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2. Feb. 2026
•
Johanna Zeiler
@temporaryname_mysg
The three-dimensional coordinate system and vector operations guide for mathematics... Mehr anzeigen
Vektoren sind gerichtete Größen, die durch Länge und Richtung charakterisiert sind. Sie können als Pfeile im Koordinatensystem dargestellt werden.
Definition: Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen, die gleich lang, parallel und gleichgerichtet sind. Ein einzelner Pfeil wird als Repräsentant des Vektors bezeichnet.
Vektoren können durch ihre Komponenten dargestellt werden, z.B. v = (2, -3, 4). Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B wird als AB bezeichnet.
Formel: Für zwei Punkte A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) gilt: AB =
Wichtige Konzepte sind der Gegenvektor, der Nullvektor und der Ortsvektor. Der Gegenvektor hat die gleiche Länge, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
Beispiel: Der Gegenvektor zu v = (3, -2, 1) ist -v = (-3, 2, -1)
Vektoren können sowohl graphisch als auch rechnerisch addiert und subtrahiert werden. Bei der graphischen Methode werden die Vektoren Pfeil an Pfeil aneinandergereiht.
Formel: Für zwei Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a + b = a - b =
Für die Vektoraddition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
Highlight: Die Vektoraddition und -subtraktion sind grundlegende Operationen in der Vektorrechnung und finden Anwendung in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften.
Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalarmultiplikation) verändert die Länge des Vektors und kann auch seine Richtung umkehren.
Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) und eine Zahl r ∈ ℝ gilt: ra = (ra₁, ra₂, ra₃)
Die Eigenschaften der Skalarmultiplikation hängen vom Wert von r ab:
Beispiel: Für a = (2, -1, 3) gilt: 3a = (6, -3, 9) -0,5a = (-1, 0.5, -1.5)
Highlight: Die Skalarmultiplikation ist eine wichtige Operation in der Vektorrechnung und wird oft verwendet, um Vektoren zu skalieren oder ihre Richtung umzukehren.
Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge und kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) gilt: |a| = √
Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
Beispiel: Für den Vektor v = (-6, 0, 8) gilt: |v| = √((-6)² + 0² + 8²) = √(36 + 64) = 10
Highlight: Die Berechnung des Vektorbetrags ist fundamental für viele Anwendungen in der Physik und Geometrie, wie z.B. die Bestimmung von Distanzen oder Kräften im Raum.
Die Kenntnis dieser Grundlagen der Vektorrechnung und des dreidimensionalen Koordinatensystems ermöglicht es, komplexe räumliche Probleme zu lösen und bildet die Basis für weiterführende Konzepte in der analytischen Geometrie und Linearen Algebra.
The final page covers vector magnitude calculations and important mathematical properties.
Definition: The magnitude of a vector |a| = √ in three dimensions.
Example: Detailed calculation of vector magnitude for v = (-6,0,8).
Highlight: Important mathematical properties including associative and distributive laws for vector operations.
Das dreidimensionale Koordinatensystem besteht aus drei Achsen: x₁, x₂ und x₃ (auch als x, y und z bezeichnet). Es ermöglicht die präzise Darstellung von Punkten und Vektoren im Raum.
In diesem System können Punkte mit drei Koordinaten angegeben werden, z.B. P(2/3/2). Die Oktanten des Koordinatensystems werden durch die Vorzeichen der Koordinaten bestimmt.
Beispiel: P(1/-2/3) liegt im 4. Oktanten, Q(-3/3/1) im 2. Oktanten, R(-2/-3/1) im 3. Oktanten.
Highlight: Das Verständnis des 3D-Koordinatensystems ist grundlegend für die Arbeit mit Vektoren und geometrischen Objekten im Raum.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Elisha
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Johanna Zeiler
@temporaryname_mysg
The three-dimensional coordinate system and vector operations guide for mathematics students, focusing on spatial geometry and vector calculations. Key topics include coordinate plotting, vector operations, and geometric transformations in 3D space.
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Vektoren sind gerichtete Größen, die durch Länge und Richtung charakterisiert sind. Sie können als Pfeile im Koordinatensystem dargestellt werden.
Definition: Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen, die gleich lang, parallel und gleichgerichtet sind. Ein einzelner Pfeil wird als Repräsentant des Vektors bezeichnet.
Vektoren können durch ihre Komponenten dargestellt werden, z.B. v = (2, -3, 4). Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B wird als AB bezeichnet.
Formel: Für zwei Punkte A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) gilt: AB =
Wichtige Konzepte sind der Gegenvektor, der Nullvektor und der Ortsvektor. Der Gegenvektor hat die gleiche Länge, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
Beispiel: Der Gegenvektor zu v = (3, -2, 1) ist -v = (-3, 2, -1)
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Vektoren können sowohl graphisch als auch rechnerisch addiert und subtrahiert werden. Bei der graphischen Methode werden die Vektoren Pfeil an Pfeil aneinandergereiht.
Formel: Für zwei Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a + b = a - b =
Für die Vektoraddition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
Highlight: Die Vektoraddition und -subtraktion sind grundlegende Operationen in der Vektorrechnung und finden Anwendung in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften.
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Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalarmultiplikation) verändert die Länge des Vektors und kann auch seine Richtung umkehren.
Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) und eine Zahl r ∈ ℝ gilt: ra = (ra₁, ra₂, ra₃)
Die Eigenschaften der Skalarmultiplikation hängen vom Wert von r ab:
Beispiel: Für a = (2, -1, 3) gilt: 3a = (6, -3, 9) -0,5a = (-1, 0.5, -1.5)
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Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge und kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) gilt: |a| = √
Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.
Beispiel: Für den Vektor v = (-6, 0, 8) gilt: |v| = √((-6)² + 0² + 8²) = √(36 + 64) = 10
Highlight: Die Berechnung des Vektorbetrags ist fundamental für viele Anwendungen in der Physik und Geometrie, wie z.B. die Bestimmung von Distanzen oder Kräften im Raum.
Die Kenntnis dieser Grundlagen der Vektorrechnung und des dreidimensionalen Koordinatensystems ermöglicht es, komplexe räumliche Probleme zu lösen und bildet die Basis für weiterführende Konzepte in der analytischen Geometrie und Linearen Algebra.
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Das dreidimensionale Koordinatensystem besteht aus drei Achsen: x₁, x₂ und x₃ (auch als x, y und z bezeichnet). Es ermöglicht die präzise Darstellung von Punkten und Vektoren im Raum.
In diesem System können Punkte mit drei Koordinaten angegeben werden, z.B. P(2/3/2). Die Oktanten des Koordinatensystems werden durch die Vorzeichen der Koordinaten bestimmt.
Beispiel: P(1/-2/3) liegt im 4. Oktanten, Q(-3/3/1) im 2. Oktanten, R(-2/-3/1) im 3. Oktanten.
Highlight: Das Verständnis des 3D-Koordinatensystems ist grundlegend für die Arbeit mit Vektoren und geometrischen Objekten im Raum.
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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