Abitur 2023 ; alle Themen nach Abierlass

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VEKTOREN 3.) ORTSVEKTOR EINES PUNKTES 4.) RECHNEN MIT VEKTOREN 5.) VERVIELFACHUNG VON VEKTOREN: KOLLINEARITÄT 6.) BETRAG EINES VEKTORS, ABSTAND ZWEIER PUNKTE IM RAUM 7.) DEFINITION DES SKALARPRODUKTS 8.) UNTERSUCHUNG DER ORTHOGONALITÄT DES VEKTORS 9.) BESTIMMUNG DES WINKELS ZW ZWEI VEKTOREN 10.) UNTERSUCHUNG GEOMETRISCHER KÖRPER UND FIGUREN XII GERADEN UND EBENEN IM RAUM S.14 1.) PARAMETERGLEICHUNG EINER GERADEN 2.) PARAMETERGLEICHUNG EINER EBENE 3.) PUNKTPROBE 4.) LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 5.) LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADE UND EBENE MITHILFE DER PARAMETERGLEICHUNG 6.) SCHNITTWINKEL VON GERADEN XIII VERTIEFUNG DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE S.16 1.) KOORDINATENGLEICHUNG EINER EBENE 2.) UMWANDLUNG VERSCHIEDENER DARSTELLUNGSFORMEN EINER EBENE INEINANDER 3.) LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADEN UND EBENEN 4.) LOTFUBPUNKTVERFAHREN XIV GRUNDLEGENDE BEGRIFFE DER STOCHASTIK S.18 1.) BESCHREIBEN VON ZUFALLSEXPERIMENTEN 2.) ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFIGKEIT 3.) DAS EMPIRISCHE GESETZ DER GROBEN ZAHLEN 4.) VERGLEICH VON STATISTISCHEM UND LAPLACESCHEM WAHRSCHEINLICHKEITSBEGRIFF 5.) ARITHMETISCHER MITTELWERT, STANDARDABWEICHUNG UND EMPIRISCHE VARIANZ 6.) BAUMDIAGRAMM UND PFADREGELN XV BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN S.19 1.) BESCHREIBEN UND ERKENNEN VON BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEITEN 2.) DARSTELLEN UND BERECHNEN VON BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEITEN 3.) ÜBERPRÜFEN AUF (UN-) ABHÄNGIGKEIT 4.) BESTIMMUNG VON LAPLACE-WAHRSCHEINLICHKEITEN MITHILFE DER KOMBINATOFIK XVI WAHSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 5.21 1.) ZUFALLSGRÖBE UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 2.) GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 3.) ERWARTUNGSWERT, VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG 4.) BERNOULLI-KETTEN 5.) BERECHNUNG VON BERNOULLI-KETTEN IN VERSCH. SACHZUSAMMENHÄNGEN 6.) ERWARTUNGSWERT, VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG BEI BINOMIALVERTEILTEN ZUFALLSGRÖBEN 7.) EIGENSCHAFTEN VON BINOMIALVERTEILUNGEN ANHAND DER ANALYSE VON HISTOGRAMMEN 8.) KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNGEN XVII WIEDERHOLUNG S.24 1.) RECHENREGELN GRUNDLAGEN 2.) BRUCHRECHNUNG 3.) POTENZRECHNUNG 4.) WURZELRECHNUNG 5.)LÄNGENEINHEITEN UMRECHNEN 6.) KGV UND GGT 7.) DREISATZ 8.) DEZIMALZAHL IN BRUCH 9.) WINKEL 10.) BINOMISCHE FORMELN 11.) MINUSKLAMMER 12.) QUADRATISCHE ERGÄNZUNG 13.) Y-MX+B MATHE Exponentialfunktionen -> 1.) CHARAKTERISTISCHE EIGENSCHAFTEN EXPONENTIELLER WACHSTUMS- UND ZERFALLSPROZESSE Exponentielle Wachstumsprozesse sind Prozesse, in welchem die Zu-oder Alonahme immer proportional zum Bestand ist. →> Beispiel: Zinsen bei der Bank (zu einem Kapital kommt immer ein bestimmter Zinssatz dazu) gegeben: 200 Hunde verdoppeln täglich ihre Anzahl: 200 Hunde halbieren täglich ihre Anzahl: 200 Hunde vermehren sich täglich um 7%: 200 Hunde werden täglich 5% weniger: Endwert = Startwert Basis halbiert: T₂ N(t) = No at verdoppelt: T ABITUR b: x: 2.) HALBWERTS- UND VERDOPPLUNGSZEIT Die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Werles halbiert bzw. verdoppelt. L. (4) L. (a) L. (2) L. (a) 2013 f(t)= xy (n(2) L. (a) LERNZETTEL 3.) ERKLÄRUNG AB+C Das ist die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponential funktion. f (t) = a. (1 + ₁00) * f(E) - 200 2² f (t) 2000,5* f(t) = 200. (1+100) * = 200 1,07 f(t) = 200 (1-150) = 200- 0,95* f(t) = a = 200-log (2) 200 Lag (0,5) · Log (1,07) = 200. (og (0,95) a: Die Variable sagt aus, wie steil der Graph verläuft; Je größer die Zani, desto steiler der Graph. Die Variable sagt aus, wie der Graph entlang der y-Achse verschoben negativer Zani nach unten. = ·(^-B)* = 200 Die Variable sagt aus, wie gestreckt der Graph verläuft. Wenn b negativ ist. wird der Graph an der x-Achse gespiegelt Die Variable sagt aus, wie der Graph entlang der x-Achse verschoben wird; Bei positiver Zahl nach links und bei negativer Zahl nach rechts. wird; Bei positiver Zahl nach oben und bei 4.) VERGLEICH ZU LINEAREN UND QUADRATISCHEN FUNKTIONEN Linear f(x) = Graph Gerade Lim (=^_^) =/ ho f(x) = x² Graph = Quadratisch S f(x) = a sin(b. (x-c)) + d f(x)= a.cas (b⋅ (x-c)) + a -cos (x) Sin (x) Kurve 2.) BEDEUTUNG DER PARAMETER IN DER FUNKTIONSGLEICHUNG 3.) ABLEITUNG DER SINUS-UND KOSINUSFUNKTION -Sin (x) 6.) DIE NATÜRLICHE EXPONENTIALFUNKTION F(X) = ₁ Die Zani e liegt zwischen 2 und 3 und nennt sich Euleische Zahl. Die Exponentialfunktion mit der Basis e bildet gleich ince eigene Ableitung (z. B (e")' = e) Shift Ln fi cos (x) Exponential f(x)= x³₁x²₁x³,... I Trigonometrische Funktionen 1.) SIN UND COS ALS FUNKTION Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind mathematische Funktionen, die sowohl am rechtwinkligen Dreieck, als auch in der Kreis- geometrie auftauchen. Sie beschreiben die mathematischen Schwingungen und Wellen -> Der Sinus Lst punktsymmetrisch und der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse. Graph = Bogen" -Das 5.) POTENZGESETZE a a³ ele a = Streckt / Staucht entlang der y-Achse. (Amplitude) b = Streckt / Staucht entlang der x-Achse (Periodenlänge) C = verschiebt nach links/rechts. d = verschiebt nach oben / unten arts ar-s ist der Ableitungskreis der Sinus- und Kosinusfunktionen, r.s 2 III Funktionen und ihre Darstellung 1.) FUNKTIONSBEGRIFF, DEFINITIONSMENGE, WERTEMENGE Aus der Definition einer Funktion gent nervor, dass jedem x-Wert (aus der Definitionsmenge) genau ein y-Wert (aus der Werte- menge) zugeordnet wird. Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte man in die Funktion (für das x) einsetzen darf. Es darf: keine Null im Nenner stehen -> keine negative Zahl unter der Wurzel stehen • Die Wetemenge gibt an, was alles für f(x) rauskommen kann, wenn man den Wert aus der D eingesetet hat. 2.) WERTETABELLE UND GRAFISCHE DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN Die Wertetabelle einer Funktion ist hilfreich, um den Graphen dieser Funktion zu zeichnen. Die Wertetabelle gibt die x-und y- Koordinaten einzelner Dunkte an, die verbunden werden können, um den Graphen der Funktion zu erhalten.. -> Beispiel: b C d -2 O 2 4 -2 -10 ^ 2 x -4 Y 3.) SYMMETRIE VON FUNKTIONSGRAPHEN Punktsymmetrie zum ursprung Achsensymmetrie zur y-Achse دا 4.) BESTIMMUNG VON ACHSENSCHNITTPUNKTEN Die Punkte, an denen xe D f(-x) = -f(x) x € ID : f(-x) = f (x) X der Graph die Koordinatenachse Schneidet, nennt man Achsenschnitt punkte. Die Schnittstellen mit der x-Achse werden Nullstellen genannt. um diese zu ermitteln, muss die Funktion gleich null gesetzt werden i Die Schnittstelle mit der y-Achse werden y-Achsen abschnitt genannt Um diese zu ermitteln, muss das durch eine Null ersetzt werden; یہ f(x) = 0 x = 0 kubisch quadratisch Linear J = 7 Nullfunktion 3 5.) SCHNITTPUNKTE ZWEIER FUNKTIONSGRAPHEN BESTIMMEN Schnitt punkle von Funktionen sind genau die Punkte, an denen beide Funktionen den gleichen y-Wert besitzen. I Einführung des Ableitungsbegriffs Die y-werte beider Funktionen werden gleichgesetzt. Die entstehende Gleichung wird nach x aufgelöst (z. B. mit L> Erhalt des K-Werts des Schnittpunkts. 3 Zuletzt den erhaltenen * -Wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen. 1.) DIFFERENZ- UND DIFFERENTIAL QUOTENT Der Differenzquotient gibt die mittlere Änderungsrate der Funktion über ein betrachtendes Intervall an. -> Der Differentialquotient gibt die Lokale Änderungsrate an einer betrachteten Stelle an. 2.) GRAPHISCHES ABLEITEN K: Differenzquotient M: f(b)-f(a) ba . -> f'(a) = (im b-sa Differential quotient f(b)-f(a) ba f' mit der Stellen, an denen der Graph Extrempunkte hat, werden zu Schnittpunkten der Ableitung • Stellen, an denen der Graph Sattelpunkte hat, werden zu Berührpunkten von ' mit der x-Achse. Stellen, an denen der Graph Wendepunkte hat, werden zu Extrempunkten der Ableitung f'. In allen Abschnitten, in denen der Graph steigt, verläuft f' oberhalb der x-Achse. In allen Abschnitten, in denen der Graph fällt, verläuft f' unterhalb der x-Achse. I Anwendung des Ableitungsbegriffs 1.) MONOTONIE- UND KRÜMMUNGSVERHALTEN BEI GANZRATIONALEN FUNKTIONEN Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen ist die Richtungsänderung in einem Punkt x. ( links- / rechtsgekrümmt) Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion (steigend / fallend / konstant) p-q- Formel / abc- Formel) Hierfür ist die zweite Ableitung notwendig. f" (x) > 0 => f Linksgekrümmt F"(x) < 0 => f rechts gekrümmt Hierfür ist die erste Ableitung notwendig · f'(x) 20 => manaton steigend f'(x) ≤0 => monoton fallend x-Achse. rechtsgekrümmt steigend Wendepunkt Linksgekrümmt fallend steigend fallend 2.) EXTREM- UND WENDESTELLEN E: Erste Ableitung f'(x) bilden. Extrempunkte sind Hoch-oder Tiefpunkte, Wendepunkte sind Krümmungen der Kurve einer Funktion Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen. Zweite Ableitung f"(x) bilden 4 Nullstellen aus in die zweite Ableitung einsetzen. Anhand der Zahlen aus wird entschieden, ob die Nullstelle eine Koordinate des Extrempunktes LSL. ->f"(x₂) = 0 => X₁ ist f" (x₂) 0 => X. ist Koordinate eines Extrempunkts. (1st sie eine Koordinate des Extrempunktes, wird diese in f(x) eingesetzt, um den vollständigen Extrempunkt zu ermitteln.) (2) keine W: Alle drei Ableitungen bestimmen. Die zweite Ableitung Null setzen. Die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung einsetzen. Die Art des Wendepunkts bestimmen. f"(x) <0 => rechis-Links-Wendepunkt Koordinate eines Extrempunkts. f"(x) > O => Links - rechts-Wendepunkt Die Nullstellen der zweiten Ableitung in f(x) einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen. 3.) LÖSEN VON POLYNOMGLEICHUNGEN ->Polynomgleichungen sind Gleichungen, bei denen Polenzterme mit beliebigen natürlichen Exponenten addiert werden. UMFORMUNG • Die Gleichung wird so umgeformt, dass Bei Wurzeln ist das Ergebnis sowohl positiv, als auch negativ. • Slent unter einer Wurzel eine negative Zahl, ist das Ergebnis ungültig. -> auf einer Seite nur noch ein X Stent. AUSKLAMMERN Alle Summanden der Gleichung enthalten einen gemeinsamen Faktor, in dem auch die Variable / Potenzen der Variable enthalten sind. SUBSTITUTION • Schwere Terme werden (vorübergehend) durch einfachere ersetzt. Das Ziel ist es, dass die Exponenten kleiner werden und somit einfacher zu rechnen sind. Die p-q- Formel oder die abc-Formel können angewendet werden. 4.) REKONSTRUKTION VON GANZRATIONALEN FUNKTIONEN Bei der Rekonstruktion müssen ganerationale Funktionsgleichungen anhand gegebener Informationen bestimmt werden, Die allgemeine Funktionsgleichung wird aufgestellt (zB. f(x) = ax ³ + bx² + cx + d ). Bestimmung der Ableitungen von f(x). Die gegebenen Informationen übersetzen (z.B. Nullstelle. Tangente,...) Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen und berechnen. Die rekonstruierte Funktion bestimmen. 5 5.) EXTREMAL PROBLEME → Es gent darum, die Extremwerte von Funktionen zu ermitteln. (₁1) Analyse der Problemstellung und Aufstellen der Funktionsgleichung f(x). 2 Berechnung der 1 Ableitung. 3 f'(x) gleich Null setzen. Diese Lösungen sind koordinaten für Extremalstellen. Berechnung der 2. Ableitung. Extremalstellen einsetzen, um sie als Minimum oder Maximum zu erkennen. 6.) ABLEITUNGSREGELN POTENZREGEL F(x) = x² FAKTORREGEL () = c.g(x) SUMMENREGEL () = g(x) + h (x) VI Einführung in die Integralrechnung Randfunktion f - 1.) REKONSTRUKTION DES BESTANDS Man verwendet die Flächeninhaltsfunktion, um die Fläche eines Integrals zu bestimmen. f(x) = 3 x f(x) = f(x) = f(x) = x+2 f(x) = x² X f'(x) f'(x) -> f'(x) = 2 U(n) = Flächeninhalis- funktion A. A. (x) = x² A. (x) = 2x² Ao (x) = 2x A. (x) = A。 (x) = x² x² + 2x (x^-^ c.g'(x) g'(x) + n'(x) ^ [arª · (A)¹ +(²)³¹ +...+(~^~^~^~^)"] A₁(x) = f(x) f (x) f'(x) 11 √x sin (x) cos (x) cos (x) 2.) OBER- UND UNTERSUMME Die von einem Funktionsgraphen und einem Intervall auf der x-Achse eingeschlossene Fläche lässt sich näherungsweise mit der Ober- bzw. Untersumme berechnen. A.(0) - O Die Summe der entsprechenden Flächeninhalte der Rechtecke nennt man untersumme • Die Summe der entsprechenden Flächeninhalte der zum-Teil-oberhalb liegenden Stücke nennt Iman Obersumme. ... + f(A)] Sin (x) O₁ = · [ƒ (4²) + f (²x) + f (3x) +... 6 3.) HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Der Hauptsatz führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (Stammfunktion) zurück. • Eine Funktion F ist eine Stamm funktion von f im Intervall I, wenn • Mithilfe einer Stammfunktion F van f im Sº f(x) dx = [F(x)) = F(b) - F(a) 4.) ZUSAMMENHANG ZWISCHEN FUNKTION UND STAMMFUNKTION . obere & untere Grenze Durch die Integration von f'(x) erhält man f(x) •Durch die Integration van f(x) erhält man die Stammfunktion F(x). Durch Differenzieren von F(x) erhält man f(x). Durch Differenzieren van f(x) erhält man f'(x) 5.) INTEGRATIONSREGELN Sxdx = 0+1 Potenzregel. Sie wird angewendet, wenn das zu berechnende Integral eine Potenzfunktion enthält (also ein einer Hochzani ) Intervall [a;b] lässt sich das Integral (f(x) dy x mit Sc-faldx = cffclax Faktorregel: Sie wird benutzt, wenn die Funktion einen Faktor c enthält (also wenn mit einer konstanten Zahl multipliziert wird) Searreic e dx = e* e-Funktion: Die Stammfunktion ist gleich e* mit einer zusätzlichen Integrationskonstante C. im gesamten Intervall gilt: f'(x) = f(x) berechnen mit: f(x) 1 10 X S sincuar sin (x) dx Sin und cos 10x x² 5x² 3x-2x³+4 F(x) 10x 5x² 3 S (FG) + g(n) dx) = ffilax + √y(+) de f(x) dx dx Summenregel: Sie wird angewendet, wenn das Integral eine Summe enthalt. f(f(n)-(g(+) dx = Srawak - Sgcxax f(x) dx Differenzregel: Wenn das Integral eine Differenz enthält, gent man ähnlich vor. √f(x) dx = 1 = cos(x) + C ; f(x) = sin(x) = F(b)-F(a) f(x) e" ³x e 20e *** 3e5-2x Sin (x) F(x) e* 2e ** gent nicht! -cos(x)+C VI Anwendung der Integralrechnung 1.) BERECHNUNG VON FLÄCHEN Das Integral wird dazu verwendet, Flächen zwischen den Koordinatenachsen und einem Graphen oder zwischen zwei verschiedenen Graphen zu berechnen. Im Allgemeinen ist das Integral nur die Flächenbilanz, also die Differenz von der Fläche oberhalb der x-Achse und der Fläche halb der x-Achse. • Befinden sich in diesem Bereich eine oder mehrere Nullstellen, so muss man die Funktion in jedem Intervall zwischen zwei benachbarte Nullstellen einzeln betrachten, wenn man die tatsächlich eingeschlossene Fäche herausfinden will. Neben dem Hauptsatz, der nur Links das Integral bestimmt, welches rechts und die Flächen berechnung zwischen zwei beliebigen Graphen: (2) C 2.) BESTIMMTES INTEGRAL ALS REKONSTRUIERTER BESTAND Manchmal kennt man die Ableitung bzw. die Änderungsrate, jedoch nicht die Stammfunktion. ->Für die Rekonstruktion einer Bestandsfunktion & benötigt man die Änderungsrate f' und einen Funktionswert. Integration f' ist die Änderungscate von f. Durch Integrieren (Aufleiten) erhalten wir also alle Stammfunktionen von f'. berechnen van Beispiel: 5 = 5. a und b begrenzt wird, gibt es noch [[fce) - geo] de = [F(a) - G(a)]" Das C muss noch bestimmt werden, um unsere endgültige Funktion zu erhalten. Der Wert Wert wird eingesetet und die Gleichung nach C umgestellt. Funktion angeben -> Das berechnete C einsetzen und die gesuchte Funktion erhalten. f(x) dx = Lim unter- III Vertiefung der Differenzial- und Integralrechnung 1.) GRENZWERTE VON FUNKTIONEN Es kann vorkommen, dass eine Fläche unter einem Funktionsgraphen betrachtet wird, die in eine Richtung unbeschränkt ist. Solche Integrale nennt man uneigentliche Integrale, welche über die Grenzwert betrachtung berechnet werden können. f(x) dx 8 Funktionsscharen 1.) UNTERSUCHUNG VON FUNKTIONSSCHAREN Bei einer Funktionsschar gibt es eine Funktion mit einem Parameter k, der die Funktion bei Veränderung in die Höhe oder Breite verschiebt. Funktionsscharen sind Mengen verschiedener Kurven. Nullstelle berechnen •Der Funktionsterm f(x) wird gleich Null gesetzt i Das x wird ausgeklammert. Die Schnittpunkte mit der x-Achse werden angegeben. Extrempunkte bestimmen Lokales Maximum = Hochpunkt, Lokales Minimum = Tiefpunkt • Die notwendige und die hinreichende Bedingung müssen • Die erste und zweite Ableitung bestimmen ·Bestimmen von Hoch-und Tiefpunkt Einsetzen der x-Werte in die Funktionsschar X Koordinate nach dem Parameter umstellen. Ortskurve bestimmen Sie verbindet die Hoch-/Tief-/Wendepunkte einer Funktionsschar. * Koordinaten ermitteln (z. B. Tiefpunkte etc.) 2.) INTEGRATION VON FUNKTIONSSCHAREN fa(x) Die umgestellte x-Koordinate in den y-Wert des allgemeinen Punktes einsetzen. Term vereinfachen und Funktionsgleichung erhalten. ܘܐ a² ax a'x (a-^) x ax² 30²x² ax"-4ax + a² fa (+) O O a a² Q-A 20x 9a²x² 4ax³-4a fa (x) a a² ax a²x a³x-ax+ a² f (x) = 0 a(x²³-a) oder ax³-a² ax a²x erfüllt ³ sein. a (x-ax) x-ax notwendig f'(x)=0 An dieser Stelle kann eine Extremstelle sein aber auch ein Sattel- punkt. Deswegen datu die hinreichende B MERKE: Wenn a nicht alleine stent, sondern als Produkt (z. B. mit einem), dann wird das x abgeleitet / integriert und bleibt stehen. hinreichend f(x) x 0 sonst ist es ein Satel- oder wendepunkt. Hochpunkt F(x) <0 Tiefpunkt: f(x) >0 Wenn a alleine stent, so wird es wie eine Konstante abgeleitet / integriert. 9 3.) BEDEUTUNG DES PARAMETERS FÜR DEN GRAPHEN Je nachdem, wie der Parameter a bestimmt ist, beeinflusst er den konkreten Verlauf und die Lage der Funktion. a<o: Je kleiner a wird, desto weiter bewegt sich der SP nach Links unten. a>0 =Je größer a wird, desto weiter bewegt sich der SP nach rechts unten. I Lineare Gleichungssysteme (LGS) 1.) SYSTEMATISCHES LÖSEN VON LGS MITHILFE EINES ALGORITHMISCHEN VERFAHRENS -> Bei Linearen Gleichungssystemen sind mehrere Gleichungen gegeben, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen vorkommen. GAUB-ALGORITHMUS (ELIMINATIONSVERFAHREN) Zeilenstufenform herausfinden Das LGS so umformen, dass bei der ersten Gleichung noch alle Unbekannte auftauchen, bei der mittleren noch zwei und bei der noch eine unbekannte Leleten Gleichung ⒸErste Lösung ablesen In der dritten Zeile Liegt jetzt die Lösung für eine der Variablen var. 3 Rückwärts einsetzen Die berechnete variable kann jetzt in die anderen Gleichungen eingesetet werden, um die restlichen Unbekannten zu berechnen ADDITIONSVERFAHREN oder y so eliminieren, dass eine unbekannte wegfällt. Gleichungen miteinander addieren/voneinander abziehen. Nach unbekannter Variable auflösen GLEICHSETZUNGSVERFAHREN beide Gleichungen nach der selben Variable auflösen. zB. x auf eine Seite bringen. Gleichungen gleichsetzen, auflösen. 4 EINSETZUNGSVERFAHREN Gleichung nach einer Variable auflösen, den Term für diese Variable in die Gleichung einsetzen, Gleichung nach anderer Variable auflösen. I I a + III a Was ist erlaubt? b ->Addieren und Subtrahieren von Zeilen. →Multiplizieren und Dividieren von Zeilen mit einer Zahl. →Vertauschen von Zeilen. 10 2.) LÖSEN EINES LGS MITHILFE DES TASCHENRECHNERS MENU Beispiel: I I I IT 2a a a A ^ 2a II За b + + -20 + 3.) ÜBER- UND UNTERBESTIMMTES LGS + b + 26 + b с + 4 -2b 3c 4.) DARSTELLEN VON LGS MITHILFE VON KOEFFIZIENTENMATRIZEN = 2c 3 c Ein LGS mit weniger Gleichungen als Variablen ist unterbestimmt. Ein LGS mit mehr Gleichungen als Variablen ist über bestimmt. O 8 4 ein LGS bestent aus m Linearen Gleichungen und n Variablen. Es kann entweder in Normalform oder in Form der erweiterten Koeffizientenmatrix Ae dargestellt werden. -2 10 8 INTN 2 -2 P 2 A,S Ae b 1 ^ x 1 ->Z с 1 3 1 ^ 2 тото 2 ^ -2 3 -2 3 XI Orientieren und Bewegen im Raum 1.) DARSTELLUNG RÄUMLICHER OBJEKTE IM DREIDIMENSIONALEN KOORDINATENSYSTEM Punkle und geometrische Gebilde werden in kartesischen Koordinatensystemen dargestellt, deren Achsen senkrecht aufeinander stehen. 8 -2 8 -> um 2 nach vorne" verschoben -> um 1,5 nach rechts verschoben um 2 nach oben verschoben ^^ 2.) BESCHREIBUNG VON VERSCHIEBUNGEN IM RAUM MIT HILFE VON VEKTOREN Ein Vektor gibt den Weg innerhalb eines Koordinatensystems an. (); →> gibt die Verschiebung in *-Richtung an (vorne / hinten). -> gibt die verschiebung in y-Richtung an (rechts / Links). -> gibl die verschiebung in 2-Richtung an (oben / unten) 3.) ORTSVEKTOR EINES PUNKTES Ein Vektor, der vom Ursprung O ales (kartesischen) Koordinatensystems zu einem Punkt P im Raum zeigt (OP). P Р. Ps 4.) RECHNEN MIT VEKTOREN ADDITION VON VEKTOREN wird verwendet, um den Weg des Vektors zu bestimmen. Beispiel: - (₁1); ~ (₂1¹) V SUBTRAKTION VON VEKTOREN à ADDITION VON SPALTENVEKTOREN Punkt- und Ortsvektoren sind nicht das Selbe und sollten klar getrennt werden. Der Punkt beschreibt eine Position im Raum und der Uektor besitzt eine Richtung und eine Länge. -> wird verwendet, um die Differenz von Vektoren zu berechnen: + b Vektorprodukt: skalare Multiplikation: sa = S (☹). (6) - G + (Gene erst 3 nach rechts und nach oben und danach 1 nach links und 2 nach oben) 5.) VERVIELFACHUNG VON VEKTOREN: KOLLINEARITÄT -> Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie Vielfache uoneinander sind, also eine mehrfach ausgeführte verschiebung unterscheiden sich alle Koordinaten jeweils um denselben Faktor, So sind die Vektoren kollinear. (;) . (38) || = √²+ L> um sich diese Komplikation zu sparen, gibt es eine einfache Formel: a. b.2 6.) BETRAG EINES VEKTORS, ABSTAND ZWEIER PUNKTE IM RAUM 1α/= + (x₂-x₂)² + (y₂-y₁)² a-b Die Länge wird bestimmt, indem der Betrag berechnet wird. Der Absland wird bestimmt, indem die Koordinaten voneinander abgezogen werden. 12 7.) DEFINITION DES SKALARPRODUKTS Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. -> Sein Ergebnis ist ein Skalar. (:) b₂ ib= b, => ob 8.) UNTERSUCHUNG DER ORTHOGONALITÄT VON VEKTOREN Orthogonale Vektoren sind vektoren, die in ihrem Schnittpunkt senkrecht aufeinander stehen. a oblal 151 cas (y) a₁.b₁ + a₂ b₂ + a3.b₂ Wenn zwei vektoren orthogonal zueinander stehen, dann sind sie senkrecht und schießen somit y = 90° ein. 9.) BESTIMMUNG DES WINKELS ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN Es gibt einen inneren Winkel, den die beiden Vektoren einschließen, und einen äußeren Winkel 0'. cos Ꮎ . DIE DREIDIMENSIONALEN KÖRPER: ob 181 161 10.) UNTERSUCHUNG GEOMETRISCHER KÖRPER UND FIGUREN Quader v=g.h V=L·b·h Würfel V = a³ a und To Sind die beiden zu berechnenden Winkel. Der runde Punkt "O" zeigt an, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnet werden soll. lal bedeutet, dass die Länge / der Betrag des Vektors eingesetet werden soll. o ist der Name des cu berechnenden Winkels. Cos Slent für die Kosinusfunktion (mit dem Taschenrechner zu berechnen). Prisma V=G.n Pyramide VG.h Kegel Kugel V=Gn V=7²²³ G= πr·r² DREIECKSREGEL Zur Addition von a und 5 legt man den Anfangspunkt van to an den Endpunkt von a. Der Pfeil der Summe + 5 führt dann vom Anfangskurs dieser Pfeilketle zu Ihrem Endpunkt PARALLELOGRAMMREGEL in dem van & und 5 aufgespannten Parallelogramm verbindet der vektor 5-a die Pfeilspitze von 5 mit der Pfeilspitze vona. Zylinder V= G.h G= πr·r² 13 FLÄCHENINHALT EINES DREIECKS Spannen die Vektoren & und To ein Dreieck auf, so gilt für dessen Flächeninhalt: RECHTWINKLIGES DREIECK Das Dreieck ABC ist genau dann rechtwinklig, wenn : (₁) c²=a² +6² (2) 0= a +5 VOLUMEN EINER PYRAMIDE Durch drei Linear unabhängige Richtungsvektoren a, 5 und & wird eine Pyramide gebildet. XI Geraden und Ebenen im Raum g 9 1.) PARAMETERGLEICHUNG EINER GERADEN Auch im dreidimensionalen Raum gibt es Geraden. Deren Gleichung sient jedoch andes aus als bei Linearen Funktionen. Anstatt einer Steigung hat man im Raum einen Richtungsvektor. Geraden haben eine eindeutige Länge. Vektoren nicht. Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig definiert. Stutzvektor Parameter Riantungsvektor =+r.m A+ AB 2.) PARAMETERGLEICHUNG EINER EBENE E=A+Su+kv v = 1/2 | (+5) 1 Wahr: 3.) PUNKTPROBE -> Mit der Punkt - Abstands-Formel berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten, die im Koordinatensystem liegen. Die Koordinaten des Punktes werden in die Funktionsgleichung eingesetzt und geschaut, ob eine wahre oder falsche Aussage raus kommt. Punkt liegt auf dem Graphen Falsch: Punkt liegt nicht auf dem Graphen 4.) LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADEN Stützvektor: Das ist der Ortsvektor eines bellebigen Punkles auf der Geraden. Richtungsvektor : Das ist der Vektor, der die Richtung der Geraden bestimmt. Identisch. Schnittpunkt: ->A Lst der Stützuektor. -> und sind die Spann vektoren der Ebene E. L> Sie dürfen keine Vielfachen voneinander sein Echt parallel: Windschief: A√²¹-(5) Zwei Geraden können in der Ebene, im Raum oder auch höheren Dimensionen verschieden räumlich orientiert zueinander sein. Wenn alle Punkle der einen Geraden auch Punkte der anderen Geraden sind. Zwei Geraden haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben. Zwei Geraden sind eant parallel, wenn sie durch eine Verschiebung identisch sind. Falls sich zwei Geraden gar nicht berühren, aber nicht parallel zueinander stenen. 14 9. E: x = 2 5.) LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADE UND EBENE MITHILFE DER PARAMETERGLEICHUNG Parameter g=h identisch Für die Lage 9 und einer Ebene E sind drei Fälle möglich: (1) ... (1) (Q)...0... A Gilt gan? Liegt der Stutepunkt van h auf g? Parameter bestimmen 6.) SCHNITTWINKEL VON GERADEN cos d = Stül Evektoren GERADE UND EBENE Gerade und Ebene werden glachgesetzt 2 LGS anwenden € Parameler bestimmen t Ja PUNKT UND EBENE Der Punkt wird mit der Ebenengreichung gleichgesetzt LGS anwenden Ⓒ Parameter mit 2 Gleichungen bestimmen Ⓒ Zur Probe in die 3. Gleichung einsetzen (Punktprobe) EBENE UND EBENE Beide Ebenen gleichungen werden gleichgesetzt (2) LGS anwenden lab 1a 1.161 Nein sind g und h parallel? Sind die Romungsvektoren kallinear? glng#n echt parallel g und Nein Schneiden sich g und h? lot eindeutig losbar? Ja gan. {s} Schneidend Nein E Schneiden sich, i 9 und n sind Wind Schief eine Lösung g und E sind echt parallel. i Keine Lösung GERADE UND GERADE Der Schnittwinkel & zwischen zwei Geraden entspricht dem Winkel zwischen den jeweiligen Richtungsvektoren ·g liegt in E, unendlich viele Lösungen a und b. 15 GERADE UND EBENE Diesmal verwendet man die Richtungsvektoren å der Gerade und den Normalenvektor der Ebene . sinB = EBENE UND EBENE la 1 121.181 cosa = Der Schnittwinkel & zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren ₁ und ₂. 1₁₂1 10.1021 ersetzen und zusammenfassen Skalarprodukt XII Vertiefung der Analytischen Geometrie 1.) KOORDINATENGLEICHUNG EINER EBENE Ebenen besitzen noch eine dritte Darstellungsform, nämlich die Koordinatengleichung: E: ax+by +cz =d Die Koordinatengleichung erhält man, indem die Normalengleichung mithilfe des Skalarprodukles ausmultipliziert wird. Bei der Koordinaten form E: ax+by+cz = a lässt sich immer direkt ein Normalenvektor ablesen: Koordinatengleichung komponente weniger ODER E = + d n₁ cosa = 131 121.171 (Q).().. 9 93 = 0 Beispiel: E: i B = 90° -2 E. E: [x - (3)] · (3) . (EA) (43) = 0 = 0 (x-2)-2 + (x-1). (-2) + (2-1) ·4=0 2x - 4-2y +2 +42 -4 2x - 2y + 4z - 6 2x - 2y + 4z 2x - 2y + 4z =6 =Q 2.) UMWANDLUNG VERSCHIEDENER DARSTELLUNGSFORMEN EINER EBENE INEINANDER →>Die Umwandlung zwischen Darstellungsformen von Geraden funktioniert genauso wie bei Ebenen, nur mit einer Koordinate bzu. Vektor- =O -6 Wenn eine Ebene E in Parameterform (Stütevektor a, Spannuektoren å und ) gegeben ist, wandelt man die Darstellung in eine Normalform um: = (8) 16 3.) LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADEN UND EBENEN 4.) LOTFUSSPUNKTVERFAHREN wahre Aussage: Gerade 9 liegt in der Ebene € (gcE) falsche Aussage: 9 verläuft (echt) parallel zu E (gll €) eindeutige Lösung für 1: 9 schneidet E im Schnittpunkt S ABSTAND PUNKT GERADE ABSTAND GERADE GERADE: SCHNITTPUNKTE BERECHNEN Die Koordinaten des Ortsvektors X müssen in die Geradengleichung der Ebene eingesetzt werden. • Die Gleichung wird nach dem Parameter 1 aufgeläst. ABSTAND PUNKT EBENE MIT EINER HILFSEBENE: gin E ñ' tù (oo-viele gemeinsame Punkte) ^ > siene Studyflix gle 3 ntu (gar kein gemeinsame Punkt) -> Der Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen kann ermittelt werden. Lot = eine Gerade die senkrecht auf der Abstandsgeraden stent. Für dessen Berechnung wird der Lotuektor verwendet. Der Verbindungsvektor stent senkrecht auf beiden Geraden 10 9 schneidet Der Verbindungsvektor stent senkrecht auf der Der Verbindungsvektor stent senkrecht auf der Geraden und verläuft durch den Punkt. Ebene. ñ ú (genau ein gemeinsamer Punkt) E E in S 9. Stelle die Hilfsebene H auf, die den Punkt Penthält und senkrecht auf der Geraden g stent. Bestimme den Schnittpunkt S der Geraden g und der Ebene H. Berechne den Abstand des Punkles zur Geraden: d = IPSI n.y + y = x MIT,LAUFENDEM" PUNKT Stewe den allgemeinen Verbindungsvektor PŚ zwischen dem „laufenden" Punkt auf der Geraden S und dem Punkt P auf. Bestimme den Lotfußpunkt S aus der Bedingung PS .it =0 Berechne den Abstand des Punktes zur Geraden d = IPSI 17 XII Grundlegende Begriffe der Stochastik 1.) BESCHREIBEN VON ZUFALLSEXPERIMENTEN ·Das Resultat eines Zufallsversuchs-d.h. Sein Ausgang- wird als Ergebnis bezeichnet. · Die Menge aller möglichen Ergebnisse bildet den Ergebnisraum eines Zufallsexperiments. Ein Ereignis kann als Zusammenfassung einer Anzahl möglicher Ergebnisse zu einem Ganzen aufgefasst werden. Besondere Ereignisse sind das unmögliche Ereignis E=A, das nicht eintreten kann, da es keine Ergebnisse erhält, sowie das sichere Ereignis E=, das Stets eintritt ida es alle Ergebnisse enthält. Ein La-Place Experiment ist ein Experiment, bei dem alle elementaren Ergebnisse alle selbe Wahrscheinlichkeit haben (z.B. Würfelwurf) 2.) ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFTIGKEIT Ein Zufallsexperiment wird n-mal wiederholt. Tritt dabei das Ereignis E genau K-mal ein, so heißt es: an (E)= k hn (E).= absolute Häufigkeit des Ereignisses nach n Versuchen. relative Häufigkeit des Ereignisses nach n Versuchen. 3.) DAS EMPIRISCHE GESETZ DER GROBEN ZAHLEN Die Häufigkeit mit der ein Zufallsereignis eintritt, nähert sich seiner rechnerischen Wahrscheinlichkeit immer weiter an, je häufiger ein Zufalls- experiment durchgeführt wird. Beispiel: Münzwurf: Beide Wahrscheinlichkeiten liegen bei 50%. Je häufiger die Münze geworfen wird desto ener tritt be 50% der Würfe Zahl / Kopf auf. 4.) VERGLEICH VON STATISTISCHEM UND LAPLACESCHEM WAHRSCHEINLICHKEITSBEGRIFF -> Bei Laplace-Experimenten liegt als Wahrscheinlich keitsverteilung eine sog. Gleichverteilung zugrunde, die jedem Elementarereignis exakt die gleiche Wahrscheinlichkeit zuordnet Anzahl der gewünschten Ereignisse Anzahl aller möglichen Ereignisse 5.) ARITHMETISCHER MITTELWERT, STANDARDABWEICHUNG UND EMPIRISCHE VARIANZ IEI 121 ARITHMETISCHER MITTELWERT Er wird verwendet, um den Durchschnitt van etwas zu berechnen (28. 8. Notendurchschnitt) X= x₁ + x₂ + x₂ + ... + xn N 18 STANDARDABWEICHUNG Die Standardabweichung & (Sigma) einer Zufallsgröße ist in der Stochastik ein Maß dafür, wie stark im Mittel die Zufallsgröße um ihren Erwartungswert streut. Sie ist eng mit der Uarianz verknüpft. Verteilungen Bernoulli -Verteilung Binomialverteilung Normalverteilung (2 EMPIRISCHE VARIANZ Sie berechnet die mittlere quadratische Abweichung der gemessenen Werte eines Zufallsexperiments vom empirischen Mittelwert. Sie wird verwendet, wenn nur ein Teil der Grundgesamtheit bekannt ist. Empirischen Mittelwert berechnen Werte in die Formel zur Stichprobenuarianz einsetzen Stichprobenvarianz berechnen Beispiel: Münzwurf Varianz P. (1-P) np (1-P) X~ N (μ₁¹) => ¹ 슬 P(AIB)= P(ANB) P(B) 1/2 6.) BAUMDIAGRAMM UND PFADREGELN Ein Baumdiagramm ist ein Hilfsmittel zur graphischen Darstellung von zueinander in Beziehung stehenden Ergebnissen innerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Standardabweichung P. (1-P) √n.p.(^-p) 3² = ^ [₁.A (x₁ - x)² 5² = ²^[₂A (x₂ - 7)³² Summenregel P(A). P(B) = P(A) P(B) s²= Empirische Varianz x= Empirisches Mittel X;= Stichprobenwert Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem man die Einzel- wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfads multipliziert XV Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 1.) BESCHREIBEN UND ERKENNEN VON BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEITEN Hiermit lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Bedingung des Eintritts eines anderen Ereignisses ausdrücken. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summen der Wahrscheinlichkeiten aller Prade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen. 19 E₁ U E₂ E₁ E₂ ELLIE tritt ein, wenn wenigstens eines der beiden Ereignisse eintritt tritt ein, wenn 2.) DARSTELLEN UND BERECHNEN VON BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEITEN PB (A) = tritt ein, wenn E nicht eintritt P(A) P₂ (B) P(B) P (ANB) P(A) P (B) Mukipitationssale für Unamängigkeit N=nk sowohl das eine, als auch das andere Ereigniss eintritt in einem Baumdiagramm P(B) P(B) B B P(AIB) P(AIB) Ā P(AIB) P(AIB) A SATZ VON BAYES Sind A und B Ereignisse mit P(A) *0 und P (B) =0, so gelten folgende Formein: P(AUB) = P(A) + P(B) - PCA). P(B) Additionssale für Unabhängigkeit PB (A). PCA). PA (B) P(A) P₁(B)+ P(A) P₂ (B) 4.) BESTIMMUNG VON LAPLACE-WAHRSCHEINLICHKEITEN MITHILFE DER KOMBINATORIK in einer Vierfeldertafel ZIEHEN MIT ZURÜCKLEGEN UNTER BEACHTUNG DER REIHENFOLGE (GEORDNETE STICHPROBE) n = Anzahl der versch. Elemente (was?) k = Anzahl der ausgewählten Elemente (wie viele?) N Anzahl der Möglichkeiten A 3.) ÜBERPRÜFEN VON EREIGNISSEN AUF (UN-) ABHÄNGIGKEIT Durch das Eintreten eines bestimmten Ereignisses B kann sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines weiteren Ereignisses A ändern. Ist das der Fall, so werden A und B als abhängige Ereignisse bezeichnet. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit von A durch das Eintreten van B jedoch nicht, so heißen A und B unabhängige Ereignisse. A B AnB AnB le9 B AnB P(A) ĀB P(B) P(B) P(A) द 2.B. Fußballfoto. Zahlenschloss, Kennzeichen, Passwort 20 ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN UNTER BEACHTUNG DER REIHENFOLGE (GEORDNETE STICHPROBE) N = (x). K! } (2)= ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN OHNE BEACHTUNG DER REIHENFOLGE (UNGEORDNETE STICHPROBE) XVI Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder N= Pa n! k!·(n-k)! 1.) ZUFALLSGRÖBE UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG PA (2 (n-k)! Die Zufallsgröße ist ein Wert, der vom Zufall abhängt. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine mathematische Funktion, bei der jedem möglichen Wert eines Zufallsexperiments eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. 2.) GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Die graphische Darstellung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann in Histogrammen / Verteilungsdiagrammen veranschaulicht werden. *₂ zB Pferderennen BERECHNUNG DER VARIANZ ^ Durchschnitt berechnen L> Binomialkoefficient -> Anzahl der K-elementigen Teilmenge einer n-elementigen Grundmenge 2.B. Lottomadell, Lose ziehen 1. nCr M = E(x) = x₁· PCX= x₂) + x₂ · P(x= x₂) + ... + xm. P(x=xm) L> Fakultät: Shift+ 3.) ERWARTUNGSWERT, VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG Führt man ein Zufallsexperiment aft durch, so interessiert der Mittelwert einer beim Experiment beobachteten Zufallsgröße X. Man bezeichnet ihn als Erwartungswert. Variane berechnen x-^ Die Höhe der Säule ist die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Wert angenommen wird. Bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die senkrechte Achse kann die relativen Häufigkeiten angeben. Ist das Histogramm symmetrisch um einen Werk, so ist dieser Wert der Erwartungswert Die Varianz und die Standardabweichung beschreiben die Verteilung einzelner Werte um den Mittelwert. X₁₁2.3₁... Wert X = Wahrscheinlichkeit Nach erstellen einer Tabelle kann die erste Spalle addiert werden und durch die Gesamtzahl geteilt werden. z.B. Notendurchschnitt: Noten der Schüler addieren und durch Gesamtzahl teilen. X₁ + x₂ + x3.- G Alle Einzeldaten müssen vom Mittelwert abgezogen, miteinander addiert und hoch zwei genommen werden. (x₂-M)² + (x₂-M)² + .... G p(x)= 21 BERECHNUNG DER STANDADABWEICHUNG -> Die Standardabweichung ist eine Wurzel der Varianz und wird mit Ⓡ (4) Die Wurzel aus der Varianz ziehen o Den Mittelwer (Durchschnitt) berechnen. In die Formel der Standardabweichung die Werte des Zufallsexperiments einsetzen. Die Varlanz berechnen. (x₁ -4)²· P₁ + (x₂ - y)² · Pet.... 4.) BERNOULLI-KETTEN Ein Zufallsversuch wird als Bernoulli - Versuch bezeichnet, wenn es nur zwei Ausgänge (E und E) gibt. E wird als Treffer (Erfolg) und E als Niete (Misserfolg) bezeichnet. Beispiel: Münzwurf, Würfelwurf (Sechs oder keine Sechs, Reißnagelwurf,... P(X=K)=B (n₁p;k) = (2).p*. (₁-P)^-* -> Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch n-mal, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Lösung. (Sigma) abgekürzt. Beispiel: Es wird aus einer Urne 10-mal mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrsch. kommen höchstens 2 grüne Kugeln? 5.) BERECHNUNG VON BERNOULLI-KETTEN IN VERSCHIEDENEN SACHZUSAMMENHÄNGEN (S. 117.) Typische Problemstellungen im Zusammenhang mit Bernoulli -Ketten sind die Bestimmung von Punktwahrscheinlichkeiten der Form P(X-K), Sowie die folgenden Intervallwahrscheinlichkeiten PCX≤k); P(x2k); P(a ≤x≤b). Anzahl der Ziehungen: n=10. Wahrsch. für Grün. P = 0,4 L> K= 08182 ; n=10;p=0,4 L> gesucht: P x 6 2 y = Mittel-bzw. Erwartungswert X; = das einzelne Ergebnis des Zufallsexperiments. Pi = der Gewichtungsfaktor Rechnung: P (x≤2) n Anzahl der Versuche p. Die Wahrscheinlichkeit (meist Prozente) K. Anzahl der Treffer, die erzielt werden = P(X=0) + P(x+1)+ P(X=2) =B (10; 0,4;0) + B (10; 0,4: 1) + B(10;0,4; 2) = (10)-0,4° 0,60 + (0°) 0,4-0,6* + (10)-0,4² 0,6² = 0₁1672 16,72% (0) - 10 NCR O Shift + 22 6.) ERWARTUNGSWERT, VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG BEI BINOMIALVERTEILTEN ZUFALLSGRÖBEN Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable x nur 2 Werte annimmt: Goder 1 (Niele/ Treffer). Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli-Experiment n-mal gleich und unverändert wiederholt -> „Ziehen mit Zurücklegen Anzahl der Ziehungen bzw. der Wiederholungen vom Zufallsexperiment P: Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X K: Anzahl der Treffer Eine Bnp-verteilte Zufallsgröße hat den Erwartungswert [μ=n·p und die Standardabweichung =√n.p. (1-P) 7.) EIGENSCHAFTEN VON BINOMIALVERTEILUNGEN ANHAND DER ANALYSE VON HISTOGRRAMMEN K= μ. Für binomialuerteilte Zufallsgrößen gilt: Wenn μ ganzzanig ist, dann ist die höchste Säule bei Für die Standardabweichung & gilt. GRAPHISCHE DARSTELLUNG Die Wahrscheinlichkeit P(x= k) =B (nipik) wird auf des y- Achse abgelragen und in Abhängigkeit van k durch eine Säule der Breite 1 und der Höne P(X=K) dargestellt. Die Summe der Flächenmaße aller Säulen beträgt 1, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 beträgt. P ( x ≤k) P ( x <k) P (x > k) P (x > k) P (K₁ ≤ x ≤k₂) = kann such (x) genannt werden 8.) KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG -> Mit Hilfe der Formel für die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette kann man es sich ersparen große Baumdiagramme zu = zeichnen Oft muss man trotzdem viele dieser Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und addieren (z.B. bei P(x≤24)). = • Wenn μ nicht ganzzanlig ist, dann ist die nächste Säule bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte. a •Je größer & ist, desto breiter ist das Histogramm. F (nipik)= P(x≤K) = Fn (pik) Fn (p, k-1) ^ - F₁ (pik-1) 1 - Fn (Dik) Fo (pik₂)-Fn (pik₁-1) a(nipic) - Σ (1).p³. (1-p- MENU 2 23 X Wiederholung 1.) RECHENREGELN GRUNDLAGEN -> Um Terme auszurechnen, muss die folgende Reihenfolge beachtet werden. A Klammern 2. Potenzen Punkt (Dividieren und Multiplizieren) Strich (Subtrahieren und Addieren) 5. Links nach rechts 3. 4. 2.) BRUCHRECHNUNG Y Zähler Wie viel davon?" Nenner: "Wie viel insgesamt?" 3.) POTENZRECHNUNG Exponent = 2.2.2 2.2 Basis 4.) WURZELRECHNUNG Wurzelexponent Y√x Koeffizient Radikand 10 cm am 5.) LÄNGENEINHEITEN UMRECHNEN m a^.a = anm anaman-m 1.) Multiplikation (gleiche Basis): Addition der Exponenten ; 2.) Division (gleiche Basis): Subtraktion der Exponenten 3) Potenz einer Potenz: Multiplikation der Exponenten ; (a^)= a^m 4.) Multiplikation (gleicher Exponent): Multiplikation der Basen; a^ b^= (a.b) 5.) Division (gleicher Exponent): Division der Basen; a^: b^= (a:b)^ 1.) Addition: Brüche auf einen Nenner bringen, Zähler addieren, Brüche kürzen 2) Subtraktion: Brüche auf einen Nenner bringen, Zähler subtrahieren, Brüche kürzen 3.) Multiplikation: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, Brüche kürzen 4.) Division: Zähler und Nenner des 2. Bruchs tauschen, Z.mal 2., N.mal N., Brüche kürzen 1.) Addition: Addition der Koeffizienten : a√√x + b²√x = (a+b)√√x 2.) Subtraktion: Subtraktion der Koeffizienten; a√√x - bx (a-b) √x 3.) Multiplikation: Multiplikation der Radikanden, √√√ = √√x-y 4.) Division: Division der Radikanden; √ 5.) Potenzieren: (√x)=√√x² 6.) Radizieren: √√√√x - √√√ 7.) Wurzel als Potenz: √x² = x² 1 km = 1mm 1mm = 0,1cm=0.0/dm = 0,00μm 1cm 10mm = 1cm = 0,1 dm = 0,01m Adm 100mm = 10cm = 1dm = 0,1m 1m 1000mm = 100cm = 10dm = 1m = 0,001 km 1000000mm = 100000cm= 1000m - 1 km 24 6.) KGV UND GGT -> kgV: kleinstes gemeinsames Vielfaches ->> 9gT: gräßler gemeinsamer Teiler ·Das kgV benötigt man z.B., wenn man zwei Brüche vergleichen, addieren oder subtrahieren soll. (kgV (2,3)= 6) Den ggT benötigt man z.B., wenn man einen Bruch kürzen soll. (ggT (4,6)=2) 7.) DREISATZ -> Mit dem Dreisatz können Verhältnis-Aufgaben gelöst werden Proportionaler Dreisate: Je mehr, desto mehr." Antiproportionaler Dreisatz: „Je mehr, desto weniger." (2₂) (3 8.) DEZIMALZAHL IN BRUCH (^ Endliche Dezimalzahlen in Brüche umwandeln: Tabelle erstellen 4 Alle gegebenen Informationen eintragen Ausrechnen, wie viel eine einzige Einheit der größe ist L> 2.8. dlaven 3 Folgen 90 min, wie lange dauert dann 1 Folge ? Den gesuchten West multiplizieren Zahl ohne Komma 0,5 슬 Eine 1 unter den Bruchskich schreiben Im Nenner Periodische Dezimalzani in Bruch: in Zähler einsetzen so viele Nullen ergänzen, wie es Nachkommastellen gibt Ganze Zani abspallen Periode in Zähler einsetzen Im Nenner so oft 9 ergänzen, wie es stellen unter dem Periodenstrich gibt Bruch und ganze Zahl zusammenrechnen Gesamtperiodische Zahl in Bruch: Zahl so lange mit 10 multiplizieren, bis nur noch die periodische Zahlenfolge hinter dem Komma slent Periode von Zahl abspallen Beide Teile in Brüche mit gleichem Nenner umwandeln Beide Brüche zusammenrechnen 6 Bruch so oft durch 10 teilen, wie es am Anfang multipliziert wurde Wichtige Dezimalzahlen: y = c.x 0,25 습 0,75 0,2 0,125 0,1 0,3 3/33 슬 슬 A ŝ 0,6 Ž 0,1 슈 2,487 @ 22.487 = 2,487 = 2,74 0.74 0,74 344 P a 2487 2487 2487 л⁰⁰⁰ = 2 +0,74 이보 보 99 34414 -5 Folgen A Folge ¹5 Folgen • 198222285 84 42 375 12439 99 +99: ११ 12459 12459 ११ 10 = 990 12459 4,2584 = ११०० 1,2584 10 = 12,584 10 =125,84 125,84 = 125 + 0,84 € 0,84 = 90 125= ११ 125.99 12375 = ११ 12459 = ११०० á á á 90 min 30min 150min 25 9.) WINKEL 1.) Nullwinkel 10.) BINOMISCHE FORMELN 1.) (a+b)² = a² + 2ab + b² 2.) (a - b)² ↳0° 3.) (a+b) (a-b) a²-b² ax²+bx+c : a² - 2ab + b² Beispiel: 12x + 17+ 2x² Sortieren ( 2.) spitzer Winkel 2 Ausklammern = ·Term nach absteigender Potenzen sortieren. L> 2x² + 12 * +17 a L> 0°< d < 90° 11.) MINUSKLAMMER Eine Minusklammer kann nicht einfach aufgelöst werden, indem die Klammen verschwinden. L> Die Vorzeichen aller Zahlen müssen umgedrent werden. + wird zu- und - wird zu + a.a + ab + b⋅a + b·b L> 2. ((x+3)² -3²) + 17 Klammer ausmultiplizieren L> 2 (x+3)² - 18+17 12.) QUADRATISCHE ERGÄNZUNG L> Dies ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen. is wird benutzt, um den Scheitelpunkt oder die Nullstellen herauszufinden oder um quadratische Gleichungen zu lasen. a (x-a)² +e a. a + a. (b) + (-b). a + (-b-b) a. a + a. (b) + b⋅a+b. (b) 3.) rechter Winkel Die Koeffizienten mit einem x ausklammern (Faktorisieren). L> 2(x² + 6 x) + 17 Ergänzen So umformen, dass es wie eine binomische Formel aussieht. Vorfaktor van * durch 2 teilen und 2-mal ninschreiben. Konstante ergänzen, um eine binom. Formel zu erhalten. L> 2 (x²+2 3+3²-3¹) +17 3 Zusammenfassen L> 90° 4.) Stumpfer Winkel L> 90° < d < 180° 26 13.) Y=MX+B y = mx + b beschreibt eine Gerade = Steigung by- Achsen abschnitt m= 27