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Zusammenfassung Abitur Mathe Sachsen 2022

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zuramen LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME → spielen bei Untersuchung von Lage beziehungen große Rolle Lineales Gleichungssystem (LGS): а11 Хла алг Аг a21 X1 + a22 X₂ +... Lösen 2.8. diese Werte müssen auf.0"gebracht ima Analytische Geometrie un TWS. 72-78 werden Zeilenumformung am1X₁ +am2x2+... ↳ eine /mehrere/unendlich viele Lösungen X₁ X₂ + x3 = 75 2x₁ - x₂ + 4x3 = 16 5x12x2 + 3x3 = 5 -2x₁ +2x2 - 2x3 2x^ O - x₂ +4x3 X2 X -хг + x3 = M +...+₁0X₁ = 6₁ +aznxn=b₂ ~Stufenform =-14r ar) + 16 + x₂ + 2x3 = 16-14r -(-2) :: + amo Xn 7r + 2x3 = 16-14r -8x3=-48+8r -(-5) = bm X1-x₂ + x3 = X₂ + 2x3 = 3x2-2x3 = TWS.20 7r 16-14r -3hr -(-3) • man muss eintelne zeilen so multiplizieren, class bei Addition Voniable wegfällt → aus dieser Stufenform liest man von unten nach oben die Lösung ab: - 8x3 = -48 +81-8 X3 = 6-г 2x3 = 16-14r 1-2x3 X₂ = 16-14r -2(6-5) = 4-12r x₁ = 7+ 4-12r -(6-₁) = -2-4² X₂+ X1-X2+X3 = -Lösungsmenge. Lr. = 7+X2-X3 |AB| = √₁² + y² +2²² B (-2) Z.B. AB AB= (-3)² +6² +2² =√ 49 +36+4 = √ 89² x-Achse Winkel von 45° a-AB KOORDINATEN IM RÄUMLICHEN P(4/415) -4 - {1-2-4²; 4-12r; 6-1)} - - 근 P. -2 A -2 2 4 (XB-XA Yo-YA = 7 123-ZA/ Betrag (Länge des Vektors) - • Darstellung verkürzt (1 Feld, Statt 2 Felder), da im Raum VEKTOREN Richtung oles Vektors 4 6 ~A (xa | Yalza) = Anfangspunkt Y Orientierung (in welche Richtung zeigt Vektor?) •Spitze minus Anfang für koordinaten des Vektors Vektoren geben nur Richtungen an. Sie können beliebig verschoben werden. Gleiche Richtungen sind in Vektor form parallel Wird keine Verschiebung ausgeführt (8), dann ist der Vektor ein Nullvektor. Wird eine Verschiebung vorn...

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Koordinatenursprung ausgeführt, ist der Vektor ein Ortsvektor To und -To sind entgegengesetzt und gleichlang Vektor a verschobener Vektor a -parallel, gleich langa (³) -G AZ -6 (18)-(3) 6° Q(2013) +2 --4 a+b = a+b -2 X -(1)-(1)-()-(4) 4+2 6 b 2 2 2. Mittelpunkt einer Strecke -2 2 1. Addition und Subtraktion Leinzelne Koordinaten der Vektoren addieren/subtrahieren RECHNEN MIT VEKTOREN чу P(2/210) · (3=8). (3) -Ortsveldor: ام baw. a-b (3)-(1)-(44)-(3) 19 M-OM (OA+ OB a-b To क' 언 (verschoben) 3. Skalare Multiplikation Vektora mit Skalar SER multipliziet (jedle koordinate mit s multipliziert) r.a-r. (0²) - (20₂) = as 10. a 1. → Vervielfachte Vektoren sind immer parallel/linear abhängig, damit auch parallel =X. 2 (3)-> (!) 2. = 1 30 43 X d 2= 3= ā -1=-2.1-1=0₁5 2= 4.1-10₁5 3= 6·11 0₁5 JO 10-a y A nicht gleich 5 → also · zwei Vektoren a, 5 - linear Abhängig, wenn 55 - Skalores Vielfaches von a, parallel A bei allen Gleichungen gleich 65 Vielfaches von a; a 115 drei Vektoren 2,5, C = linear abhängig, wenn sie alle in einer Ebene liegen 18 7 LINEARKOMBINATION EN a a+b+c+d²=0 ~geschlossene Vektorkelle で b abcd Vektoren müssen verlängert werden aob = :) 0 (61314 10₁ az SKALARPRODUKT Mithilfe des Skalar produkts lässt sich... prifen, ob zwei Vektoren a, 6 senkrecht zueinander sind (a 15) = a1b₁ + a₂b₂ +Q3b3 a15a.5 = 0 der Winkel 2.B. a (~³²) 5 (²₂²) y đồ5 (2) aob cos(x) = a1·16 (0≤x≤ 180) 0°≤8 < 90° (wenn Skalarprodukt größer Null → Winkel zw. 0 und kleiner 90°) = zwischen zwei Vektoren 2,5 bestimmen 90° - = ९४९ -6-(-1) + 6(-2) +3.2 6-12 +6 a ob >0 (a 40,570) 205 50 ( 70,570) =0 sä 16 180° (wenn Skalanprodukt kleiner Null → Winkel größer 90°, zw. 180°) 1 a •b=0 d = 90° (Skalarprodukt = 0 48=90²) DAS VEKTORPRODUKT (KREUZPRODUKT) axb= 2.8. axb-c dh. C steht senkrecht auf à und To (aybz-azby) a2bx-axbz axby-aybx) bx (a)x (5x) = by () () - 3 = um 2 rgänzen (18-24) -21-9 -30 18+14/ 22/ = Streichen -ax ay Bestimmen eines Normalenvektors, axb²=n X az ax' 3.8 (3 (²+) = 2(+)) 1.9 1.8 2.(-7)) Weitere Anwendungen des Vektorprodukts ay by (aybz -azby 62 azax axbz •ax laxay - aybx ay Bestimmen des Flächeninhalts eines Paralelogramms: Ap Vektoren müssen gemeinsamen Ursprung haben lax bl - Ap- lal 161 Sing Ap= lal ha Bestimmen des Flächeninhalls eines Rechtecks: AR=1a²x51 AR = lal·151 Bestimmen des Flächeninhalts eines Dreiecks: AD = 2². (α²x51 AD= lal ha SCHATTEN → 22 Möglichkeiten: - parallel einfallendes Kicht (Sonnenlicht) zentral einfallendes Kicht (Taschenlampe o.ä.) Möglichkeit 1: zentral einfallendes Licht (Lichtquelle) . gegeben: Punkte des Objekts, welches Schatten wirft (A; B; C; D) Kociolinaten des Punktes der Lichtquelle (2) Geradengleichung für Schattenpunkte aufstellen: Möglichkeit 2 parallel einfallendes (Sonnen-) Light A' = (21) ++ (ZA) = ( 3 ) · 2.B. Schatten in xy-Ebene~ z = 0 etc.... gegeben: Punkte des Objekts, das Schallen wirft (1; B; C; D) Strahlungsvektor des Sonnenlichts (~) XA A' = Y₁ ZA Geradengleichung für Schattenpunkte auf stellen. Diesmal ist nicht die Lichtquelle der Ortsvektor (ola es keine gibt), sondern die Punkte des Objekts, das den Schalten wirft: ++· V Xe nach dem in welche Ebene Schatten geworfen wird Koordinate:O GERADENGLEICHUNGEN Parameter form: g:x = xo +ta → um einen Punkt x auf einer Geraden zu bestimmen, addiet man Stützrektor xo und Richtungsvektor (bzw. sein Vielfaches) →Startpunkt des Richtungsvektors muss Endpunkt des Stützrektors sen gxOA (1) +r-AB (1) = im Raum: oder durch einen Punkt All) und einen Vektor (1) g₁x² = ¯Ã (¹) +r. u (1) reg₁x = (§).s· (§) -eine Gerade wird eindeutig bestimmt durch zwei Punkte A(1) B (3) 9.x = (3) r. (1) X X Richtungs- ā identisch (Stutzver LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADEN Schneidlendl 2 echt parallel keinen Punkt gemeinsam +-2 - - einen Punkt gemeinsam -2 unendlich viele Punkte gemeinsam Gerade g windschief = kein Punkt gemeinsam (ola im Raum) X-Xo++-a -" 6 aufpassen! Sind Koordinaten nicht im Raum, auch windschief nicht möglich Lagebeziehung bestimmen: 1. (nicht) parallel? Richtungsvektoren Vielfaches? 2 - ( ²1 ) + --(¯ ³ ) h²x = (₁²4) + s (²²) Wenn nicht parallel: auf Schnittpunkt überprüfen (g;h gleichsetzen) (1) · (7²)-(3) ₁s-(¯7) g=h 1-35 →=-3 ( 3 ) = x ( 3 ) = ³ }) nicht gleich na nicht parallel -1= no schneidend windschief -2+6 = 1-25 = −4+ S = 3+S 0=3r-25 2=-2r+S 1-2 = -r+S| -2= 4-6 -2=-2 g₁z-(¯§)•k·(¯3) (oder Gaußscher Algorithmus) TR-EQUA-L6S (2 unbekannte) bro-u S=-6 in letzte Gleichung Punktprobe: gemeinsamer Punkt? (-3) - (1) + 4·(-2) +k. Punkt von h evtl. Schnittpunkt bestimmen: roder sin jeweilige Gleichung (r) ·12 = 2.B._9.x = (-²) -4 (-²³²) · ( ²¹ ) - ( 1³ ) - (-) = Lagebeziehung bestimmen: 1. (nicht) parallel? → wahe Aussage, also Schnittipkt. (sollte Aussage falsch sein no windschief einsetzen - -1=2 (²³) = + ( 2 ) = 1 + 2 } ₁ lech -1=2 -1-2 h²x - ( ² ) · K · ( ²2 ) gllh \g=h einsetzen -Richtungsvektoren Vielfaches? S(131-101-3) MS -5 = 2 + 4k = 5-6k 2 = 3 + 2k Solv N oder Umstellen, Auslechnen ik nicht gleich → kein gemeinsamen Punkt →Geraden sind echt parallel → Solle k immer gleich sein Lagebersehung bestimmen mit GTR. 1 identisch PRGRMANFANG →3 (Lagebeziehungen) → 1-5 (Gerade+ Goade) -2 (Geade im Raum) SPURPUNKTE EINER GERADEN -Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen -eine Koordinate=0 S12 = Schnittpunkt mit X1Xz-Ebene Schnittpunkt mit xaxs- S13 = S23= Schnittpunkt mit X₂X3 bene Ebene Beechnung: Geradengleichung aufstellen 2.8. (~5³) + k·(-1) -(¯†) -² (-4)-(§) 1. K für X3- Koordinate =0 berechnen 2.B. L. K für x₂- Koordinate =0 beechnen 2.B.7 = (2) +^(-42) 3. k für X₁- Koordinate = beechnen &.B.R= (-3³) · 3 · (-1) = (-:-) EBENEN IN PARAMETER FORM 1. 3 Punkte (P,Q,R), die nicht auf gleicher Geraden 2. 1 Punkt+ 2 nicht parallele (lin. unabhängige) Vektoren 3. 2 Punkte (P₁Q) + 1 Vektor ā; ā ƒ PQ liegen = 4. 2 Geraden, die parallel Sind/ sich schneiden 5. Gerade +1 Punkt, der € Gerade X 5 2 Geraden, die sich schneiden X₁ SH.Sa+s.Sb =X₁ ++ a +S.xo x₂ (2 parallele Geraden) Normalenvektorn steht senkrecht auf Ebene E ñ b Z.B. 2x+3y-4² =10~05 (1) A хо (3 Punkte/1 Punkt+ 2 vektoren/ 2 Punkte Veletor) EBENEN IN NORMALEN-/KOORDINATEN FORM axb-ñ ~ ñ(3)~ Ax By Cz =d - → Normalenvektor= Ausgangspunkt der Koordinatengleichung a →zwei Vektoren mit gleichem Anfangspunkt bilden. P₁ P₂ = (-) P₁P3 (3) U a b -3y + 62 = 7~₂ (²3), )... (auch alle Vielfachen) Bestimmen einer Koordinatengleichung aus vier gegebenen Punkten P₁ (2/113) P₂(-21211) P3 (01014) P(-LIAI) B = Normale 151 -Kreuzprodukt der Vektoren PAPLX PAP3 =(¯§) →E :X =-1× •8y +62 =d d dwch Einsetzen eines Punktes bestimmen P₁inE: -2+8+ 6.3 = 24 E₁==1x + y +62 =24 zur Probe Pu in E einsetzen Normalen form einer Ebene: E: ño (x-a) ₂0 geg: P(31-5/2) -d=24 Pu in € : - (-2) + 8 - (-1) +6.5=24 ~26=24₁ Pu liegt in € 2.B. aus P und n ~ Koordinatenform 0 O (²³³) · [( * )- (-2³)] - 0) (*) - 0 (-³) | 3(x-3) −(y+5)+2(z-2) | 3x-9-y-52₂-4 = 0 18 3x-y+22 -senkrecht n(²²³) no(x-a)-0 O 7-a 7 (1) neyiz Koordinaten = 0 -Ebene parallel zu y-z-Ebene, wenn: n=0. -Ebene parallel zu x-²- Ebene, wenn ñ=n₂. (1) noxiz=0 -Ebene parallel zu x-x- Ebene, wenn: n = n3. (8) 2x₁ y = 0 -Ebene parallel zu x- Achse, wenn x-Koordinate von 5² = 0 -Ebene parallel zu y - Achse, wenn y - Koordinate von 5²=0 -Ebene parallel zu 2 - Achse, wenn 2-Koordinate von n² = 0 2.B. En: 2y-32=-5⇒ ne₁ = ( 2² ) ~ Ellx-Achse 2 LAGEBEZIEHUNGEN GERADEN EBENEN Gerade g schneidet Ebene Gerade gll Ebene. E E in Punkt S(x/y₁z) Prife, ob nº Lu (nou =0) ja gile ACE? (Punkt probe) ja/ \nein g=E glle 2.B. 97. (2) - r. (1) (u) E: x+y=2z=3 ~ ñ (²₁²) Skalarprodukt: (-2) • (2) = 3+1-4= inta (9=e/gle) Punktprobe: P() in E: E: 2+1-24 = 3 -S 73 -Widerspruch; glit Nein Gerade g = = Ebene E ggf. Schnittpunkt bestimmen Schnittpunkt 2.B. 9:² (³) + r. (1) E: 2x+3y-72 = 1557 (²³31) =2-30 (3) • (-1)=2₁ n Là (gxe) Gerade 6 = Schnitt pkt. S -S₁ = 3+r (9) · Sz= 2-r -53-1 Lin Koordinatenform v. Eloene E: 2. (3+r)+3.(2-r)-7=11 ~or=-6 4-6 in Parameterform 9:* = (²) - 6 ( 3 ) = (3³) S(-3181) SCHNITTWINKEL ZWISCHEN GERADEN UND EBENEN Schnitwinkel zwischen zwei Geraden: x = Spitzer Winkel zwischen Richtungsvektoren u CGSX 그리고 Tuorl Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene: x= Komplementärwinkel des Spitzen Winkels zwischen und ū (spitzer Winkel) Sin x = Inoul Intitul Schnitwinkel zwischen zwei Ebenen: x= : Spitzer Winkel zwischen Normalenvektoren ni m² COS X= Inoml Inl·1m²l 1. Lotgerade von P auf E: a =ñ€ ne 2. Lotfußpunkt I bestimmen. 3. Abstand des Punktes P von Ebene = x ABSTAND PUNKT-EBENE 2.ઠ. P(૧૧-૧૫) E=2x-y122=8277 (²3) Lot gerooke : 9.7 (21) + r. (2) g n f d (P/E) = |PF| 0≤x≤ 90° 9 in € (colfußpunkt). ringi giz=(-²2)-3(-²) = (-²2) → D«F(31-61-2) (PF| =√(3-9)²+(-6+9)² + (-2-4)² =9 → oder mit GTR (PR6RM) Analysis FUNKTIONEN,FUNKTIONSGRAPHEN-EIGENSCHAFTEN TWS. 21-27 Potenzfunktionen und gebrochenrationale Funktionen = f(x)=x² ir € R M r positiv (f(x)=x^) Definitionsmenge Dr= R (Parabeln) f(x)=x^2 2 (9+2²)-(-9-r) +2 (4+25) = 8 →C=-3 f(x)=x² -2 -1 y -4 -3 +2 1 X (x)=1/(x^2) f(x)== r · negativ (f(x)= x-n= 2 • Definitionsmenge Df • TR ; x = 0 (Hyperbeln) -4 TWS 60-71 -3 y -4 ^ x" -3 f(x)=x^3 n ist unge- f(x) = x³ -1 -1 -3 Wurzelfunktion f(x)=√x = x^ ; ne№₁n²² Definitionsmenge: Df = Ro* (nie negativ, außer wenn verschoben) Wertmenge: wf = Ro 'n Z. B. Lineare Funktion f(x)=1/x f(x)=mx+n f(x) = x Lof ungeade! tis +2 1 Ganzrationale Funktionen: f(x)= anx" + an-1x^-^+...+ a₁x.0 (2.B. f(x) = ax³ + bx² + cx+d) Definitions menge: Df EIR f(x)=x^2 f(x)=√z -je großer n, desto flacher verläuft Gf je größern, desto steile am Koordinaten ursprung Quadratische Funktion. f(x)=Qx² +bx+c trigonometrische Funktionen: f(x)= a.Sin (b⋅ (x-c))+d // f(x) = a.cos (b. (x-c)) + d Definitionsmenge: Df=R Wertemenge: Bedeutung Parameter: f(x)=sin(x) 2 T wf. [^;^] a = 1 P-2T X wf =[a+d; and] a = Amplitude (= maximaler Ausschlag nach oben/unten") b Periode (2. eine Schwingung"), p = Tbl 2TT - X Sin(x) cos(x) tan (x) C = Verschiebung in*-Richtung. d = verschiebung iny - Richtung -Sinus-/Kosinusfunktionen = periodisch Lunendlich viele Nullstellen. Sin(x) = 0 für x = k·πT 플 cos(x)=0 für x= f(x) = = sin(x) -punktsymmetrisch zum Ursprung, sin (-x) = -Sin(x) 0° +Kπ 30° 45° HOHN Ţ 1 2√3 F(x)=cos(x) 1 13 لہ اے √2 1 60° 플 2 √3 = cos(x) -achsensymmetrisch zury-Achse cas (-x) = cos(x) f(x): 90° NELL 플 2√² =1 Exponentialfunktion f(x) = ex Definitionsmenge: Df-R wertemenge (f = TR* (ex>0 für alle *£TR) -die e-Funktion hat keine Nullstellen - - f(x)=-e* Spiegelung -Achse Logarithmische Funktion f(x) = ln (x) Umkehr funktion von der Exponentialfunktion f(x)=-e²x Definitionsmenge: Df = R² (0<x<∞0) wertemenge: wf = TR f(x)=1,5x-1,5 Nullstelle mit raw; Gf schneidet x-Achse F(x)=In(x) f(x)=e^x f(x)=e^(-x) f(x) = ex f(x)=(x-1) fa)-ex Spiegelung y-Achse VIELFACHHEIT von NULLSTELLEN Funktion hat immer so viele Nullstellen wie Potenz Steilweise jedoch mehrfache Nullstellen an einem Punkt einfache Nullstelle bei x = 1 J 4 -3-2-1 -2 doppelte Nullstelle bei x=1 Nullstelle ohne VZW; 6p berührt die x-Achse. y 4 -3 -1 -2 -3 +2 s(110) 2 dreifache Nullstelle bei x = 0 fbx)= x³ -3-2 -1 1 2 3 Nullstelle mit VZW Ge verläuft durch die x-Achse. Differenzquotient/mittee Änderungsrate: f(x)-f(a) x-9 ABLEITUNGEN Ableitung & Steigung & momentane Änderingsmode f'(a) = lim x19 f(x)-f(a) x-a Vierfache Nullstelle bei x=-1 ㅗ -3-2- Differentialquotient / momentane / lokale Änderingsrate. Ay Ax → Anstieg -4 - • Steigung der Sekante dwch Punkt A(alf(a)) und P(xlfG)) =31 Kettenregel uov -2 f(x) = (x+1) Nullstelle ohne VZW; 6 berührt die x-Achse. der Tangente im Punkt A (alf (a)) -oder einfach Ableitung von Funktion bestimmen no Punkt A einsetzen = m Summeniegel. f(x) = g(x) +h(x) f'(x) = g'(x) +h'(x) Faktorregel: f(x) = c.g(x) f'(x) = c. g'(x) - Produktregel: f(x) = (^(x) ·V(x) — f'(x) = ('(x) • v (x) + u(x) · v²(x) f(x) = u(v (x)) + f(x) = u₁² (v(x)) · V'(x) Potenziegel: f(x) = x² =₁.xr-l →Quotientenregel nicht verlangt. → evtl. kürzen: f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) f(x) = ax f(x) = ex f(x) = In (x) f(x)=√x² = x ² - F'(x) = f(x) → f'(x) = cos(x) ⇒f(x) = sin(x) ='(x) = a* In (a) f(x)= ex ⇒f'(x) = = = = ⇒f(x) = 2 INTEGRALE -Stammfunktion F(x) ist Aufleitung von f(x) • F(x)₁ = F(x) +C f(x)=x^ ⇒ F(x) = 0+1 f(x) = = = f(x) = ex⇒ f(x) = sin(x) = f(x) = cos(x) => ^+^ ·x. +C F(x) = \n [xl+C F(x) = e* +C F(x) = COS (x) +C - F(x) = sin(x) + C Hauptsatz der Differenzialrechnung. Sof(x) olx = [F(x)]] 53-3 5x5 ·F(b) - F(a) = SAY 3 x² 43x-2 lineare Substitution : F(x) von 2 (mx +n)" ist immer 12 F(x) = m +₁ (mx +n) x 1 Flächeninhalt: oberhalb der x-Achse A-1 √ruida / A = =ff(wax > 1: Für alle x€ [a; b] gilt: f(x) = 0 Bedingung: 7 zwischen zwei Graphen: A= rekonstruieter Bestand: S unterhalb der x-Achse |$fonl Bedingung Für alle Xx[ǝ;b] gilt: f(x) ≤0 A= | Siful-gu₂l) dx | Definitionsbereich: Wertebeeich: Nullstellen (evtl. Nullpunkte) A= -B (to +A+) = B (to) + R. Ot -B(to) Bestand zum Zeitpunkt to 40+ : Zeitraum Schnittpunkt mity Achse: - • Betrag ooter obeer minus unterer Graph R: Änderungsrate für Zeitraum At KURVENDISKUSSION Beechnen des Aussehens eines Funktionsgraphen meist X CTR (Ausnahmen z.B. ex, √x¹, ³**,..) 3+x erst nach kompletter kuvendiskussion erkenntlich west am Ende : Xo=X oder S(x10) man setzt y=0, Stellt nach Paramete um 2.B. f(x)=x²-4 | 0=x²-4 1-4 = x²|√²¹ |— X₁₁2°± & s(oly) -man setzt x=0, rechnet f(0) aus f(x) = x 2 - G f(0) = 0²-4 £=-4 Symmetrie: Extrema: 1. f'(x), f"(x) bestimmen Krümmung: Monotonie: Einfache Grenzwertregeln Grenzwerte: Wendepunkte: →gleiches Vorgehen wie bei Extrema, nw mit f"(x) and fill(x) lim-=0 n' lim n²=00 2. f'(x)=0-> Nullstellen berechnen 3. Nullstellen in f"(x) einsetzen: - f"(x) > 0 → T COIH =O- Saltelpunkt 4. Extremstellen in f(x) einsetzen -Achsensymmetrisch : f(-x) = f(x) ; f(x) hat nus gerade Potenzen Punktsymmetrisch: f(-x) = -f(x); f(x) hat nur ungerade Potenzen lim (n'-e')=-00 lim lim 2=lim=0 42 lim lim -n²+5n²+10)=-00 n-n_ =lim n'+5 f(x)=x²-x5_f'(x)=2x-5x" f(x)=2-20x³ 1. Extremstellen bestimmen 2. Intervalle bilden → In [-∞0; x^]; I₂ [x₁ ;xz]; ...; In [xn; ∞] - 0=2x-5x²1x 3. Werte aus jeweiligen Intervallen in f'(x) einsetzen -f'(x) > 0: Steng monoton steigend → f'(x) < 0: Streng monoton fallend 1. Wendestellen bestimmen 2. Intervalle bilden - I^ [-∞0; x^]; I₂ [x^ ; xz]; ...; In [xn; ∞] 0-0 3. Werte aus jeweiligen Intervallen in f"(x) einsetzen f"(x) >0 · links gekrümmt; f"(x) <0 rechtsgekrümmt Verhalten im Unendlichen (=∞0) „Nullfolgen „Potenzen von n wachsen über alle Grenzen" Die höchste Potenz bestimmt das Grenzwertverhalten." Die Exponential- wächst schneller als die Potenzfolge." Der Nenner wächst über alle Grenzen, der Zähler bleibt konstant." Endliche Grenzwerte können einzeln bestimmt und wieder zusammengesetzt werden." (Grenzwertsätze) Höchste Nennerpotenz ausklammern und kürzen." 3n-2 lim- 4- 8+2 lim =lim n+1 nn² 0 lim- =lim 2n²+1 - 1 2 n² 2+- n'+2n = lim 2n²+1 * 2+² =0. =lim n 4-2 lim 10+"+1 lim (e+e=lim e+lim-=+0=0 e² n+1. lim 10+lim = 1+1=2 - n 1 Grenzwert bei hebbarer Kücke: 1. undefinierte Stelle herausfinden 2. Binomische Formel/Ausklammen 3. undefinierte Stelle einsetzen 2.B. f(x)= x³ +5x²-7x Sx Grenzwert Polstelle: Xu=0 f(x) = x²-16 -f(u) = -2; 2 - प्रख्य lim ((x-1)^ (^~3)) = `-00" - -- X-1 x> ^ lim xe1 lim x(x² +5x-7) f(x) = (+₁) ² (x-3) ~3x₁ = 1; 3 K-O ((^-17² (4-3)) = "00" lim x-2 Ohne VZW + Gentwert ist stetige Ergänzung! Asymptoten: 5x (244 تھا۔ (پایہ شہر) ડધો ) x304 =-=(x-0, daher oben nur noch -7) lim ((x-1) ² (4-3)) = "00² x-3 x>3 - = lim (₁²+ 4) = 8 X-22 lim ((^~^) ² (2-3)) = `-00² x-3 x< 3 mit VZW Grenzwest rechnen -Senkrechte Asymptoten ↳ Definitionslücken (Division duch "0") z. B. f(x)=x²0=2-2 ~ Asymptote = 2 -70) -Polstelle (senkrechte Asymptote, zähler Polstelle mit V2W bei ungerade Potenz 6 Polstelle ohne Vew bei gooder Potenz - hebbare Kücke (senkrechte Asymptote, Zähler=0) = 2.8. Stetigkeit Tangente: TR: Menu Graph ↓ (Flet. zeichnen ) FU einer Funktion: -waagerechte Asymptoten 2x3-3k 1. Zöhlergrad = Nennergrad z.B. Sa tên t 1 2,²³-34²) = ²/3/3 lim 5³.2x)/ -Asymptote Koeffizient der höchsten Potenz X-² dann ist f(x) stetig FZ [tag] ↓ [T] 2x²-3x 2. Zählergrad< Nennergrad Z.B. 5,²³ + 2x + -Asymptote= ↓ +-/x-wet eingeben [EXE] Normale: 2x4-3x 3. Zöhlergrad > Nennergrad 2.B. 5x²³ - 2x+1 → keine waagerechte Asymptore 1. f(x) ist an Stelle a definiert (z. B. x²;Q=1_a€R) (x² - ² ) ; a=1 - a&R) 2. es existiert ein Grenzwert von f(x) an Stelle a 3. Grenzwert und Funktionswert stimmen überein 1. f'(x) ermitteln Punkt Peinsetzen • f'(P) = mt →m beechnen I 2. m in : in Tangentengleichung · y = m+ x +h₁ Punkt P einsetzen 3. nach cauflösen 4. Tangentergleichung angeben • Gerade, die Graphen der Funktion senkrecht schneidet 1. Steigung berechnen : Mn=-- 2. Koordinaten des Punkter P(xolf(xo) in y= Mnx+n 3. nach cauflösen 4. Normalengleichly angeben mt Winkel zwischen Graph und x-Achse: (Steigungswinkel) tan (x) = m = f'(x) → x = tan-^ (m) EXTREMWERT AUFGABEN 1. Skizze 2. Extremalbedingung (welche Größe soll Extremwet annehmen?) Z.B. Flächeninhalt Rechteck 3. Hauptbedingung mit Variablen aufstellen 2.8.a.b=max → enthält die Gleichung mehr als eine Variable? Neinn Zielfunktion Loja ~ mittels Nebenbedingungen Anzahl der Variablen auf 1 reduzieren 5. Zielfunktion bestimmen ; Definitionsbereich angeben i 6. Zielfunktion auf Extremwete untersuchen →Prüfen, ob lokale Extrema im Intervall auch 7. Ergebnis formulieren 2. Aus Bedingungen Gleichungen formulieren 2.B. bei Extrempunkt: f'(x) = Lax +b =0 globale STECKBRIEF AUFGABEN 1. In Aufgabenstellung ersichtlich, welchen Grad Funktion hat → dementsprechend Funktionsterm (ggf. Ableitungen) bestimmen 2.B. Fkt. 3. Grades flx) = ax³ + bx²+Cx +d; f'(x) = 3ax ² + 2bx+c,... Fkt. 2. Grades: f(x) = ax²+bx+c ; f'(x)= 2ax+b Extrema + + Regression (im STAT -Menü) - mind. So viele Koeffizienten wie in Gleichung benötigt. 3. Aufstellen und lösen lineares Gleichungssystem (TR/Gauß) 4. überprüfen (nachechnen) PARAMETERKURVEN/SCHARENFUNKTIONEN Ortskurve: Graph/Funktion, die alle Punkte mit gleicher Eigenschaft verbindet Eine Scharfunktion ist z. B. fa(x) = x² + ax +a; a€R →wie bildet man aus dieser Funktion die Ortskurve? 1. Funktion + 1. /2. Ableitung aufschreiben fa(x)= x² + ax + a fa'(x)=2x+a 2. Nullstelle 1. Ableitung bestimmen (Extremstelle fa(x)) fa'(x)=0=2x₁a1-a -a = 2x -a-x 1:2 3. Ausgerechneten Wert in fa(x) einsetzen, y-west für Extrempunkt bestimmen fa"(x)=2 fa (- ²) = (- 2 ) ² + a. (- ²/2) + a q² a+ 1 a²-2a² 4 4. + aus falx) eliminieen -> Ort skurve x=-²²~²a= -2x f-zx (x)=x²-2x² -2x = -x²-2x → a=-2x in fa(x) eingesetzt €+ (-²1-a².a) Extrempunkt von fa (x) Binomische Formeln: lineare Gleichungen: - GLEICHUNGEN Bruchgleichungen. 1. (a+b)² =a² + 2ab +6² 2. (a-6)² =a²-2ab +6² 3. (a-6) (a+b) a²-6² f (x) = - = mx +h P 2 quadratische Gleichungen: f(x) = ax² +bx+c = 0 - → falls nur x² (~ 6=0)-Wurzelziehen z. B. x²-9-01- x² = 9 15 1 - XA12 = ±3 falls x² und x (~₂ (=0)→x ausklammern 2.B. x² +5x =01→ ×(x+²) = 0 | → x₁=0x₂=- r ↳ sonst pq-Formel: x=- — ± √(²) ² - 1² O=mx+n - Multiplikation mit Hauptnenner/Nenner nacheinander -umformen -nach x isolieen trigonometrische Gleichungen: (x+5) (x-3)(x-3) (x+5)= 3(x-3) x+5 = 3x-91 -2x = -14 -7 2.B. x - unendlich viele Lösungen (außer innerhalb Interall) - mit TR: Sin-1, cos-1, +an-1 Sin(x) Sin² (x) + cos² (x)=1; tan(x) = Sou); sin(x)= cos (+-) Stochastik Zufallsversuche Vorgang, bei dem man nicht vorraussagen kann, welches Ergebnis bei der nächsten Durchführung einer Versuchs eintreten wird Ergebnismenge S: Zusammenfassung alle möglichen Versuchsausgänge - • Zusammengesetzt aus Ereignismengen Laplace-vesuch: Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wawscheinlich sind (z. B. Würfeln) Das emprinische Gesetz der großen Zahlen: mit zunehmender Anzahl de versuche Stabilisiest nähering an waw- sich relative Häufigkeit -Annal Scheinlichkeit einer Ergebnisses mehrstufiger Zufallsvesuch: 2.B. mehrmaliger Würfel 6 immer gleiche Vesuchsbedingungen / gleiche wahrscheinlichkeiten. ode z. B. Kauf von Gewimlosen aus Tombola versuch; ↳ Vesuchsbedingungen ändern sich pro Wahrscheinlichkeiten. Baumdiagramme/Pfadregeln: in Urne +3 gelbe, 6 rote Kugeln Baumoliagramm Mla 6/0 1 TWS.45 S า ay- Sich andende →3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen Pfadmultiplikationsregel: multipliziere wahrscheinlichkeiten entlang einer Pfader (1. Rfactegel) Pfadadditionsgel Gegeneeignis- Komplementärnggel: Gegeneeigm's E = alle Ergelonisse der Ergebnismenge, die nicht zu € gehört absolute Häufigkeit gibt an, wie oft Ergebnis aufgetreten ist. H(n)-6 relative Häufigkeit gibt an, wie oft Ergebnis in Relation zur gesamten Versuchsanzahl aufgetreten ist. h(n) = 1/0 = 0,16 € 60x unmögliches Ereignis: Sichees Ereignis Tws.s addiee die ausgerechneten Pfadwahrscheinlichkeiten (2.Pfodbegel) An B: Schnittmenge - : 2.8. (73-0 2.B. 1.2.3,4,5,63=S=S=1 • →wie Plätzchenstecher, Schneidet Teile aus dem Gesamten aus →nus A und B AUB: Vereinigungsmenge →wie Schale, in die alles hineinfällt ALLES A, B, A und B AIB: Differentmenge. - Auß nu A oder B, nicht A und B A\B Ereignis A= SZA 2.B..Die Person ist ein Mann.' Gegenereignis A=52|A &.B..Die Person ist eine Frau." Schnittmenge AOB Die Person ist ein blander Mann. Vereinigungsmenge AUB ▸ Die Person ist ein Mann oder blond (ode beides)." AB=AnB Die Person ist ein Mann, aber nicht blond AIBU BIA (ANB)U(ANB) = Die Person ist entweder ein Mann oder bland." AB = AUB Die Person ist weder ein Mann noch bland" AUB - AB Die Person ist kein blonder Mann S S r r r S Vierfeldertafeln: TWS. 47 - zeigen zwei Merkmale mit jeweils zwei Möglichkeiten -durch summieren der Wahrscheinlichkeiten der imeen Felder Wahrscheinlichkeiten der Rand felder -ouch Summieren der Randfelder → Summe=1 Zufallsversuch 1 Zufallsversuch 2 B B A PAB) P(ANB) A PLAN B) P(ANB) P(B)= P(B)=P(ANB)+ Summe P(An B)+ P(ANB) P(An8) Summe P(A)=P(ANB)+ P(AnB) P(B) = P(An8) + P(ANB) 1 → zu jeder Vierfeldertafel = 2 mögliche zweistufige Baumoliagramme -Pfadwahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade = innere Felder der Vierfelder tafel Wahrscheinlichkeiten auf 2. Stufe aus 1. Stufe // Quotienten ime-hallo Zeile /Spalte = Quotient aus Pfad wahrscheinlichkeit und wahrscheinlichkeit Stochastische (un-) Abhängigkeit: zwei Ereignisse sind Stochastisch unabhängig wenn gilt: P(ANB) = P(A) · P(B) → anderenfalls stochastisch abhängig