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Q3 - Stochastik Abitur

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 Q3 - Stochastik
Grundbegriffe der Stochastik
•Das Resultat eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis
• Wird ein Zufallsexperiment mehrfach wi

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Q3 - Stochastik Grundbegriffe der Stochastik •Das Resultat eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis • Wird ein Zufallsexperiment mehrfach wiederholt, so wird es mehrstufiges Zufallsexperiment genannt Die Menge aller möglichen Ergebnisse bildet den Ergebnisraum 2 ● •Ein Ereignis ist eine Zusammenfassung möglicher Ergebnisse (Teilmenge des Ergebnisraums -> ECS) Das Gegenereignis E eines Ereignisses E tritt E nicht eintritt genow dann ein, wenn ->Es gilt: P (E) = 1 - P(E) bei P(E)+ P(E) = 1 Unmögliche Ereignisse (E = Ø) können nicht eintreten (kein Ergebnis vorhanden) Das Sichere Ereignis (E = √2) tritt immer ein, da es alle Ergebnisse enthält Laplace-Wahrscheinlichkeit ● ● Tritt jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein (Gleichverteilung), So wird das Experiment Laplace-Experiment genannt. ↳> Für ein Ergebnis &, das aus einer Menge van Ergebnissen besteht E = { ₁, ₂,..., en }, gilt dann: P (E)= Schnitt & 180 Vereinigung IEI 1221 an (E) = k hn (E) k = n Kugeln i Möglichkeiten Allgemein n k Anzahl günstiger Ergebnisse für E Anzahl aller Ergebnisse von Ereignissen Schnitt Vereinigung E₁ UE₂ → Wenigstens eines der Ereignisse E₁ grundlagen Doppelte Ergebnisse, welche bei beiden Ereignissen zutreffen, müssen einzeln betrachtet werden! E₁ E₂ →Sowohl E, als auch E₂ tritt ein: Gegenereignis € = ohne →E tritt ein, wenn E nicht eintritt absolute Häufigkeit relative Häufigkeit nur Ergebnisse, die bei beiden Ereignissen zutreffen, werden beachtet N=n Beispiel • Urne mit 10 Kugeln, nummeriert von 1-10. 3x Ziehen • Anzahl der Ergebnismöglichkeiten N= 10.10.10 = 10³ Allgemein Ziehungen (0 <k) Absolute & Relative Häufigkeit • Ein Zufallsexperiment wird n-mal wiederholt. Tritt das Ereignis...

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E genau k-mal ein, so gilt: Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen (28. würfelexperimente) • Geordnet: Anordnungsreihenfolge wichtig! Kugeln, k Ziehungen (0 <k≤n) Möglichkeiten Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen n Pr Beispiel • 10 Kugeln, 4x Ziehen Möglichkeiten: N = 10.9.8.7 (4 zahlen, weil 4x Ziehen) oder Sonderfall (k=n) • Zieht man n-mal aus der Urne, dann ist (n! => n-Fakultät) Ziehen bis sie leer ist (kan) N = n(n-1) (n-2).... (n-k+1) von E nach n Versuchen von E nach n Versuchen E₂ tritt ein = E₁ und E₂ n! (n-k)! kombinatorik Regeln • E₁ UE₂ • E₁ E₂ |N=n(n-1).. 3·2·1 = n! • von = Wahrscheinlichkeiten P (E₁UE₁₂) = P(E₁) + P(E₂) Für unvereinbare Ereignisse gilt: P (E₁ UE₂₂) = P(E₁) + P(E₂) = De Morgan En E₂ E₂ U E₂ n Empirisches Gesetz der großen Zahlen Relative Häufigkeit stabilisiert sich weitgehend mit steigender Anzahl an Versuchen um einen festen Wert Kugeln P (E₁ E₂) n Kugeln Ziehen mit Zurücklegen 1 2 3 4 k. Ziehungen * 1 2 3 4 Ziehen ohne Zurücklegen k. Ziehungen k k Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen n Cr. (z.B. Lotto) Ungeordnet: Reihenfolge der gezogenen Kugeln ist egal Beispiel 1 • Mini-Lotto 3 aus 20 Nun werden viele verschiedene Ergebnisse einer geordneten Stichprobe zu einem Ergebnis der ungeordneten Stichprobe Beispiel (2,5,8) (5,2.8) (2,8,5) (8,2,5) (5,8,2) (8,5,2) Allgemein • Kugeln, k Ziehung Möglichkeitenen N = (^)= k!·(n-1)! P = 0 → dieser Bruch wird Binomialkoeffizient genannt. →abkürzende Schreibweise Berechnungsbeispiel für Lotto 6 aus 49 (R) k! (n-ke)! • Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige: 1 = (45) 13 983 846 • Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige (3). (43) (48) 6 43 Richtige Falsch P = P(A) P(A) Beispiel 1 bedingte Allgemeine Informationen Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis von dem vorherigen abhängig Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass ein bereits eingetreten ist Ereignis A • Schreibweise: P (B) Bedingte Wahrscheinlichkeiten befinden sich also immer hinteren Zweig im Baumdiagramm PACO B P (B) 3 0,06 P (B) (5 0,94 } Beispiel 2 Ein Spieler hat dass die erste P₁(B) = 0,2 P (B) 0,04 0,9 1 Ergebnis: (2,5,8) Anzahl: 2x drehen A: "1. Drehung ist eine g" 8: "Man gewinnt" = Formel geordnete Stichprobe Anordnungsmöglichkeiten von k-Kugeln P(ANB) P (AMB) P (ANB) 3 P (ANB) 31 (3 Fakultät) = 0,0176 = 1,8% Gewinn: 4 Summe 18, 19 -> kleiner Gewinn Summe 20 → Hauptgewinn 0₁ A 0,9 wie gewonnen. groß Drehung eine 9 war. P₂ (A)-> Inverses Baumdiagramm PB(A) →P(BNA) = 0,02 A PA (B) 45 (gesprochen "n über le") # gesamte cr Es gilt der Zusammenhang P (ANB) P(A) P(B)- P(ANB) 0,02 PB (A) = 0,06 (B) -9,02 6 ist die Wahrscheinlichkeit, + 3 -001 • um zu gewinnen, entwede 8.9 0.40 ug also 1/3 Anzahl benötigte Anzahl wahrscheinlic auf einem P (ANB) 1/3 4 Gewinn P(A) >O lag AO.Xo n Kugeln Binomialkoeffizient nl k! (n-k)! (12) = 0! = 1 -> keit Multiplikationssatz P (ANB) = P(B). PB (A) P (8) >0 P8 (A) = Stochastische Unabhängigkeit • wenn Pg (A) = P(A) dann P₁ (B) = P(B) Satz von Bayes A (n) = = 1 Totale Wahrscheinlichkeit PIA) = P(B) PB (A) + P(B). P (A) P(A) P (B) P(B) Vierfeldertafeln (O≤k≤n) (0) = 1 k Ziehungen P(A) PA (B) PLA) PA (B)+ PIA). P (B) B ANBI |A3| A Ā ANBI A BI Summen 131 absolute Häufigkeit IBI bedingte Wahrscheinlichkeit Randwahrscheinlichkeit P (A) i Summen IAI = IĀI Summe JAI Summe PB (A) = B P(ANB) P (ANB) А P(ANB) P(AB) Summen P (B) P(B) ↳ Wahrscheinleichkeit (relative Häufigkeit) JANBI 1B1 Summen P (A) P (A) ^ Unabhängigkeit von Ereignissen Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig.. P (B) = P (B) bzw. (A)=P(A) Statistische Kennzahlen - Allgemein Auswertung von Daten Empirische Untersuchungen → reale Datenlage • genutzt für Stochastile & Vorhersagen für die Zukunft Wahrscheinlichkeitsverteilung Auflistung aller Werte X; von X Wahrscheinlichkeiten P (x= x;) Grafische Darstellung = Histogramm · Beispiele Zufallsvariable (Zufallsgröße) • Eine Größe, die jedem Ergebnis eindeutig eine reele Zahl zuordnet Großbuchstaben X; P(X= x;) 01 2 34 (z. B. Umfragen) 4/5/.. stoc Erwartungswert einer Zufallsgröße μ = E(X) = Stochastische Varianz Wahrscheinlichkeitsverteilung Eigenschaften des Histogramms Je größer n, umso breiter, flacher und symmetrischer ist Je größer p, umso weiter rechts liegt das Maximum p= 0,5 → symmetrische Verteilung . Stochastische Standardabweichung • (X) = √√√√(x) x₁ P(x = x₁ + x₂ P ( X = X ₂) + ... is A Zusammen mit ihren statistik Histogramm V(x) = (x₁-μ)². P(x= x₂) + (x₁₂ -μ)². P ( x = x ₂) + Binomiale wahrscheinlichkeit P(x≤R) P(X=k)=B (nipik) = (2) un Cr (x; -μ)². P(x=x₁) = wenn (1-p)" • Intervallwahrscheinlichkeiten (Summenformel) gilt: n-k TR: 7,1,2 clas Diagramm der Verteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette Binomialverteil TR 7,4, 1 xn P(x=xn) X: Definition der Treffer (Anzahl eines Versuchsausganges) P: Erfolgs-/Treffwahrscheinlichkeit pro Durchführung k: Anzahl der Treffer (xi) Kumulierte Binomialverteilung + Aufsummierte Binomial wahrscheinlichkeiten für höchstens astische zufallsvariablen + binominalverteilung Bernoulli- Experiment - Allgemein Einteilung eines Ergebnisses eines Zufallsexperiments eindeutig in Treffer /Erfolg & Niete/ •Bernoulli-Kette bei n-maliger & unabhängiger wiederholung die Wahrscheinlichkeit der Treffer ändert sich nicht • Zufallsvariable X-> Anzahl der Treffer B (nipio)+ B (nip; 1) +.. Für mindestens" ausrechnen durch Gegenwahrscheinlichkeit Durchschnitt/Mittelwert/ arithmetisches Mittel B(n; pik) X = Mittlere quadratische Abweichung - Varianz • Extremwerte (größere Abweichungen) fallen durch das Quadrieren stärker ins Gewicht V (x) = Messwerte { x₁ h (x₂) i=A Standardabweichung = Wurzel aus der Varianz S(X) = √√√√(x) (x-μ)². P(x= xn) k Treffer E teilung Abweichung (x₁ - x) h (x) relative Häufigkeiten → Rechnung für genau einen Treffer Statistik = Untersuchung realer Messdaten Vorhersage für die Zukunft auf Basis / Auswertung der statistischen Messdaten Stochastik = Ź X; P ( X = x₁) i=A F(nipik) (1-F (nip;k)) wrelative Häufigkeit {(x₁ -μ)². P(x=x₁) ete / Misserfolg n: Anzahl der Versuche (R) 1: Anzahl der gesamten Kombinationen Ziehen mit Zurücklegen! bleibt immer gleich P auch anwendbar bei hohem n p ändert sich kaum Berechnungen von Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten P(X=k)= B(n; p;k) PIX≤k) = F(nipik) P(x = k) = 1- F(n; p; k-1) P(a≤x≤ b) = P(x²b) - P(x≤a-1) = F(nipib) - F (nip; a-^) Kennzahlen Erwartungswert Varianz: . Beweis der Kennzahlen-Formeln Einzelner Bernoulli-Versuch : X: Anzahl an Treffern E(X) = O. (1-p) + 1.p=P 2 v(x) = p² (1-P) = 4 Standardabweichung: 0 (x) = E(x) = μ(x) = n.p V(x) = np. (1-P) Fehlerarten ● ● -Pu + (1-P) ². P +p-2p²+ n=1 √√n.p.11-p Hypothesen •Es werden 2 Vermutungen benannt Nullhypothese Ho Gegenhypothese H₁ (Alternativhypothese) Ho • Wie viele Spiele muesen mindestens gespielt werden, damit.... 1- (Gegenwahrscheinlichkeit)" = P P ->PH (Entscheidung für Ho) HA 2 (Entscheidung für H₁) Wahrscheinlichkeitsverteilung O Xi P(x=x₂) 1-P + 3 P (1-2p+p²) p p.(^-p) 2 P Fehleinschätzung durch ungenawe Stichprobe • Niemals auszuschließen, jedoch abschatzbar Entscheidungsregel • Bei welchem Ergebnis wird die Hypothese als richtig angenommen? • Annahme- & Ablehnungsbereich der Nullhypothese + + Fehler 1. Art (α-Fehler) Entscheidung irrtümlich für H₁, obwohl Ho wahr ist = 1 P 2 hypothesenter von Pa Verwendung Fehler 2. Art (ß-Fehler) → nur mit konkretem Beispiel möglich (z. B. anderes p) Entscheidung irrtümlich für Ho, dowohl He wahr ist Verwendung von PA Signifikanzniveau Vorheriges Festlegen einer Höchstgrenze für die Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler 1. Art) Höchstgrenze = Signifikanzniveau x (oft 5/10%) Festlegung der Entscheidungsregel aufgrund des Signifikanzniveaus • Definiere eine neue Zufallsvariable van n unterschiedlichen X. y = x₁ + x₂ + x3 + ● = V (Y) = = dann gilt für Y E (Y) = E(X₁ + X₂+...+ x₁) = E(X₁) + E (X₂) + ... + p+p+ ... +P n-mal V (X₁ + X₂+...+x₁) = V(X₂) + V (X ₂) + ... + V (Xn) np. (1-p) Testen nach einer Stichprobe Stichprobe vom Ergebnis der Stichprobe -> Zufallsgröße X = + X₂ 1 Ho P НА P : Umfang n → welche Hypothese sollte zutreffend sein? Prüfgröße Rechtsseitiger Test 2 Signifikanztest Von welcher Seite wird gegen eine Behauptung getestet? Po Po Y als Summe X<K> Ents. für Ho X = K Ents. für H₁ P(X ≤K-1) ≥ 1-α F(ni Poik-1) ²1-α Linksseitiger Test Entscheidungsregeln größer & desto kleiner ß H₂' H₁: pz Po P Po Höchstgrenze für einen Fehler 1.Art E(X) X>K Ents. für He X ≤K Ents for H₁ P(X ≤K) ≤ x F(nipoik) ≤ x Mathematische Beschreibung der Qualität folg. Aussage 4> Entscheidet man sich aufgrund des Testergebnisses für H₁ (Ho wird verworfen), so irrt man sich dabei höchstens mit der Wahrscheinlichkeit &

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Q3 - Stochastik Grundbegriffe der Stochastik •Das Resultat eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis • Wird ein Zufallsexperiment mehrfach wiederholt, so wird es mehrstufiges Zufallsexperiment genannt Die Menge aller möglichen Ergebnisse bildet den Ergebnisraum 2 ● •Ein Ereignis ist eine Zusammenfassung möglicher Ergebnisse (Teilmenge des Ergebnisraums -> ECS) Das Gegenereignis E eines Ereignisses E tritt E nicht eintritt genow dann ein, wenn ->Es gilt: P (E) = 1 - P(E) bei P(E)+ P(E) = 1 Unmögliche Ereignisse (E = Ø) können nicht eintreten (kein Ergebnis vorhanden) Das Sichere Ereignis (E = √2) tritt immer ein, da es alle Ergebnisse enthält Laplace-Wahrscheinlichkeit ● ● Tritt jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein (Gleichverteilung), So wird das Experiment Laplace-Experiment genannt. ↳> Für ein Ergebnis &, das aus einer Menge van Ergebnissen besteht E = { ₁, ₂,..., en }, gilt dann: P (E)= Schnitt & 180 Vereinigung IEI 1221 an (E) = k hn (E) k = n Kugeln i Möglichkeiten Allgemein n k Anzahl günstiger Ergebnisse für E Anzahl aller Ergebnisse von Ereignissen Schnitt Vereinigung E₁ UE₂ → Wenigstens eines der Ereignisse E₁ grundlagen Doppelte Ergebnisse, welche bei beiden Ereignissen zutreffen, müssen einzeln betrachtet werden! E₁ E₂ →Sowohl E, als auch E₂ tritt ein: Gegenereignis € = ohne →E tritt ein, wenn E nicht eintritt absolute Häufigkeit relative Häufigkeit nur Ergebnisse, die bei beiden Ereignissen zutreffen, werden beachtet N=n Beispiel • Urne mit 10 Kugeln, nummeriert von 1-10. 3x Ziehen • Anzahl der Ergebnismöglichkeiten N= 10.10.10 = 10³ Allgemein Ziehungen (0 <k) Absolute & Relative Häufigkeit • Ein Zufallsexperiment wird n-mal wiederholt. Tritt das Ereignis...

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Ziehungen k k Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen n Cr. (z.B. Lotto) Ungeordnet: Reihenfolge der gezogenen Kugeln ist egal Beispiel 1 • Mini-Lotto 3 aus 20 Nun werden viele verschiedene Ergebnisse einer geordneten Stichprobe zu einem Ergebnis der ungeordneten Stichprobe Beispiel (2,5,8) (5,2.8) (2,8,5) (8,2,5) (5,8,2) (8,5,2) Allgemein • Kugeln, k Ziehung Möglichkeitenen N = (^)= k!·(n-1)! P = 0 → dieser Bruch wird Binomialkoeffizient genannt. →abkürzende Schreibweise Berechnungsbeispiel für Lotto 6 aus 49 (R) k! (n-ke)! • Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige: 1 = (45) 13 983 846 • Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige (3). (43) (48) 6 43 Richtige Falsch P = P(A) P(A) Beispiel 1 bedingte Allgemeine Informationen Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis von dem vorherigen abhängig Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass ein bereits eingetreten ist Ereignis A • Schreibweise: P (B) Bedingte Wahrscheinlichkeiten befinden sich also immer hinteren Zweig im Baumdiagramm PACO B P (B) 3 0,06 P (B) (5 0,94 } Beispiel 2 Ein Spieler hat dass die erste P₁(B) = 0,2 P (B) 0,04 0,9 1 Ergebnis: (2,5,8) Anzahl: 2x drehen A: "1. Drehung ist eine g" 8: "Man gewinnt" = Formel geordnete Stichprobe Anordnungsmöglichkeiten von k-Kugeln P(ANB) P (AMB) P (ANB) 3 P (ANB) 31 (3 Fakultät) = 0,0176 = 1,8% Gewinn: 4 Summe 18, 19 -> kleiner Gewinn Summe 20 → Hauptgewinn 0₁ A 0,9 wie gewonnen. groß Drehung eine 9 war. P₂ (A)-> Inverses Baumdiagramm PB(A) →P(BNA) = 0,02 A PA (B) 45 (gesprochen "n über le") # gesamte cr Es gilt der Zusammenhang P (ANB) P(A) P(B)- P(ANB) 0,02 PB (A) = 0,06 (B) -9,02 6 ist die Wahrscheinlichkeit, + 3 -001 • um zu gewinnen, entwede 8.9 0.40 ug also 1/3 Anzahl benötigte Anzahl wahrscheinlic auf einem P (ANB) 1/3 4 Gewinn P(A) >O lag AO.Xo n Kugeln Binomialkoeffizient nl k! (n-k)! (12) = 0! = 1 -> keit Multiplikationssatz P (ANB) = P(B). PB (A) P (8) >0 P8 (A) = Stochastische Unabhängigkeit • wenn Pg (A) = P(A) dann P₁ (B) = P(B) Satz von Bayes A (n) = = 1 Totale Wahrscheinlichkeit PIA) = P(B) PB (A) + P(B). P (A) P(A) P (B) P(B) Vierfeldertafeln (O≤k≤n) (0) = 1 k Ziehungen P(A) PA (B) PLA) PA (B)+ PIA). P (B) B ANBI |A3| A Ā ANBI A BI Summen 131 absolute Häufigkeit IBI bedingte Wahrscheinlichkeit Randwahrscheinlichkeit P (A) i Summen IAI = IĀI Summe JAI Summe PB (A) = B P(ANB) P (ANB) А P(ANB) P(AB) Summen P (B) P(B) ↳ Wahrscheinleichkeit (relative Häufigkeit) JANBI 1B1 Summen P (A) P (A) ^ Unabhängigkeit von Ereignissen Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig.. P (B) = P (B) bzw. (A)=P(A) Statistische Kennzahlen - Allgemein Auswertung von Daten Empirische Untersuchungen → reale Datenlage • genutzt für Stochastile & Vorhersagen für die Zukunft Wahrscheinlichkeitsverteilung Auflistung aller Werte X; von X Wahrscheinlichkeiten P (x= x;) Grafische Darstellung = Histogramm · Beispiele Zufallsvariable (Zufallsgröße) • Eine Größe, die jedem Ergebnis eindeutig eine reele Zahl zuordnet Großbuchstaben X; P(X= x;) 01 2 34 (z. B. Umfragen) 4/5/.. stoc Erwartungswert einer Zufallsgröße μ = E(X) = Stochastische Varianz Wahrscheinlichkeitsverteilung Eigenschaften des Histogramms Je größer n, umso breiter, flacher und symmetrischer ist Je größer p, umso weiter rechts liegt das Maximum p= 0,5 → symmetrische Verteilung . Stochastische Standardabweichung • (X) = √√√√(x) x₁ P(x = x₁ + x₂ P ( X = X ₂) + ... is A Zusammen mit ihren statistik Histogramm V(x) = (x₁-μ)². P(x= x₂) + (x₁₂ -μ)². P ( x = x ₂) + Binomiale wahrscheinlichkeit P(x≤R) P(X=k)=B (nipik) = (2) un Cr (x; -μ)². P(x=x₁) = wenn (1-p)" • Intervallwahrscheinlichkeiten (Summenformel) gilt: n-k TR: 7,1,2 clas Diagramm der Verteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette Binomialverteil TR 7,4, 1 xn P(x=xn) X: Definition der Treffer (Anzahl eines Versuchsausganges) P: Erfolgs-/Treffwahrscheinlichkeit pro Durchführung k: Anzahl der Treffer (xi) Kumulierte Binomialverteilung + Aufsummierte Binomial wahrscheinlichkeiten für höchstens astische zufallsvariablen + binominalverteilung Bernoulli- Experiment - Allgemein Einteilung eines Ergebnisses eines Zufallsexperiments eindeutig in Treffer /Erfolg & Niete/ •Bernoulli-Kette bei n-maliger & unabhängiger wiederholung die Wahrscheinlichkeit der Treffer ändert sich nicht • Zufallsvariable X-> Anzahl der Treffer B (nipio)+ B (nip; 1) +.. Für mindestens" ausrechnen durch Gegenwahrscheinlichkeit Durchschnitt/Mittelwert/ arithmetisches Mittel B(n; pik) X = Mittlere quadratische Abweichung - Varianz • Extremwerte (größere Abweichungen) fallen durch das Quadrieren stärker ins Gewicht V (x) = Messwerte { x₁ h (x₂) i=A Standardabweichung = Wurzel aus der Varianz S(X) = √√√√(x) (x-μ)². P(x= xn) k Treffer E teilung Abweichung (x₁ - x) h (x) relative Häufigkeiten → Rechnung für genau einen Treffer Statistik = Untersuchung realer Messdaten Vorhersage für die Zukunft auf Basis / Auswertung der statistischen Messdaten Stochastik = Ź X; P ( X = x₁) i=A F(nipik) (1-F (nip;k)) wrelative Häufigkeit {(x₁ -μ)². P(x=x₁) ete / Misserfolg n: Anzahl der Versuche (R) 1: Anzahl der gesamten Kombinationen Ziehen mit Zurücklegen! bleibt immer gleich P auch anwendbar bei hohem n p ändert sich kaum Berechnungen von Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten P(X=k)= B(n; p;k) PIX≤k) = F(nipik) P(x = k) = 1- F(n; p; k-1) P(a≤x≤ b) = P(x²b) - P(x≤a-1) = F(nipib) - F (nip; a-^) Kennzahlen Erwartungswert Varianz: . Beweis der Kennzahlen-Formeln Einzelner Bernoulli-Versuch : X: Anzahl an Treffern E(X) = O. (1-p) + 1.p=P 2 v(x) = p² (1-P) = 4 Standardabweichung: 0 (x) = E(x) = μ(x) = n.p V(x) = np. (1-P) Fehlerarten ● ● -Pu + (1-P) ². P +p-2p²+ n=1 √√n.p.11-p Hypothesen •Es werden 2 Vermutungen benannt Nullhypothese Ho Gegenhypothese H₁ (Alternativhypothese) Ho • Wie viele Spiele muesen mindestens gespielt werden, damit.... 1- (Gegenwahrscheinlichkeit)" = P P ->PH (Entscheidung für Ho) HA 2 (Entscheidung für H₁) Wahrscheinlichkeitsverteilung O Xi P(x=x₂) 1-P + 3 P (1-2p+p²) p p.(^-p) 2 P Fehleinschätzung durch ungenawe Stichprobe • Niemals auszuschließen, jedoch abschatzbar Entscheidungsregel • Bei welchem Ergebnis wird die Hypothese als richtig angenommen? • Annahme- & Ablehnungsbereich der Nullhypothese + + Fehler 1. Art (α-Fehler) Entscheidung irrtümlich für H₁, obwohl Ho wahr ist = 1 P 2 hypothesenter von Pa Verwendung Fehler 2. Art (ß-Fehler) → nur mit konkretem Beispiel möglich (z. B. anderes p) Entscheidung irrtümlich für Ho, dowohl He wahr ist Verwendung von PA Signifikanzniveau Vorheriges Festlegen einer Höchstgrenze für die Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler 1. Art) Höchstgrenze = Signifikanzniveau x (oft 5/10%) Festlegung der Entscheidungsregel aufgrund des Signifikanzniveaus • Definiere eine neue Zufallsvariable van n unterschiedlichen X. y = x₁ + x₂ + x3 + ● = V (Y) = = dann gilt für Y E (Y) = E(X₁ + X₂+...+ x₁) = E(X₁) + E (X₂) + ... + p+p+ ... +P n-mal V (X₁ + X₂+...+x₁) = V(X₂) + V (X ₂) + ... + V (Xn) np. (1-p) Testen nach einer Stichprobe Stichprobe vom Ergebnis der Stichprobe -> Zufallsgröße X = + X₂ 1 Ho P НА P : Umfang n → welche Hypothese sollte zutreffend sein? Prüfgröße Rechtsseitiger Test 2 Signifikanztest Von welcher Seite wird gegen eine Behauptung getestet? Po Po Y als Summe X<K> Ents. für Ho X = K Ents. für H₁ P(X ≤K-1) ≥ 1-α F(ni Poik-1) ²1-α Linksseitiger Test Entscheidungsregeln größer & desto kleiner ß H₂' H₁: pz Po P Po Höchstgrenze für einen Fehler 1.Art E(X) X>K Ents. für He X ≤K Ents for H₁ P(X ≤K) ≤ x F(nipoik) ≤ x Mathematische Beschreibung der Qualität folg. Aussage 4> Entscheidet man sich aufgrund des Testergebnisses für H₁ (Ho wird verworfen), so irrt man sich dabei höchstens mit der Wahrscheinlichkeit &