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Abi NRW Lernzettel Geometrie, lineare Algebra, Mathe, Vektoren

11.6.2023

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Vektor Pfeildarstellung einer bestimmten Länge, der in eine bestimmte Richtung verläuft
Verbindungsvektor Strecke zwischen zwei Punkter /Ort
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Verbindungsvektor Strecke zwischen zwei Punkter /Ort

Vektor Pfeildarstellung einer bestimmten Länge, der in eine bestimmte Richtung verläuft Verbindungsvektor Strecke zwischen zwei Punkter /Ortsvektoren (Strecke von Ursprung 2.B AC11513) a (1) 3 (31411) (³) 3 (31411) 6 - (²)→ AB - (1) - (²2) bis Punkt) = = B AB Gegenvektor zeigt in entgegengesetzte Richtung 28 BA - - AB - (§ 7-²4 ) - ( 2 ) = Betrag Lange eines Vektors : Kollinearität: zwei Veletoren verlaufen parallel-Vielfache voneinander 13 à - (²10) b= (²x) (2)-2. (²3) Linearkombination: Summe mit einer Fahl multiplizierter Vektoren x=aa+bb + c c - 2. B_ x - (1) a (²) b- () - (8) ( ²2 ) - a² (2²) + b² (6) + c⋅ ( 8 ) + b. (8) +c. (8) Mittelpunkt der Strecke ABA m²=OÀ+ ₂ AB OA +₁ lal - AB - (0₁-0₂)² + (b₂-a₂)² + (03-α₂)² -Abstand der Punkte A(ailazlaz) und B(bulbulbs) 3 → a, b, c mit LGS bestimmen -B ·2+15+1=18 OÀ Winkel zwischen zwei Veletoren: x= 2.B a = ( ²³ ) 6 - ( ² ) Skalar produkt M ursprung A Orthogonalitat wei senkrecht aufeinander (orthogonal) liegende Vektoren. → ist der Fall wenn das Skalarprodukt = 0 ist (bei Geraden muss 2.B a - (17¹) 6-(3²) (**)· (3) --4-2 + 1-9 +1 (-1) -- 8 + 9-1-0 ✓ Sualar produkt der RV o sein) -1 - COS ã ob Vật tôi BA= -AB 1.5.b x=2-a²+1₁5-6 Betrage 18 T (à l = + ₁ ² + 3² + 1² ² - 111² ⇒ α-cos" (1²-²50)...

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²778° 161-√2² +5² + 1² = √30² COS Basics Geraden unendlich 9₁ Gerade kein Antang kein Ende lang, x = p + rū Punkt P der dof der Gerader liegt →wo beginne ich 2 Stützvektor wie weit •Richtungsveletor -Ortsvektor Fum (aufe ich? = Verbindungsveletor zweier auf der Gerader liegenden Punkte → wo lang? Geradengleichungen der Achsen. x = (8) + r. (8) X ₁ X X₂ - x - (8) +r⋅ ( 8 ) tr. X3 X x = (8) +r. (8) X Anfang oder... x = x = ( ₁ ) + r. (8) Strahl Didentisch; SV gleich, RV kollinear schneidend; SV gleich, RU nicht hollinear windschief; SV versch., RV nicht kollinear kein Ende R beliebige Gleichungen bestimmter Beziehungen aufstellen: parallel; SV versch., RV kollinear X3 0 2 Punktprobe legt der Punkt P(-71-518) aut g:x= (2²) + r. (1) ? • Punkt - Geradengleichung setzen ( 32 ) - ( 1 ) + x (1) | LGS lösen = ↳kommt für r in jeder Gleichung der selbe Wert raus, liegt der Punkt auf der Geraden UP Antang S Strecke x Ende Fig. 1 Lage von Geraden im Raum: parallel 3 Schnittpunkt Didentisch (Windschief bsp.1 g⋅x - (8) + t・ ( ² ) und h₁ = - (1) +r (1) X = д Untersuchung Richtungsvektoren; Sind Sie zueinander kollinear? (2) -(-3)= (-3²) ✓ sie sind kollinear Punktprobe liegt der Punkt (1) auf der Geraden h? Sv von G (0) + (0-0) tr. -6 I1=5-91-5 - 4= -9r 1:(-9) 4 9 =r I 1=7+3rl-7 -6-3r 1:3 r = -2 - III 0= 4-6₁ -4 daher @ -4=-6r 1:(-6) ==/für r kommen versch Werte raus Y 4 LGS hat keine Lösung, Punkt liegt nicht auf h →→die Geraden sind zueinander parallel; hatte das LGS eine Lösung, wären die Geraden identisch bsp 2 g²x - (₁) + s (²) hix=(1) ++ (8) S ja ⒸRichtungsvektoren, Kollineartât (2) - t.(?) 4 RV sind kein Vielfaches voneinander (2) Schnittpunkte suchen (1) 11+ 5 = 11-1 S = 0 IO +S - 2 +t -2 -2 =t II 1+25= 3-1 25 = 21:2 S = 1 Die Geraden g und h sind identisch. Puntetprobe Punkt P Lie mit den vektor p auf de Geraden h? ja/ Kollinearitat Sind die Richtungsvektoren und nein L zueinander parallel? kollinear Die Geraden g und h sind zueinander parallel. f 16.11.22 nein 4 versch. Werte für Sikein Schnittpunkt →daher: windschiefe Lage! Die Geraden g und h schneiden sich Jdano daher ist ein Schnittpunkt vorhanden, Weste 0 Schnittpunkt Hat die Gleichung Bruds V eine Lösung? →haben die Geraden einen Schnittpunkt? nein Die Geraden 9 und h sind zueinander windschief for runds in line Geraden gleichung einsetzen Ebenen Parametergleichung: 181818 08 Ebenengleichung aus drei Punkten aufsteller: A(11-111) B(1,51110) C(01111) EX OA tr. AB +S. AC alle Kombinationen ट E · X ² = p + r · u + s · V Stuta vektor →Punkt Pin der Ebene der Verbindungsvektore der Puulete & kollineare E x = ( ²³ ) + r ( 1 ) Spannvektoren #parallel (H), müssen Ebene autspannen +0 sonst ist es eine Geradengleichung + S. : Gleichung aus Punkt und Gerade aufstellen; (Punkt darf nicht auf Geraden legen) 9: x= (3) + (1) B (01313) RVg 633 SVB 203 Spann. → RV der Geraden I parallel: Stūla. → Stützvektor einer Gerader Gleichungen der Ebenen. x₁x² - Ebene ; x = ( 1 ) a=p+30+2V, Px. SVg SV GB X B Spann Differenzvektor der Stützvektore, ein RV To Gleichung aus Gerade und Gerade (nur wenn parallel /schneidend) Schneidend Stütz→ Schnittpunkt Geraden = Punktprobe Punkt - Ebenengleichung - lässt sich LGS lösen liegt der Punlet in der Ebene x = ( ₁ ) + r. ( 6 ) + s . (1) میر سید E AR p AX DA 3u + 2V V → X3-Ebene muss immer O sein, RU H genauso mit anderen Ebenen Lagebeziehung Ebene/Gerade i Ⓒ Geraden - / Ebenengleichung gleichsetzen | Lgs Unsolve nach tris auflösen keine Lösung →parallel eine Lösung → Schnittpunket (Durchstoppunket) (identisch) Normalenvelfor einer Ebene, Veletor der orthogonal auf einer Ebene steht 2. B E ₁ X = ( ² ) + ( 1 ) + S. (²2²) == -4 2 → NV muss zu beiden Spannvektoren orthogonal verlaufen hier: unendl. viele Lösungen →g liegt in der Ebene -V₂ Kreuzprodukt der Spannvektoren; ù x v- (x). u3 V3 (0) 0) () -- (0.3-1-(-2)\ 1.2-3.1 (1.(-2)-0.2 = Lagebeziehung von Ebene & Gerade mit Normal envektor; Ⓒ Untersuchung Kollinearität RV der Gerade & M der Ebene →RV& NV kollinear; g schneidet orthogonal || Skalarprodukt RV der Gerade & Urv der Ebene =0; g liegt in oder verläuft paraller 4 3 Punktprobe, Stūtzucktor von g In & einsetzen UzV3-U3 Vz U3V₁ -U₁ V3 U₁V₂ -UzV₁ 1 Schatten punkt 7.3 Mast 5m hoch, Fuß P(1/110), Sonnenstrahlen Richtung - (2³2) Geradengleichung Sonnenstram Spitze S(11115) 9³ × - ( ¹ ) + + (³3) = t S X₁ ・Schatterpunkt liegt auf dem Boden; S' @ S' = Geradengleichung 0 X1 → O+S+ti-S -S=tin I & II einsetzen, uach x₁4x₂ auflösen. x₁ = 11 X₂=-7 S' (111-910). Ebenengleichung: EX E₁ X³ (1) + tr. 2 9=E 3 PS bilden →2. PS = P² V + S (is) -1t5 Punkt an Ebene spiegeln. Ⓒ Geraden gleichung der Gerade die durch Pund profumit g₁x² = P + t ⋅ nobene - Schmispunkt Gerale & Ebonce xp² 10 DXL SP₂ Abstand zwischen Punkt & Ebene: ⒸHilfsgerade →Punkt P als Stützventor • Normalenvektor der Ebene (Kreuzprodukt Spannvektoren) als Richtungsveletor 2 Schnittpunket Hilfsgerade mit Ebene (3) Abstand Punkt P zum Schnittpunkt J Р SA (101016) D G 4 (101010) (515110) 4 5 = (011016) (A0/4016) 8 (011010) B " (10/10/6) Körper benennen 2 fehlende Punkte bestimmen Ⓒ Dreiedbe gleichseitig? → Kontext; Dachanstrich, wie viel m² Farbe? Ⓒ Neigungswintel Pyramide, Rechtwinkligleeit Quader Geradengleichung durch A&H, Lagebeziehung zu Gerade durch H&B → Context Wege zweier Hausbewohner Boengleichung zB Wandebene / Decke (aus drei Punkten aufstellen) "Lagebeziehung x₁x₂ Ebene mit Gerade durch D & E (Normalenvektor) Schattenpunkt Ⓒ Spiegelpunkt 2.8 sok an Ebone & OF gespiegelt werden AB №.4 gucken of Punkte auf einer oder versch. Seiten der Ebene liegen A (3121-11 B (11-112) € ₁X² = ( ₁ ) + ² · ( ₁2 ) + + ⋅ ( ²14 ) AB - (2²4) · (3) ²¹ (1) ++ (1) - g: x= (4) + +- (3) - (8) +- (1) +5 (3)) So +S4 nsolve t-1 r=113 .7 7 S=₁ = 13 Die Punkte liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene 1st +-1, lieger Punkte auf der selben Seite der Ebene. Oct<1, liegen Puulete auf versch. Seiten der Ebene t40, liegen Punkte auf selber seite. Jost so XB two B 15.02.23 Sachkontext Routen vergleichen: Geradengleichung aufstellen 2 Kollinearität der RV überprüfen -fahren sie aut parallelen / identischen Strecken? → Vielfaches - Minuswert 2.B (2)· (25²) (4²) entgegengesetate Richtung, -2 F1 F2 sonst gleiche Richtung Vielfaches 2 →F2 ist doppelt so schnell wie Fl 3 Punktprobe → fahren Sie auf der selben Straße? Geschwindigkeit? -Betrag |AB| → Start (t = 0) im Punkt A, nach 2 min. im Punlet B(t-3) -> - Betrag zeigt kun Anzam, sodass dann kem/ min (Änderungsrate) gegeben ist - t = 6 in Punkt in dem sich Fahrzeug nach 6 min befindet Geradengleichung, ausrechnen