx f(x) = g(ax+b) F(x)=1 G (ax+b) a X ел. COSX Sin x -2 X 1 2√x Tx 1 X Lf= 16,7 m 3 1 1a + 1b (a+b)²=1a² + 2ab +16² ㅅ (a+b)³=1a³ + 3a²b + 3ab² +16³ 1 (a + b)² = 1a4 + 4a³b + 6a²b² + 4a6³ +164 ·lf. 1.+ (h'(x))² dx F(x) 1 x +1. → f(x) muss oberhalb g(x) sein n+1 - cos x 1 X tx. 2√x=2x² 3 In Ixl ex Sin x f(x) = (2x + 8.) 3 F(x)= 11 (2x+8) " F(x) = 1 (2x+8) 8 S² x ²³ dx = [2x]" = 28 3.6=2 1.28 1.3 28 3KY = 56 k" = 56 3 K k h: (x) = = 156 3 = 2,08 1 et 6 = 2 - 1. et 6 .8. ANALYTISCHE GEOMETRIE X3 f x1-x3-Ebene Spieglung: vzw/ x2-x3-Ebene Dreiecksregel AO x1-x2-Ebene an X1 X2 an X1 X3 an X₂ X3 an koordinatenursprung) (P₁ ( X₁1 X₂ |-X3)| P" (x₁1-x2|X3)|P" (x₁|X2|x3) PNV (-X₁1-X₂1-X3) Projektion: 1 koordinate - 0 Gegenvektor: vzw, Pfeile gleich lang, Richtungswechsel Länge eines Vektors · || = √ √² + V₂² + V²² Summe 2. Vektoren: 5² =¯+¯- (â¹₂)+(6¹)=(22+6) Differenz 2. vektoren: a = a - b = 3-(1)-(81₂) - ( J + AB OB ABOB OA 3 vektoren: Vervielfachen: r. √= r. | V₁₂₁₂ V₁ r. (₁₂) - (E₂1) r. r. V3 Linearkombination: rū+sV++ W = Abstand zweier Punkte: gleich der Länge des vektors: AB = |AB| = (b₁-0₁)² + (6₂-Q₁ ) ² + (bz-az) Nullvektor: 0= 0- (8) Einheitsvektor: ₁ = (1) €₁-(8) é₂ = (8) Ortsvektor: OP= P von P = Mittelpunkt einer Strecke: OM r.a+s.b++ C = O b₁-a₁ b₂-a₂ b3-a3 1 (OA+OB) 2 Schwerpunkt eines Dreiecks: Os = b3 /0₁-b₁ az-b2 a3-b3 = (2 verschiebungen hintereinander) linear abhängig... 2 vektoren: Sa+r⋅ b = -nur triviale Lösung L= {(01010)} = nicht kollinear unendlich viele-kollinear (abhängig) 12. Pfeile an gemein- Samen Punkty 1. (OA+OB + ¯C) 3 - genau eine Losung (triviale Lösung) - nicht komplanar → unendlich viele - komplanar (abhängig) Orthogonalitat ū. V= 2 vektoren: Skalarprodukt: = U₁₁ V₁+U₂ V₂ + U3 V3 Spitzer winkel: 121² 131²2² +151² → Sp. rechter winkel: 121² = 181² +151² - Sp. = 0 Stumpfer winkel: 121² >181²+151² →Sp < 0 BSP: J - ( 11 ) und J = (-1₁) orthogonalkritätskriterium für vektoren ū Ō und V+0₁ wenn u*V = 0 V= x=2.4+ (-4). 1 + 3 ⋅ (-4)= 0 Für die Länge eines Vektors gilt: 101= Distributivgesetz des Skalanprodukts: (a+b) c= c + b c Orthogonalitat 3 vektoren: Vektorprodukt - (821) und 5(81) 9263-a3b2 axb=a3b₁-a₁b3 an bz a₂ b₁ → Sind die vektoren a 0 und 50 keine vielfachen ist vektor axb orthogonal zu a una b. axb= normalen vertor zu a und To Rechengesetze fur das Vektorprodukt Für alle Vektoren a, b und 2 und alle reelen Zahlen r gilt: (1) wenn a und b vielfache voneinander sind, dann ist axb=0 (2) 5 xã = axb (3) ax(6+C) = a × b + axc (4) ax(r.b)=r: (axb) Bsp.: J - ( ²₂ ) J- ( ²3 ) 2² (²-₁) ) = 1)-(3) xV/5.3- (-2)-(-1) ((-2) 0-3.3 13:(-1)- 5 O 5 also V 3. 5 Bsp: Gerade durch den Punkt A(-21311) mit. J- *. *-(²³3³) g: · OX - ( 3³² ) + K - ( ²³ ³ ) · mit KER. orthogonal V Parameter darstellung einer Geraden: Durch einen Punkt A und einen Vektor ist eine Gerade g bestimmt. Die Gerade g kann wie folgt beschrieben werden: 9: OXOA+KV mit KER Wählt man zum Bsp. K= 3, So erhält man den Ortsvektor Punktes P(41-12122) der Geraden g. → Punkte der Geraden bestimmen · ( ²3³ ) + ³ ( ²³³ ) - ( 12 ) · ob es einen wert für k gibt, der die Gleichung (3) + k-1)-(3) Will man überprüfen, ob der Punkt Q.(-121231-34) auf g liegt, muss man untersuchen erfüllt. |-2+2k = -12 3-5k 23 1 + 7k=-34 |k--5 |k=-4 - kein gleiche's k→ Punkt nicht auf der Geraden K-5 →Punktprobe ex Diese Vektorgleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung der Geraden g mit dem Parameter k. Es gilt: (1) Setzt man für k irgendeine Zahl in die Parameter dar- ܐܘ des a3 Q₁ a₂. Aufpunkt 6₂ 63 b₁ bz Stellung der Geraden g ein, so ergibt sich der Orts- vektor Ox eines Punktes X der Geraden g. (2) Für jeden Punkt P der Geraden 9 gibt es eine Zahl kER, Sodass OP=OA + k·v. Für Punkte außerhalb der Geraden g gibt es eine solche Zahl k nicht. Punktprobe. V Richtungsvektór Stützvelton OX=OÃ+k-V 0 10 Geraden zeichnen: Spurpunkte einer Geraden bestimmen: S12 ist der Schnittpunkt der Geraden mit der X₁ X₂ - Ebene S13 ist der Schnittpunkt der Geraden mit der x₁ x3-Ebene. S23 ist der Schnittpunkt der Geraden mit der X₂ X3 - Ebene. Bsp.: x=+KAB KER S23 02 ( ) ( ) + (3) 00-2k x₂ = 2 + 2k ·g: x² = OA+K AB y=mx+n Beschreibung von Strecken: keinschränken A und B aus. AB und OA ermitteln 1. Schritt • 3-3k (²₂) - (²) i 2. Schritt 11. x₂ 2 2k 9₁ + - (1) ++ (²2²) +ER x- ( ² ) + (²²) PER (1) (2) Punichprobe (1)-(3) + (3) A 5-gr 1- 3r 04 Gr koo x₂=2+2-0 2 Lagebeziehungen Geraden:. Z.B. Zusammenhang lineare Gleichung und Gerade: (zweidimensionall M= AY (vom Ri.v.): S₂ (-21410) r. "/g" L=Ø r=-2 r= 2/3 S23 (01213) 0≤k≤1 ja glh Liegt ein Punkt von gauf h? be). ja g=h identisch g=h U Statevektor von g. Richtungsvektoren vielfache? Richtungsvektor von n AX n... x und y einsetzen von B (Punkt auf g) Sind die Richtungsvektoren von g und h Vielfache? ein gih, aber g#h parallel, aber nicht identisch g und h sind parases, aber nicht identisch - Winkel zwischen zwei vektoren Es it Cosinussatz: cos y=a6 ial 161 S3 (6) (2) +- (3³²) 24 (2) gilt für alle winkel zwische 0 ≤ i ≤ 180° Skalar produkt > 0 Skalar produnt = 0 → 4= 90°. Skalarprodukt <0 90° ≤ y ≤ 180° Schnitt winkel bei Geraden ist immer der weinere winkel. 0° ≤ y ≤ 90° 3kx₂ G →g verläuft von vorn/ obent links nach hinten/ witen / rechts (für Punkt A und B K ausrechnen) S (2 1016) 911h -(1)-() (1) (4) (³) (-²₁). 3K-1 3K- ₁/3+A 1 + 2r = 1+ 15 -gth. ja 9 Schneidet h in Punkt S nein 9th Haben g und h einen gemeinsamen Punkt S? Gleichsetzen) 2r-13-0 3r+AS = 2 13r-AS-1 - keine Lösung 4 Windschief 6 S12 (x₁1x₂10) S13 (x₁ 10.1x3) S23 (01x₂1x3) nein 9 und h sind windschief B Y phi y IABI2 IABI= (x₂-x₂)² + (y 181 161 cos y = xak 181 161 cos v AB-la²151 - 2181151 cos y 9 A A Winkel muss zw veletoren vom Scheitelpunkt weg gehen. x₂²y₁²²x₂² Y₂² 2₂² 2 101 161 cos y X₂² + x² + y₂¹ ya ² + Z₂²¹ + Z₂². (x₂x + yoyx + 2₂²Zu) Yayotoa. (Skaanprodukt) Festlegen einer Ebene durch Punkte und Geraden: a) Punkte → drei Punkte, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen 2.B.: E. X= OA + S. AB+ T. AC S₁+ ER -2 7 - ( ₁1 ) + ³ = (^ ^1 ) + + b) Punkte und Geraden → eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf Z.B.:E:x= OA + S. u + + AP Sit ER X = + S. + f (1) c) Geraden → zwei parallele Geraden g: x² = Z.B.: E: X= OA+Su+t: AB S₁t ER x= + S 0 ++ Bsp.: 9: Bsp.: E:x= * - ( 2 ) + ₁ - ( ²³ ) · ²x = ( 1 ) ** (3) : * - ( 4 ) + ² · (² 4² ) + + · ( ²3 ) S. - Ri.- Vektoren vielfache.. (3)-(2) 3K-3 -1K=. 1 4K +(3) 5-0-3t += -5/3 zwei Sich Schneidende Geraden g:x=(4 0-1+1+ +-24 2=-1-4+ · * - ( ? ) + ² · ( ²³ ) + + ( ² ) хр-ХА Yo-YA ZP-ZA h: x = k=-1 -4 K-1 L-11 parallel gin 3 1 nicht identisch -.9*ḥ →glh Normalenform der Ebene 1 AP n = 0, wenn PEE .ñ. 0 = +k koordinatenform der Ebene: E: ax + by + CZ = d +.r.. (8) = R 5 dieser Gerade liegt 0 20 KER FER B + k. 7 *-(4)₁ h: x = ( ²2² ) + r) Richtungsv., die die Ebene aufspannen. → Sie dürfen keine vielfache sein P(xly 1Z) Alxly lz) = sicherer Punkt der Ebene. & liegt auch in Ebene, wenn Gleichung wahr ist - Parameterdarstellung einer Ebene: vektorielle Ebenengleichung / Parameterform der Ebene. E: Ox = QA +r. AB + S AC ris ER Ortsv. - ee CONN FOR XA(11113) "C(-11413) OA+KV P (0121-1) 25 OB+r.u KER TER 9 x = (3) + ( 3₂ ) ·X= tr - B(21014) ·h ☎ 0 2x+1Y+ 2z =d 1 A einsetzen -2·2+1·3+2·2= d. d=4+ 3+ y = M1 E: 2x+ Ay + 2z = 11 •OA+K. ū OB+ r. V Normalen form rER A (21312) ñ-(²) koordinatenform 12 -Darstellen von Ebenen 3x + 4y + 2z = 12 - Spurpunkte berechnen Sx (x1010) (4.10.10) Sy. (01y 10) (01310) S₂ (01012) (01016) Durchstoßpunkte der koordinaten achsen durch die 3x + 4.0+ 2.0 = 12 x = 4 3.0+ 4.3+ 2.0 = 12 Y = 3 - 13 g g in E ñ ±ū (∞o viele gemeinsame. Punkte) 3.0+ 4.0+2·2= 12 Z = 6 Achsenabschnittsform: X₁ + X₂ + x3 = 1 (mit A₁0₁ A₂.0₁ A3 #01 hat die Spurpunkte: a₁ az 93 S₁ (a₁ 1010) S₂ (010₂ 10) und S3 (010103) -Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen (2) geg. g1E (echt) nu (gar kein gemeinsamer Punkt) geg.: Ebene mit Normalvektor n (koordinaten form) ·g mit Richtungsvektor ·(1) Die Gerade g ist parallel zur Ebene E. gh Die Gerade g liegt ganz in E. 9 Gilt nu 0 ? ја к E: a. x₁ + b⋅ x₂ + C⋅ X3 = d 9. x = OA + +·ū- - (91)-(u) keine Lösung V. g echt parallel zu E geg. E: XOA+ rū+ sv 9 x = OB++ w Liegt ein Punkt A der Gerade g in E? (Punktprobe) ja/ nein Die Gerade gist parallel zu E₁ liegt aber nicht in ihr. gh (echt) untersuchung auf gemeinsame Punkte 9. in E einsetzen ↓ eine Lösung ↓ 9 Schneidet E in einem Punkt keine Lösung ↓ 9 ist parallel zu E, liegt aber nicht in ihr Ebene r.S ER ter nein 9 Schneidet E in einem Punkt 6 9 Schneidet E in S ñ xu Q₁+ + U₁ az + +. Uz аз + + Из + GIR 2 (genau ein gemeinsamer Punkt) A ) - (-) Die Gerade 9 schneidet die Ebene E in einem Punkt 9 Bestimmung der Anzahl der gemeinsamen Punkte durch geleichsetzen. = + ↓ eine Lösung unendlich viele Lösungen ↓ 9 liegt in E unendlich viele Lösungen g liegt in E E: 2x1- 6x₂ + x3 = 7 g: x Cū (1) ñ--0 1 gin (2) Punktprobe mit A 2.9-6.1+7=7 ·18 6 + 7,07 197 f.A. *FO 5.2.5. (6)-7 Schnittpunkt: 9:/9+ 5t *(1) 2+3+1+1=2 (4+2r) 3 2+ 3+ 4+4-84-3 5-(²³) FER ñ- -20= 4 f.A: 1 nxữ 19 schneider E in E einsetzen A 5- (-²) -Winkel zwischen Gerade und Ebene. cos y*. = Ri.v. vong n TRI.v.. In - Lageverhalten zweier Ebenen E und H Normalvektoren sind vielfache voneinander identisch bei koordinatenf. ist E-K H (wenn Pyon E auch in H) (Punut von E nicht in H): E vielfaches von H Abstände Schnittgerade bestimmen - durch gleichsetzen ( ) + ' ( ) + ³ ( ) ) = ( ) + + ( )+K( ) Punkt Gerade 9 oder Sin y = 'Ri.v. ñl Ri. v. In F-cotfußpunut d (Rig). echt parallel 1+^ ( ² ) Windschiefe Geraden Punkt - Ebene 1 Gerade Senkrecht zu E durch R 2 SP Gerade - Ebene 3. IRSI bestimmen -Formel: d = 1 (F- p). no 1 1. Gerade h senkrecht zur Geraden g aufstellen mit RE RV. von g = 0 2. SP. F zwischen g und n bestimmen 3. Länge von IFRI berechnen winkelhalbierende: ax+by+cz =d ·ax+by+cz-d l= d. fa² +6² +6² PER Q (1+2r1-6+6r12+r) KER P(-2+k/3+2k15) Formel: 11g-p)ño | = ). no digin) 9:x=ā + +u winkelhalbierende ri Sitik ER •h=x=ā + + √ 6 Normalvektoren nicht vielfache →E Schneidet H Schnittwinkel a COS X = n • d (g₁h) d=3 y = 90°- 4* W: x = a + + (Uo + Vo) ū und müssen gleich lang→ Z.B. auf Lange -Einheitshullvektor Dul ・INEL INHI ( )|-|(3) 3 ( 32 ) |-- 3 sand miles 4- | 5: X+4-2=1| |-(-4) | 42=1 Rug - 97. (+)+ER PINIGIN) a-(-3) # *+-8 +2+1+ (1414) -5y+3+=-1 -by- IFBI- & 9.7- (358) + + - 0 9₁2-1++R PERIy15) Pustand af Gerade (15.0 4.(-4) (-2) (3-20-y)-1-(-60+) --***-647-6 5-11- 3-1-3-- PQ = -6 6-3424) -9+6r-2k 12+r-(0) PQ ²0 15-(-++)² (3-+-8-2+)²+(-4-3¹ 4-10-45,21 +₂2.23-y 1Pal = +2¹+ (-1)² + 2² = 3 d=3 _d(RE)= [[7-P)-F] 2(3+2r-41+61-9+ 6r - 2K) + (-3+r) =0 6 +45-21-54 +36-12k-3+r =0 -51+ 415 - 14k .0 PQ (3+2r-k) + 2 (-9+6r-261-0 3+2r-k-18 + 12r - 44 = .-15. 145-5k FO I-51+418- 14k 1-5 I -15 + 146-5k k=11 in Gleichungssystem : "2 unbekannte rund u in PQ=/312-5-11 Punet von C: [(0)(0) 4 (0) [3 9:*) (1) (1) ** (1) ** Einheitsv 1|2)|- +2²=1 |( )|-√²+²=5 44(0)40) 14 Spieglung Punkte an Ebenen gegeben gespiegelt an. xy-Ebene xz - Ebene yz-Ebene an x=1 an y = 2 P(31-21-1) P(31-211) P(3121-1) P(-31-21-1) P(-11-21-1)| P(3161-1) Q(-41215) Q1-4121-5) Q1-41-215) Q(41215) Q(61215) Q (-41215) R(a121-3) R (a 1213) R (al-21-3) R (-a121-3)|R(2-a 121-3) (al 21-3) S(11610) S(1161-C) S(11-b1 c) S(-1161c) S(1161C). S(114-b Ic) Q 15 -Spieglung Gerade an Ebene 47 xQ A ·laxb1 = A b I AB x AC = A B für R bei x = 1 x: 1-(a-1) weil x-1 с 1) Lotgerade durch P 2) SP Szw. Lotgerade und Ebene bestimmen 3) OP OP+ 2. PS = 3 Dreieck ABC: AABC" 11axb1. 2 A (01110,5) 8 (013,0,5) C(01212) Isenkrecht zur Ebene) 1) SP zw. g und Ebene 2) Ortsvektor ·3). OP = OP + 2 9 Spiegeln von •PQ weitere Anwendungen des vektor produktes. für S bei x=2 X 2-(6-2) well x 2 Flacheninhalt des Parallelograms TW. S. 45 AB - (8) AZ - (1₂) = A = q h A = 2 1,5 A = 3 E: 2xy + 2z-8 10+ + 22 10+ 2) OP-1 11 2111+3+)-(16-2+) +2 (8+17) 22+6+16+2+ +16+2+ Bsp: P (20120130) Ebene 2x 10y + 2-25 3) OP OP +2: PQ +ER 10-40+ 2) 2 (20+2+)-10 i 20-10+) (30+1+) 25 VO+4+2.00 + 100+ 30+ 4+ 105+130 9:2-12 + +1 PP² = ( 26 ) ++ (²³2) * - 2 (11+2+) (16+) +218 +2+) 22+1+16 + + + 16 + 4+ == g++ 22- g+ - 9₁x² OP¹+r. P'S 1 PL-31681-16) PIS ** (1) *** (3) 105+ P'(2410132) +(³³) +.ER S 1 S(212215) 1 SP hund E-Q Q(1) Spat: v=1(axb): cl dreiseitige Pyramide: V=11(axb)·21. V-1 6 Quadr. Pyramide V-1 (axb).21 3 v=1(axb) c1 1. →. Dreieck als. AG 2. 405 A SP(22110131) 1- Spitze 3. ortskurven Ein Funktionsterm, der neben einer Funktionsvariable noch einen Parameter enthält, definiert mehrere Funktionen zu gleich. Zu jeder zulässigen wanl des parameters gehört eine konkrete Funktion: x → fa (x) Funktionsvariable Die Menge all dieser Funktionen bezeichnet man als Funktionsschar Bsp.: fa(x) = 0,₁2⋅ (x-a)² +2·a af R - Ein Graph, auf dem alle. Hochpunkte (Tiefpunkte.' Wendepunktel. einer Funktionsschar liegen neißt ortskurve der Extrempunkte. Vorgehen. - betrachtete Punkte in abhängigkeit vom Parameter bestimmen - die Gleichung für die x-koordinate nach dem Parameter auflösen → in die Gleichung für die y-koordinate einsetzen je nach orts kurve (Z.B. Ortskurve der Hochpunkte f'(x) Hoch-/Tiefpunkte. f"(x) Wendepunkte, für f(x) > 0 Tiefp. f(x) < 0 HP f" (x) Sattelpunkt wenn f."" (x) = 0 Rotationskörper V = TT. g. (f(x)) ² dx a vist gegeben Grenzen gesucht. → f(x) = 0. f(x) modellieren mm 3 mm ² Punkte ermitteln einsetzen nach Parameter umstellen in Stammfunktion einsetzen uneigentliches Integral. f(x) = 1 X Vist endlich, zeige x² 1 - 1000 100 cm 3 m.l gleichsetzen, nach Parameter umformen - cm² Welche Art? rotien um V - T ) ( 2 )*^ - ^/ < ¹ - * [ - ^ ^ ] TT V = πT (- 1 + 1). b - lim - TT. ( - 1/2 + 1) ㅠ b-co 6 X-Achse 1000 100 V=TT 3,14 dm² dm 3. е = π = g b im Nenner - 1 1000 100 100 ganzrat. Funktion ·m3 ha km² 700 100 99.0 mm wurzelfunktion box a+x adax+b 10 →HP berechnen) cm mm cm ax² +bx+c (Parabel) Anderungsraten. Momentan: f(x) im [aib] Anderung: "/f(x) dx Bsp.: gleichmäßig beschleunigte Bewegung V Funktion Zeit - zurückgelegte S Entfernung - Hohe Zeit → Geschwindigkeit. Weg → Benzinvolumen BSP. grafisch zurückgelegter weg Sait dt = [ 19²+² ] f V= a t f(x₂). f(x₁)- wachstum, verbrauch Gesamtwachstum... s(+) = √v (+) dt V mittlere Anderungsrate Anderung Integration mittlere Anderungsrate Ø Geschw.. Ø. Hōhe Ø. Beschleunigung Ø. Benzinverbrauch Geschw. iy sevanterianstieg rechnensch mg = f(x₂) = f(x₁) X2 - X1 Differenzquotient Ableiten Gesamtwert X₂ lokale (momentane) Anderungsrate f(x) lokale Anderungsrate Momentan Geschw.. Mom. Steigung Mom. Beschleunigung Mom. Benzinverbrauch f 'f'(x₂) = lim х-хо Хо f(x) = f(x₂) x - Xo Differential quotient Matrizen -Definition: Eine rechteckige, von zwei klammern eingeschlossen Anordnung von Zahlen, mit m Zeilen und n Spalten heißt mxn - Matrix. aij A = BSP. B= 5 A- BSP.: 011 a21 1- ( 12 5/2 a12..... a 11 azz..... a24 : ama am₂... amn 2-3 3 5 2x3 Matrix Multiplikation mit. Ergebnis: einspaltige, (7) 4 * 1 Matrix i J A Bsp.: -3 5 3x2 2x2 A=(aij) B=(bjk) aufgebrüht werden sollen: 3 Espresso 4 Cappuccino 2 Latte Macciato 7 9 0 1 2 2 Rezeptmatrix 3 17 116 = C B DOS Element der i-ten Zeile von C, ist die Summe der Produkte der Elemente der i- ten Zeile von A mit den Elementen von B. 1 1- ( ₁₁ ) ( ²₁ ) - ( 1 ² - 1 (-4) ) = 2. A.B= -2-4+4 4 ..^- (²-3-1) 4 A = 2 -2 - Multiplikation einer mxn-Matrix mit einer mxe-Matrix Ergebnis: mxe- Matrix kurz A. B=C 11 4 76 (38). ·-18/= к (23) (2)-(-3²) (4x^² + 2x₂)= (-² 3х2 i=1,2,...,m j= 1,2,..., n Bestellmatrix | 4x₁ + 2x2= = = = ²/2 | (-2) + 2х1+ 5 4x₁+ 2x₂ = -2 - 4x₂ = -12 (-4) 4x₁ + 2x₂ = -2 x₂ I Чx1 + 2. 3. -2 уха einer mxn - Matrix mit einer n* 1. Matrix: Matrix C mit m Zeilen, kurz: A. B = C 1.7 + 4 2.7+(-3) (-1) (-1) = 3.7 +5 (-1) 1.7+4.(-1) + 1.6+ 4.8 2.7+(-3). (-1) + 2.6+(-3). 8 3.7+ 5. (-1) + 3·6+ 5.8. Ergebnis 2x3 verkettung- 3 Spalten 4+6-4 -1-10-3 2+15+3 3 4 L=((-2;31} Jedes Element Cik von C=(Cik) berechnet man aus der Summe der Produkte der Elemente aus der i- ten zeile von A, mit denen aus der k-ten Spalte aus B. Eine Matrix A heißt verketten mit einer Matrix B, wenn die Spaltenanzahl von A mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmt. B = -1 2 1 4x12x2 = -2 .2x₁ + 17.3+7·4+ 9.2 0.3+1 4+ 1·2= 2.3+ 4.4 +2 ( 3 ) JNJO JO JOTO तलत, तरOO - 8 + 8) = (-²) 2 I... Zeilenindex j. Spaltenindex 2-2 3:5 = 2 4 - 3 0 -1 2 -Darstellen von Gleichungssystemen mit Matrizen koeffizientenmatrix Hinweis: zeilen darf man tauschen 67 kaffeepulver 6 Milch 26 wasser. Matrix der Aus- gangsprodukte 3 38 17 -12 fik 116 58 3x2 C = (C₁k) 3x3 - A und B Sind verkettet 3 zeilen - Multiplikation möglich 6 16 -2 20 2x32 erweiterte koeffizientenmatrix =-=-=3²) 1-(-2) +- -²₂) 1. (-4) -3); (-2)^) 11:47 16