Mathe Abitur Analysis

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16 + S 2 X + 21 Bsp: flx) = = = 4x² - 24X + 42 4(x-3)² +6 4(x² - 6x + 9) + 6 - YA L= [-2;3] 4 = ]-∞; - 2 [ u ] 3; ∞ [ L = ] -∞0; -2] U [ 3; ∞ [ Normalparabel I binom. Formel I 2 binom, For mel V Einfluss der Parameter in Scheitelform Öffnungsrichtung und Streckung / Stau chung avo: Parabel nach oben offen a <o: Parabel nach unten offen Tal < 1: Parabel gestaucht an y- Achse. 1a1 >^: parabel gestreckt an y- A chse 2x² Symmetrie x² 112x² Grenzwerte -1/2 x ². gerade Exponenten fl-x) = f(x) achsensymmetrisch y-A. gerade Funktionen: ungerade Exponenten fl-x) = -f(x) punktsymmetrisch 1.3 Ganzrationale Funktionen / Polynomfunktion f(x) = 2x lim flx) = 818 lim f(x) = x → verschiebung in x- 8 do: verschiebung nach rechts d< 0: verschiebung nach links (X+1) ² Nullstellen B) x- flx) = 2 ax + b FLX) = a/3 x³ + b/₂ x ² + CX + d ∞ Bsp: (x³ + 6x² + 0x - (x³ - 2x²) 8x² + 0x : C) Substitution A) AUSHIammern Z₁ = 4 = ±2 Richtung X² 1 flx)= x³ 2x² - 5x + 6. 2. Polynom division. (x-1)² A 2₂ = 9 1:5 X2= 3 ungerade Funktionen: Raten einer Null Stelle x = 0₁1₁-1 f(x) = x4 = 2² ·32) : (x - 2) = x² + 8x + 16 in y- Richtung e> 0 verschiebung ↑ • e≤ 0: verschiebung ↓ 0 = - 3x³ + 2x² - 2x 0= xl-3x² + 2x ↓ MiHernachtsformel - 13x² + 36 132 + 36 Mitternachtsformel t. D = lim flx) = lim flx). X →∞ > 2) fLx) = -1,5 x² + 4x 5 - 2x³ x² + 2 x²-2 x² = ㄹ +∞ 1.4 Gebrochen - Rationale Funktionen Polstelle / Asymptote Grenzwerte und Asymptoten A) senterechte Asymptoten Asymptote B) waagerechte Asymptoten Asymptote C) Schräge Asymptoten Asymptoten * f.lx).= LX+2)² (x + 1)²(x + 3)² LX + 2)² (x + 1)²(x+3)² Vielfachheit von Nullstellen Bsp: f(x) = einfache Nullstelle bei x = 1 VZW + Schnitpunkt ungerade ordnung Annäherung Links: lim X4±0 Nullstellen x² 2(x-2) Definitionslucken und Polstellen lim 5x3-4 x → ∞ 15x^-3 lim Annäherung rechts: lim X2 I Fall: Grad 2 Grad N X 2+ 2x²-2 x2 + 3x Fall: Grad z < Grad N lim X4±6 x²-1 11 Fall: Grad & > Grad N = * D = R1 { Nullstellen des Nenner } doppelte Nullstelle bei x = 1,5 VZW + Schnittpunkt 2LX-2) = 0 D = R1 {2} gerade ordnung 2 in fLx) einsetzen = X = 2 2 in flx) einsetzen = vorzeichen dividieren: 2:1= 2 y = 0 Fall, wenn zāniergrad = Nennergrad + 1 0+ Bsp: flx) keine waagerechte. Asymptote Polynom division (x³ + 2x² + 0x + 0) : ( 2x² - 2) = ²X + 1 + y = 2 x3 +2x2 2x²-2 1.5 Natürliche Exponential - und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion fLx) = ax D = R \ {1} 114 W LOW 113 a > 1 : streng monoton. Steigend a ≤ 1: Streng monoton fall end durch Spiegelung an y- Achse : fLx) = wichtige Grenzwerte: lim ex = 81-8 natürliche Exponentialfunktion flx) = ex N(X) = No e ex • 112 X Exponentielle Wachstumsfunktion 2 wert nach der Zeit. x Start wert für x = 0 Zerfall-/Wachstumskonstante zeit ab einem best. Zeitpunkt D = R / IW = R + flx)' = ex e 0+ lim ex = +∞ X→ +∞ +++ to (台)* In x = X = .1 Logarithmusfunktion flx) = logax. D. = R + \ {1} verdopplung: 2. Zerfall: 8 K wichtige Grenzwerte: Logarithmusgesetze log a LU.V) = 10g av + 109 a v. 109 a º = loga - 109 a V loga (u) = r. loga u a loga = U logu Verdopplung u. Halbwertszeit. N/J 10 natürliche Logarithmusfunktion: flx) = In x D=IRt. /.IW = R · Nullsteue bei x = 1. f(x)' = = = a > 1 a < 1: Streng monoton steigend Streng monoton fallend durch spiegelung an x- Achse: fLx) = log / X. a=2 a = 3 a = 4 in x log (u) α= 1/3 A/2 a= A 10g.ax.= In a lim inx = x → 0+ lim X→+∞ a = b X = 10g a (b) Der Logarithmus von b zur Basis a In x = + in (ex) = x in (1) = 0 In x 109 a a = ^ 109 a 1 = 0 loga 10g alaº) = u log AU Verschiebungen und Stauchung oder Streckung der Funktionen Exponentialfunktion: Logarithmus funktion: In x+1 In x. V V V In x-1 015 in x ex+1 ax a ay fa 16 **** Potenzgesetze fa ta to 8 = a ay = wurzelgesetze: 1.6 Potenzfunktionen flx) = xn n=4 n=2 n = 3 VE Jt n=s n=6 bx a a f .ex+1 ex ex-2 ex = X (8) * (ax)) = ax.y aº a-x = √a·b ex-1 = a A ax (a.b)* x + y مالا Parabel gerader ordnung Parabel ungerader ordnung. Hyperbeln gerader oranung Hyperbeln ungerader ordnung njam² = (am) A 2ex e2x V ex 015 ex ex D = R ₁SX in lx+1) Inx M n=-6 JE n=-4 x6 wurzelgleichungen: PLAIA) In LX. -^) JIN 1.6 Wurzelfunktion & Wurzelgleichungen f(x) = x/² X oder flx) = √x. X 1. Wurzel isolieren 2. quadrieren 3. Wurzelfreie Gleichung lesen 4. Probe n=-2 KIT in(-x) # -in x ∙n=-3 D= RO.. IW= RO. √x - 2 + 14 = √√x-2¹= x-14 x - 2 = x - 2 = 2 lnx X In x 1-14 1()² je größer, desto flacher und Steiler nähern sie sich dem ursprung 2 (x - 14) ² x²-28 X + 196 in X. n=-5 n= -1 MF 1.7 Exponential- und Logarithmusgleichungen Exponentialgleichungen 1. Auf beiden Seiten logarithmieren 2. Anwendung der Potenzregel för Logaritmen 3. Auf beiden seiten durch in a dividieren BSP: s* = 9 in (5x) = in 9 x un S = In 9 ing X = in S Bsp: 0101* = 1000 ²× +3 (10-²)* = (10³) ²x + 3 10-²x AO 3(2x+3) = 6x + 9 2X 8. X - 9 } X = f(x) = 1.8 Betragsfunktion fx 2X Bsp: e² → Substitution: ? = ^ Konvergenz - In ex^ = In 1 X₁ = In 1 = 0 IF(X)I. 3ex +2=0 Difl= Df 2. GRENZWERTRECHNUNG 2.1 Grenzwerte von Typ f(x) = ± In at X x in a = In k ink In a Igl y=a X = Z2 = 2 ex² = 2 umrechnung auf gem. Basis Potenzgesetz nur Exponenten. = Ink 2² - 32 + 2 = 0 in ex² = in 2 X ₂ = In 2 Logartihmusgleichungen Lim flx) = a X4+∞ 1. Auf beiden Seiten exponenzieren. 2. Logarithmusregel anwenden 3. mit Taschenrechner wert bestimmen. 109a x = a X = ak Bsp: BSP: 1096₁2 X = 3,7 6,2 1096,2 X = ак X = 6₁2 317 X Konvergenz: + ∞ Funktionswerte, wenn x gegen Strebt, einer bestimmten Zani a nane lim f(x) = a x → -∞ 854, 8. 109 10 LX-48) + 109 10 X = 2 log 10 LX (X-4.8) = 2 40 X· LX-48) = 10² x² 48x 100 = 0 • wertemenge Wifi umfasst den Betrag auer Elemente der wertemenge von flX) 6,2 3,7 BSP: lim X 2 818 ^ 3 MF f 2x+1 X Grenzwert = 2 = 2 AO 100 1000 2 2,01 2,004 Bestimmte und bestimmte Divergenz bestimmt gegen +∞ divergiert V unbestimmt divergent sind keine zahlen ± ∞ = uneigentliche integrale. th lim ax ×11. 1. POTENZFUNKTIONEN IM UNENDLICHEN Lim X = ∞ X→ lim flx) = + ∞0 X+8 lim f(x) = X-8 Lim xn = 0 ·X→ ∞ Me Lim X-+∞ f sin x Lim ex ∞ X-8 II. E - FUNKTION IM UNENDLICHEN = lim fr xn X = e = ex Lim ex X → ∞ Ilim xn. ex Inx Lim хи > X→∞ -X ܥܙ ex ∞ wenn a > 0 ∞o wenn a <o six Lim in x = x= 818 =.0 = 0 Grenzwertverhalten wichtiger Funktionstypen ex = ∞ n = .0 bestimmt gegen lim ex Lim x → -8 wenn f weder honvergiert noch bestimmt divergiert x gegen + t = =e Lim x →>> lim X X→-∞ VI. PRODUKTE UND QUOTIENTEN VON POTENZ, E-` UND LN - FUNKTION IM UNENDLICHEN ex Lim xn = ex = 0 x → lim ax" = X-∞ Lim xn = 0 x → ex - 8 divergiert Lim x x → lim flx) = X4+8 n lim f(x) = x--∞ ∞ wenn n gerade ∞ wenn `n ingerade ex = ex wenn a > 0 + n. gerade wenn a < 0 + n ungerade wenn a <0 +n gerade wenn a > 0 +n ungerade Lim ×18 III. LN-FUNKTION IM UNENDLICHEN in x = 8. 8 ∞ wenn n gerade -∞ wenn nungerade · Lim in (=) = -((n x); 818 2.2 Grenzwerte vom Typ f(x) = Xo. I -2 f(x) = x + 2 FLX) flx) = f(x) = f.lx) = Lim X18 Lim x → -1 8 2 x² Definition slocke 8100|~ 1 1.+ 7. e => 0 3x + 2x + ₁ 5x+3x². Lim x + 2 = X2 lim X10 3x42x3 +7x²-5 Чx3 - 3x + 1о ze > 2.3 Grenzwerte gebrochen - rationaler Funktionen 5x³+7x 2x 5+3 -2x wenn x<2 ist und gegen 2 läuft, ist der linksseitige Grenzwert 4 wenn x>2 ist und gegen 2 läuft, ist der rechtsseitige Grenzwert 4 x = 2 nicht definiert Definitionslucke flx) = 4+5. (x²-1)-LX-2) (x-2) 1. Nullstellen des Nenners 2. Null Steuen des zählers X^= -1 X₂ = 2 immer kleiner werdende zanien einsetzen 2.B 1.9998 immer größer werdende zanien einsetzen 2.B 2, 1110 3. Polstene X₁ = 2 2.4 Grenzwerte von E - Funktionen Lim flx) = 0 X¬±8 immer kleiner werdende zahlen einsetzen 2.B 0,001 ½ die zahl selbst immer größer werdende zahlen einsetzen 2.B 0₁ 111 & die zahl selbst Lim flx) 8 x➡+∞ 3x4 (x²-1). (x-2) (X=2) 3²323 = 0-2.0 = 0 oder hebbare x₂ = 2 = 1+7.0 x3 = 1 3x = X=2 x³ 2x²-x+ 2 Lim X 6. Definitionslucke, da die Nullstelle nach dem Kürzen nicht mehr im Nenner stent mögüch Lim flx): = X1±8 Lim ×10 Definitionslucke? x2-1 -8 hebbare Definitionslucke x = 2 - 8 lim flx). x-xo x < 0 X. linksseitiger Grenzwert O -x.e Definitionslucke (1) lim flx) X - Хо X rechtsseitiger Grenzwert die zahl selbst & die zan! Selbst Polynom division 3. ABLEITUNG 3.1 Differenzierbarkeit Differenzenquotient flx) flxo). X - XO gibt die Steigung einer senante durch den Punkt PLXol fxo) + einen weiteren Punkt der Funktion AY fLx) an f(x) = f(x) = flxo) - 3.2 Ableitungsregeln Wichtige Ableitungen f(x) = x f(x) = K √x ex flx) = unx f(x) = ax flx) = 109 ax APERS-4 X - Xo f'(x) = x² f'(x) = 0 f'(x) = <|× X f'(x)= ex •flxo) f'(x) 8 X. f'(x) = ax • in a A f'(x) = una 5 <IX A Differenzialquotient = Grenzwert des Differenzenquotienten + gibt die Steigung der Tangente im Punkt P an Funktion flx) an f'(x)= Lim x → Хо Faktorregel flx) = a. ULX) f'(x)= a U' LX) flx)-f(xo). X - Xo Kettenregel flx) = ULV (X)) f'Lx) = U'L VLX)). V¹LX)` Differenzen- quotient Produktregel fLx) = ULX). V(X) f'(x)= U'(x) · VLX) + ULX): V'(X) S Summenregel flx)= ULX) + V(X) f'(x) = U'(x) + V²LX). Differential- quotient Quotientenregel U(X) flx) = VLX) f'(x) = U'Lx)· VLX) - ULX). V'(X) VLX)² 3.3 Tangenten und Normalen Tangentengleichung: flx) = x² - 4x +3 1. im Punkt (4/3). flx) - 3 X-4 Lim X-4 lim X→ 4 = ķ KL => у= чх -13 y = m. x + t = x² -x² XA = A 4x + 0 LX - 4) = x +0 ЧХ 0 +0 - 0+0 0 Einsetzen von (413) in m.x+t 3= 4.4+ t t = -13 Punkt. P.LX & l.f XB) y = f'(XB) · LX - XB) + f(XB) x₂ = 3 Steigungswinkel: tan α = m tan α = 4. L = 76% Normalengleichung: y 4 MN? * 32 Y A = mt Einsetzen (4/13) in m№. x. t - 4.4+ t 3= tan B x +4 Steigungswinkel: tan x = m B = = 1 mt 4 x + t t=4 -14% 4. ELEMENTE DER KURVENDISKUSSION 1. Definitionsbereich 2. Symmetrie 3. Nullsteuen Art und Lage 4. Achsenschnitpunkte 5. Definitionslucken. 6. Asymptoten 7. Extremwerte 8. Monotonieverhalten 9. krūmmungsverhalten 10. Wertebereich 11. Graph X f(x) Monotonieverhalten => => wertetabene lokales Minimum (010) lokales Minimum (310) lokales Maximum (115) 5) Wendepunkte 0 monoton steigend [0,115], [3, [ monoton fallend -∞, 0], [115,3] X flx) flx)= x.ex / 115 Monotonie verhalten. 3 0 2. Ableitung vorzeichenwechsel von f"Lx) - 2 f'(x) = ex + x. ex f"Lx) = e*(1+x)+e* O 0 +0 2 4 0 0 | wendepunkt ✔wendep. - 2 in Anfangsgleichung einsetzen WPL-21-0127) Extremwerte Bsp: fLx)= x4 - 6x³ + 9x². f'lx)= Чx3 18x2 + 18x x 14Х2 – 18×. + 18 ) . A B с 8 X₁ = 0 x ₂ = 115 wertetabene lokales Minimum (010). lokales Minimum (310) lokales Maximum (115) 5) in Angangsfunktion einsetzen! X flx) 2 .0. + Krümmungsverhalten X f"(x) X f(x) Anderer Fau: Terrassenpunkt! 2 Ableitung machen! x3 = 3 Bsp: +Lx)= x3 3x² f'(x) = 3x² 6x f"(x) = 6x - 6 = 1 linkskrümmung 0 0 x = -2 X = 0 lokales Maximum lokales Minimum 0 + f"(x) > 0. f"(x) < 0 0 0 1,5 2 4 3 + 0 + X = 4 MiHernachts formel irgendeine zahl in Ableitung einsetzen! # MO Terrassenpunkt 3 links rechts ö rechtskrümmung Monotonieverhalten links ] 1, ∞ [ rechts ]-∞, AC krümmungsverhalten 5. UMKEHRFUNKTION (-21-2) x² (-110) Bsp: (014) x dx = Gf FLX) = = = /2 -flx) = =1/12 a flx)= 7x² - 4x FLX) = (313) Gf-^ fLx)= 3x - 5x² + 2x F(X) = 3x³ - 23/04 6. UNBESTIMMTES UND BESTIMMTES INTEGRAL 6.1 Stammfunktionen Bsp: f(x) = 4x³ - 2x √x + ² x = [ {/²³² + 1 × 1 1/ X dx X [ 3³ - 4² ] FLX) = X FLX) = x4x² x³ + in x y=x N/N FLX) = x³ - 2x² FLX) = AM 2/1/2x² X 6.2 Bestimmtes Integral S FLAS FLx) dx = [FLX)] = F(b) - F(a) nur umkehrbar, wenn sie dort entweder streng monoton steigt oder nur streng monoton fällt vorgehensweise: 1. Funktion fLx) nach x auflösen 2. x und y vertauschen 3. umkehrfunktion + Definitionsmenge angeben Wf = vertauschen der x - y werte. Spiegeln des Graphen von f an der winkel halbierenden. D. f-1 normale Funktion FLX) F(X) Stammfunktionen FLX) BSP FLX) flx) = f(x) BSP FLX) = (x: un x = Wf-^ = Df. flx)= K f(x) = x² X х2+1 (1.x²+1) - LX · 2x) (x²+1) ² S.n. f(x) = FLX) = ex fLx) = unx f(x) = 2x. ex flx) = 3√x U = X U² = 1 flx)= 1. un x + x inx + 1. U = X U' = 1 4 S fix) dx = 0 a X|> k fLx) dx = s н. У a FLX)= KX + C F(x) = x²+1 r+1 v=x² +1. v' = 2X V= v': FLX) = FLX) = x²+1-2x² (x²+1)² F(x) = x un x - x + C FLX) = ex² FLX) = 2 X115 •J fLx) dx inx flx) dx = +C. In 1x1 +C ex +c S₁ - -x²+1 (x²+1)² flx) dx 6.3 Flächenberechnung Berechnung zwischen Graph und x-Achse vorgehensweise: 1. Nullstellen X₁, X₂, X31... berechnen 2. A= XA *^S+Lx) a 7. INTEGRALFUNKTION kas f(x) dx + f.lx) dx X2 ·X la(x) = √ flt) at a lalx) = √ fit) at = a ^. 2. 3. Wichtige Eigenschaften. Einzelintegrale ky l'alx) = f(x) Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 1" alx) = f(x) flx) dx 2. A= vorgehensweise: 1. Schnittstellen X₁₁ X₂1X31... berechnen F(x) - Fla). la lx) = A Nullstelle bei x = a lala) = ª√flt) = 0 a Berechnung zwischen zwei Graphen ХА mit fester Grenze a und variablen oberen Grenze To + Sfx fx - gx dx + fxgx + S Null Sleuen von f(x) EXtremstellen von lalx) Extremsteuen von flx) wendesteuen von lalk) X2 X^ S+Lx) *S FLX a • S+x X2 S a Vergleich f(x) ax fx- gx dx unbestimmtes integral keine Grenzen menge v. Funktionen flx) dx * = X₂ Integralfunktion fest Grenz a eine Funktion bestimmtes integral. zwei Grenzen. einze zahl Uneigentliche Integrale S = dx = [in x] ^ x = ² x = [^] = [] = In ∞ uneigenHiches integral existiert in 1 : = 0+1=1