Rechnen mit Vektoren

Das Rechnen mit Vektoren umfasst grundlegende Operationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren. Diese Operationen sind essentiell für die Analyse von Bewegungen und Kräften in der Physik sowie für geometrische Berechnungen.

Vektoraddition und -subtraktion erfolgen koordinatenweise:

w = u + v = $u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃$

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar s verändert die Länge des Vektors:

s · v = (s · v₁, s · v₂, s · v₃)

Vocabulary: Kollineare Vektoren sind Vektoren, die parallel zueinander sind und sich nur durch einen Skalenfaktor unterscheiden.

Beispiel: Prüfung auf Kollinearität: AB = $-2, 4, -3$ ist kollinear zu $4, -8, 6$, da AB = -0,5 · $4, -8, 6$.

Die Mittelpunktsberechnung mithilfe von Vektoren ist eine nützliche Anwendung:

OM = OA + 1/2 · AB

Diese Methoden ermöglichen es, komplexe geometrische Probleme effizient zu lösen und räumliche Beziehungen präzise zu beschreiben.

Das Skalarprodukt - Orthogonalität von Vektoren

Das Skalarprodukt ist eine fundamentale Operation in der Vektoralgebra, die zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnet. Es spielt eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Winkeln zwischen Vektoren und der Prüfung auf Orthogonalität.

Für zwei Vektoren u = $u₁, u₂, u₃$ und v = (v₁, v₂, v₃) ist das Skalarprodukt definiert als:

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Definition: Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Beispiel: Für u = $-4, 2, 3$ und v = $1, 8, -4$ gilt: u · v = $-4 · 1$ + $2 · 8$ + $3 · (-4$) = -4 + 16 - 12 = 0 Da das Skalarprodukt null ist, sind u und v orthogonal zueinander.

Es ist wichtig, zwischen der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar und dem Skalarprodukt zweier Vektoren zu unterscheiden:

• Vektor · Vektor = Skalarprodukt (ergibt eine Zahl)
• Skalar · Vektor = Vervielfachung des Vektors (ergibt einen neuen Vektor)

Das Verständnis des Skalarprodukts ist entscheidend für viele Anwendungen in der Physik und Geometrie, insbesondere bei der Berechnung von Winkeln und der Analyse von Kräften.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren ist eine wichtige Anwendung des Skalarprodukts. Sie ermöglicht es uns, die räumliche Beziehung zwischen Vektoren quantitativ zu erfassen.

Für den Winkel φ zwischen zwei Vektoren u und v gilt die Formel:

cos$φ$ = (u · v) / (|u| · |v|)

wobei 0° ≤ φ ≤ 180°

Highlight: Diese Formel basiert auf der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts und der Längen der Vektoren.

Beispiel: Gegeben sind die Vektoren u = $-2, 2, 1$ und v = (4, 0, 3). Berechnen wir den Winkel zwischen ihnen:

1. Berechne die Längen: |u| = √$(-2$² + 2² + 1²) = 3, |v| = √$4² + 0² + 3²$ = 5
2. Berechne das Skalarprodukt: u · v = $-2 · 4$ + $2 · 0$ + $1 · 3$ = -5
3. Setze in die Formel ein: cos$φ$ = -5 / $3 · 5$ = -1/3
4. Löse nach φ auf: φ = arccos$-1/3$ ≈ 109,5°

Vocabulary: Der Arkuskosinus (arccos) ist die Umkehrfunktion des Kosinus und wird verwendet, um den Winkel aus dem Kosinuswert zu berechnen.

Diese Methode zur Winkelberechnung zwischen Vektoren ist besonders nützlich in der Geometrie und Physik, wo die Orientierung von Objekten oder Kräften im Raum analysiert werden muss.

Untersuchung von Figuren und Körpern

Vektoren sind leistungsstarke Werkzeuge zur Untersuchung geometrischer Figuren und Körper. Sie ermöglichen es uns, die Eigenschaften verschiedener Formen präzise zu beschreiben und zu überprüfen.

Hier sind einige wichtige Eigenschaften, die mithilfe von Vektoren nachgewiesen werden können:

1. Trapez: Gegenüberliegende Seiten sind parallel (Kollinearität zweier gegenüberliegender Vektoren).
2. Parallelogramm: Jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleichlang (Kollinearität und gleiche Beträge der Vektoren).
3. Raute: Alle Seiten sind gleich lang (alle Vektoren haben den gleichen Betrag).
4. Rechteck: Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleichlang, und benachbarte Seiten stehen senkrecht aufeinander (Kollinearität, gleiche Beträge und Orthogonalität).
5. Quadrat: Alle Seiten sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander (gleiche Beträge und Orthogonalität aller benachbarten Vektoren).

Example: Um ein Parallelogramm ABCD zu konstruieren, wenn A$1|2|5$, B$-1|8|8$ und C$-7|5|10$ gegeben sind, berechnen wir den Punkt D wie folgt:

OD = OA + BC BC = $-7-(-1$, 5-8, 10-8) = $-6, -3, 2$ OD = $1, 2, 5$ + $-6, -3, 2$ = $-5, -1, 7$

Somit ist D$-5|-1|7$ der gesuchte Punkt, der das Parallelogramm vervollständigt.

Highlight: Die Vektorrechnung ermöglicht es uns, komplexe geometrische Beziehungen effizient zu analysieren und zu beweisen.

Diese Methoden zur Untersuchung von Figuren und Körpern mit Vektoren sind fundamental in der analytischen Geometrie und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Geometrische Anwendungen

Der letzte Abschnitt behandelt die Anwendung von Vektoren in der Geometrie.

Definition: Verschiedene geometrische Figuren werden durch ihre Vektoreigenschaften charakterisiert.

Example: Die Konstruktion eines Parallelogramms wird durch Vektoraddition demonstriert.

Highlight: Die Eigenschaften von Trapez, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat werden durch Vektorbeziehungen beschrieben.

Vektorbegriff und Länge eines Vektors

Der Vektorbegriff ist fundamental für das Verständnis von Verschiebungen im Raum. Ein Vektor beschreibt die Verschiebung zwischen zwei Punkten und wird oft mit Pfeilnotation dargestellt.

Definition: Ein Vektor a = PQ repräsentiert die Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q und wird durch seine Koordinaten (x, y, z) angegeben.

Die Berechnung eines Verbindungsvektors zwischen zwei Punkten erfolgt durch Subtraktion der Koordinaten. Für Punkte A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) gilt:

AB = $b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃ - a₃$

Beispiel: Für P$3|4|7$ und Q$2|6|2$ ist der Verbindungsvektor PQ = $2-3, 6-4, 2-7$ = $-1, 2, -5$.

Die Länge eines Vektors berechnen wir mit der Formel:

|v| = √$v₁² + v₂² + v₃²$

Highlight: Die Länge eines Vektors entspricht dem Abstand zwischen seinen Start- und Endpunkten.

Für den Mittelpunkt M einer Strecke zwischen zwei Punkten gilt:

M = $(x₁ + x₂$/2, $y₁ + y₂$/2, $z₁ + z₂$/2)

Diese Konzepte bilden die Grundlage für komplexere Berechnungen in der Vektorgeometrie.