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Wahrscheinlichkeitsrechnung

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 Bernoulli- Versuch
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Bernoulli- Versuch => Zufall experiment mit zwei Ergebnissen (z.B. Münzwurf) • eine Bernoulli - Kette haben Bernoulli-Kette (Münzwurf): Zahl Kopf (ņ) = Zahl n = 5 k= 3 kopf n= Anzahl der Versuche k= Anzahl der Treffer P(E)= Zahl •Kopf n! k! ·(n-k)! (A) P(E)= (3) Anzahl Pfade berechnen Benoulli-Formel (3) -Zahl kopf zahl ·kopf zahl kopf Binomialverteilung: zahl ·Kopf bep.: Eine Münze wird 5 mal geworfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 3 mal eine Zahl zu werfen? pk. (1-pint wir, wenn man ein Bemoulli - Experiment n-mal durchführt = 5! 3! . (5-3)! = 10. 0,5³ 0.52 6.53. (1-015)5-3 Ereignis: 2x kopf กะ 5 k = 3 = 10 →3 Pfade P= (0.6.0.5.0.5).3 i Anzahl der P = 0.5 = 013125 ≈ 81.25% 17.05.21 fade! bap. Glühbirnenhersteller -20% der Lampen sind defekt - 20 werden als Stichprobe entnommen Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das 8 Lampen defekt sind? PLE) = (2) pk. (A-pj^-k Rechnung: P= 20% = 0.2 n = 20 k= 8 klo P(E) 1 2 3 4 5 minimal O maximal 20 Erwartungswert: E(x)=n·P = 20-012 Binompdf (Bpd) berechnet für geno Bpd (k.nip) 6 gerau : PLE) immer => im Durchschnitt sind 4 Lampen defekt wenn ich 20 stück prüfe => Berechnet nur ein Balken (Histogramm) Wenn ich alle Wahrscheinlichkeiten mit einander addiere muss 1 rauskommen (100%)! k Treffer = bsp. mindestens 3 defekte (20). 0.28 (1-0.2) 20-8 7 8 2.224 = 0.02216 22,22% } Binomialverteilung 1. P ( x ≤6) 2. P(x≤ 6) - P(xs 2) Binomadf (Bcd) berechnet höchsten k Treffer Bed (кіпір) P(mindestens 3) = 1- P (höchstens 2) Bcd P(x=31= 1-PCX ≤ 2 = 017939 *79.39%. komulierte Wahrscheinlichkeit! Berechnet alle Balken bis höchstens k CHistogramm bsp. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das mindestens 3 aber höchstens 6 clefekt sind? = 017072≈ 70,72% P(x=k) P(x≤k) P(x ≤k-1) P(x=k) P(x >...

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k) Wahrscheinlichkeit mit Reihenfolge und zurücklegen A = n* mit Reihenfolge ohne Zurücklegen (1) kl ohne Reihenfolge ohne Zuracklegen A = (^) =_^! 2€ k!·(n-k)! 1€ 0€ Erwartungswert 1) Beispiel: Glücksrad 1€ Einsatz Wahrscheinlichkeit genau k Erfolge höchsten k Erfolge ● weniger ale k Erfolge mindestens k Erfolge mehr als k Erfolge Gewinn: 1 € of - AG E(X)= XA · P(x=x^) = A 0,25 + 0 = -0,25 A: Spiel ist unfair ohne Reihenfolge mit zurücklegen 2. Betreuer: 3. Betreuer: A= A = (n +k-^) (n+k-^)² k!·(n-1)! P= 0,25 P = 0,28 P = 0,5 + x2₂ 0.25 + (-1) 0.5 bsp. Ihr macht Berufsorientierungspraktikum in einer Firma. Zusammen mit euch sind es 6 Praktikanten, die betreut werden müssen. Vom Betrieb werden drei Betreuer zugeteilt. Jeder von den Betreuern soll делом zwei von euch betreuen. • P(x= x₂) +... Wie viele mögliche Betreuer-Praktikanten Kombis gibt es? 1. Betreuer: A = a n=6 ● ● ık = 2 1€ 0€ (^) = k!·(n-k)! A = ( 4 ) = 6 (3)=1 2) Beispiel: Glücksrad 1€ Einsatz ohne Reihenfolge ohne zurücklegen Gewinn (0-1) 0 € - 1€ S (2) P 0.25 0,26 0.5 15.6.1 = 90 90 Mögliche kombination Mit welchem Wert für a ist das Spiel fair? = 15 E(x) = (a-1)-0.25 + 0·0.25 + (-1) - 0,5=0 0125a-0125 +0 -015 0,25 -0.75 0,250 a = 0 = 0A5 = 3 Stanardabweichung 0 = gibt Breiter der kurve an bsp. zu 1.) D der Schrauben defekt. Berechnen Wahrscheinlichkeit von 100 ... 3.) 10% 1.)... genau a 21 höchstens 9 defekt sind 2.) P(x≤9) = 3.) die Anzahl defekter Schrauben Tm Bereich der Stanard abweichung liegt. [ Ecx) - σ; E(x) + σ] P(x=k=9) 610%. 100-9 (100)・ 0₁1ª. (1-0,1) ¹⁰0 10% von 100 = 10 E(x) = np 0,1304 Вса (кіпір) = 0,4513 x 45,13. a = n.e. 100 = 100 0₁1 = 10 (A-pl = √100·0.1. (^-0₁N⁰² = 3 E(X) σ = 10-3 = 7 E(x) +σ = 10 +3 = 13 [7:13] = Erwartungswert E(x) =μ=п.р 18,04% Bcd (9,100,011) Sie die Standardabweichung o = √n.p.(^-p) Sigma-Regeln *^>3 (Laplace-Bedingung) gelten folgende Faustregeln: Pl μ-1.0 ≤x≤ μ+1.01 * 68,3% 2PM-2 0≤x≤μ + 2.0) ≈ 96,5%. 4P(M-3.0≤x≤μ+3·0)ñ 99,7% Für Übung (ABI-2014) Bei einem Bundesliga-Spiel strömen 20.000 Zuschauer ins Stadion. An weibliche Zuschauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu 25% weiblich. 2 PCμ-1,64 a ≤ x ≤ M + 1,64 0) = 907. LSPLμ-1.96 0 ≤x≤ μ+ 1.96 0) ~ 95%. ↳ PI M-2158 a ≤ x ≤ μ + 2,58 a) ~ 99%. Ermitteln Sie auf der Grundlage der 20.000 Zuschauer das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 liegt. A: Das Intervall ist. Berechnung von von k: von P: 0000 [ 4900 5100] von Pikin (nub (P(K), nip) Мелст б yd = P(x) y2= Bcc/Bpc (kinip) draw geg. Gsolu 3 Schnitipunt+ x-Achse Insect ist gleich p : n = 20000 a≈ 61,24 >3 => Anwendung σ- Regeln möglich 6 P(20.000-0,25 - 1,64 · 61,24 < x < 20.000 -0.25 + 1,64 · 61₁ 24 ) 2019 μ P14900 < x < 51001 ≈ 907. P = 0125 E(x) = 5000 0 = 25√6 P(x) = 0,9 ≈ 61,24

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