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Wie berechnet man die Zahl Pi? – Pi annähern ohne Taschenrechner, Archimedes Pi Berechnung und mehr

12

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M

Max

2.4.2021

Mathe

Pi mit einem Algorithmus berechnen

Fächer

Mathe

Geometrie

Kreis berechnen

Kreis

400

•

2. Apr. 2021

•

2 Seiten

Wie berechnet man die Zahl Pi? – Pi annähern ohne Taschenrechner, Archimedes Pi Berechnung und mehr

M

Max

@maxdasalien

Die Kreiszahl Pi ist eine faszinierende mathematische Konstante, die das... Mehr anzeigen

Algorithmus um Pi zu berechnen Die Kreiszahl Pi ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Dur

C++-Implementierung des Pi-Berechnungsalgorithmus

Die zweite Seite des Dokuments präsentiert eine praktische Umsetzung des Euler-Algorithmus zur Berechnung von Pi in C++. Dieses C++ program for approximating pi demonstriert, wie mathematische Konzepte in Programmcode umgesetzt werden können.

Der Code beginnt mit der Einbindung notwendiger Bibliotheken und der Deklaration von Variablen:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int wiederholungen = 0;
float pi;
float zwischenergebnis;

Vocabulary: "wiederholungen" bedeutet "Wiederholungen" oder "iterations" auf Englisch und bestimmt die Genauigkeit der Berechnung.

Die Hauptfunktion main() führt folgende Schritte aus:

  1. Der Benutzer wird aufgefordert, die Anzahl der Wiederholungen einzugeben.
  2. Eine Schleife berechnet die Summe der Reihe 1/n⁴ für n von 1 bis zur eingegebenen Anzahl der Wiederholungen.
  3. Das Zwischenergebnis wird mit 90 multipliziert.
  4. Zweimal die Quadratwurzel des Zwischenergebnisses wird berechnet, um Pi zu erhalten.
  5. Das Ergebnis wird ausgegeben.

Highlight: Die Genauigkeit der Pi-Berechnung steigt mit der Anzahl der Wiederholungen, was dem Benutzer die Möglichkeit gibt, zwischen Rechenzeit und Präzision abzuwägen.

Dieser C++-Code ist ein ausgezeichnetes Beispiel für die Berechnung von Pi, das zeigt, wie mathematische Formeln in praktische Computeralgorithmen umgesetzt werden können. Es ist besonders nützlich für Studenten, die lernen möchten, wie man Pi ohne Taschenrechner berechnet und dabei grundlegende Programmierkenntnisse erwirbt.

Quote: "Je hoeher, desto genauer" - Dieser Kommentar im Code unterstreicht die Beziehung zwischen der Anzahl der Iterationen und der Genauigkeit des Ergebnisses.

Das Dokument schließt mit Quellenangaben, darunter ein Wikipedia-Artikel zur Kreiszahl und das Buch "Die Simpsons und die Mathematik" von Simon Singh, was darauf hindeutet, dass Pi für Kinder erklärt werden kann, indem man es mit populären Kulturphänomenen in Verbindung bringt.

Algorithmus um Pi zu berechnen Die Kreiszahl Pi ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Dur

Algorithmus zur Berechnung von Pi

Die Zahl Pi ist eine fundamentale mathematische Konstante, die als Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis bleibt unabhängig von der Kreisgrößekonstant. Pi ist eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen ohne erkennbares Muster.

Definition: Pi ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,1415926.

Der vorgestellte Algorithmus zur Berechnung von Pi basiert auf einer Methode von Leonhard Euler. Er verwendet eine Reihenentwicklung, die wie folgt aussieht:

Formel: π² / 90 = 1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + 1/5⁴ + 1/6⁴ + ... + 1/n⁴

Diese Formel lässt sich umformen zu:

π = √√((1/14+1/24+1/34+...+1/n4√((1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + ... + 1/n⁴ * 90))

Highlight: Je größer der Wert von n gewählt wird, desto genauer wird die Approximation von Pi.

Der Algorithmus demonstriert, wie sich die Genauigkeit der Pi-Berechnung mit steigender Anzahl der Terme verbessert:

  • Bei n=1: π ≈ 3,08007
  • Bei n=2: π ≈ 3,12711
  • Bei n=3: π ≈ 3,13615
  • Bei n=4: π ≈ 3,139
  • Bei n=5: π ≈ 3,14016
  • Bei n=6: π ≈ 3,14072

Example: Schon bei n=6 erreicht man eine Genauigkeit von vier Nachkommastellen für Pi.

Diese Methode zur Pi-Annäherung ist ein hervorragendes Beispiel dafür, wie man Pi ohne Taschenrechner berechnen kann, indem man grundlegende mathematische Operationen verwendet.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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M

Max

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Die Kreiszahl Pi ist eine faszinierende mathematische Konstante, die das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser beschreibt. Dieser Leitfaden erklärt einen Algorithmus zur Berechnung von Pi, basierend auf der Methode von Leonhard Euler.

  • Der Euler-Algorithmus verwendet eine Reihenentwicklung zur Annäherung an... Mehr anzeigen

Algorithmus um Pi zu berechnen Die Kreiszahl Pi ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Dur

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C++-Implementierung des Pi-Berechnungsalgorithmus

Die zweite Seite des Dokuments präsentiert eine praktische Umsetzung des Euler-Algorithmus zur Berechnung von Pi in C++. Dieses C++ program for approximating pi demonstriert, wie mathematische Konzepte in Programmcode umgesetzt werden können.

Der Code beginnt mit der Einbindung notwendiger Bibliotheken und der Deklaration von Variablen:

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float pi;
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Vocabulary: "wiederholungen" bedeutet "Wiederholungen" oder "iterations" auf Englisch und bestimmt die Genauigkeit der Berechnung.

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  1. Der Benutzer wird aufgefordert, die Anzahl der Wiederholungen einzugeben.
  2. Eine Schleife berechnet die Summe der Reihe 1/n⁴ für n von 1 bis zur eingegebenen Anzahl der Wiederholungen.
  3. Das Zwischenergebnis wird mit 90 multipliziert.
  4. Zweimal die Quadratwurzel des Zwischenergebnisses wird berechnet, um Pi zu erhalten.
  5. Das Ergebnis wird ausgegeben.

Highlight: Die Genauigkeit der Pi-Berechnung steigt mit der Anzahl der Wiederholungen, was dem Benutzer die Möglichkeit gibt, zwischen Rechenzeit und Präzision abzuwägen.

Dieser C++-Code ist ein ausgezeichnetes Beispiel für die Berechnung von Pi, das zeigt, wie mathematische Formeln in praktische Computeralgorithmen umgesetzt werden können. Es ist besonders nützlich für Studenten, die lernen möchten, wie man Pi ohne Taschenrechner berechnet und dabei grundlegende Programmierkenntnisse erwirbt.

Quote: "Je hoeher, desto genauer" - Dieser Kommentar im Code unterstreicht die Beziehung zwischen der Anzahl der Iterationen und der Genauigkeit des Ergebnisses.

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Algorithmus zur Berechnung von Pi

Die Zahl Pi ist eine fundamentale mathematische Konstante, die als Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis bleibt unabhängig von der Kreisgrößekonstant. Pi ist eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen ohne erkennbares Muster.

Definition: Pi ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und beträgt ungefähr 3,1415926.

Der vorgestellte Algorithmus zur Berechnung von Pi basiert auf einer Methode von Leonhard Euler. Er verwendet eine Reihenentwicklung, die wie folgt aussieht:

Formel: π² / 90 = 1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + 1/5⁴ + 1/6⁴ + ... + 1/n⁴

Diese Formel lässt sich umformen zu:

π = √√((1/14+1/24+1/34+...+1/n4√((1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + ... + 1/n⁴ * 90))

Highlight: Je größer der Wert von n gewählt wird, desto genauer wird die Approximation von Pi.

Der Algorithmus demonstriert, wie sich die Genauigkeit der Pi-Berechnung mit steigender Anzahl der Terme verbessert:

  • Bei n=1: π ≈ 3,08007
  • Bei n=2: π ≈ 3,12711
  • Bei n=3: π ≈ 3,13615
  • Bei n=4: π ≈ 3,139
  • Bei n=5: π ≈ 3,14016
  • Bei n=6: π ≈ 3,14072

Example: Schon bei n=6 erreicht man eine Genauigkeit von vier Nachkommastellen für Pi.

Diese Methode zur Pi-Annäherung ist ein hervorragendes Beispiel dafür, wie man Pi ohne Taschenrechner berechnen kann, indem man grundlegende mathematische Operationen verwendet.

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Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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