Dieses Kapitel behandelt wichtige Eigenschaften und Operationen mit Vektoren. Es wird erklärt, wie man Einheitsvektoren erzeugt und was lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit bedeuten. Das Skalarprodukt von Vektoren wird eingeführt, welches eine wichtige Operation in der Vektorrechnung darstellt. Auch das Orthogonalitätskriterium für Vektoren wird erläutert.

Vokabular: Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass keiner der Vektoren als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist die reelle Zahl a·b = axbx + ayby + azbz.

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet. Dafür wird die Formel cos α = (u·v) / (|u| · |v|) verwendet. Außerdem wird das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) eingeführt, welches zwei Vektoren zu einem neuen Vektor verknüpft, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Die Berechnung des Kreuzprodukts wird anhand eines Beispiels demonstriert.

Highlight: Das Vektorprodukt a × b ergibt einen Vektor, der senkrecht auf a und b steht und dessen Länge gleich |a| · |b| · sin(α) ist, wobei α der Winkel zwischen a und b ist.

Beispiel: Für a = (2,1,3) und b = (4,5,0) wird das Kreuzprodukt a × b schrittweise berechnet.

Dieses Kapitel führt das Spatprodukt ein, welches das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor ist. Es wird gezeigt, wie man mit Hilfe des Spatprodukts das Volumen eines Parallelepipeds berechnen kann. Zudem werden wichtige Rechengesetze für Vektoren wie das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz vorgestellt.

Definition: Das Spatprodukt (a × b) · c ist eine reelle Zahl und berechnet sich aus den Komponenten der Vektoren a, b und c.

Beispiel: Das Volumen eines Quaders wird mit dem Spatprodukt berechnet und beträgt in einem gegebenen Beispiel 14 Volumeneinheiten.

Im letzten Abschnitt werden Formeln zur Berechnung des Volumens verschiedener geometrischer Körper vorgestellt. Es werden die Volumenformeln für Quader, Würfel und Pyramiden angegeben. Diese Formeln sind wichtig für das Rechnen mit Vektoren in der Raumgeometrie und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Highlight: Das Volumen einer Pyramide berechnet sich aus dem Produkt der Grundfläche und einem Drittel der Höhe: V = (1/3) · AG · h.

Beispiel: Für einen Würfel mit der Kantenlänge a gilt die Volumenformel V = a³.

Dieses Kapitel führt in die Grundlagen der Vektorrechnung ein. Es erklärt, was Vektoren sind und wie sie dargestellt werden. Vektoren beschreiben Verschiebungen in der Ebene oder im Raum und bestehen aus gleichlangen, gleichgerichteten und parallelen Pfeilen. Die Darstellung erfolgt in der Ebene mit zwei und im Raum mit drei Komponenten. Besondere Vektoren wie der Nullvektor und Gegenvektoren werden vorgestellt. Auch die Berechnung des Betrags eines Vektors, der dessen Länge angibt, wird erläutert.

Definition: Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen, die alle gleich lang, gleich gerichtet und parallel zueinander sind. Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt Repräsentant.

Beispiel: Der Ortsvektor OP wird im dreidimensionalen Raum als OP = $x-0, y-0, z-0$ = (x, y, z) dargestellt.