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Stochastik 2.0

12.5.2021

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Stochastik Grundlagen Begriffe Baumdiagramme Mit zurücklegen Ohne zurücklegen Pfadregeln Bedingte Wahrscheinlichkeiten Grundlagen 4-Felder-Tafel Binomialverteilung Erwartungswert Standardabweichung Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung Approximation. Binomialverteilte Zufallsgrößen Sigmaregel P-Wert Hypothesentest mit Signifikanzniveau Fehler beim Hypothesentest Stetige Zufallsgröße - Normalverteilung Eigenschaften Gaußsche Glockenkurve Erwartungswert Standardabweichung Rechnen mit dem GTR 26 26 2232 26 26 26 27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 30 30 31 32 32 32 33 33 33 34 Grundlagen Begriffe Zufallsexperiment: Ablauf ist geplant und wiederholbar (reproduzierbar) Ergebnis ist in allen verschieden Möglichkeiten bekannt, aber für die einzelne Ausführung nicht vorhersagbar Notation von Mengen - Vereinigung: A UB: „A oder 3" - Durchschnitt AnB: ,,A und 3" - Differenz A/B: "A ohne 3" Baumdiagramme mehrstufiges Zufallsexperiment Mit zurücklegen im zweiten Zug stehen an jedem Pfad dieselben Wahrscheinlichkeiten wie im ersten Zug Ohne zurücklegen die Gesamtzahl der Kugel in der Urne ändert sich => Wahrscheinlichkeit im zweiten zug andert sich (nicht entweder - oder") 1/2 S 1/2 -W 1. Zug 1/2 S 1/2 W 1. Zug 1/2 1/2 1/2 1/2 2. Zug 5/11 6/11 6/11 -S (S,S) -W (S,W) -S (W,S) -W (W,W) 5/11 2. Zug S (S,S) -W (S, M) S (W,S) -W (W,W) 26 Pfadregeln 1. Pfadregel Multiplikationsregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird berechnet, indem die Wahr- Scheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert wird bsp.: 27 bsp: mit zurücklegen: P(s,s) = 2 2 = 4 Ohne zurücklegen: P(S,S) = 2/ 2. Pfadregel: Additions regel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade von zu A gehörenden Ereignissen addiert werden: Grundlagen 1. Zug : ر ۵۰ 2- weiße Kugel dass 2. Zug Schwarze Kugel Pw₁ (S₂) = 3/ mit zurücklegen: P(A) = P(S₁S) + P(W₁W) ohne zurücklegen: P(A) = P(S, S) + P(W₁W) = 2 л. ғид Schwarze Kugel ->w., dass 2. Zug. Schwarze Kugel P(ANB) = P(A) · PA (B) ↓ Pa (B) = ^^ „B, = 25% = 27% Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit kann von einem zuvor eintretenen abhängen. P(AB) P(A) 습 = vorausgesetzt A" + 1/2 -S₁ 1/2 -W₁5 슬 S 10 22 = +22 50% 1/3 2/3 2/3 1/3 = 45,4%. S2 (S₁n...

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S₂) W₂ S2 (W₁nS₂) W₂ 4-Felder-Tafel B B A P(ANB) P(ANB) P(B) P(ANB) PAB) P(B) P(A) P(A) A Pi (3). PB (A) = P(ANB) P(A) PLAB) P(B) Binomialverteilung P(X= k) = (^~^) pt. (^-p)^-^ Anzahl der Pfade mit genau k Treffern bei n Versuchen Varianz ^ Erwartungswert E (x) = M = n. p Wahrscheinlichkeit entlang genau eines Pfades mit Treffern D! ( 2 ) = x² (n-K)! v (x) = 0² = n.p.(^-p) (6) = ₁ 1 (^^) = n (n)= 1 28 29 Standardabweichung 0 = √n p⋅ (1-P)' Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung Einfluss der Trefferw. P ✓ p<0,5 ↓ linkslastiges Histogramm V p=0,5 symmetrisches Histogramm Approximaton p> 0,5 TV 2 100.n rechtslastiges Histogramm Anzahl der gesamten kugeln Einfluss der Länge ✓ je kleiner clesto schmaler das Histogramm cesto höher werden die Säulen V je größer Binomialverteilte Zufallsgrößen desto breiter das Histogramm clesto romanischer die Säulen (kleiner, flacher) nähert sich dem symmetrischen Histogramm an Anzahl der gezogenen Kugeln (n) genau k Treffer P(X= k) = (^). pk. (^-p)^-k P höchstens k Treffer: P(x ≤k) -> binom Cdf (n₁p, 0,k) mindestens k Treffer: P(x² k) = 1 - P(X ≤ K ≤ -₁) → binom Caf (n, p, k, n) mindestens kund höchstens k₂ Treffer P(k₁ ≤ x ≤k₂ ) -> binom Calf (n. p, k₂, n) + binom Caf (n₁, p₁0₁k₁) binom Pdf (n₁p,k) Sigmaregel P(u-o<X<μ+o) = 0,683 P(μ-20 < X<μ+20) = 0,954 P(μ-30 < X <μ+30) = 0,997 P-Wert Wenn die Laplace bedingung 03 erfüllt ist. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca....../. kann man davon ausgehen, dass man und höchstens... Sachen rechnen muss bei n... mit mindestens P(u-1,640 < X <u+1,640) ≈ 0,90 P(-1,960 < X <+1,960) = 0,95 P(μ-2,58σ < X < μ + 2,586) = 0,99 W. dafür, dass das beobachtete Ereignis auftritt, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist Je kleiner der P-Wert, desto stárker spricht Stichprobe gegen die Nullhypothese Situation: Kai beobachtet einen Spieler bei einem Würfelspiel. Er stellt fest, dass bei den ersten 60 Würfen 16-mal die ,,Sechs" erscheint. Bei einem fairen Würfel hätte er in etwa 10-mal eine ,,Sechs" erwartet. Ist der Würfel be- züglich der ,,Sechs" manipuliert, oder kann das Ergebnis Zufall sein? Nullhypothese Ho: Der Würfel ist fair, d. h. P(,,Sechs") = 1. Alternativhypothese H₁: Sechsen" sind bevorzugt, d. h. P(,,Sechs") > /. Testgröße X: Anzahl der ,Sechsen" Bei wahrer Nullhypothese ist X binomialverteilt mit p = und n = 60. P-Wert: P(X2 16|H, ist wahr) 60 P(X ≥ 16) = Σ (60) (1)*(5) 60-* k=16 = 0,034 ▪ P-Wert 0,12 - ≤0,1% sehr starke ≤ 1% starke ▪ ≤ 5% mittlere ≤ 10% schwache keine > 10% der Befund" in der 0,04 0,08- 4 P(X=k) Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese 0 Exkurs: Hilfestellung zur Interpretation von P-Wert Achtung! Interpretation und Bewertung: Wenn die Nullhypothese wahr ist, dann tritt das beobachtete Ereignis oder ein noch extremeres mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 3,4% auf. Dies spricht gegen das Vorliegen eines fairen Würfels und damit für den Verdacht, dass es sich um einen manipulierten Würfel handelt. B (60,-, k) k 5 10 15 20 2. P(X≥16) 1. Kleiner P-Wert: Wir zweifeln die Nullhypothese an. Großer P-Wert: Man kann die Nullhypothese nicht ausschließen, aber sie ist anhand der Daten auch nicht ,,statistisch" bewiesen! 30 31 Hypothesentest mit Signifikanzniveau (1) Nullhypothese H0: p ≤ 0,07 Alternativhypothese Signivikan zniveau: = 0,05 Stichprobenumfang: n = 50 Testgröße X: Anzahl der fehlerhaften Teile X ist binomialverteilt (2) Stimmt H0, dann müssten in der Stichprobe in etwa μ = n°p 3,5 fehlerhafte Teile vorkommen. Große Abweichungen vom Erwartungswert nach oben, werden uns veranlassen, H0 zugunsten von H1 zu verwerfen. Skizze: (4) H1: p > 0,07 k P(X=k) 7 8 k=² (3) Bestimmung des Verwerfungsbereiches V P ( X = k, ≤0,05 k 50) = binomCdf (50, 0.07, k, 50) ≤ 0,05 f1(k)=binomCdf (50, 0.07, k, 50) 0,058... > 0,05 0,022... < 0,05 V = {8,...,50} Interpretation Wenn die Stichprobe mind. 8 fehlerhafte Teile enthält, sollte man davon ausgehen, dass die Firma ihre Vorgaben nicht einhält und die Lieferung zurückgeschickt wird. Fehler beim Hypothesentest In der Realität/ Wirklichkeit gilt: HO ist wahr! HO ist falsch! Eigenschaften (2) Das Stichprobenergebnis führt zu der f(x)=0 5 •Sfilax (1) Definitionsbereich: reele zalen x2 Se X^ HO wird verworfen! Fehler 1. Art Stetige Zufallsgröße Normalverteilung Schlussfolgerung: alles in Ordnung f(x) dx f(x) dx mit D(F)= [a b] - stetiger Graph (3) Im Definitionsbereich muss gelten, dass für den Wertebereich gilt: HO wird nicht verworfen! alles in Ordnung Fehler 2. Art W, dass die Zufallsgröße im Intervall liegt: ->Flacheninhalt zwischen dem Graphen der Wahrscheinlich- keitsdichte und der 1. Achse: 32 Achtung! P (x = Xo) M = 33 μ-20 = P(x₁ < x < X ₂) = Gaußsche Glockenkurve Хо Sf(x) dx = μ-o Erwartungswert X₂ £. x. X^ XA Хо Normalverteilung +68,27% - • f(x) dx X2 -95,45% 99,73% μ Standardabweichung X₂ σ = V (x-μ)² ·f(x) dx =√ {(x-1)² f(x) dx 1 μ+o = P(X₁ ≤ x ≤ x₂) μ+20 P(a≤xsb)= 1 0.2π b Set (x-μ) 슬(뽕) dx Rechnen mit dem GTR (μ= 10; 0 =2) (M. 10; 0=2) (μ= 10; 0 =2) P(x² k) = 0,2 => inv Norm (0.2, 100,6) (μ= 100; 0= 6) P (x ² k) = 0,4 => inv Norm (1-0.4, 100,6) (μ= 100; 0=6) P(μ-k ≤ x ≤ μ+k) => inv Norm (0.1, 100,6)= ² ( μ = 100; 0= 6) 100,6).. ↳ k = 100 - 92,31 = 7,6 P ( x ≤ 12) = ² P ( x ≥ 7) = ? P(6≤x≤13) = ? => norm Cdf (-00, 12, 10, 2) => norm Caf (7, 00, 10.2) => norm Cdf (6, 13, 10, 2) 34