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3.3 Rechnen mit Vektoren
521
•
1. Juli 2025
•
Johanna
@j0hannaa
Vektoren sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen. Sie ermöglichen... Mehr anzeigen
Dieses Kapitel konzentriert sich auf die geometrische Interpretation der Vektoroperationen, die im vorherigen Abschnitt algebraisch eingeführt wurden. Es bietet visuelle Darstellungen für die Vektoraddition, Vektorsubtraktion und die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl.
Für die Vektoraddition wird gezeigt, wie man einen Pfeil des Summenvektors a + b erhält, indem man einen Pfeil des Vektors b an das Ende eines Pfeils des Vektors a ansetzt. Dies veranschaulicht die "Spitze-an-Schwanz"-Methode der Vektoraddition.
Highlight: Die geometrische Darstellung der Vektoraddition verdeutlicht, dass die Reihenfolge der Addition keine Rolle spielt .
Bei der Vektorsubtraktion wird erklärt, dass sie als Addition des Gegenvektors verstanden werden kann:
Definition: a - b = a +
Dies wird durch eine Abbildung illustriert, die zeigt, wie der Differenzvektor a - b durch Addition des Vektors a mit dem Gegenvektor von b konstruiert wird.
Die Skalarmultiplikation wird geometrisch dargestellt, indem gezeigt wird, wie sich die Länge und Richtung eines Vektors ändern, wenn er mit einer reellen Zahl multipliziert wird:
Example: Der Pfeil des Vektors 3a ist dreimal so lang wie der Pfeil des Vektors a und zeigt in dieselbe Richtung. Der Pfeil des Vektors -2a zeigt in die entgegengesetzte Richtung von a und ist doppelt so lang.
Abschließend wird der Begriff der Kollinearität eingeführt:
Vocabulary: Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn b = ra für eine reelle Zahl r gilt. Geometrisch bedeutet dies, dass die zugehörigen Pfeile parallel zueinander sind.
Diese geometrischen Interpretationen helfen, ein tieferes Verständnis für die algebraischen Operationen mit Vektoren zu entwickeln und zeigen, wie Vektoren addieren und subtrahieren graphisch umgesetzt werden kann.
Dieses Kapitel führt in die grundlegenden Rechenoperationen mit Vektoren ein. Es werden die Addition von Vektoren, Subtraktion von Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl erklärt.
Definition: Zu zwei Vektoren a = und b = werden folgende Rechenarten festgelegt:
- Addition: a + b =
- Skalarmultiplikation: r · a =
Das Konzept der Linearkombination wird eingeführt als eine Kombination von Vektoren, die mit Skalaren multipliziert werden.
Highlight: Bei Vektoren gelten die gleichen Rechengesetze wie bei reellen Zahlen, einschließlich der Vorrangregeln für Klammern und Multiplikation vor Addition.
Ein wichtiger Begriff, der hier eingeführt wird, ist der Ortsvektor:
Vocabulary: Der Ortsvektor OA ist der Vektor, der den Ursprung O mit dem Punkt A verbindet. Er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt A.
Das Kapitel schließt mit einem Beispiel zur Berechnung einer Linearkombination, was die praktische Anwendung der vorgestellten Konzepte demonstriert.
Example: Berechnung der Linearkombination 2a + 3b für die Vektoren a = und b = : 2a + 3b = 2 + 3 = + =
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Johanna
@j0hannaa
Vektoren sind grundlegende mathematische Konzepte mit vielfältigen Anwendungen. Sie ermöglichen die Darstellung von Größen mit Betrag und Richtung und bilden die Basis für komplexe Berechnungen in der Physik und Technik. Die Addition von Vektoren, Subtraktion von Vektorenund Multiplikation... Mehr anzeigen
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Dieses Kapitel konzentriert sich auf die geometrische Interpretation der Vektoroperationen, die im vorherigen Abschnitt algebraisch eingeführt wurden. Es bietet visuelle Darstellungen für die Vektoraddition, Vektorsubtraktion und die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl.
Für die Vektoraddition wird gezeigt, wie man einen Pfeil des Summenvektors a + b erhält, indem man einen Pfeil des Vektors b an das Ende eines Pfeils des Vektors a ansetzt. Dies veranschaulicht die "Spitze-an-Schwanz"-Methode der Vektoraddition.
Highlight: Die geometrische Darstellung der Vektoraddition verdeutlicht, dass die Reihenfolge der Addition keine Rolle spielt .
Bei der Vektorsubtraktion wird erklärt, dass sie als Addition des Gegenvektors verstanden werden kann:
Definition: a - b = a +
Dies wird durch eine Abbildung illustriert, die zeigt, wie der Differenzvektor a - b durch Addition des Vektors a mit dem Gegenvektor von b konstruiert wird.
Die Skalarmultiplikation wird geometrisch dargestellt, indem gezeigt wird, wie sich die Länge und Richtung eines Vektors ändern, wenn er mit einer reellen Zahl multipliziert wird:
Example: Der Pfeil des Vektors 3a ist dreimal so lang wie der Pfeil des Vektors a und zeigt in dieselbe Richtung. Der Pfeil des Vektors -2a zeigt in die entgegengesetzte Richtung von a und ist doppelt so lang.
Abschließend wird der Begriff der Kollinearität eingeführt:
Vocabulary: Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn b = ra für eine reelle Zahl r gilt. Geometrisch bedeutet dies, dass die zugehörigen Pfeile parallel zueinander sind.
Diese geometrischen Interpretationen helfen, ein tieferes Verständnis für die algebraischen Operationen mit Vektoren zu entwickeln und zeigen, wie Vektoren addieren und subtrahieren graphisch umgesetzt werden kann.
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Definition: Zu zwei Vektoren a = und b = werden folgende Rechenarten festgelegt:
- Addition: a + b =
- Skalarmultiplikation: r · a =
Das Konzept der Linearkombination wird eingeführt als eine Kombination von Vektoren, die mit Skalaren multipliziert werden.
Highlight: Bei Vektoren gelten die gleichen Rechengesetze wie bei reellen Zahlen, einschließlich der Vorrangregeln für Klammern und Multiplikation vor Addition.
Ein wichtiger Begriff, der hier eingeführt wird, ist der Ortsvektor:
Vocabulary: Der Ortsvektor OA ist der Vektor, der den Ursprung O mit dem Punkt A verbindet. Er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt A.
Das Kapitel schließt mit einem Beispiel zur Berechnung einer Linearkombination, was die praktische Anwendung der vorgestellten Konzepte demonstriert.
Example: Berechnung der Linearkombination 2a + 3b für die Vektoren a = und b = : 2a + 3b = 2 + 3 = + =
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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