Stochastik 2.0

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S₂) W₂ S2 (W₁nS₂) W₂ 4-Felder-Tafel B B A P(ANB) P(ANB) P(B) P(ANB) PAB) P(B) P(A) P(A) A Pi (3). PB (A) = P(ANB) P(A) PLAB) P(B) Binomialverteilung P(X= k) = (^~^) pt. (^-p)^-^ Anzahl der Pfade mit genau k Treffern bei n Versuchen Varianz ^ Erwartungswert E (x) = M = n. p Wahrscheinlichkeit entlang genau eines Pfades mit Treffern D! ( 2 ) = x² (n-K)! v (x) = 0² = n.p.(^-p) (6) = ₁ 1 (^^) = n (n)= 1 28 29 Standardabweichung 0 = √n p⋅ (1-P)' Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung Einfluss der Trefferw. P ✓ p<0,5 ↓ linkslastiges Histogramm V p=0,5 symmetrisches Histogramm Approximaton p> 0,5 TV 2 100.n rechtslastiges Histogramm Anzahl der gesamten kugeln Einfluss der Länge ✓ je kleiner clesto schmaler das Histogramm cesto höher werden die Säulen V je größer Binomialverteilte Zufallsgrößen desto breiter das Histogramm clesto romanischer die Säulen (kleiner, flacher) nähert sich dem symmetrischen Histogramm an Anzahl der gezogenen Kugeln (n) genau k Treffer P(X= k) = (^). pk. (^-p)^-k P höchstens k Treffer: P(x ≤k) -> binom Cdf (n₁p, 0,k) mindestens k Treffer: P(x² k) = 1 - P(X ≤ K ≤ -₁) → binom Caf (n, p, k, n) mindestens kund höchstens k₂ Treffer P(k₁ ≤ x ≤k₂ ) -> binom Calf (n. p, k₂, n) + binom Caf (n₁, p₁0₁k₁) binom Pdf (n₁p,k) Sigmaregel P(u-o<X<μ+o) = 0,683 P(μ-20 < X<μ+20) = 0,954 P(μ-30 < X <μ+30) = 0,997 P-Wert Wenn die Laplace bedingung 03 erfüllt ist. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca....../. kann man davon ausgehen, dass man und höchstens... Sachen rechnen muss bei n... mit mindestens P(u-1,640 < X <u+1,640) ≈ 0,90 P(-1,960 < X <+1,960) = 0,95 P(μ-2,58σ < X < μ + 2,586) = 0,99 W. dafür, dass das beobachtete Ereignis auftritt, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist Je kleiner der P-Wert, desto stárker spricht Stichprobe gegen die Nullhypothese Situation: Kai beobachtet einen Spieler bei einem Würfelspiel. Er stellt fest, dass bei den ersten 60 Würfen 16-mal die ,,Sechs" erscheint. Bei einem fairen Würfel hätte er in etwa 10-mal eine ,,Sechs" erwartet. Ist der Würfel be- züglich der ,,Sechs" manipuliert, oder kann das Ergebnis Zufall sein? Nullhypothese Ho: Der Würfel ist fair, d. h. P(,,Sechs") = 1. Alternativhypothese H₁: Sechsen" sind bevorzugt, d. h. P(,,Sechs") > /. Testgröße X: Anzahl der ,Sechsen" Bei wahrer Nullhypothese ist X binomialverteilt mit p = und n = 60. P-Wert: P(X2 16|H, ist wahr) 60 P(X ≥ 16) = Σ (60) (1)*(5) 60-* k=16 = 0,034 ▪ P-Wert 0,12 - ≤0,1% sehr starke ≤ 1% starke ▪ ≤ 5% mittlere ≤ 10% schwache keine > 10% der Befund" in der 0,04 0,08- 4 P(X=k) Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese 0 Exkurs: Hilfestellung zur Interpretation von P-Wert Achtung! Interpretation und Bewertung: Wenn die Nullhypothese wahr ist, dann tritt das beobachtete Ereignis oder ein noch extremeres mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 3,4% auf. Dies spricht gegen das Vorliegen eines fairen Würfels und damit für den Verdacht, dass es sich um einen manipulierten Würfel handelt. B (60,-, k) k 5 10 15 20 2. P(X≥16) 1. Kleiner P-Wert: Wir zweifeln die Nullhypothese an. Großer P-Wert: Man kann die Nullhypothese nicht ausschließen, aber sie ist anhand der Daten auch nicht ,,statistisch" bewiesen! 30 31 Hypothesentest mit Signifikanzniveau (1) Nullhypothese H0: p ≤ 0,07 Alternativhypothese Signivikan zniveau: = 0,05 Stichprobenumfang: n = 50 Testgröße X: Anzahl der fehlerhaften Teile X ist binomialverteilt (2) Stimmt H0, dann müssten in der Stichprobe in etwa μ = n°p 3,5 fehlerhafte Teile vorkommen. Große Abweichungen vom Erwartungswert nach oben, werden uns veranlassen, H0 zugunsten von H1 zu verwerfen. Skizze: (4) H1: p > 0,07 k P(X=k) 7 8 k=² (3) Bestimmung des Verwerfungsbereiches V P ( X = k, ≤0,05 k 50) = binomCdf (50, 0.07, k, 50) ≤ 0,05 f1(k)=binomCdf (50, 0.07, k, 50) 0,058... > 0,05 0,022... < 0,05 V = {8,...,50} Interpretation Wenn die Stichprobe mind. 8 fehlerhafte Teile enthält, sollte man davon ausgehen, dass die Firma ihre Vorgaben nicht einhält und die Lieferung zurückgeschickt wird. Fehler beim Hypothesentest In der Realität/ Wirklichkeit gilt: HO ist wahr! HO ist falsch! Eigenschaften (2) Das Stichprobenergebnis führt zu der f(x)=0 5 •Sfilax (1) Definitionsbereich: reele zalen x2 Se X^ HO wird verworfen! Fehler 1. Art Stetige Zufallsgröße Normalverteilung Schlussfolgerung: alles in Ordnung f(x) dx f(x) dx mit D(F)= [a b] - stetiger Graph (3) Im Definitionsbereich muss gelten, dass für den Wertebereich gilt: HO wird nicht verworfen! alles in Ordnung Fehler 2. Art W, dass die Zufallsgröße im Intervall liegt: ->Flacheninhalt zwischen dem Graphen der Wahrscheinlich- keitsdichte und der 1. Achse: 32 Achtung! P (x = Xo) M = 33 μ-20 = P(x₁ < x < X ₂) = Gaußsche Glockenkurve Хо Sf(x) dx = μ-o Erwartungswert X₂ £. x. X^ XA Хо Normalverteilung +68,27% - • f(x) dx X2 -95,45% 99,73% μ Standardabweichung X₂ σ = V (x-μ)² ·f(x) dx =√ {(x-1)² f(x) dx 1 μ+o = P(X₁ ≤ x ≤ x₂) μ+20 P(a≤xsb)= 1 0.2π b Set (x-μ) 슬(뽕) dx Rechnen mit dem GTR (μ= 10; 0 =2) (M. 10; 0=2) (μ= 10; 0 =2) P(x² k) = 0,2 => inv Norm (0.2, 100,6) (μ= 100; 0= 6) P (x ² k) = 0,4 => inv Norm (1-0.4, 100,6) (μ= 100; 0=6) P(μ-k ≤ x ≤ μ+k) => inv Norm (0.1, 100,6)= ² ( μ = 100; 0= 6) 100,6).. ↳ k = 100 - 92,31 = 7,6 P ( x ≤ 12) = ² P ( x ≥ 7) = ? P(6≤x≤13) = ? => norm Cdf (-00, 12, 10, 2) => norm Caf (7, 00, 10.2) => norm Cdf (6, 13, 10, 2) 34