Quadratische Funktionen: So wandelst du die Normalform in die Scheitelpunktform um

Quadratische Funktionen: Von Normal- zur Scheitelpunktform

Du kennst bestimmt schon quadratische Funktionen wie $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Diese stehen in der Normalform, aber manchmal brauchst du sie in der Scheitelpunktform.

Die Scheitelpunktform sieht so aus: $f(x) = (x - d)^2 + e$. Der große Vorteil? Du kannst den Scheitelpunkt direkt ablesen: Er liegt bei $(d|e)$.

Um von der Normal- zur Scheitelpunktform zu kommen, verwendest du die quadratische Ergänzung. Das klingt kompliziert, ist aber eigentlich nur ein cleverer Trick mit Zahlen.

Merke dir: Bei der quadratischen Ergänzung nimmst du die Hälfte vom Faktor vor dem $x$, quadrierst sie und addierst/subtrahierst diese Zahl geschickt.

So funktioniert die quadratische Ergänzung

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Der Faktor vor dem $x$ ist $-6$, die Hälfte davon ist $-3$.

Jetzt quadrierst du die $-3$ und erhältst $9$. Diese $9$ addierst und subtrahierst du gleichzeitig: $x^2 - 6x + 9 - 9 + 8$.

Die ersten drei Terme ergeben eine binomische Formel: $(x - 3)^2$. Den Rest rechnest du zusammen: $-9 + 8 = -1$. Fertig ist die Scheitelpunktform: $(x - 3)^2 - 1$.

Bei positiven Faktoren wie $x^2 + 6x + 8$ machst du dasselbe: Hälfte von $6$ ist $3$, quadriert ergibt $9$. Das führt zu $(x + 3)^2 - 1$.

Tipp: Auch bei Brüchen wie $x^2 - x - 20$ funktioniert's! Hälfte von $-1$ ist $-0{,}5$, quadriert $0{,}25$. Ergebnis: $(x - 0{,}5)^2 - 20{,}25$.