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Koordinatengeometrie Im Raum
26.2.2021
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IV KOORDINATENGEOMETRIE IM RAUM 1 Das dreidimensionale Koordinatensystem -3 P J 591/6a) X₁ -2 -1 21 3 4 X₂ Ubungsaufgabe P(2/3 12) Q (-3/1/-4) R(01-2/3) A(01010) B (0.1-4/0) .D (4.10. 1.0). E. (O 101.4) ((41-4.10) F(0./4.1-4) G(41-414) H (4/0/4) 2001 P(1/-2/3) 4 Oktant Q (-3/3/1) 2 Oktant R(-2/-3/1). 3 Oktant S(-67-71-4) 7 Oktant ·T· (4/-91-7). 8. Outant. ^5 4 A 2 VEKTOREN D' Aufgabe A (51610)→→ A' (07012) C' -5 4 A → dh um -5 in x,₁- Richtung. -6 in X₂- Richtung 2 in X3 - Richtung O - 3,5 6 B -> Pyramide Verbindungsvektor AB Zwischen 2 Punkten A und B A 2 A(51610) B(5/10/0) ((21710) D(477/4) Definition Vektor = Menge von Pfeilen, die gleich lang, parallel und gleichgenchtet sind. Representant = einzelner Pfeil des Vellors B wurde durch den Vektor verschoben 4 Repräsentanten des Vektors - (²-²) ✓ = 26.01 A (1/4) B(3/0,5) 3-1 AB - (-²2)-(6³-4) 0,5-4 Merke Für die zwei Punkite A(a / a₂ las) und B (b, /b₂ 163) gult b₁-a, AB - (11-0²), Spitze minus Fuß" by az Beispiel P(1/-513) Q (41-(13) 3. → PQ (4-1 =-1-(-5) -3-3 Gegenvektor Nullvektor Ő Ortsvektor A QP k Bsp 2 a (a) - Bsp. 3 Gegenvektor = > W ist der Gegenvektor zu ✓ (w=- ū) Bsp 1(²)→ Gegenvektor -~ -(3) = →-a Bop ·6 -PQ Gegenveldor zu PQ ✓ und w sind zueinander parallel, glach lang, aber entgegen gesetzt genchtet im 2-Dimensionalen im 3- Dimensionalen von Ortsvektor A Beachte den Unterschied = -a₁ -a₂ -az AB 1st BA Vektor vom Ursprung zum Punkt. A Gegeben Punkt A (2/-3/4) = (8) 0 - (8) OA = 2-0 -3-0 4-0 Punkt A (21-314) Vektor A ² - ( ²3 ) = (3) ند نشانه Aufgabe 3 ADDITION UND SUBTRAKTION VON VEKTOREN Gegeben sind de Velkitoren å - (3) und b (²₁) Bestimme graphisch und rechnerisch a +b und a-b a+b a-b 2 TO 4 ·b Addition des Gegenvektors Merke Zwo Vektoren a - (8) und 5 (5) a, a -6 - ( 8 )...
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+ ( ) subtrahiert werden a+b a3 Beispiel (1)- (- : ). (?) - I 2 = 2 rechnenoch & + 5 = ( 3 ) + (2²) 4+2 3-1 a3 + b3 - a - 6 - (2) - (A) · ( - *) a3 Beispiel 2 AB - (1) A(-61210) Gesucht B = rechnerisch. Bemerkung für die Vektoraddition getten folgende Rechengesetze + b = 5 +a Kommutativgesetz à + AB-B ( 3 ) · ( 4 ) = ( 3³ ) A+ + 5 a·b·2-(a - b) =a · (5+2) Assozialingeseta + c = + + c + c) 1-4 +7 2+5+8 -3-619 (3) a îo können folgendermaßen addiert bzw a₁ + b₂₁ a₂ + b₂ •A • B = ران - (3) - (²) = 28 01 4-2 = ( 2 - ² -₁)) = (²) 4 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINER ZAHL (Skalarmultiplikation, kurz S- Multiplikation) Beispiel 1. Zeichne 3a, 1,5å und -0,75ă mit folgenden Vektor a a 3.2. Beispiel 2 Berechne 30, 1,50 und -a² für a=(²) 3a²-3 (²) = (²₁)+(²)+ (²₁)-(3²)) = (6) 1,5a²= (₁5 (²) - (²³²5) - 16 = -² ( 31 ) - (- 12) - (-1555) 0,75 Merke Für einen Vektor a = (a) und eine Zahl re IR gilt ra=r (â) Zahl Vektor Vektor "1 . = r a₁ + ra₂ tr as falls r> 0 falls r=0 a Ubung S 102/11 a) AB BA-OV b) a -ā = 0 X c) 0 a = 0 x 1,5a ra 1st parallel zu à und Irl-mal so lang falls r>0 ra und a sind gleichgerichtet ra und å sind entgegengesetzt gerichtet ra = 0 a = 0 Nullvektor d) a 0²-0² e) AB = A ² - B Xx B-A f) AB + BC + CA = O 02 02 Bemerkung Es gelten folgende Rechengesetze für Vektoren a und 5, Assozativgeseler (sa) - (rs) a = Distributivgesetz ir (a+5)=ra+rb (rts) a = ra · sa 5 BETRAG VON VEKTOREN Aufgabe Gegeben sind a,b,c ER a) Berechne die Länge des Vektors ✓ = (0) Nach Pythagoras | | ² = a² + b² → 1ü1= √√₁² + b²² b) Berechne die Länge des Vektors ³ = | 3-(3) ·x3 Beispiel Lange Sowie SER Nach Pythagoras 1w1 ² = |v|²+c² a² + b² → 1wl= √₂² + b²+c² Merke Der Betrag la ist die Länge des Vektors a und es gilt a = (a₂) → Tal = √√₁²+ a²₂² a = 8:) → lal - √a² + a²-a³² ->>> von ~ = (66) ~= (₂²) → |v|= √√(-6) ¹ + 0 ² + 8² = √ √36 +64 = 10 →>>> 04.02 21