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Vollständige Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

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Ene Funktion fi deren Funktionsgleichung man in der Form f(x)= anx" + ªn-¡×'
Funktion n-ten Grades. Dabei sind aia,.... an reel

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- Extrempunkte berechnen/bestimmen - Wendepunkte berechnen - Steigung - Symmetrie - Wertebereich/Definitionsbereich - Randwerte - Nullstellen berechnen/bestimmen - Tangentengleichung - Graphisches Ableiten

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Definition: Ene Funktion fi deren Funktionsgleichung man in der Form f(x)= anx" + ªn-¡×' Funktion n-ten Grades. Dabei sind aia,.... an reelle zahlen (an # 0) und • Merkzettel 1. Klausur (21.09.21) 1. Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und ihrer Graphen: verhalten für x ±00 Für x → ± ∞0 wird dse verhalten einer ganerationalen Funktion vam Summanden mit der höchelen Potenz von X bestimmt Verhalten für x none o' For x nahe O wird das verhalten eine ganerationalen Funktion von dem Summanden mit den niedrigeren Potenzen van x bestimmt Extrempunkte berechnen. • (. erote und zweite Ableitung bestimmen 2. Notwendige Bedingung: f'(x)=0 (Nullstellen berechnen) 8. Hinreichende Bedingung: f'(x)=0 v f"(x) + 0 f"(xs) <0 {"(xe) 20 f" (xs) = O jeweils Vorzeichenwecheelkriterium: . Vorzeichenwecheel criterium: x-Wert in erete Ableitung einsetzen + x-West in Funktion einsetzen kein VZW - Maximum (Hochpunkt) - Minimum (Tiefpunkt) - VZW untersuchen eine zahl vor und nach Nulletelle Wendepunkte berechnen. 1. erote, zweite und dritte Ableitung 2. Notwendige Bedingung: {"(x) = 0 3. Hinreichende Bedingung: für y-wert in Funktion einsetzen bestimmen Kein VZW Maximum Minimum Sattelpunkt für y-Hert · wendestelle hoch runter f" (xw) *0 fill(x) = O vorzeichenwechsel von f" untersuchen jeweils eine zahl vor und nach Nullstelle in zweite Ableitung einsetzen VZW → Nendestelle diesem Hochpunkt keine Wendestelle Tiefpunkt: runter hoch + ax + a. schreiben kann, heißt ganerationale natürchliche Zahlen. Punict Extrempunkte bestimmen. Maximum: FS (G-Solv) → F2 (max) Minimum: FS (G-S0lv) → FS (min) Ein Wendepunkit liegt dort vor, No die Funktion Steigung einer maximal ist. An dieser Stelle wecheelt die krümmung von einer Rechte- ZU einer Linkskrümmung bew. umgekehrt....

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Das heißt im Wendepunkt liegt keine Krümmung vor. Sattelpunkte 813 besondere Wendepunice: Sattelpunkte eind Wendepunkte mit waagerechler wendetangente (= Tangente im Hendepunkt). Ose heißt, in einem Sattelpunkt gilt nicht nur f"(x)=0 und F"(x) + 0, eondem zusätzlich f'(x) = 0 (keine Steigung) Y-Achsenabschnitt Als Y-Acheensbechnitt bezeichnet man den Punkt, an dem de Graph die y-Achee schneidet Yo = f(0) Die Steigung einer ganzrationalen Funktion: Mittlere Anderungsrate ok mittlere Änderungerate beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem gegebenen Intervall. Das Anderungsverhalten einer Funktion f auf einem Intervall I= [X.; Xo th] wird durch den Differenzenquotienten f(x.+h)-f(x) beschrieben h (Mann kann die Steigung der Bekante durch die Punkte P (to (f(x₂)) und Q (xth if(x+h)) berechnen. Diese entspricht bei Anwendung der mittleren Änderungorate der zugehörigen Größe. f(ko+h)-f(ka) Koth - Ko m = tan (α) Steigungswinkel. tan(x) = a Momentane Änderungsrate Die momentane Änderungsrate beschreibt die steigung der Tangente in einem Strept der Differenzenquotient zwiechen den stellen x und x₂ +h für ho gegen einen Grenzwert, dann heißt dieser Ableitung von f an der Stelle xo. Die Gerade durch den Punkt P(xolf(x)) mit der Steigung f'(k.) ist die Tangente im Punkt P. Der Graph von f hat an der X. die Steigung f'ora). Stelle = AXX m = arctan(m) steigend: fallend: α = tan (m) α= tan (m) + 180° Symmetrie: f(-x) -X AY O Achsensymmetrisch zur y-Achse f(x) X Wertebereich welche x-Werte können (Of) 4- 2- Ax Ay 6 8 10 f(-x) = f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten welche y-Werte eine funktion annehmen kann (WF) Definitionsbereich eine Funktion f(x) eingesetzt werden O y Beispiel: P Xo Punkt. AY 2. h ХО erete Ableitung bestimmen 2.6. Monotonieverhalten Wert Q 1. 2. Nullstellen beechnen 3. Monotonietabelle:. Intervalle bestimmen f(x) = x+2 • Of = I. untere Grenze f(xo+h)-f(xo) Xo+h einsetzen um Tangente h 1 Fig. 1 f(xo+h)-f(xo) xo + h f'(x) einsetzen Fig. 2 Steigung durch 2 Punkte m= Y₂ - Y punktsymmetrisch zum Ursprung: f(x) JA -X f(-x) = -f(x) nur Potencen mit ungeraden Exponenten X f(-x) [0;2] des intervalls in Funktion kleinsten y-wert herauszufinden des Intervalle größten Y-Weit [fco) = 0+2=2 f(2)= 2+2 = abere Grenze einsetzen um x<0 - monoton fallend monoton steigend X>0- Steigung durch einen Punkt m = f'(x) die Funktion herauszufinden Hf = (2.4) Randwerte: -Hochpunkte, Tiefpunkte. Überprüfen ob nöcheter/niedrigerer Punkt bei Hoch- oder oder woanders Tiefpunkt liegt Functionegleichung einsetzen und Bei gegebenem intervall untere und obeje Grenze in Henn Kein Intervall gegeben ist Randwerte des Funktionsgraphen (links und rechts) in Funktionsgleichung einsetzen Wendepunkte überprüfen wo stärkste Änderung vorliegt Randwerte des Functions graphen oder des intervalls und x-Wert von Wendepunict Nullstellen: berechnen: Ausklammern (wenn alle Teimteile x enthalten) f(x) = x³ 2x2.3x 0 = x³ 2x².3x 0 = x. x, = 0 V m = 8 f(2) (x²2x.8) = x²·2x3 = 0 x²6x • O f(x) = x³ - 4x Xo = 2 Y = m.x +n f'(x) = 3x² - 4 f'(a) = 3.2ª-4 = 8 = 0 Xa/3 X2/3 *2/3 = x₂ = -6 V 2³-4.2 - £ №N√(£)² - √√² y = 0 08.2+n 0 = 16+ n -16 = n y = m.x+n Y=8x-16 2 § ± 3 X3 = 0 1-16 Tangentengleichung aufstellen: G 3. Ko ·PQ-Formel: 15x² 30x + 11,25 -0 x² - 2x + 0,79 =0 x₁/2 = 1. Ableitung ausrechnen xya Kua x₂ = 0,5 1 - √(8) ²-a -√√(¹-0,75 2 1 ± 05 8. m und n in 4. Werte (x, y, m) in V x₂ = in Ableitung einsetzen (für m=steigung) 1,9 in Funktionsgleichung einsetzen (für y) 1:15 Y=M⋅x +n einsetzen Y=M.x+n einsetzen y(+) in mit bestimmen: FS CG-80lv)→→ FI (root) ↳mit Stevekrece hin und ne Substitution erote Ableitung einsetzen C = 10x²-40 0= 102²-40 40 = 102² 4 = 2² 2₁ = -2 Rücksubstitution √ * 6,91 y(t) sinkt Hochpuncte (HP), Tiefpunkte (TP) y(t) steigt Extrempunkt/en abgleichen 22=2 Graphisches Ableiten: x₂ = √₂ 2-1,41 I Substitution 1+40 1:10 wechseln y (+) Nulletellen (NG) y'(t) <0 negative Funktionswete Y'(+) > 0 positive Funktionswerte

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