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Abstandsberechnungen mit Lotfußpunkt und Hesse'scher Normalenform - Aufgaben und Beispiele

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<p>Zusätzlich zu einem Schnittwinkel oder einer Schnittgeraden kann auch nach einem Abstand gefragt werden, unter der Bedingung, dass die E

<p>Zusätzlich zu einem Schnittwinkel oder einer Schnittgeraden kann auch nach einem Abstand gefragt werden, unter der Bedingung, dass die E

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Zusätzlich zu einem Schnittwinkel oder einer Schnittgeraden kann auch nach einem Abstand gefragt werden, unter der Bedingung, dass die Ebenen oder Geraden parallel oder windschief sind. Wenn sie ineinander liegen oder einen Schnittpunkt haben ist der Abstand gleich 0.

Im Grundlegenden kann man zwischen verschiedenen Fällen unterscheiden:

Abstand von einem Punkt zur Ebene

A(4|5|15) und E₁: 2x₁ - 4x₂ + 4x₃ = -6

Schritt 1: Lotgerade aufstellen

Als erstes stellt man die Lotgerade g zu E auf, indem man zun einem Punkt A über der Ebene und den Normalvektor der Ebene nimmt: Ortsvektor p: und Normalvektor ñ der Ebene: g: x=(-5)+ t.

Schritt 2: Schnittpunkt mir der Geraden berechnen bzw. Lotfußpunkt

Da der Lotfußpunkt F der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit der Ebene ist, setzt man diesen "Geradenpunkt" in die Ebene E ein: E₁: 2 (4 + 2t) -4 (-5-t) + 4·(5+4t) = −6| Ausmultiplizieren

Diesen Punkt setzt man nun in die Lotgerade g ein und erhält den Lotfußpunkt F:(1|1|–1)

Schritt 3: Streckenlänge berechnen

Um nun den Abstand zwischen dem Punkt R und dem Lotfußpunkt zu berechnen, ermittelt man die Streckenlänge und berechnet den Betrag: |AF| = √((-3)² + (6)² + (−6)²) = 9

Der Abstand zwischen dem Punkt R und der Ebene E beträgt somit 9 LE (Längeneinheiten)

Abstand von einem Punkt zu einer Gerade

Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade berechnet man, indem man eine Hilfsebene aus dem Stütz- und Richtungsvektor zur Hilfe nimmt: A(1|2|3) und g: x = (2)

Schritt 1: Hilfsebene aufstellen

Hilfsebene: H: 1x₁ + 2x₂ + 3x₃ = d

Schritt 2: Schnittpunkt mir der Geraden berechnen bzw. Lotfußpunkt

g: x in H: 1 (4+1t) + 2 · (6 + 2t) + 3 (2+ 3t) = 20 | Ausmultiplizieren
t = − 1²/2
Diesen Punkt setzt man nun in die Gerade g ein und erhält den Lotfußpunkt F: (7)

Schritt 3: Streckenlänge berechnen

Um nun den Abstand zwischen dem Punkt A und dem Lotfußpunkt zu berechnen, ermittelt man die Streckenlänge und berechnet den Betrag: |AF| = √((26)² + (2)² + (−1)²) = 4,89LE

Der Abstand zwischen dem Punkt R und der Ebene E beträgt somit ungefähr 4,89LE (Längeneinheiten)

Abstand von einer Gerade zu einer andere Geraden

Auch hier ermittelt man wieder die Hilfsebene und wendet das Vorgehen wie bei Fall 2 an !

Für den Fall 4 und 5 ist es sinnvoller, die Hesse'sche Normalenform zu nutzen, die im Folgenden beschrieben wird:

Die Hesse'sche Normalenform sieht der Normalform ähnlich und beinhaltet einen sogenannten Normaleinheitsvektor n₀. Dieser Normalvektor hat die Länge 1 und findet sich in der Hesse'schen Normalenform wieder: E: (x-p) n₀

Mit dieser Normalform lassen sich ebenso gut Abstände zwischen Geraden, Ebenen und Punkten berechnen.

Beispiel: Der Punkt R(3|5|5) hat von der Ebene E den Abstand: d = | (( ) − ( ) ) • ¦ (1) | = ÷ · (2 + 8 + 8) = 6LE

E hat die Koordinatengleichung 1x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5. Für den Abstand gilt somit: 1.3+2 5+2.5-5 / √(1)²+(2)² (2)² = 6LE

Der Abstand zwischen Punkt und Ebene oder Gerade und Ebene lässt sich somit auf zwei Weisen berechnen. Welche Methode man dabei benutzt hängt ganz von der Aufgabenstellung ab: Ist nur der Abstand gefragt, macht es Sinn, die Hesse'sche Normalform zu benutzten, da man schnell den Wert des Abstandes herausbekommt. Ist jedoch nach einer Gerade und einem bestimmten Lotfußpunkt gefragt, mit dem man letztendlich weiterrechnen muss, ist das Lotfußpunktverfahren die bessere Wahl, um den Abstand und Punkte herauszufinden

Abstand von einer Ebene zu einer anderen Ebene

Um den Abstand zwischen zwei Ebenen zu bestimmen verwendet man ebenfalls am besten die Hesse'sche Normalenform und Spurpunkte, wobei es auch wieder auf die Aufgabenstellung ankommt: E₁: = 2x₁ - 4x₂ + 4x₃ = −6 und E₂: = 5x₁ - 3x₂ + 2x₃ = 4

Schritt 1: Spurpunkte berechnen

E₁: 2x₁4x₂ + 4x₃ = -6

S₁(-3|0|0)
S₂ (0|1,5|0)
S3 (0|0|-1,5)

Schritt 2: In die Hesse'sche Normalenform einsetzen

5-(-3)-3-(1,5)+2.(-1,5)-4 = |-4,29|LE / √(5)²+(-3)²+(2)²

Besonders beim Abstand zwischen verschiedenen Ebenen, Geraden oder Punkten, ist darauf zu achten, dass der Abstand nie negativ sein kann. Aus diesem Grund schreibt man ihn immer in Betragsstriche oder entfernt das entsprechende negative Vorzeichen!

Diese ganzen Berechnungen können vor allem in großen komplexen Textaufgaben abgefragt werden, die alle Teilbereiche aus den entsprechenden Themengebieten abfragen!

Zusammenfassung - Mathe

  • Abstandsberechnung mit dem Lotfußpunktverfahren
  • Unterschiedliche Fälle: Abstand von Punkt zur Ebene, von Punkt zu Gerade, von Gerade zu Gerade
  • Hesse'sche Normalenform und Abstände
  • Verwendung der Hesse'schen Normalenform zur Abstandsberechnung
  • Abstand von einer Ebene zu einer anderen Ebene
  • Berechnung des Abstands unter Verwendung der Hesse'schen Normalenform
  • Komplexe Textaufgaben erfordern Berechnungen in verschiedenen Themengebieten
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Mathe

Q: Wie berechnet man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren?

A: Man berechnet den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren, indem man zuerst die Lotgerade aufstellt, dann den Lotfußpunkt berechnet und schließlich die Streckenlänge zwischen dem Punkt und dem Lotfußpunkt ermittelt.

Q: Wie nutzt man die Hesse'sche Normalenform, um den Abstand zwischen zwei Ebenen zu berechnen?

A: Um den Abstand zwischen zwei Ebenen mit der Hesse'schen Normalenform zu berechnen, berechnet man zuerst die Spurpunkte, setzt sie in die Hesse'sche Normalenform ein und ermittelt dann den Betrag des Abstands.

Q: Wie berechnet man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mithilfe einer Hilfsebene?

A: Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mithilfe einer Hilfsebene zu berechnen, stellt man zunächst die Hilfsebene auf, berechnet den Lotfußpunkt und ermittelt dann die Streckenlänge zwischen dem Punkt und dem Lotfußpunkt.

Q: Welche Methode ist die bessere Wahl, um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu berechnen, wenn nur der Abstand gefragt ist?

A: Wenn nur der Abstand gefragt ist, ist es sinnvoll, die Hesse'sche Normalenform zu benutzen, da man schnell den Wert des Abstandes herausbekommt.

Q: Warum ist es wichtig, den Abstand zwischen verschiedenen Ebenen, Geraden oder Punkten immer in Betragsstriche zu setzen oder das entsprechende negative Vorzeichen zu entfernen?

A: Es ist wichtig, den Abstand immer in Betragsstriche zu setzen oder das entsprechende negative Vorzeichen zu entfernen, da der Abstand nie negativ sein kann.

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