Zusätzlich zu einem Schnittwinkel oder einer Schnittgeraden kann auch nach einem Abstand gefragt werden, unter der Bedingung, dass die Ebenen oder Geraden parallel oder windschief sind. Wenn sie ineinander liegen oder einen Schnittpunkt haben ist der Abstand gleich 0.
Im Grundlegenden kann man zwischen verschiedenen Fällen unterscheiden:
Abstand von einem Punkt zur Ebene
A(4|5|15) und E₁: 2x₁ - 4x₂ + 4x₃ = -6
Schritt 1: Lotgerade aufstellen
Als erstes stellt man die Lotgerade g zu E auf, indem man zun einem Punkt A über der Ebene und den Normalvektor der Ebene nimmt: Ortsvektor p: und Normalvektor ñ der Ebene: g: x=(-5)+ t.
Schritt 2: Schnittpunkt mir der Geraden berechnen bzw. Lotfußpunkt
Da der Lotfußpunkt F der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit der Ebene ist, setzt man diesen "Geradenpunkt" in die Ebene E ein: E₁: 2 (4 + 2t) -4 (-5-t) + 4·(5+4t) = −6| Ausmultiplizieren
Diesen Punkt setzt man nun in die Lotgerade g ein und erhält den Lotfußpunkt F:(1|1|–1)
Schritt 3: Streckenlänge berechnen
Um nun den Abstand zwischen dem Punkt R und dem Lotfußpunkt zu berechnen, ermittelt man die Streckenlänge und berechnet den Betrag: |AF| = √((-3)² + (6)² + (−6)²) = 9
Der Abstand zwischen dem Punkt R und der Ebene E beträgt somit 9 LE (Längeneinheiten)
Abstand von einem Punkt zu einer Gerade
Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade berechnet man, indem man eine Hilfsebene aus dem Stütz- und Richtungsvektor zur Hilfe nimmt: A(1|2|3) und g: x = (2)
Schritt 1: Hilfsebene aufstellen
Hilfsebene: H: 1x₁ + 2x₂ + 3x₃ = d
Schritt 2: Schnittpunkt mir der Geraden berechnen bzw. Lotfußpunkt
g: x in H: 1 (4+1t) + 2 · (6 + 2t) + 3 (2+ 3t) = 20 | Ausmultiplizieren
t = − 1²/2
Diesen Punkt setzt man nun in die Gerade g ein und erhält den Lotfußpunkt F: (7)
Schritt 3: Streckenlänge berechnen
Um nun den Abstand zwischen dem Punkt A und dem Lotfußpunkt zu berechnen, ermittelt man die Streckenlänge und berechnet den Betrag: |AF| = √((26)² + (2)² + (−1)²) = 4,89LE
Der Abstand zwischen dem Punkt R und der Ebene E beträgt somit ungefähr 4,89LE (Längeneinheiten)
Abstand von einer Gerade zu einer andere Geraden
Auch hier ermittelt man wieder die Hilfsebene und wendet das Vorgehen wie bei Fall 2 an !
Für den Fall 4 und 5 ist es sinnvoller, die Hesse'sche Normalenform zu nutzen, die im Folgenden beschrieben wird:
Die Hesse'sche Normalenform sieht der Normalform ähnlich und beinhaltet einen sogenannten Normaleinheitsvektor n₀. Dieser Normalvektor hat die Länge 1 und findet sich in der Hesse'schen Normalenform wieder: E: (x-p) n₀
Mit dieser Normalform lassen sich ebenso gut Abstände zwischen Geraden, Ebenen und Punkten berechnen.
Beispiel: Der Punkt R(3|5|5) hat von der Ebene E den Abstand: d = | (( ) − ( ) ) • ¦ (1) | = ÷ · (2 + 8 + 8) = 6LE
E hat die Koordinatengleichung 1x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5. Für den Abstand gilt somit: 1.3+2 5+2.5-5 / √(1)²+(2)² (2)² = 6LE
Der Abstand zwischen Punkt und Ebene oder Gerade und Ebene lässt sich somit auf zwei Weisen berechnen. Welche Methode man dabei benutzt hängt ganz von der Aufgabenstellung ab: Ist nur der Abstand gefragt, macht es Sinn, die Hesse'sche Normalform zu benutzten, da man schnell den Wert des Abstandes herausbekommt. Ist jedoch nach einer Gerade und einem bestimmten Lotfußpunkt gefragt, mit dem man letztendlich weiterrechnen muss, ist das Lotfußpunktverfahren die bessere Wahl, um den Abstand und Punkte herauszufinden
Abstand von einer Ebene zu einer anderen Ebene
Um den Abstand zwischen zwei Ebenen zu bestimmen verwendet man ebenfalls am besten die Hesse'sche Normalenform und Spurpunkte, wobei es auch wieder auf die Aufgabenstellung ankommt: E₁: = 2x₁ - 4x₂ + 4x₃ = −6 und E₂: = 5x₁ - 3x₂ + 2x₃ = 4
Schritt 1: Spurpunkte berechnen
E₁: 2x₁4x₂ + 4x₃ = -6
S₁(-3|0|0)
S₂ (0|1,5|0)
S3 (0|0|-1,5)
Schritt 2: In die Hesse'sche Normalenform einsetzen
5-(-3)-3-(1,5)+2.(-1,5)-4 = |-4,29|LE / √(5)²+(-3)²+(2)²
Besonders beim Abstand zwischen verschiedenen Ebenen, Geraden oder Punkten, ist darauf zu achten, dass der Abstand nie negativ sein kann. Aus diesem Grund schreibt man ihn immer in Betragsstriche oder entfernt das entsprechende negative Vorzeichen!
Diese ganzen Berechnungen können vor allem in großen komplexen Textaufgaben abgefragt werden, die alle Teilbereiche aus den entsprechenden Themengebieten abfragen!
