Stochastik Abiturzusammenfassung (LK)

Alternativer Bildtext:

= {1;2;..; 6} möglichen Einzelergebnisse heißen auch Elementarereignisse Ein Experiment bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind heißt Laplace-Experiment. Die Mehrere Ergebnisse lassen sich zu einem Ereignis zusammenfassen, z. B. gewürfelte Zahl ist gerade := {2₁4;6} € = Ereignis E Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses € gilt P(E) – IEI _Ansahl der günstigen Ereignisse 3= In Anzahl der möglichen Ergebnisse 1st E ein Ereignis, so bezeichnet & das Gegenereignis: Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gilt: P(E) + P(E)=1 ➡ PLE) = A-P(E) Beispiel: zweifacher Würfelwurf E: Augensumme ist höchstens 10 E: Augensumme beträgt 11 oder 12 list größer als 10) E= {(6; 6); (6:5); (5:6)} P(E) = 6 P(E)= 1- P(E)= 1- 36 = 1/2 BAUMDIAGRAMM Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (P) von 0,6 0,4 B 100 R 40 100 P wird geringer R B Ereignissen mehrstufiger zufallsexperimente 0.6 0,4 0,6 0,4 59 99 40 99 60 99 B R B R B R 39 B 99 bei jedem Zug liegt die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit vor ZUFALLSEXPERIMENT - MIT SURÜCKLEGEN: BEISPIEL: einfacher Würfelwurf E: Die gewürfelte Zahl ist größer als 4 E: Die gewürfelte Zahl ist kleiner oder Wahrscheinlichkeiten verändern sich im darauffolgenden Zug AUFGABEN LÖSEN 1. Ereignis in Worten definieren: E:... 2. Einzelergebnisse die zu E gehören angeben 3. P(E)= Berechnung" = Ergebnis 4. Textaufgabe Antwort ZUFALLSEXPERIMENT- OHNE ZURÜCKLEGEN: TIN = 50% gleich 4 REGELN A verzweigungsregel: Bei einem vollständigen Baumdiagramm beträgt die Summe der Wahrschein- lichkeiten aller Äste, die von einem Verzwei. gungspunkt ausgehen, stets 1. 27 Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrschein- lichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. 31 Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. VIERFELDERTAFEL Eine Vierfeldertafel eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten der Verknüpfungen zweier Ereignisse A und B. Eine Vierfeldertafel ist folgendermaßen aufgebaut: 3 B A P(1 P(ANB) P(ANB) B P(A) I♡ Die in einer Vierfeldertafel angeordneten Daten lassen sich stets auch in Form eines Baumdiagramms darstellen Schüler B Ā P(ANB) P(B) P(An 8) P(B) 34 weibl. 0,4681 P(A) 1 Hauptschulabschluss [ NEIN 0,0254 0,4835 mönul 0,4630 0,0435 Σ 99311 A P(A03) P(ANB) Die Randwerte ergeben sich dabei jeweils durch Summen- bildung. In den Feldern können anstatt von Wahrscheinlich- keiten auch absolute Häufigkeiten stehen. P(A) 0,0689 0,5065 1 0.944 P(3) BAYES SCHE REGEL Bei der Berechnung vieler Wahrscheinlichkeiten muss man, wenn man die Wahrscheinlichkeiten auf der 2 Stufe beschreibt, auch auf die Vorraussetzungen (Bedingung) achten, die durch die 1. Stufe gegeben sind. Diese Bedingungen machen wir durch eine Indexschreibweise deutlich. Sei A ein Ereignis, das uns interessiert und B eine Bedingung, unter der wir den Vorgang betrachten. Dann schreibt man: Die Wahrscheinlichkeit PB(A) für A unter der der Bedingung P(B) B 0,Sot Es seien A und B zwei Ereignisse und A/B ihre Gegenereignisse. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten lassen sich wie folgt in einer Vierfeldertafel und in einem Baumdiagramm darstellen Ā Po(4) A P(ANB) P(ANB) P(B) P(An 8) P(B) 13 0,086 B nein 0,043 0,025 0,463 Für die Wahrscheinlichkeiten auf der 2. Stufe muss der Quotient zugehöriger Werte berechnet werden. 0,493 0,948 •À P(ANB) P(A) A P(ANB) ja 0,468 PB(A) PAĀ PLĀNB) 0,052 P(A) 1 P(ANB) Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pg (A) berechnet sich dann wie folgt: Pg (A) = P(B) Analog berechnet sich 2.3. auch die Wahrscheinlichkeit Pğ (A) = P(ANB) P(3) P(A) nein DIE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG EINER ZUFALLSGRÖSSE Eine Größe X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet heißt zufallsgröße oder zufallsvariable Im Beispiel ordnet die Zufallsgröße x (Gewinn) jedem Würfelergebnis den zugehörigen Gewinn zu, also eine der zahlen 4;2; -1. 27 Mit x=x₁ wird ein Ereignis bezeichnet, dessen Ergebnisse alle dazu führen, dass die Zufallsgröße den Wert xi annimmt Bsp.: x=-1; x=2 und x=4 sind Ereignisse 31 Ordnet man jedem Wert xi, den die Zufallsgröße x annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X = xi) 24, so erhält man eine Zuordnungstabelle, die man als Wahrscheinlichkeitsverteilung von x bezeichnet 100%. Also 25/26 1/36 4.Die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Histogramm. 19 $36 Xi 36x Spielen -A 2 -1 2 GEWINN-VERLUST-RECHNUNG P(x=xi) 25/36 1/36 ५ →Xi 1 x 4€ Gewinn 10 x 2€ 25 x -1€ Relative Häufigkeitsdichte 0.4 0:3 0.2 0.1 0.0 = 4€ = 20€ = -25€ Bilanz -1€ ERWARTUNGWERT PRO SPIEL E(x) = 1.4€ + 10·2€ +25-(-1€) = Â · 4€ + 16 · 26 + 25 36 -2 €) 0 2 Bei einem "fairen" Spiel ist die Bilanz aus Gewinn und Verlust auf lange Sicht ausgeglichen (also gleich 0) Durchschnittlicher Verlust pro Spiel: -16 in 36 spielen entspricht - pro Spiel. 0,028€ ERWARTUNGSWERT EINER ZUFALLSGRÖBE Sei x eine Zufallsgröße mit den Werten X₁, X₂.... Xn dann heißt die Zahl: M=E(x) = x₁ P(x= x₁) + x₂ · P(x=x₂) +...+xn·P(x=x₂) der Erwartungswert der Zufallsgröße x. STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSGRÖSSE X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge X₁, X₂....Am und dem Erwartungswert μ= E(X). Dann wird die folgende Größe als Standardabweichung von x bezeichnet. 0² (X) = √(x₁ -μ)² - P(X=X₁) + (x₂-µ)² · P(X= X ₂) + .. + (xom. μ)². P(X = xm) Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Zufallsgröße X. Sie hat die gleiche physikalische Einheit wie die Zufallsgröße selbst. BERNOULLI-VERSUCHE Ein Zufallsversuch bei dem nur 2 Ergebnisse auftreten können, heißt Bernoulli-Versuch. Die Ergebnisse bezeichnet man als ERFOLG und MISSERFOLG: 1st p die Erfolgswahrscheinlichkeit bei der einmaligen Durchführung, so ist q=1-p die Misserfolgswahrscheinlichkeit. wird ein Bernoulli-Versuch n-mal durchgeführt, so spricht man von einer BERNOULLI-KETTE. DER LÄNGE N Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit & Erfolgen gilt für die WAHRSCHEINLICHKEIT EINES PRADES: P(X=k) = pk.qn-k = pk(1-p)n-k Hierbei gibt die Zufallsgröße X die Trefferzahl k an (0≤k≤n). Nun muss noch die Anzahl der Pfade mit & Erfolgen bestimmt werden, also die Anzahl der Möglich- keiten, k Erfolge auf n Zufallsversuche zu verteilen. Diese beträut (~). BINOMIALVERTEILUNG Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und Miss- erfolgswahrscheinlichkeit g=1-p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung. Die wahrscheinlichkeit für k-Erfolge berechnet sich nach der Formel: P(x= k) = () n-k Anzahl der Pfade mit k-Erfolgen = (u)-p². (1-p) n-k Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit kErfolgen und n-k Misserfolgen KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG Unter einer kumulierten Binomialverteilung versteht man, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten bis zu k-Erfolgen addiert werden: P(x≤k) = P(x=0) + P(x=1) + ... + P(x=k) KURZSCHREIBWEISE B(n;p;k): Binomialverteilung; Stichprobenumfang k; Erfolgswahrscheinlichkeit Pik Erfolge F(ni Pik): kumulierte Binomial verteilung; Stichprobenumfang n; Erfolgswahrscheinlichkeit Pi höchstens k Erfolge BEISPIEL Würfelwurf, 100x X: Anzahl der ber a P(x=15) = B (100; 7;15) Binomial RD (15, 100, ²) = 0,1 BINOMIALVERTEILUNG IM GTR OPTN FS (Stat.) F3 (DIST) FS (BINOMIAL) Bpd berechnet P(X=k) → Eingabe der Parameter in der Reihenfolge k. n. Bcd berechnet P(X Sk) P(X>k) P(x>15)=1-P(X ≤15) = 1-0,388 =0,612 höchstens k Treffer: weniger als k Treffer: mindestens k Treffer: mehr als k Treffer: mind. k, aber höchst. h Treffer: b P(x≤15) = F(100, £, AS) Binomial CD (15,100,2)=0,388 ≈ 38,8% P(x >15) = Binomial CD (16, 100, 100,7) P(X ≤k) P(X<k) = P(x ≤ k − 1) P(X> k) = 1- P(x ≤k-1) P(X> k) = 1- P(x ≤k) P(k < X <h) = P(X ≤ h)-P(X ≤k-1) EINFLUSS VON N UND P AUF DIE BINOMIALVERTEILUNG 11 Der Erwartungswert der Binomialverteilung berechnet sich durch n.p. 2 Das Maximum der Binomialverteilung liegt in der Nähe des Erwartungswerts. 3 Für p=2 ist die Verteilung symmetrisch. ∞ 4 Sind die Säulen rechts des Erwartungswertes höher als links des Erwartungswertes, muss p>0.5. 5 Das Maximum liegt umso weiter rechts, je größer p ist. 61 Die Binomial verteilung läuft umso flacher, je größern ist. 7 wird n größer, werden die Histogramme immer symmetrischer zum Erwartungswert. Die Verteilungen haben zwei Wendepunkte. Diese liegen bei μ-0/u+o 3 Die Standardabweichung berechnet man mit Hilfe der Formel o'=√n.p.q na K μ μ&d SIGMAREGELN Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen die Werte einer Zufallsgröße in einem bestimmten Intervall? Man kann bei Binomialverteilungen angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Versuchsausgang in einer Umgebung des Erwartungswertes liegen sollte, dessen Radius durch ein Vielfaches von o gegeben ist Sigmaregeln → Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem dazugehörigen Erwartungswert μ=n.p und der entsprechenden Standardabweichung = √n.p. (1-p) erhält man folgende Näherungen, falls !8>3! gilt: Ad-Regel: Plμ-0≤x≤μ+0) = 68,3% 20-Regel: PlM-20≤X ≤μ+20) ≈ 95,4% 30-Regel: Plμ-30 ≤x≤μ+30) ≈99,7% o-Umgebungen, die "glatte "Wahrscheinlichkeiten liefern: P(μ-1,640 ≤x≤ 1,640) * 90% P(M-1,960 SXE1,960) x 95% P(μ-2,580 ≤x≤ 2,58) ~ 99% 4 P(X = r) 0,08 0,07 0,06- 0,05 0,04+ 0,03- 0,02 001+ 0- 30 35 99,7% 40 MUSTERLÖSUNG 95,4% 45 68% 50 10 55 n = 125 p=94 M-20 ≤ x ≤μ +20° 39,046 ≤ x ≤ 60,954 40 ≤ x ≤ 60 (40;60] 20 60 BEISPIEL 1 n=125 p=0,5 X:binomialverteilt Liegt die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Bernoulli-Experiment außerhalb der 20-Umgebung (20-Intervall), spricht man von einer signifikanten Abweichung vom Erwartungswert. Das bedeutet: der Ausgang ist so ungewöhnlich, dass vermutlich ein anderes pals das angenommene zugrunde lag. nach innen gerundet 30 Anzahlr 70 nach innen runden: linken Wert auf-und den rechten abrunden Erwartungswert. E(X)=125-0,4 =50 Standardabweichung: 8 = √125-0,4·(1-0,4) = √30 23 (Laplace-Bed.) ES MUSS 23 sein. 20-Umgebung: μ-20=39,05 : P(39,05 ≤ x ≤ 60,95) M+20=60,95 Innerhalb des Intervalls [40;60] liegen also etwa 95,4%. der Werte der Zufallsgröße X. PROBLEMLÖSEN MIT DER BINOMIALVERTEILUNG Berechnung der Wahrscheinlichkeit P → mit GTR - Bin CD/Bin PD (k,n,p) aber F/8 (n, p, k) 21Berechnung des Parameters n geg n=? p=0,04 k=1 P(X21) 290% X: Anzahl der farberblinden (binomialverteilt) P(x²1) 2 0,9 1-P(x=0) 2 0,9 1-(0).p°. (1-p)-° ≥ 0,9 1-0,96" 2 0,9 -0,96 2-0.1 1-1 1.(-^) I In n 0,96 ≤0,1 In (0,96") ≤ In (0,1) n. In (0,96) ≤ (n (0,1) Iin (0,96) n 2 56,41 In (0,96) <0 → Die Gruppe muss min. 57 Männer groß sein! P(X25) 0.9 1-P(x≤4) ≥ 0,9 1-1 -Plx≤4) ? -0,9 (-(-1) P(x≤4) ≤ 0,1 kum. Wahrscheinlichkeit F(n. 0.04; 4) ≤ 0.,1 1- P(x=0) + P(x=1) + ... + P(X=4) ≤ 0,1 → Hinweise mindestens in Aufgabenstellung => oft fühst Rechnen mit Gegenwahrscheinlichkeit zum Ziel ODER p=0,04 X: Anzahl Farbenblinder (binomial verteilt) (~).pk. (1-p)n-k •Multiplikation/Division einer Ungleichung mit negativen Zahl > Rechenzeichen dreht sich um! -(-^) DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS (n(x) Graph von In(x) 442 -^>-2 Definitionsbereich: R+ In(1) = 0 (n (x) gesucht 1 • Rechenregeln Logarithmus 1. In (a.b) = (n/a) + in (b) 2. In (a) = n.In (a) Bei P(x≤k) Bei P(x2k) → Die Gruppe muss mind. 198 Personen groß sein. Bin (D (k,n, p) P(K₁ ≤x≤k₂) →BinCD (k,n,n, p {20 - 20 für x>1 40 für x 6 30,10 ist das kleinsten für das P(x≤4) ≤ 0,1 gilt GTR k.n, p Eingabe der Funktion": Binomial CD (4.x,0.04) Mit Hilfe der Tabellenfunktion erhält man n= 198 → beweisen, dass es das kleinste n ist, für das P(x≤4) ≤0.1 gilt 3/Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p x: Anzahl fehlerhafter Stücke (binomialverteilt) n=100 P(x≤10) 20,8 gesucht ist das größte p für das gilt: P(x≤10) 20,8 GTR: Bin CD (10,100, ×) Setting: Start: 0; End: 1; Step: 0,01 Tabellenfunktion des GTR liefert: p=0,08 : P(x≤ 10) = 0,8243 p=0,09 P(x≤ 10) = 0,7118 zusatz: Damit bei einem Stichprobenumfang von 100 mit min. 80%iger-Wahrscheinlichkeit 10 oder weniger defekte Teile auftreten darf die Fehlerquote höchstens 8% sein. p soll auf zehntel-Prozent genau sein →GTR: Binomial CD (10, 100,X) Start: 0,08 End: 0,09 Step: 0,001 P(x² k) ≤ 0,1 1-P(x≤k-1) ≤0,1 - 41 Bestimmung der Antahl k der Treffer k= ? p= 1 n = 40 x: Anzahl richtiger Antworten (binomialverteilt) 1-1 -P(x≤k-1)=-0,9 1. (-1) P(x≤k-1)= 0,9 ODER p=0,3 n=10 k=? Tabellenfunktion: Bin CD (x, 40, 40, 0.1) liefert k=7 ● k: 10 p=0,082: P(x≤10) = 0,8037 p=0,088: P(x≤ 10) = 0,783 ● P(K≤x≤40) ≤0,1 Bin CD (x,40,40,0.1) ● - • gesucht ist das kleinste k für das gilt P(x ≤k-1) 2 0,9 P(x≤k) ≤ 0,4 →gesucht ist das kleinste k für das gilt P(x≤k) ≤0,4) Tabellenfunktion: Bin CD (x, 10, 0,3) liefert x=2 : P(x≤2) = 0,38 x=3 P(x≤3) = 0,64 Man darf höchstens 2 Nieten haben, damit die Wahrscheinlichkeit den zusatzpreis zu bekommen höchstens 40% beträgt X: Anzahl der Nieten (binomialverteilt) → GRUNDSÄTZLICH immer prüfen, ob es wirklich das kleinste k/p/n ist für das P gilt Taschenrechner Eingabe angeben • immer X definieren Antwortsatz ZWEISEITIGER SIGNIFIKANZTEST Es gibt Situationen, in denen man o nicht kennt, aber eine Vermutung (Hypothese) zur Trefferwahrschein- lichkeit hat. Die Hypothese, die getestet wird, nennt man auch Nullhypothese Ho, ihre Alternative H₁. Ein Test, bei dem es nur darauf ankommt, ob diese Hypothese (Ho) angenommen oder abgelehnt wird, heißt Signifikanstest. Man glaubt an die Gültigkeit der Hypothese so lange wie möglich. Man verwirft sie erst, wenn in einer Stich- probe Ergebnisse beobachtet werden, die bei Gültigkeit der Hypothese höchst selten auftreten würden. vor der Durchführung des Tests legt man fest, bei welcher Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese Ho ver- worfen wird, obwohl sie zutrifft. Diese Irrtumswahrscheinlichkeit wird auch Signifikanzniveau of genannt. Übliche Werte sind 1%/5%/10% zweiseitige signifikanztests benutzt man, wenn nach oben und nach unten keine zu großen Abweichungen vorkommen sollen. x: Anzahl gewürfelter Yen (binomial verteilt) n=120 p= √²/ Nullhypothese Ho: p==1/12 Alternative th: p=1/12 Signifikantniveau x=0,05;== = 0,025 AlLinksseitig P(x≤9₁)≤ 0,025 → 9₁= 11 → linker Ablehnungsbereich = {0;1;...; 11} 21 Rechtsseitig => Bin CD (x, 120,) liefert: k=11 P(11=g₁) ≤ 0p139 k=12 P(12=9₁) ≤ 0,0275 P(x29₂) = 1-P(x $9₂-1) ≤ 0,025 1-1 = P(x ≤9₂-1) 2 0,975 8 9₂-1=28 <=> 9₂=29 → rechter Ablehnungsbereich = {29; 30;..; 120} →Bin CD (x, 120, €) liefert: x=9₂-1 A Annahmebereich A: Ablehnungsbereich : P(x≤27) ≥ 0,3627 9₂-1=27 9₁-1=28=P(x≤28) 2 0,9776 31 Entscheidungsregel Wenn die 4 weniger als M-mal und öfter als 28-mal gewürfelt wird, wird die Nullhypothese verworfen. Ansonsten wird die Nullhypothese nicht verworfen & das bedeutet, dass die korrektheit des Würfels zu 95% gegeben ist. LINKSSEITIGER SIGNIFIKANZTEST Beim linksseitigen Hypothesentesten wird untersucht, ob die tatsächliche Wahrscheinlichkeit kleiner ist: Alternative H₁: pcp. Den linksseitigen Hypothesentest führt man durch, wenn man testen möchte, ob eine Stichprobe zu wenige Treffer enthält. 1. Definiere die Zufallsvariable x und ihre Verteilung: X: Anzahl der gewürfelten Fünfen (binomialverteilt) n=120 p=² 2. Schreibe die Nullhypothese Ho, die Alternative H₁ und das Signifikanzniveau & auf: Nullhypothese H₂: p=2 Alternative Hip Signifikantniveau α = 0.05 3. Schreibe die Bedingung für die Grenze & des Ablehnungsbereichs auf: P(xsg) ≤ 0.05 4. Bestimme das größte g mit dem Taschenrechner: Bin CD (x,120,): g=12 P(x≤12)=0.0275 9=13 P(x²13) = 0.0501 S. Notiere den Ablehnungsbereich und eine Entscheidungsregel Ablehnungsbereich Ao = {0; 1; 12} ... Da das Ergebnis 12 im Ablehnungsbereich liegt, wird die Hypothese Ho verworfen Entscheidungsregel: Wenn bei 120 Würfen höchstens 12-mal eine 5 erscheint, wird die Nullhypothese verworfen und man geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für eine 5 kleiner als / ist. Ansonsten wird die Nullhypothese nicht verworfen RECHTSSEITIGER SIGNIFIKANZTEST Einen rechtsseitigen Test führt man durch, wenn man testen möchte, ob eine Stichprobe zu viele Treffer enthält. 1. Definiere die Zufallsvariable X und ihre Verteilung: X: Anzahl der gewürfelten zweien (binomialverteilt) n=120 p=² 2. Schreibe die Nullhypothese Ho, die Alternative H, und das Signifikanzniveau & auf: Nullhypothese Ho: p= Alternative H₂:p> Signifikantniveau α=0.05 3. Schreibe die Bedingung für die Grenze g des Ablehnungsbereichs auf: P(x29) ≤ 0.05 4. Bestimme das größte g mit dem Taschenrechner: Bin CD (x, 120, 120,) liefert g=27 P(x227) = 0,0587 9=28 P(x228)= 0.0373 S. Notiere den Ablehnungsbereich und eine Entscheidungsregel Ablehnungsbereich A = {28,29,120 Da das Ergebnis 29 im Ablehnungsbereich liegt, wird die Hypothese to verworfen Entscheidungsregel: Wenn bei 120 Würfen mindestens 28-mal eine 2 erscheint, wird die Nullhypothese verworfen und man geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für eine 2 größer als / ist. Ansonsten wird die Nullhypothese nicht verworfen WANN MACHT MAN EINEN LINKS- UND WANN EINEN RECHTSSEITIGEN TEST? Das mindestens"/ höchstens - Kriterium linksseitiger Test, wenn bei der Nullhypothese ein mindestens“ ergänzt werden kann, man aber glaubt, dass Po zu groß ist. • rechtsseitiger Test, wenn bei der Nullhypothese ein höchstens ergänzt werden kann, man aber glaubt, dass Po zu klein ist. 2 Der Erwartungswert (μ= E(X)=n.p) List die zu prüfende Anzahl kleiner als der Erwartungswert → linksseitiger Test ↳ ist die zu prüfende Anzahl größer als der Erwartungswert → rechtsseitiger Test IRRTUMSWAHRSCHEINLICHKEIT allg. Aufgrund des Ergebnisses des Tests wird die Nullhypothese verworfen, obwohl sie wahr ist. situationsbezogen: (Ho: p=0.7; H₂₁: p < 0.7) Man geht aufgrund des Tests davon aus, dass weniger als 70% die Sommerzeit befürworten, obwohl in Wirklichkeit 70% die Sommerzeit befürworten. Berechnung der Wahrscheinlichkeite der Werte des Ablehnungsbereichs FEHLER BEIM TESTEN Fehler der A. Art: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie wahr ist. 27 Fehler der 2. Art: Die Nullhypothese wird nicht verworfen, obwohl sie falsch ist. Ho wird angenommen Ho wird abgelehnt Ho ist wahr richtige Entscheidung Fehler 1. Art TASCHENRECHNERFREIER TEIL Ho ist falsch Fehler 2. Art richtige Entscheidung p=0.5: Histogramm ist symmetrisch Histogramme: Wahrscheinlichkeiten auf y-Achse sind =1 Zuordnung: Histogramme (=> Binomialverteilungen Erwartungswert berechnen 2 Betrachtung von Stichprobenumfang n 3 p=0.5 = symmetrisch 8 ↑P(A=K) 400% 2p- INTEGRALE IN DER STOCHASTIK Die Zufallsgröße X: Abstand der Regentropfen zur Tischmitte kann jeden beliebigen Wert im [0:1] annehmen (früher: nur ganztahlige (diskretverteilte) Zufallsgrößen). Die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand X im Intervall [x-O.S; x+ 0.s] liegt, entspricht dem Flächenanteil des Kreisrings an der gesamten Tischfläche: 257x P(x-0.5 x ≤ x + 0.5) = 400m Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich geometrisch im Sinne der Integralrechnung als Rechtecks- fläche mit Breite 1 und Höhe f(x) == x deuten. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand x in einem beliebigen Intervall (ris] liegt, lässt sich als Integral berechnen: P(r≤x≤s) = (f(x)dx • $f(x)dx = $* dx WAHRSCHEINLICHKEITSDIGHTE (DIGHTEFUNKTION) Eine Funktion faus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integration auf einem Intervall I [a;6] erhält, heißt Wahrscheinlichkeitsdichte (= Dichte funktion). Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte gilt: A f(x) 20 für alle XEI 21 S f(x) dx =^ A : X Eine reellwertige Zufallsgröße x mit Werfen im Intervall I = [a; 6] heißt stetig verteilt, mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f, wenn für alle ris aus I gilt: P(r &x£5) = $f{x\dx Beachte: Die Funktionswerte f(x) sind -anders als im diskreten Fall- keine Wahrscheinlichkeiten mehr. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X genau den Wert k annimmt, ist gleich 0: Šf(x1dx =0 k Daher gilt auch P(r≤x≤s) = P(rex cs) ERWARTUNGSWERT UND STANDARDABWEICHUNG ERWARTUNGSWERT A = √x -f(x)dx STANDARDABWEICHUNG Six-μ)². f(xl dr AUFSTELLEN EINER DICHTEFKT →immer f(x)= = wenn I Ca;6] NORMALVERTEILUNG Die Funktion C = √₂ Glockenfunktion). Graphenverlauf ähnelt sehr den Histogrammen von binomialverteilten Zufallsgrößen für große Werte von n ↳ Es gilt S. 9(x) dx = 1. 4(x) kann somit eine Dichtefunktion darstellen, da auch alle Funktionswerte größer als 0 sind. eix Lo Man muss den Funktionsterm der Standard- Glockenfunktion durch verschiebung. Stauchung und verbreiterung anpassen, damit der Funktio- nsgraph der veränderten Glocke entspricht, die den gegebenen Sachverhalt (z.B. Körpergröße) darstellt. - 68,27% 95,45% 99,73% μ heißt Standard-Glockenfunktion (oder auch Gauß'sche Standard- μ+o FUNKTIONSTERM DER ALLGEMEINEN GAUBSCHEN GLOCKENFUNKTION μ+20 BINOMIALVERTEILUNG gegeben: n, p Pio μ-20 μ-o 6. Maximum bei x = μ & Wendestelle bei x = μ±o → μ=n·p o = √n.p.(1- p) die Gaußsche Glockenfunktion Pμ, o ist Bedingungen: σ> 3 282 1) 2) n p > 4 und n. (1-p) > 4 wenn 1)o. 2) erf. √√√257. Erwartungswert & Standardabweichung von X DARSTELLUNG DER NORMALVERTEILUG & STAMMFUNTION MIT GTR 5 GRAPH NORMALVERTEILUNG f(x) = gegeben durch: 5:x> ↑ Plt)dt [& ist eine Stammfunktion zu -80 DEFINITION Eine stetige Zufallsgröße x heißt normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ, wenn sie eine Gauß'sche Glockenfunktion Puio als Wahrscheinlich- keitsdichte (=Dichtefunktion) besitzt. GAUB'SCHE INTEGRALFUNKTION Um Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, führt man die Gauß'sche Integralfunktion (Groß-phi) ein: 1 V2πσ2 Die Funktion & ordnet jeder reellen Zahl x den links von der Stelle x gelegenen Fläche unter der Glockenkurve zu. Der Gesamtflächeninhalt unter der Glockenkurve ist 1; wegen der Achsen- symmetrie ist (0)=0.5. Außerdem gilt § (-x) = 1.§ (x) -1 (74) ² OPTA - FO F3 STAT →FA DIST →FA NORM→ passenden Befehl eingeben. DRAW BESTIMMUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN NORMALVERTEILTER ZUFALLSGRÖGEN MIT GTR A Run - Matrix. -OPTA-FS STAT→→F3 DIST → FA NORM Mit Ned: kumulierte Wahrscheinlichkeit: Pla ≤x≤b) = Norm CD (a.b, o, μl LNpd: Wahrscheinlichkeiten der Form P(x≤ b) → für untere Grenze: sehr kleine negative. zahl (t.B.-1000) eingeben SIGMA REGELN BEI NORMALVERTEILTEN ZUFALLSGRÖGEN μ+o P(μ-0≤x≤μ+) = μ₁0 (x) dx = [0,1(x) dx ≈ 0,683 ≈ 68,3% μ-o -1 μ+20 2 P(μ-20≤x≤ μ+20) = S Pμ₁0 (x) dx = 0,1(x) dx ≈ 0,954 ≈ 95,4%. μ-20 -2 INTERVALLE MIT VORGEGEBENEN WAHRSCHEINLICHKEITEN zuvor: Intervall vorgegeben & zugehörige Wahrscheinlichkeit wurde berechnet jetzt: geg.: Beobachtungswahrscheinlichkeit & ges.: passendes Intervall fordert inversive Rechnung (Rückwärtsrechnung) BEISPIEL es soll gelten Plx≤a) = 0,75 mit 0=1 Invnorm CD (p.o,μ) liefert Invnorm CD (0,74, 1,4) ≈ 4,67 keine Unterscheidung zwischen <&s und M=4 P(x≥a) = 1- (Pxsa)