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3D-Koordinatensystem online: Punkte eintragen, Vektoren multiplizieren und mehr!

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Johanna Zeiler

26.2.2021

Mathe

Koordinatengeometrie Im Raum

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Vektorrechnung

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Vektoren addieren und subtrahieren

3D-Koordinatensystem online: Punkte eintragen, Vektoren multiplizieren und mehr!

The three-dimensional coordinate system and vector operations guide for mathematics students, focusing on spatial geometry and vector calculations. Key topics include coordinate plotting, vector operations, and geometric transformations in 3D space.

  • 3D Coordinate System introduces fundamental concepts of spatial geometry and point plotting
  • Vector Operations covers essential vector calculations including addition, subtraction, and scalar multiplication
  • Vector Properties explains key characteristics like magnitude, direction, and parallel vectors
  • Geometric Transformations demonstrates how vectors can be used to transform shapes in 3D space
  • Mathematical Rules outlines important laws and properties for vector operations
...

26.2.2021

1595

IV KOORDINATENGEOMETRIE IM RAUM 1 Das dreidimensionale Koordinatensystem -3 P J 591/6a) X₁ -2 -1 21 3 4 X₂ Ubungsaufgabe P(2/3 12) Q (-3/1/-

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Vektoren

Vektoren sind gerichtete Größen, die durch Länge und Richtung charakterisiert sind. Sie können als Pfeile im Koordinatensystem dargestellt werden.

Definition: Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen, die gleich lang, parallel und gleichgerichtet sind. Ein einzelner Pfeil wird als Repräsentant des Vektors bezeichnet.

Vektoren können durch ihre Komponenten dargestellt werden, z.B. v = (2, -3, 4). Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B wird als AB bezeichnet.

Formel: Für zwei Punkte A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) gilt: AB = (b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃)

Wichtige Konzepte sind der Gegenvektor, der Nullvektor und der Ortsvektor. Der Gegenvektor hat die gleiche Länge, ist aber entgegengesetzt gerichtet.

Beispiel: Der Gegenvektor zu v = (3, -2, 1) ist -v = (-3, 2, -1)

IV KOORDINATENGEOMETRIE IM RAUM 1 Das dreidimensionale Koordinatensystem -3 P J 591/6a) X₁ -2 -1 21 3 4 X₂ Ubungsaufgabe P(2/3 12) Q (-3/1/-

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Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren können sowohl graphisch als auch rechnerisch addiert und subtrahiert werden. Bei der graphischen Methode werden die Vektoren Pfeil an Pfeil aneinandergereiht.

Formel: Für zwei Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)

Für die Vektoraddition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

Highlight: Die Vektoraddition und -subtraktion sind grundlegende Operationen in der Vektorrechnung und finden Anwendung in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften.

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Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalarmultiplikation) verändert die Länge des Vektors und kann auch seine Richtung umkehren.

Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) und eine Zahl r ∈ ℝ gilt: ra = (ra₁, ra₂, ra₃)

Die Eigenschaften der Skalarmultiplikation hängen vom Wert von r ab:

  • Für r > 0 ist ra gleichgerichtet mit a und |r|-mal so lang.
  • Für r < 0 ist ra entgegengesetzt zu a gerichtet und |r|-mal so lang.
  • Für r = 0 ist ra = 0 (Nullvektor).

Beispiel: Für a = (2, -1, 3) gilt: 3a = (6, -3, 9) -0,5a = (-1, 0.5, -1.5)

Highlight: Die Skalarmultiplikation ist eine wichtige Operation in der Vektorrechnung und wird oft verwendet, um Vektoren zu skalieren oder ihre Richtung umzukehren.

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Betrag von Vektoren

Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge und kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) gilt: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.

Beispiel: Für den Vektor v = (-6, 0, 8) gilt: |v| = √((-6)² + 0² + 8²) = √(36 + 64) = 10

Highlight: Die Berechnung des Vektorbetrags ist fundamental für viele Anwendungen in der Physik und Geometrie, wie z.B. die Bestimmung von Distanzen oder Kräften im Raum.

Die Kenntnis dieser Grundlagen der Vektorrechnung und des dreidimensionalen Koordinatensystems ermöglicht es, komplexe räumliche Probleme zu lösen und bildet die Basis für weiterführende Konzepte in der analytischen Geometrie und Linearen Algebra.

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Vector Magnitude and Properties

The final page covers vector magnitude calculations and important mathematical properties.

Definition: The magnitude of a vector |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) in three dimensions.

Example: Detailed calculation of vector magnitude for v = (-6,0,8).

Highlight: Important mathematical properties including associative and distributive laws for vector operations.

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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Vektoren addieren und subtrahieren

 

Mathe

•

1.595

•

26. Feb. 2021

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3D-Koordinatensystem online: Punkte eintragen, Vektoren multiplizieren und mehr!

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Johanna Zeiler

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The three-dimensional coordinate system and vector operations guide for mathematics students, focusing on spatial geometry and vector calculations. Key topics include coordinate plotting, vector operations, and geometric transformations in 3D space.

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IV KOORDINATENGEOMETRIE IM RAUM 1 Das dreidimensionale Koordinatensystem -3 P J 591/6a) X₁ -2 -1 21 3 4 X₂ Ubungsaufgabe P(2/3 12) Q (-3/1/-

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Vektoren

Vektoren sind gerichtete Größen, die durch Länge und Richtung charakterisiert sind. Sie können als Pfeile im Koordinatensystem dargestellt werden.

Definition: Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen, die gleich lang, parallel und gleichgerichtet sind. Ein einzelner Pfeil wird als Repräsentant des Vektors bezeichnet.

Vektoren können durch ihre Komponenten dargestellt werden, z.B. v = (2, -3, 4). Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B wird als AB bezeichnet.

Formel: Für zwei Punkte A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) gilt: AB = (b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃)

Wichtige Konzepte sind der Gegenvektor, der Nullvektor und der Ortsvektor. Der Gegenvektor hat die gleiche Länge, ist aber entgegengesetzt gerichtet.

Beispiel: Der Gegenvektor zu v = (3, -2, 1) ist -v = (-3, 2, -1)

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Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren können sowohl graphisch als auch rechnerisch addiert und subtrahiert werden. Bei der graphischen Methode werden die Vektoren Pfeil an Pfeil aneinandergereiht.

Formel: Für zwei Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)

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Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalarmultiplikation) verändert die Länge des Vektors und kann auch seine Richtung umkehren.

Formel: Für einen Vektor a = (a₁, a₂, a₃) und eine Zahl r ∈ ℝ gilt: ra = (ra₁, ra₂, ra₃)

Die Eigenschaften der Skalarmultiplikation hängen vom Wert von r ab:

  • Für r > 0 ist ra gleichgerichtet mit a und |r|-mal so lang.
  • Für r < 0 ist ra entgegengesetzt zu a gerichtet und |r|-mal so lang.
  • Für r = 0 ist ra = 0 (Nullvektor).

Beispiel: Für a = (2, -1, 3) gilt: 3a = (6, -3, 9) -0,5a = (-1, 0.5, -1.5)

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Betrag von Vektoren

Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge und kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

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Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum.

Beispiel: Für den Vektor v = (-6, 0, 8) gilt: |v| = √((-6)² + 0² + 8²) = √(36 + 64) = 10

Highlight: Die Berechnung des Vektorbetrags ist fundamental für viele Anwendungen in der Physik und Geometrie, wie z.B. die Bestimmung von Distanzen oder Kräften im Raum.

Die Kenntnis dieser Grundlagen der Vektorrechnung und des dreidimensionalen Koordinatensystems ermöglicht es, komplexe räumliche Probleme zu lösen und bildet die Basis für weiterführende Konzepte in der analytischen Geometrie und Linearen Algebra.

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Vector Magnitude and Properties

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Das dreidimensionale Koordinatensystem

Das dreidimensionale Koordinatensystem besteht aus drei Achsen: x₁, x₂ und x₃ (auch als x, y und z bezeichnet). Es ermöglicht die präzise Darstellung von Punkten und Vektoren im Raum.

In diesem System können Punkte mit drei Koordinaten angegeben werden, z.B. P(2/3/2). Die Oktanten des Koordinatensystems werden durch die Vorzeichen der Koordinaten bestimmt.

Beispiel: P(1/-2/3) liegt im 4. Oktanten, Q(-3/3/1) im 2. Oktanten, R(-2/-3/1) im 3. Oktanten.

Highlight: Das Verständnis des 3D-Koordinatensystems ist grundlegend für die Arbeit mit Vektoren und geometrischen Objekten im Raum.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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