Ableitungen

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dann + die Ableitung von u(x) mal die ursprüngliche Funktion v(x). . Kurz gesagt: u(x) · v´(x) + u´(x) · v(x) 6. Kombination der Produkt- und Kettenregel: ▪ Hier haben wir sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel. Zuerst leiten wir die Kettenregel ab um unser endgültiges u'(x) zu bekommen. Dann leiten wir v(x) ab und setzten es genau wie bei der Produktregel zusammen. O 3. Graphisches Ableiten: • Wir kennen die Regel N E W, genau so können wir auch graphisch ableiten. F(x) NEW f(x) f'(x) f''(x) NEW NE WE NEW GLIEDERUNG 1. Was ist eine Ableitung? 2. Ableitungsregeln 3. Graphisches ableiten • An Stellen, an denen der Graph von f Extrempunkte hat, hat die Ableitung der Funktion Nullstellen (VZW - Kriterium) An Stellen, an denen der Graph von f Sattelpunkte hat, hat die Ableitung der Funktion Berührpunkte mit der x - Achse • An Stellen, an denen der Graph von f Wendestellen hat, hat die Ableitung der Funktion Extrempunkte • In Abschnitten in denen der Graph von f steigt, verläuft die Ableitung des Graphen von f oberhalb der x - Achse ● • In Abschnitten in denen der Graph von f fällt, verläuft die Ableitung des Graphen von f unterhalb der x - Achse • Man kann auch wenn man den Graphen der Funktion f(x) gegeben hat anhand der Punkte (blau markiert) die Ableitung bilden (rot markiert). WAS IST EINE ABLEITUNG? • Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Funktion - Gibt an jeder Stelle an wie steil es gerade ist f'(x) > 0 Positive Steigung → Steigung wird größer f'(x) < 0 Negative Steigung → Steigung wird kleiner Wie verhält sich die Funktion im Verlauf der x Achse? 1. Potenzregel f(x) = xn Bsp.: f(x) = x³ - ABLEITUNGSREGELN 2. Faktorregel — ableiten f(x) = c • g(x) Bsp.: f(x) = 5x³ f'(x)=n·x" 1 f'(x) = 3x² ➜c bleibt gleich f'(x) = c • g'(x) f'(x) = 53* x² = 15 * x² ABLEITUNGSREGELN 3. Summenregel f(x) = h(x) – k(x) Bsp.: f(x) = 2x³ - 4x² 4. Kettenregel f(x) = u(v(x)) Bsp.: f(x) = (4 - 3x)4 → f'(x) = h'(x) – k'(x) f'(x) = 6x² - 8x f'(x) = u´( v ( x ) ) * v′( x ) f'(x) = 4(4- 3x )³ 3 f(x) = 12 (4- 3x)³ 5. Produktregel 6. ABLEITUNGSREGELN - f(x) = u(x) * v(x) Bsp.: f(x) = 3x4 ▪ 4x³ Kombination der Produkt - und Kettenregel f(x) = u(x) * v'(x) + u´(x) * v(x) f'(x) = 3x4 ▪ 12x² + 12x³ ⋅ 4x³ I f(x) = ( 4 − 3x )² ⋅ 5x², f'(x) = (2 * 3 * (4 — 3x)) ▪ 5x² +(4 − 3x)² ⋅ 10x j(x) = x², j'(x) = 2x____v(x) = 5x², v'(x) = 10x y(x) = 43x, y'(x) = 3 u(x) = (4 − 3x)², u '(x) = 2 × (4 — 3x) * 3 GRAPHISCHES ABLEITEN O An Stellen, an denen der Graph von f Extrempunkte hat, hat die Ableitung der Funktion Nullstellen (VZW – Kriterium) O An Stellen, an denen der Graph von f Sattelpunkte hat, hat die Ableitung der Funktion Berührpunkte mit der x – Achse O An Stellen, an denen der Graph von f Wendestellen hat, hat die Ableitung der Funktion Extrempunkte F(x) f(x) f'(x) f''(x) NEW NEW NE W NEW GRAPHISCHES ABLEITEN ○ In Abschnitten in denen der Graph von f steigt, verläuft die Ableitung des Graphen von f oberhalb der x - Achse ○ In Abschnitten in denen der Graph von f fällt, verläuft die Ableitung des Graphen von f unterhalb der x - Achse F(x) f(x) f'(x) f''(x) NEW NEW NEW NEW GRAPHISCHES ABLEITEN W W 1 * 1 Gepunktete Linie = Ableitung QUELLEN Bücherquellen: • Lambacher Schweizer Kursstufe Mathematik für Gymnasien • Abiturma Mathe- Abitur 2020 Kursbuch Internetquellen: ● https://www.abiturma.de/mathe-lernen/analysis/ableitung/graphisches-ableiten https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/ableiten/