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Vektorgeometrie Abiturzusammenfassung
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Abiturzusammenfassung zum Thema Vektorgeometrie (LK)
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Vektorgeometrie X₂X₂-Ebene Achse x1x3- Ebene X3-Achse x₁x₂-Ebene X2-Achse Grundlagen Kartesisches Koordinatensystem Lagebeziehungen Anwendungen Inhaltsverzeichnis Winkelbestimmungen Thema Abstände zwischen geometrischen Objekten Seite 1 8 10 11 12 X₂X₂-Ebene X₂ Achse 1x3- Ebene X3-Achse x₁x₂-Ebene 1 Kartesisches Koordinatensystem X₂-Achse - Die Achsen besitzen einen gemeinsamen Nullpunkt 0. Er heißt Ursprung des Koordinatensystem. - Die Achsen sind paarweise orthogonal zueinander. - Auf den Achsen werden Einheitsstrecken derselben Länge festgelegt. Diese Länge nennt man Einheit des Koordinatensystems. Die erste, zweite und dritte Koordinatenachse werden auch x1-Achse, x2-Achse und x3-Achse (oder auch x,y,z) genannt. 1.0 Punkte in ein räumliches Koordinatensystem einzeichnen Zu jedem Zahlentripel, z.B. (3/4/2), gehört ein Punkt mit diesen Koordinaten. Man findet ihn als Endpunkt eines Koordinatenzuges. - 3 Einheiten in Richtung der x1-Achse, - dann 4 Einheiten in Richtung der x2-Achse, schließlich 2 Einheiten in Richtung der x3-Achse. Man schreibt dafür P(3/4/2) und liest: Punkt P mit den Koordinaten 3,4,2. Koordinatenzug 1.1 Ablesen von Koordinaten im Schrägbild Sind Punkte im Schrägbild eines Koordinatensystems eingezeichnet, kann man die Koordinaten der Punkte im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmen. Erst wenn weitere Angaben vorliegen, wie z. B. eingezeichnete Koordinatenzüge oder Lagebeschreibungen, kann man eindeutige Koordinaten angeben. Hier können die Punkte genau abgelesen werden, da man weiß, dass es sich um einen Quader handelt. 1 1.2 senkrechte Spiegelung von Punkten Spiegelung an einer Koordinatenachse - x1-Achse: x2-,x3-Koordinaten werden verändert - x2-Achse: x1-,x3-Koordinaten werden verändert - x3-Achse: x1-,x2-Koordinaten werden verändert Spiegelung an einer Koordinatenebene - x1x2-Ebene: x3-Koordinaten werden verändert - x1x3-Ebene: x2-Koordinaten werden verändert - x2x3-Ebene: x1-Koordinaten werden verändert Spiegelung am Ursprung - alle Koordinaten werden verändert 2 2.0 Abstand von...
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zwei Punkten Der Abstand d(A;B) zweier Punkte A(a1/a2/a3) und B(b1/b2/b3) im Raum berechnet sich nach folgender Formel: d(A;B)= √(b₁-an)+(b₂-9₂)+(63-93) 2 2.1 Vektoren Verschiebungen können durch drei Zahlenangaben beschrieben werde: Wird z. B. ein Punkt auf seinen Bildpunkt um 5 Einheiten in x1-Richtung, 2 Einheiten in x2-Richtung ind -3 Einheiten in x3-Richtung verschoben so fast man diese Angaben in einer Spalte mit Klammern zusammen: 5 (3) Damit wird eine Verschiebung vollständig beschrieben. -3 Definition (1) Ein Vektor mit drei Koordinaten ist ein geordnetes Zahlentripel, das wir als Spalte schreiben. Zur Abkürzung bezeichnen wir Vektoren mit kleinen Buchstaben und einem darüber gesetzten Pfeil, 7 -0-0). 3 = 1-2 zum Beispiel a = 2 Grundlagen 5- (6) (2) Der Vektor o= V₁ V₂ -5/ oder allgemein V²=| V3/ heißt Nullvektor. 2.2 Ortsvektor eines Punktes Verschiebt man den Koordinatenursprung (0/0/0) mit einem Vektor p, z.B. dem Vektor p so hat der Bildpunkt P dieselben Koordinaten wie der Vektor P, nämlich P(4/5/6). Somit kann man die Lage von Punkten in einem Koordinatensystem auch mithilfe von Vektoren beschreiben. Bei dieser Verwendungsweise bezeichnet man deshalb den Vektor p-OP als Ortsvektor des Punktes P. 2.3 Gegenvektor eines Vektors 5 6 Zu jeder Verschiebung mit einem Vektor v gibt es eine Verschiebung, mit der die erste Verschiebung rückgängig gemacht werden kann. Die Vektoren dieser beiden Verbindungen unterscheiden sich nur im Vorzeichen der einzelnen Koordinaten. Definition: Gegenvektor eines Vektors V₁ Zu einem Vektor V₂ gibt es den Gegenvektor -v=-v₂ V3 -V3, Der Gegenvektor - macht die Verschiebung durch den Vektor Vrückgängig. 3
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