Wie du den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder Ebene leicht verstehen kannst

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deinelernzettel

19.3.2021

Mathe

Analytische Geometrie-Abstände berechnen

Fächer

Mathe

Geometrie

Abstandsrechnung

Abstand punkt ebene

Wie du den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder Ebene leicht verstehen kannst

Die Berechnung von Abständen in der analytischen Geometrie ist ein zentrales Thema, das verschiedene Methoden für unterschiedliche geometrische Konstellationen umfasst. Der Fokus liegt auf:

Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten
Abstand Punkt-Gerade berechnen
Abstand zwischen Punkt und Ebene
Abstand zwischen windschiefen Geraden berechnen
Abstand zwischen Gerade und Ebene
Abstand zwischen parallelen Ebenen

Diese Methoden sind grundlegend für das Verständnis räumlicher Beziehungen und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

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Punkt-Punkt
→ Länge des vektors zwischen den beiden Punkten
d = |AB| = X
Abstände berechnen
Bsp. P(3121-4) Q (41-113).
-11 -4 (-3) -( ²³ ) =

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Distance Calculations Continued

This page continues with distance calculations, focusing on the Abstand Punkt Ebene $point-to-plane distance$ . The formula for this distance is presented:

d $P; E$ = |n₁P₁ + n₂P₂ + n₃P₃ - d| / √ $n₁² + n₂² + n₃²$

Where $n₁, n₂, n₃$ is the normal vector of the plane, $P₁, P₂, P₃$ are the coordinates of the point, and d is the constant term in the plane equation.

An example is provided to demonstrate the application of this formula.

The page then introduces the concept of Abstand Gerade Gerade $line-to-line distance$ for skew lines. The method involves using the cross product of the direction vectors of the two lines and the vector between points on the lines.

Vocabulary: Skew lines are lines in 3D space that are not parallel and do not intersect.

Example: For lines g₁: x = $5,1,3$ + t $1,2,-1$ and h: x = $0,3,1$ + s $1,1,2$ , the distance calculation involves finding the magnitude of the cross product of their direction vectors divided by the magnitude of the cross product of their direction vectors and the vector between points on the lines.

The page concludes with a note that for parallel lines, the calculation is similar to the point-to-line distance method.

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Advanced Distance Calculations

The page then discusses the Abstand Ebene Ebene $plane-to-plane distance$ for parallel planes. This calculation is approached similarly to the point-to-plane distance, using any point on one of the planes.

Definition: Parallel planes are planes in 3D space that never intersect, maintaining a constant distance between them.

Highlight: The Abstand Ebene Gerade parallel $distance between a plane and a parallel line$ and Abstand paralleler Ebenen berechnen $calculating the distance between parallel planes$ are important applications of these concepts in 3D geometry.

The page includes diagrams illustrating these distance calculations, showing the geometric relationships between lines, planes, and points in 3D space. These visual aids help reinforce the concepts and methods presented throughout the document.

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Die Berechnung von Abständen in der analytischen Geometrie ist ein zentrales Thema, das verschiedene Methoden für unterschiedliche geometrische Konstellationen umfasst. Der Fokus liegt auf:

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Distance Calculations Continued

This page continues with distance calculations, focusing on the Abstand Punkt Ebene $point-to-plane distance$ . The formula for this distance is presented:

d $P; E$ = |n₁P₁ + n₂P₂ + n₃P₃ - d| / √ $n₁² + n₂² + n₃²$

Where $n₁, n₂, n₃$ is the normal vector of the plane, $P₁, P₂, P₃$ are the coordinates of the point, and d is the constant term in the plane equation.

An example is provided to demonstrate the application of this formula.

The page then introduces the concept of Abstand Gerade Gerade $line-to-line distance$ for skew lines. The method involves using the cross product of the direction vectors of the two lines and the vector between points on the lines.

Vocabulary: Skew lines are lines in 3D space that are not parallel and do not intersect.

Example: For lines g₁: x = $5,1,3$ + t $1,2,-1$ and h: x = $0,3,1$ + s $1,1,2$ , the distance calculation involves finding the magnitude of the cross product of their direction vectors divided by the magnitude of the cross product of their direction vectors and the vector between points on the lines.

The page concludes with a note that for parallel lines, the calculation is similar to the point-to-line distance method.

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Advanced Distance Calculations

This final page covers the remaining distance calculations in 3D space. It begins with the Abstand Gerade Ebene $line-to-plane distance$ . When a line is parallel to a plane, the calculation method is similar to the point-to-plane distance, using any point on the line.

The page then discusses the Abstand Ebene Ebene $plane-to-plane distance$ for parallel planes. This calculation is approached similarly to the point-to-plane distance, using any point on one of the planes.

Definition: Parallel planes are planes in 3D space that never intersect, maintaining a constant distance between them.

Highlight: The Abstand Ebene Gerade parallel $distance between a plane and a parallel line$ and Abstand paralleler Ebenen berechnen $calculating the distance between parallel planes$ are important applications of these concepts in 3D geometry.

The page includes diagrams illustrating these distance calculations, showing the geometric relationships between lines, planes, and points in 3D space. These visual aids help reinforce the concepts and methods presented throughout the document.

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Distance Calculations in 3D Space

This page introduces methods for calculating distances between different geometric entities in three-dimensional space. It covers the Abstand Punkt Punkt $point-to-point distance$ , which is simply the length of the vector between two points. An example is provided for calculating the distance between points P $3,1,2,-4$ and Q $4,-1,1,3$ .

The page then moves on to explain the process for finding the Abstand Punkt Gerade $point-to-line distance$ . This involves three main steps:

Determining an auxiliary plane in normal form that is perpendicular to the line and contains the given point.

Finding the intersection point of the line and the auxiliary plane.

Calculating the length of the vector from the intersection point to the given point.

A detailed example is provided to illustrate this method, demonstrating how to set up the auxiliary plane equation and solve for the intersection point.

Example: For a point P $-2,1,2$ and a line g defined by x = $2,1,0$ + r $-3,1,2$ , the auxiliary plane equation is derived as $x-(-2)$ · $-3,1,2$ = 0, which simplifies to -3x + y + 2z = -3.

Highlight: The Abstand Punkt Gerade Lotfußpunkt $perpendicular foot point$ is a crucial concept in this calculation, as it represents the point on the line closest to the given point.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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