Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalarmultiplikation) verändert die Länge des Vektors und kann auch seine Richtung umkehren.

Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) und eine Zahl r ∈ ℝ gilt: ra = (ra₁, ra₂, ra₃)

Die Eigenschaften der Skalarmultiplikation hängen vom Wert von r ab:

• Für r > 0 ist ra gleichgerichtet mit a und |r|-mal so lang.
• Für r < 0 ist ra entgegengesetzt zu a gerichtet und |r|-mal so lang.
• Für r = 0 ist ra = 0 (Nullvektor).

Beispiel: Für a = (2, -1, 3) gilt: 3a = (6, -3, 9) -0,5a = (-1, 0.5, -1.5)

Highlight: Die Skalarmultiplikation ist eine wichtige Operation in der Vektorrechnung und wird oft verwendet, um Vektoren zu skalieren oder ihre Richtung umzukehren.

Betrag von Vektoren

Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge und kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) gilt: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.

Beispiel: Für den Vektor v = (-6, 0, 8) gilt: |v| = √((-6)² + 0² + 8²) = √(36 + 64) = 10

Highlight: Die Berechnung des Vektorbetrags ist fundamental für viele Anwendungen in der Physik und Geometrie, wie z.B. die Bestimmung von Distanzen oder Kräften im Raum.

Die Kenntnis dieser Grundlagen der Vektorrechnung und des dreidimensionalen Koordinatensystems ermöglicht es, komplexe räumliche Probleme zu lösen und bildet die Basis für weiterführende Konzepte in der analytischen Geometrie und Linearen Algebra.