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Streifenmethode des Archimedes aka: Ober- & Untersumme 1. untersumme bilden 1.1 Parabel unternaub mit Rechtecken (Abschnitte müssen gleich groß sein) 1.2 Höhe wird durch Einsetzen der X-Werte bestimmt 1.3 Breite & linke Höhe in Formel einsetzen 2. Obersumme bilden 2.1 Parabel oberhalb mit Rechtecken einteilen 2.2 Breite & rechte Hone in Formel einsetzen O Ub Ob 2 Stammfunktionen O integnieren einer Funktion f(x) = ax^ = b₁. h₁ + b2. n2t... Potenzregel f(x) Sx² ax= = x² = 3 unbestimmtes integral Menge aller Stammfunktionen Sf(x)ax ex Sxndx = Faktor n+1 513 DA Potenz um 1 vergrößert & Faktor vor dem x durch neue Potenz geteilt Faktorregel Q1 ANALYSIS . +C X F(x): f(x) = x 5 Sx³ dx = 1 x6 +C (4) Integrationsregeln unbestimmter Integrale: Summenregel h₂ + n+1 TC b₁ = a.S f(x) ax a n + 1 2 h₂ = X n+1 Summe Glied-weise integrierbar + C a • F(x) S(fix)+ g(x)) dx = Sfix) dx + Sg(x) = F(x) + G(x) = f(x) 1 g(x) 2x+4x² S(2x + 4x²) dx = Saxdx + S 4x² dx = 16 Integration von Funktionen mit Faktoren ohne Faktor (davor schreiben!) Sa. f(x) ax x² + S4x² ax = 4· Sx²dx = 4 + 1 x ³ + C 1/3 x3 Exponentialregel • ex mit beliebigem exponent verändert sich nicht! Sex ax ex + c f(x) = 2x Se²x dx = 1 e ²x 2 Sinus & kasinusregel - Cos Bsp.: O 2. Sin -sin Lineare Substitution (Kettenregel) 1. Aufteilen in innere & außere Funktion 2. Außere integrieren & Innere erhalten 3. Faktor vor Term durch innere Ableitung teilen & das anschließend mit Term multiplizieren • (axtb)² S f (ax+b )² = 1. F(X) = 1²+C 2 f(x) = x f(x) = 1·(3x...
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+ 2)4 F(x) = <IN 6 Anfangswertproblem • Man findet die genaue Stammfunktion für einen angegebenen Punkt neraus 1. Unbestimmtes integral von f(x) bestimmen 2. Punkt in Stammfunktion einsetzen & nach C auflösen 3933 1 = C // 2 COS 1 ·(3x + 2) 5 +c с = Hat Grenzen = 1 2. innere Abl. 1² +C integnieren ableil P(11/2/2 ) das bestimmte Integral + C (3x+2)5+C Integrations grenzen 2 Seax - [x²]- (2-2)-(²-0)-4-0 [4×*]- 24 ) - ( 1 · 04 ) = 4-0 dx = Ergebnis Flacneninnalt 1. Als integral aufschreiben (links → unten ; rechts → oben) 2. Stammfunktion bilden 3. Grenzen in stammfunktion einsetzen & rechte Grenze (-) minus linke Grenze Summe 4 = A 11 f(x) ax a Integrand 8) Flächenbilanz: • Bilanz positiver & negativer Flächenstücke 1. Flachen einteilen von links nach rechts bis zu nãchster Nullstelle 2. Integnieren & einzelne Flachen berechnen (bei negativer Fläche KEINE Betragsstriche) 3. Bilanz berechnen: Alle Flächen je nach vorzeichen addieren / subtranieren b a f(x) dx = A1 + A².00 f(x)=x² - 2x Flache A₁: Fläche A2 : O Bilanz: A1 + A2 = 15² (x² - 2x) C ₂S²₁x²-2 f(x) dx = 0 I[ 113] • Faktorregel b ase b a Stru k. f(x) dx Summenregel N/M dx JM 3 -2x) dx = [ ³² × ³ - x²] ² x3 2 11 = = [ ²x²-x²] 2 9 Rechenregeln bestimmter integrale: • Stimmen obere & untere Grenze überein, ist integral O a Ś f(x) a • Intervalladditivität с Stevan - S- Starax = f(x) dx f(x) dx = ( 1² · 2³ -2²) - ( 7² · 13 - 12) = - 12/2 W/N Vertauschung der Grenzen asfixiax= - Sªfixiax (3³-3²)-(-2³-2²) 3 s^ 2 k. f(x) ax + g(x)) ax = a S fuxl ax + Sogixi ax g(x) 13 लाल 10 Fläche zwischen Graph & x-Achse (Intervallaufteilung) O Berechnung einer Gesamtfläche mit positiven & negativen Teiflächen 1. Nullstelle berechnen (=Intervallgrenzen) 2. Teilflächen perechnen & miteinander addieren (Flache muss positiv sein → Betragsstriche Bsp.: يره A1: I [24] 4 ₂ S ( ² + x² + 4) α²x = [² 4² x ³² + 4x ] ² - 2 ax 12 2 f(x) A2 IC4;5] 5 ₂ S³² - 4 x² + 4 1 dx x² A = A₁ + A2 = Bsp: f(x) - 1x² + 4 lim из = | (-₁/2-4³ +4-4)-(-₁2-2³ +4.2) | = + 4) αx = [-₁1/2x³ + 4x 10 3 A (U) 3 = x² A (u) = = - S²3x²² ax -2 = 13 12 10 + 13 3 12 = | ( - ₁1/12 · 4³ + 4 · 4 ) −(−1⁄2 · 5³ + 4.5) | . (11) Flächeninhalt bei unbegrenzter Fläche 1. An beliebiger Stelle uous rechte intervallgrenze 2. Integnieren & Flache (mit u) berechnen 3. Grenzwert für U→ ∞ mit Ergebnis bestimmen (für U eine sehr sehr große Zahl einsetzen & schauen wonach es strebt = -3u1 +3 3x-2 U → ] 53 12 11 u = [-3x²¹]^² = (-3₁u²-₁)-(-3-1-1) um 5 Jo (-3u-1 +3) = 0+3 = 3 4 A1 + и A2 X 12 Flächeninnalt zwischen 2 Exponential funktionen: 1. Stammfunktionen beider Funktionen bestimmen 2. Erstes Intervall bis zum Schnittpunkt; Fläche mit entsprechender Funktion berechnen. 3. Zweites Intervall vom Schnittpunkt bis zum Ende; Flache mit entsprechender Funktion berechnen 4. Beide Flachen addieren f(x) = eosx g(x)=e³-x 2 •√²2015× ax= [2010x ] ² Jeaux 0,5x A₁: A2: 4 4 A² S²e** ax = [-0+^^] ² f(x) = ax² +1 Fa (x) = A = A1 + A2 = (2e-2) + (-e¯¹+e) = 3e-2-e-²1 ~ 5,79 (13) Parameteraufgaben. • a>o in fa(x) gesucht für vorgegebenen Inhalt 1. Stammfunktion bilden & integrieren 2. vereinfachen 3. Nach a auflösen 2 2 = T 3 = · (2e05.2) - (2015.01 ax3³ + x + C f(x) = x = S²(ax ² + 11 ax 2 = a + 1 1-1 = [ ²² x³ + x ] 3 X 3 2 = ( ²² · ₁³ + 1) −( 3 · 0³ +0) 3 11 = (-e³-4)-(-e³-2)=-e ¹ + e હાજી A₁ = 1/2 · A 1. I [0,1] 2 ал ठाल 3. a berechnen mit A1 = 1 A 12/2 = 11/1² a³ = 11/12 - 03/30 3 。 a ist x-Wert einer Geraden durch eine Flacne 1. gesamte Flache der Funktion berechnen (A) 2. Flacne von linker Grenze bis a (A1) 2e-2 A = 2 i x = a [012] i A = S² x ² ax = [² x ³7⁰ = ( 3 · a³ ) - ( ·0³) = ³ O a = √√√4² x 1,59
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Streifenmethode des Archimedes aka: Ober- & Untersumme 1. untersumme bilden 1.1 Parabel unternaub mit Rechtecken (Abschnitte müssen gleich groß sein) 1.2 Höhe wird durch Einsetzen der X-Werte bestimmt 1.3 Breite & linke Höhe in Formel einsetzen 2. Obersumme bilden 2.1 Parabel oberhalb mit Rechtecken einteilen 2.2 Breite & rechte Hone in Formel einsetzen O Ub Ob 2 Stammfunktionen O integnieren einer Funktion f(x) = ax^ = b₁. h₁ + b2. n2t... Potenzregel f(x) Sx² ax= = x² = 3 unbestimmtes integral Menge aller Stammfunktionen Sf(x)ax ex Sxndx = Faktor n+1 513 DA Potenz um 1 vergrößert & Faktor vor dem x durch neue Potenz geteilt Faktorregel Q1 ANALYSIS . +C X F(x): f(x) = x 5 Sx³ dx = 1 x6 +C (4) Integrationsregeln unbestimmter Integrale: Summenregel h₂ + n+1 TC b₁ = a.S f(x) ax a n + 1 2 h₂ = X n+1 Summe Glied-weise integrierbar + C a • F(x) S(fix)+ g(x)) dx = Sfix) dx + Sg(x) = F(x) + G(x) = f(x) 1 g(x) 2x+4x² S(2x + 4x²) dx = Saxdx + S 4x² dx = 16 Integration von Funktionen mit Faktoren ohne Faktor (davor schreiben!) Sa. f(x) ax x² + S4x² ax = 4· Sx²dx = 4 + 1 x ³ + C 1/3 x3 Exponentialregel • ex mit beliebigem exponent verändert sich nicht! Sex ax ex + c f(x) = 2x Se²x dx = 1 e ²x 2 Sinus & kasinusregel - Cos Bsp.: O 2. Sin -sin Lineare Substitution (Kettenregel) 1. Aufteilen in innere & außere Funktion 2. Außere integrieren & Innere erhalten 3. Faktor vor Term durch innere Ableitung teilen & das anschließend mit Term multiplizieren • (axtb)² S f (ax+b )² = 1. F(X) = 1²+C 2 f(x) = x f(x) = 1·(3x...
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+ 2)4 F(x) = <IN 6 Anfangswertproblem • Man findet die genaue Stammfunktion für einen angegebenen Punkt neraus 1. Unbestimmtes integral von f(x) bestimmen 2. Punkt in Stammfunktion einsetzen & nach C auflösen 3933 1 = C // 2 COS 1 ·(3x + 2) 5 +c с = Hat Grenzen = 1 2. innere Abl. 1² +C integnieren ableil P(11/2/2 ) das bestimmte Integral + C (3x+2)5+C Integrations grenzen 2 Seax - [x²]- (2-2)-(²-0)-4-0 [4×*]- 24 ) - ( 1 · 04 ) = 4-0 dx = Ergebnis Flacneninnalt 1. Als integral aufschreiben (links → unten ; rechts → oben) 2. Stammfunktion bilden 3. Grenzen in stammfunktion einsetzen & rechte Grenze (-) minus linke Grenze Summe 4 = A 11 f(x) ax a Integrand 8) Flächenbilanz: • Bilanz positiver & negativer Flächenstücke 1. Flachen einteilen von links nach rechts bis zu nãchster Nullstelle 2. Integnieren & einzelne Flachen berechnen (bei negativer Fläche KEINE Betragsstriche) 3. Bilanz berechnen: Alle Flächen je nach vorzeichen addieren / subtranieren b a f(x) dx = A1 + A².00 f(x)=x² - 2x Flache A₁: Fläche A2 : O Bilanz: A1 + A2 = 15² (x² - 2x) C ₂S²₁x²-2 f(x) dx = 0 I[ 113] • Faktorregel b ase b a Stru k. f(x) dx Summenregel N/M dx JM 3 -2x) dx = [ ³² × ³ - x²] ² x3 2 11 = = [ ²x²-x²] 2 9 Rechenregeln bestimmter integrale: • Stimmen obere & untere Grenze überein, ist integral O a Ś f(x) a • Intervalladditivität с Stevan - S- Starax = f(x) dx f(x) dx = ( 1² · 2³ -2²) - ( 7² · 13 - 12) = - 12/2 W/N Vertauschung der Grenzen asfixiax= - Sªfixiax (3³-3²)-(-2³-2²) 3 s^ 2 k. f(x) ax + g(x)) ax = a S fuxl ax + Sogixi ax g(x) 13 लाल 10 Fläche zwischen Graph & x-Achse (Intervallaufteilung) O Berechnung einer Gesamtfläche mit positiven & negativen Teiflächen 1. Nullstelle berechnen (=Intervallgrenzen) 2. Teilflächen perechnen & miteinander addieren (Flache muss positiv sein → Betragsstriche Bsp.: يره A1: I [24] 4 ₂ S ( ² + x² + 4) α²x = [² 4² x ³² + 4x ] ² - 2 ax 12 2 f(x) A2 IC4;5] 5 ₂ S³² - 4 x² + 4 1 dx x² A = A₁ + A2 = Bsp: f(x) - 1x² + 4 lim из = | (-₁/2-4³ +4-4)-(-₁2-2³ +4.2) | = + 4) αx = [-₁1/2x³ + 4x 10 3 A (U) 3 = x² A (u) = = - S²3x²² ax -2 = 13 12 10 + 13 3 12 = | ( - ₁1/12 · 4³ + 4 · 4 ) −(−1⁄2 · 5³ + 4.5) | . (11) Flächeninhalt bei unbegrenzter Fläche 1. An beliebiger Stelle uous rechte intervallgrenze 2. Integnieren & Flache (mit u) berechnen 3. Grenzwert für U→ ∞ mit Ergebnis bestimmen (für U eine sehr sehr große Zahl einsetzen & schauen wonach es strebt = -3u1 +3 3x-2 U → ] 53 12 11 u = [-3x²¹]^² = (-3₁u²-₁)-(-3-1-1) um 5 Jo (-3u-1 +3) = 0+3 = 3 4 A1 + и A2 X 12 Flächeninnalt zwischen 2 Exponential funktionen: 1. Stammfunktionen beider Funktionen bestimmen 2. Erstes Intervall bis zum Schnittpunkt; Fläche mit entsprechender Funktion berechnen. 3. Zweites Intervall vom Schnittpunkt bis zum Ende; Flache mit entsprechender Funktion berechnen 4. Beide Flachen addieren f(x) = eosx g(x)=e³-x 2 •√²2015× ax= [2010x ] ² Jeaux 0,5x A₁: A2: 4 4 A² S²e** ax = [-0+^^] ² f(x) = ax² +1 Fa (x) = A = A1 + A2 = (2e-2) + (-e¯¹+e) = 3e-2-e-²1 ~ 5,79 (13) Parameteraufgaben. • a>o in fa(x) gesucht für vorgegebenen Inhalt 1. Stammfunktion bilden & integrieren 2. vereinfachen 3. Nach a auflösen 2 2 = T 3 = · (2e05.2) - (2015.01 ax3³ + x + C f(x) = x = S²(ax ² + 11 ax 2 = a + 1 1-1 = [ ²² x³ + x ] 3 X 3 2 = ( ²² · ₁³ + 1) −( 3 · 0³ +0) 3 11 = (-e³-4)-(-e³-2)=-e ¹ + e હાજી A₁ = 1/2 · A 1. I [0,1] 2 ал ठाल 3. a berechnen mit A1 = 1 A 12/2 = 11/1² a³ = 11/12 - 03/30 3 。 a ist x-Wert einer Geraden durch eine Flacne 1. gesamte Flache der Funktion berechnen (A) 2. Flacne von linker Grenze bis a (A1) 2e-2 A = 2 i x = a [012] i A = S² x ² ax = [² x ³7⁰ = ( 3 · a³ ) - ( ·0³) = ³ O a = √√√4² x 1,59