Stochastik

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Urne. 40 100 R 59 99 B 40 99 60 99 39 99 R AS B R 58 98 B 40 98 R 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahr - Scheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. B Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. Gegenereignis Das Gegenereignis tritt dann ein, wenn das Ereignis nicht eintritt. E Ereignis P(E) + P(E)= 1 1 - P(E)= P (E) & Gegen ereignis Binomialverteilung P(X= k) = (^) (pk. (₁-P)^-k Anzahl der Pfade mit genau k Treffern bein Versuchen (^). Erwartungswert M = n · P Streuung/Varianz م n! k!·(n-k)! Standardabweichung o = √n. p. (^-p) ✓ p<0,5 V(x) = n⋅p⋅ (1-P) linkslastiges Histogramm Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit genau Treffern n! = 1.2.3. ·(n-1)・n (gesprochen = n Fakultät) Das Ergebnis, mit clem zurechnen ist. Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung (binomial) Einfluss der Trefferwahrscheinlichkeit p ↓ p=0,5 POS Į 0! = 1 Symmetrisches Histogramm rechtslastiges Histogram Einfluss der Länge ✓ je kleiner desto schmaler das Histogramm desto höher werden die Saulen n größer desto breiter das Histogramm desto romanischer die Säulen (kleiner, flacher) ↓ nähert sich dem symmetrischen Histo- gramm an Warum in gewissen Sachzusammenhangen Approximation? Ist die Anzahl der Kugeln in der Urne (Umfang der Gesamtheit TV) groß im Vergleich zur Anzahl der kugeln, die gezogen werden (Umfang der Stichprobe n), dann kann näherungsweise ein Binomialansatz gewählt werden. TV ² 100 n Binomialverteilung & Ziehen ohne Zurücklegen - Bernoulli Urnenziehung mit zurücklegen n Kugeln werden aus einer Urne mit a Schwarzen und b weißen Kugeln gezogen. Das Ziehen einer schwarzen Kugel wird als Erfolg angesehen: Treffer wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Ziehungen k Kugeln schwarz sind. ist P ( X = k) = (x²). p² . (^-p)` K P a P = atb P ( X = k) Ziehen ohne Zurücklegen - Hypergeometrische Verteilung In Kugeln werden aus einer Urne mit a schwarzen und b weißen. Kugeln gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, class k Kugeln schwarz sind: (i). (non) = (a+b) n n-k mit a + b ²n Binomialverteilte Zufallsgrößen genau k Treffer: P(x=k) = (^) .pk . (^-p)n-k höchstens P(x ≤ k ) Treffer: mindestens k Treffer: P(x = k) = . = 1- P(x ≤K-1) binom Pdf (n. p. a) kumulierte Wahrscheinlichkeit binom Cdf (n, p, a, b) mindestens k, und höchstens K₂ Treffer: P(k₁ ≤x≤k₂) = P ( X ≤ k ₂) - P(x≤k₁ -1) Sigmaregel Wenn die Laplace bedingung 03 erfällt ist, dann gilt 2 B. P(μ-o<X<μ+o) ≈ 0,683 P(μ-26 < X <μ +26) = 0,954 P(μ-30 < X <μ+30) = 0,997 Mit einer man bei kann. Kontrolle P(x = mind.. Wahrscheinlichkeit von Ca 7 kann man davon ausgehen, dass n... mit mindestens ... und höchstens Gegenständen rechnen P(-1,640 < X <+1,640) = 0,90 P(u-1,960 < X<+1,960)= 0,95 P(μ-2,58€ < X < μ +2,586) = 0,99 x.) = binom calf (n₁ p. a. b) * I..., max. P-Wert Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Zufallsstichprobe ein be- obachtes Ergebnis oder ein noch extremeres auftritt, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist. Je kleiner der P-Wert ist, desto stärker spricht der experimentelle Befund in der Stichprobe gegen die Nullhypothese. . P-Wert Situation: Kai beobachtet einen Spieler bei einem Würfelspiel. Er stellt fest, dass bei den ersten 60 Würfen 16-mal die ,,Sechs" erscheint. Bei einem fairen Würfel hätte er in etwa 10-mal eine ,,Sechs" erwartet. Ist der Würfel be- züglich der ,,Sechs" manipuliert, oder kann das Ergebnis Zufall sein? Nullhypothese Ho: Der Würfel ist fair, d. h. P(,,Sechs") = 1. Alternativhypothese H₁: Sechsen" sind bevorzugt, d. h. P(,,Sechs") > //. Testgröße X: Anzahl der ,,Sechsen" Bei wahrer Nullhypothese ist X binomialverteilt mit p = und n = 60. P-Wert: = ≤ 0,1% ≤1% • ≤5% ▪ ≤ 10% > 10% P(X 2 16|H, ist wahr) 60 P(X ≥ 16) = Σ (60) - (2)* - (260-* . k = 16 = 0,034 sehr starke starke mittlere schwache keine .... "1 0.12- 0,08 0,04 4 P(X=K) Exkurs: Hilfestellung zur Interpretation von P-Wert Achtung! %. (von oben) 0 5 10 15 20 Interpretation und Bewertung: Wenn die Nullhypothese wahr ist, dann tritt das beobachtete Ereignis oder ein noch extremeres mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 3,4% auf. Dies spricht gegen das Vorliegen eines fairen Würfels und damit für den Verdacht, dass es sich um einen manipulierten Würfel handelt. Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese B (60,-, k) 1. Kleiner P-Wert: P(X≥16) Wir zweifeln die Nullhypothese an. 2. Großer P-Wert: Man kann die Nullhypothese nicht ausschließen, aber sie ist anhand der Daten auch nicht ,,statistisch" bewiesen! Hypothesentest mit Signifikanzniveau Das Signifikanzniveau für einen Test ist eine Schranke für die Wahr- scheinlichkeit, mit der ein_Testergebnis unter der Annahme, das Ho Stimmt, eintreten darf. Tritt ein Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit ≤ & ein, So Spricht dies signifikant gegen die Nullhypothese, man wird Ho ver- werfen Aufgabe 1: (₁) Nullhypothese Ho: p ≤ 0,07 In Realitat/ Wirklichkeit gilt: Alternativhypothese H₁: p² 0,07 (entspricht nicht den Angaben) Signifikanzniveau: α = 0,05 Stichprobenumfang: n = 50 Testgröße X: Anzahl der fehlerhaften Teile X ist binomial verteilt (2) Stimmt Ho, dann müssten in der Stichprobe in etwa 3,5 fehlerhafte Teile vorkommen. Große Abweichungen vom Erwartungswert nach oben, werden uns veranlassen, Ho zugunsten von H₁ zu verwerfen. P(x=k) Skizze: ≤0,05 K= 2 K ist wahr! Fehler beim Hypothesentest Ho ist falsch! (Lieferung entspricht den Angaben) k 7 8 (3) Bestimmung des Verwerfungsbereichs V: P(x=k,..., 50) = binom Cdf (50,0,07, k, 50) ≤ 0,05 fx (k)= binom Cdf (500.07, k, 60) 0,058... 0,05 0,022 0,05 (4) Interpretation Wenn die Stichprobe mind. & fehlerhafte Teile enthält, sollte man davon ausgehen, dass die Firma Brecle- BRUNNEN meier ihre Vorgaben nicht einhält und die Lieferung zurückgeschickt wird. Ho wird ver- worfen Das Stichprobenergebnis führt zu der Schlussfolgerung: Fehler 1. Art - Fehler alles in M=n·P Ordnung! V=8.... 50 alles in Ordnung! Ho wird nicht Verworfen Fehler 2. Art B- Fehler Stetige Zufallsgröße Eigenschaften Definitionsbereich: reele Zahlen Stetiger Graph (3) Im Definitionsbereich muss gelten, dass für den Wertebereich gilt: (2) Also f(x) ²0 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X 2.B. im Intervall [X₁ X₂] liegt, berechnet man, indem man den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte und der 1. Achse er- mittelt: (f(x)) dx Achtung: o M = X2 Ŝ X₁ mit D (f)= [a; b] f(x) dx Хо P(x+x₁) = [ f(x) •Stenior-s f(x) dx = 0 Erwartungswert X₂ • $₁. Fu X₁ реміс хаха). Sfaic • Sfinox. X^ f(x) dx Standardabweichung -√ jix-x X₁ Xo "(x-μ)² - foxlox f(x) dx = P(x₁ ≤x≤ x₂ ) Normalverteilung Eine Stetige Zufallsgröße x heißt normalverteilt mit den Parametern Mund O, wenn ihr Graph eine Gaußschen Glockenkurve entspricht. 1 Intervall wahrscheinlichkeit Plasxsb) Eigenschaften W₁ M-O Beispiele W₂ M+σ (1) P(x = 7) = ² 1 0. √2TT Hier steht die W. immer nur für das Intervall von bis k. -00 P(x-k) -O Placxcb)=P(a ≤x≤ b) - 00 M = 100 V 0=6 (5) P ( x < k) = 0,2 P ( x ² k) = 0,4 +00 inv Norm (p. M = 10 und 0-2 Se -> P (x = 7) = norm Cdf (7, ∞, 10.2) × 0,9332 X (2) P (6 ≤ x ≤ 13) = ? S →normCaf (6,13, 10.2) ≈ 0,9104 (3) P (x≤ 12) = ? →norm Cdf (-∞, 12, 10, 2) ≈ 0,8413 (4) P (μ-1₁96.8 ≤ x² μµ+ 1,96.0) = ² -> P(10- 1,69 · 2 ≤ x ≤ 16+ 1.96 · 2) ≈ 0, 9500 M+ (4μ₁0 ) dx = 1 (6) (7) P(M-ks x ≤ M+k) = 0.8 k = ? k=² k= 2 -4(^-^)² μ₁0) 4.0) Erwartungswert der normalverteilten Zufallsgröße dx normCdf (a, b, M. o) = Norm Colf (1. Intervallgr., r. Intervallgr., μ₁0) -> k- invNorm (0.2.100,6) = 94.950... k = inv Norm (1-0.4, 100, 6) = 101,52... -> inv Norm (0.1, 100, 6) = 92,31... k 100 92,31 = 7,6 Standard abweichung der Zufallsgröße GTR Intervall -00 xck zugehörige rechte Grenze k