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Koordinatengeometrie Im Raum
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IV KOORDINATEN GEOMETRIE IM RAUM 1 Das dreidimensionale Koordinatensystem 591/6a) -3. P # 3 2 -2 +m xi ´H. 4 3 3 3 SL .2 2 Übungsaufgabe P (2/3/2) Q (-3/1/-4) R(01-2/3) A (01010) B (0.1-4 10) .D (4.10. 1.0). E. (0101.4) ((41-4.10) F (0/4/-4) G.(4.1-414) H (4/0/4) 2001 .P(1/-2/3) 4 Oktant Q (-3/3/1) 2 Oktant R(-2/-3/1). 3 Oktant. S(-67-71-4) 7 Oltant ·T. (4/-9/-7). 8. Oktant. -2 3 A 2 VEKTOREN 6 من ·4 3 3 -2. D' 2 Aufgabe A (51610)→ A' (0/0/2) 3 B' → dh um -5 in x₁- Richtung -6 in X₂- Richtung 2 in X3- Richtung tin 1-3,5 6 4 Verbindungsvektor AB Zwischen 2 Punkten A und B A 2 A(51610) B(5/10/0) ((21710) D (477/4) Definition Vektor = Menge von Pfeilen, die gleich lang, parallel und glechgenchtet sind. Representant = einzelner Pfeil des Vektors B X2 Pyramide wurde durch den Vektor ✓= (-) verschoben 26.01. 4 Repräsentanten des Vektors ✓ = (²-16 A (1/4) B (3/0,5) AB - (²35) - (03³5-14) -3,5 Merke Für die zwei Punkte A(a₁ / a₂ 193) und B (b, /b₂ 163) аг AB - "Spitze minus Fuß" Beispiel P(1/-513) Gegenvektor Nullvektor Ő 'b₁-a, b₂-92 b3-93 Ortsvektor A Q (41-(13) :) - (²³ 4 (4-1 → PO = -1-(-5) PQ -3-3 QP 3 3. а, a (a). = -PŘ ū > w ist der Gegenvektor zu ✓ (w=-u) Bsp 1 Bsp 2 Gegenvektor zu PQ (3²)→ Gegenvektor - ~ - ( ²3 ) Beachte den Unterschied û und w sind zueinander parallel, gleich lang, ober entgegen gesetzt genchtet a ·-ai -0₂ -az Bsp 3. Gegenicktor Im 2-Dimensionalen 8 = (8) im 3- Dimensionalen 0 = (8) von AB 1st BA Vektor vom Ursprung zum Punkt. A Вор Bsp Gegeben Punkt A (2/-3/4) → Ortsvektor A = OA ОА 2-0 2 - (² ²60 ) = ( ²₁ ) - -3-0 = 4-0 ㅎ Punkt A (21-3/4) Vektor A² = ( ²2 ) 3 ADDITION UND SUBTRAKTION VON VEKTOREN Aufgabe Gegeben sind die Velitoren a = (3) und 5...
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Alternativer Bildtext:
(²) Beslimme graphisch und rechnerisch a +b und a-b ärb a t a-b +4 3 2 a-b = ( ² ) | Bespiel 2 AB= 2 subtrahiert werden 2 Merke Zwe Vektoren a² = (a₂ 3 Addition des Gegenvektors. 3 3+6-48) X2 = und à -6 - ( 4 ) + ( )= (- : -) a₁ a₂ a+b b3 b3 b₁ rechnerisch a² +5² = = ¤ -ñ - ( 8 ) - ( ; ) --0-0-6) b₂ rechnerisch a -5 = (3) - (²) -2 3-(-1) können folgendermaßen addiert bzw a3-b3 Bemerkung für die Vektoraddition gelten folgende Rechengesetze + b = 5 +a Kommutativgesetz Gesucht B - (4) A(-61210) A + AB-B ( 8 ) · (4) - ( 3³ ) + = -1 2 2 + B - (3) - (²) ã + b + c = (a + b ) + c = a + (5 + c) Assoziativgesetz 1-4 +7 4 Bospel | (3) - ( 1 ) · (?) - (²-) = 0 = 2+5+8 -3-619 ;) = (1 2 4+2 3-1 12. = 28 01 4 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINER ZAHL ( Skalarmultiplikation, kurz S-Multiplikation) Beispiel I Zeichne 3a, 1,5å und -0,75a mit folgenden Vektor a 3.2. Beispiel 2 Berechne 30, 1,5a² und -a² für a= (?) 3a = 3 ( ² ) = ( ²₁ ) + ( ²₁ ) + ( ² ) = (3 ² 1₁ 5a = 1₁5 (2²) = (-²³,5) MIJ îo MIJ (1 ( ²3 ) = ( − 1 2²1) = (-155) 0,75 Merke Für einen Vektor a² = (11) ·a₁ rä аз =r (²)-(&)-(6) Zahl Vektor Vektor Übung S (02/11 a) AB + BA = O b) a - α = c). 0. a = 0 °/1 0. X. X = ra, + r a₂ fr az ra ist parallel zu a und Irl-mal so falls r>0 und eine Zahl re IR gilt 1,52 lang falls r> 0 ra und a sind entgegengesetzt gerichtet falls r=0 ra = 0 a = 0 Nullvektor ra rà und a sind gleichgerichtet. d) a 0² - 0 e) AB = A²² B X BA А .X. f) AB + BC · CA-O 02 02 Bemerkung Es gelten folgende Rechengesetze für Vektoren a und 5, souve r,s.ER Assoziativgesetz r (sa) = (rs) a Distributivgesetz r (a+b)=ra +rb (rts) ära · sa = 5 BETRAG VON VEKTOREN Aufgabe Gegeben sind a.b. c ER a) Berechne die Länge des Vektors ✓ = (0) Nach Pythagoras || ² = a² + b² → 1v1= √√√₁² + b²² b) Berechne die Länge des Vektors w=(8) Merke Der Betrag la ist die Länge des Vektors a und es gilt Tal = ã - :) - lal Beispiel Länge Nach Pythagoras | w | ² = |v| ² + c² a²+ b² → |w|= √ a² + b²+c² 2 → Tal = √a² + a² + a² von ~= (²) → 1v1 = √(-6)² +0² + 8²¹ = √36 +64 = 10 04.02 21