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Elisa
5.12.2025
Mathe
Komplexe Zahlen - Zusammenfassung
1.084
•
5. Dez. 2025
•
Elisa
@living.life.with.eli
Komplexe Zahlen erweitern unser Zahlensystem um die imaginäre Einheit i,... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du könntest endlich die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen! Genau das ermöglichen komplexe Zahlen mit der imaginären Einheit i, für die gilt: i² = -1.
Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi, wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist. Du kannst sie als Punkt in der Zahlenebene darstellen - die x-Achse zeigt den Realteil, die y-Achse den Imaginärteil.
Jetzt werden auch "unmögliche" Gleichungen lösbar: x² = -5 hat die Lösungen x₁ = √5i und x₂ = -√5i. Bei gemischt quadratischen Gleichungen nutzt du einfach die Mitternachtsformel wie gewohnt - nur dass unter der Wurzel auch negative Werte stehen dürfen.
Merktipp: Multiplikation mit i dreht eine Zahl um 90° in der Zahlenebene!
Das Rechnen mit komplexen Zahlen ist einfacher als du denkst! Bei Addition und Subtraktion behandelst du Real- und Imaginärteil getrennt: + = + i.
Die konjugiert komplexe Zahl zu z = a+bi ist z̄ = a-bi - du spiegelst einfach an der x-Achse. Diese brauchst du besonders bei der Division.
Bei der Multiplikation multiplizierst du aus wie bei Klammern und beachtest, dass i² = -1 ist. Das Ergebnis: = + i.
Praxistipp: Mach immer die Probe bei quadratischen Gleichungen - so merkst du schnell, wenn sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen hat!
Die Division komplexer Zahlen funktioniert mit einem Trick: Du erweiterst Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Dadurch wird der Nenner reell und du kannst normal rechnen.
Quadratische Gleichungen löst du wie gewohnt mit der Mitternachtsformel oder durch quadratische Ergänzung. Der einzige Unterschied: Negative Werte unter der Wurzel sind jetzt erlaubt und führen zu imaginären Lösungen.
Der Faktorisierungssatz gilt auch für komplexe Zahlen: Jede quadratische Gleichung az² + bz + c mit den Lösungen z₁ und z₂ lässt sich schreiben als a = 0.
Erfolgsgarantie: Mit komplexen Zahlen hat jede quadratische Gleichung immer genau zwei Lösungen - keine Ausnahmen mehr!
Der Betrag einer komplexen Zahl |z| = √ gibt dir den Abstand zum Ursprung in der Zahlenebene an - genau wie bei Vektoren.
In der geometrischen Darstellung verhält sich die Multiplikation mit reellen Zahlen wie Streckung oder Stauchung. Negative Faktoren drehen die Zahl zusätzlich um 180°.
Wie bei Vektoren ist der Verbindungsvektor von z₁ nach z₂ einfach die Differenz z₂ - z₁. So kannst du Abstände und Richtungen in der komplexen Zahlenebene berechnen.
Visualisierungshilfe: Stell dir komplexe Zahlen immer als Pfeile vom Ursprung zum Punkt (a,b) vor - das macht alle Operationen anschaulich!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Elisa
@living.life.with.eli
Komplexe Zahlen erweitern unser Zahlensystem um die imaginäre Einheit i, wodurch plötzlich alle quadratischen Gleichungen lösbar werden. Du lernst hier, wie du mit diesen "neuen" Zahlen rechnest und sie in der Zahlenebene darstellst.
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Stell dir vor, du könntest endlich die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen! Genau das ermöglichen komplexe Zahlen mit der imaginären Einheit i, für die gilt: i² = -1.
Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi, wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist. Du kannst sie als Punkt in der Zahlenebene darstellen - die x-Achse zeigt den Realteil, die y-Achse den Imaginärteil.
Jetzt werden auch "unmögliche" Gleichungen lösbar: x² = -5 hat die Lösungen x₁ = √5i und x₂ = -√5i. Bei gemischt quadratischen Gleichungen nutzt du einfach die Mitternachtsformel wie gewohnt - nur dass unter der Wurzel auch negative Werte stehen dürfen.
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Quadratische Gleichungen löst du wie gewohnt mit der Mitternachtsformel oder durch quadratische Ergänzung. Der einzige Unterschied: Negative Werte unter der Wurzel sind jetzt erlaubt und führen zu imaginären Lösungen.
Der Faktorisierungssatz gilt auch für komplexe Zahlen: Jede quadratische Gleichung az² + bz + c mit den Lösungen z₁ und z₂ lässt sich schreiben als a = 0.
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Der Betrag einer komplexen Zahl |z| = √ gibt dir den Abstand zum Ursprung in der Zahlenebene an - genau wie bei Vektoren.
In der geometrischen Darstellung verhält sich die Multiplikation mit reellen Zahlen wie Streckung oder Stauchung. Negative Faktoren drehen die Zahl zusätzlich um 180°.
Wie bei Vektoren ist der Verbindungsvektor von z₁ nach z₂ einfach die Differenz z₂ - z₁. So kannst du Abstände und Richtungen in der komplexen Zahlenebene berechnen.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die grundlegenden Vektoroperationen: Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation. Erfahren Sie, wie man Vektoren koordinatenweise rechnet, und entdecken Sie wichtige Merksätze sowie geometrische Veranschaulichungen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über Vektoren vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Anna
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