C++-Implementierung des Pi-Berechnungsalgorithmus

Die zweite Seite des Dokuments präsentiert eine praktische Umsetzung des Euler-Algorithmus zur Berechnung von Pi in C++. Dieses C++ program for approximating pi demonstriert, wie mathematische Konzepte in Programmcode umgesetzt werden können.

Der Code beginnt mit der Einbindung notwendiger Bibliotheken und der Deklaration von Variablen:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int wiederholungen = 0;
float pi;
float zwischenergebnis;

Vocabulary: "wiederholungen" bedeutet "Wiederholungen" oder "iterations" auf Englisch und bestimmt die Genauigkeit der Berechnung.

Die Hauptfunktion main() führt folgende Schritte aus:

1. Der Benutzer wird aufgefordert, die Anzahl der Wiederholungen einzugeben.
2. Eine Schleife berechnet die Summe der Reihe 1/n⁴ für n von 1 bis zur eingegebenen Anzahl der Wiederholungen.
3. Das Zwischenergebnis wird mit 90 multipliziert.
4. Zweimal die Quadratwurzel des Zwischenergebnisses wird berechnet, um Pi zu erhalten.
5. Das Ergebnis wird ausgegeben.

Highlight: Die Genauigkeit der Pi-Berechnung steigt mit der Anzahl der Wiederholungen, was dem Benutzer die Möglichkeit gibt, zwischen Rechenzeit und Präzision abzuwägen.

Dieser C++-Code ist ein ausgezeichnetes Beispiel für die Berechnung von Pi, das zeigt, wie mathematische Formeln in praktische Computeralgorithmen umgesetzt werden können. Es ist besonders nützlich für Studenten, die lernen möchten, wie man Pi ohne Taschenrechner berechnet und dabei grundlegende Programmierkenntnisse erwirbt.

Quote: "Je hoeher, desto genauer" - Dieser Kommentar im Code unterstreicht die Beziehung zwischen der Anzahl der Iterationen und der Genauigkeit des Ergebnisses.

Das Dokument schließt mit Quellenangaben, darunter ein Wikipedia-Artikel zur Kreiszahl und das Buch "Die Simpsons und die Mathematik" von Simon Singh, was darauf hindeutet, dass Pi für Kinder erklärt werden kann, indem man es mit populären Kulturphänomenen in Verbindung bringt.

Algorithmus zur Berechnung von Pi

Die Zahl Pi ist eine fundamentale mathematische Konstante, die als Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis bleibt unabhängig von der Kreisgrößekonstant. Pi ist eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen ohne erkennbares Muster.

Definition: Pi ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,1415926.

Der vorgestellte Algorithmus zur Berechnung von Pi basiert auf einer Methode von Leonhard Euler. Er verwendet eine Reihenentwicklung, die wie folgt aussieht:

Formel: π² / 90 = 1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + 1/5⁴ + 1/6⁴ + ... + 1/n⁴

Diese Formel lässt sich umformen zu:

π = √(√((1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + ... + 1/n⁴) * 90))

Highlight: Je größer der Wert von n gewählt wird, desto genauer wird die Approximation von Pi.

Der Algorithmus demonstriert, wie sich die Genauigkeit der Pi-Berechnung mit steigender Anzahl der Terme verbessert:

• Bei n=1: π ≈ 3,08007
• Bei n=2: π ≈ 3,12711
• Bei n=3: π ≈ 3,13615
• Bei n=4: π ≈ 3,139
• Bei n=5: π ≈ 3,14016
• Bei n=6: π ≈ 3,14072

Example: Schon bei n=6 erreicht man eine Genauigkeit von vier Nachkommastellen für Pi.

Diese Methode zur Pi-Annäherung ist ein hervorragendes Beispiel dafür, wie man Pi ohne Taschenrechner berechnen kann, indem man grundlegende mathematische Operationen verwendet.