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berechnen, ermittelt man die Streckenlänge und berechnet den Betrag: = n'E 9 A. E |AF| = −3)² + (6)² + (−6)² Der Abstand zwischen dem Punkt R und der Ebene E beträgt somit 9 LE (Längeneinheiten) Fall 2: Abstand von einem Punkt zu einer Gerade Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade berechnet man, indem man eine Hilfsebene aus dem Stütz- und Richtungsvektor zur Hilfe nimmt: A(1|2|3) und g: x = Schritt 1: Hilfsebene aufstellen Hilfsebene: H: 1x₁ + 2x₂ + 3x3 = d (¹) 6 in H: 1 4+2·6+3·2= 20 H: 1x₁ + 2x₂ + 3x3 = 20 Schritt 2: Schnittpunkt mir der Geraden berechnen bzw. Lotfußpunkt g: in H: 1 (4 + 1t) + 2 · (6 + 2t) + 3 · (2 + 3t) = 20 | Ausmultiplizieren 4 + 1t + 12 + 4t + 6 + 9t = 20 | Zusammenfassen 22 + 14t = 20 | -22 und 14 t = − 1²/1 7 27 Diesen Punkt setzt man nun in die Gerade g ein und erhält den Lotfußpunkt F:(²7|19|²7) Schritt 3: Streckenlänge berechnen Um nun den Abstand zwischen dem Punkt A und dem Lotfußpunkt zu berechnen, ermittelt man die Streckenlänge und berechnet den Betrag: AF = 4 (1) + t ⋅ (²) 6 2 |AF|= = 20872687107 20. 26 10 2²² +2²² + (−¹)² = 2√ÁLE oder 4,89LE Der Abstand zwischen dem Punkt R und der Ebene E beträgt somit ungefähr 4,89LE (Längeneinheiten) Fall 3: Abstand von einer Gerade zu einer andere Geraden Auch hier ermittelt man wieder die Hilfsebene und wendet das Vorgehen wie bei Fall 2 an ! Für den Fall 4 und 5 ist es sinnvoller, die Hesse'sche Normalenform zu nutzen, die im Folgenden beschrieben wird: Die Hesse'sche Normalenform sieht der Normalform ähnlich und beinhaltet einen sogenannten Normaleinheitsvektor ño. Dieser Normalvektor hat die Länge 1 und findet sich in der Hesse'schen Normalenform wieder: E: (x − p) • no - O Mit dieser Normalform lassen sich ebenso gut Abstände zwischen Geraden, Ebenen und Punkten berechnen. Für den Abstand d eines Punktes R (r₁|r₂|r3|)von der Ebene E gilt dabei Folgendes: d = |(ř - p) oño | O Ist a₁₁ + a₂r2 + a3r3 Folgendes: a₁r₁+a₂r₂+a3r3-b √(a₁)²+(a₂)² (a3)² Die Hesse'sche Normalenform Beispiel: Der Punkt R(3|5|5) hat von der Ebene E den Abstand: 1 d = |((1) − (¹) • ¦ (1) | = ¦ ¦· (² + 8 + 8) = 6LE (2 3 1.3+2 5+2.5-5 √(1)²+(2)²(2)² = b eine Koordinatengleichung der Ebene, so gilt für den Abstand E hat die Koordinatengleichung 1x₁ + 2x₂ + 2x3 = 6LE = 5. Für den Abstand gilt somit: Der Abstand zwischen Punkt und Ebene oder Gerade und Ebene lässt sich somit auf zwei Weisen berechnen. Welche Methode man dabei benutzt hängt ganz von der Aufgabenstellung ab: Ist nur der Abstand gefragt, macht es Sinn, die Hesse'sche Normalform zu benutzten, da man schnell den Wert des Abstandes herausbekommt. Ist jedoch nach einer Gerade und einem bestimmten Lotfußpunkt gefragt, mit dem man letztendlich weiterrechnen muss, ist das Lotfußpunktverfahren die bessere Wahl, um den Abstand und Punkte herauszufinden Fall 4: Abstand von einer Ebene zu einer anderen Ebene Um den Abstand zwischen zwei Ebenen zu bestimmen verwendet man ebenfalls am besten die Hesse'sche Normalenform und Spurpunkte, wobei es auch wieder auf die Aufgabenstellung ankommt: E₁: = 2x₁ - 4x₂ + 4x3 Schritt 1: Spurpunkte berechnen E₁: = 2x₁ - 4x₂ + 4x3 =-6 S₁(-3|0|0) S₂ (0|1, 510) S3 (0|0|-1,5) == -6 und E₂: = 5x₁ − 3x₂ + 2x3 = 4 Schritt 2: In die Hesse'sche Normalenform einsetzen 5.(-3)-3 (1,5)+2.(-1,5)-4 |—4,29|LE √(5)²+(-3)²+(2)² Besonders beim Abstand zwischen verschiedenen Ebenen, Geraden oder Punkten, ist darauf zu achten, dass der Abstand nie negativ sein kann. Aus diesem Grund schreibt man ihn immer in Betragsstriche oder entfernt das entsprechende negative Vorzeichen ! ● Diese ganzen Berechnungen können vor allem in großen komplexen Textaufgaben abgefragt werden, die alle Teilbereiche aus den entsprechenden Themengebieten abfragen!