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Analysis: Ableitungen
16.3.2021
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Ableitungen mittlere Steigung 9₁ Ox By Ableitungsregeln X₂ → Steigungsdreieck: m = 5x oder auch m= mittlere Steigung Steigung der Geraden durch die beiden Punkte. - Sekante. Differenzenquotient Bedeutung der mittleren Steigung: oft mittlere Änderungsrate Wie bildet man die Ableitungsfunktion f'(x)? Ursprungsgraph Die Ableitungsfunktion f'(x) ordnet jedem Punkt x der Funktion f(x) eine Steigung zu und bildet damit einen. neuen Graphen. zeichnerisches Ableiten → f(x)= a.x² +C. → f'(x)=n·a·x. c fällt in der Ableitung weg Ableitungsgraph: (+) f(x) f(x₂)-f(x₁) X₂ - X₁ f'(x) oder m m=0 n-^ ,da y = f(x) Wendepunkt m=0 an Wendepunkt wird Steigung größer -X dort ist die Steigung des Graphen O 1. Hoch- und Tiefpunkte ablesen und bei f'(x) auf 0 setzen 2. steigt der Graph oder fällt er? steigt. → f'(x) = positiv fällt f'(x)= negativ Umkehrung der Ableitung →Stammfunktion f(x)= x^ F(x) = n+1 : X AM - Beispiel: f(x)= 8x² → F(x) = 8 · 1/2 x ³. n+1 - f(x)= x-2x10 +30 → F(x) = ²x³ - 2-1 1₁x¹¹ +.30x Anwendungen Steigungsproblem gesucht: Steigung einer Funktion f an der Stelle xo. •Ableitung f'(x) aufstellen →xo einsetzen. → m = f'(xo) f(x)= 8+x7 F(x) = 8x - x² Steigungswinkelproblem. gesucht: Steigungswinkel an der Stelle xo. Steigung ausrechnen -m in Formel einsetzen - tan (x) = m → & = arctan. (m) tan Extremalproblem →gesucht: Hoch- und Tiefpunkte der Funktion → f'(xel=0, da die Extrempunkte keine. Steigung haben Ableitung nullsetzen und nach x umformen daraus gewonnenes x in Ursprungsfunktion einsetzen, um f(x), bzw.y zu bestimmen → alleinstehende Zahl wird mit x multipliziert Beispiel: f(x)= x³ -Ux ; Stelle: x=2 f'(x)= 3x² - 4 = m f'(213-2²-4=8...
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Alternativer Bildtext:
= m Tangenten problem →gesucht: Gleichung der Tangenten, die an einem Punkt P an den Graphen von f. gelegt wird Gleichung der Tangente + : +(x)= m.x.+n. → m= Tangentensteigung= kurvensteigung im Punkt P kurvensteigung in P= f'(x₂) → m= f'(xp). → m ausrechnen m&x (von Punkt P) in Tangentengleichung einsetzen y (von Punkt P) in Tangentengleichung einsetzen →nach n auflösen → alles in Tangentengleichung einsetzen 0= 8·2+n →0= 16+ n. →n=-16 +(x) = 8x -16 *** Xo V y-Wert zur Stelle: y = 2 ³ - 4.2=0 Schnitt winkelproblem →gesucht: Schnitt winkel von zwei Funktionen. → wenn S (oder P) nicht gegeben, dann f(x) = g(x) und Schnittpunkt bestimmen → wenn S gegeben: beide Funktionen ableiten Steigung der beiden Funktionen im Schnittpunkt berechnen: m₁ = f'(x₂) m₂ = g₁. (xo) Steigungswinkel berechnen: x = tan^ (mal B = tan^ (m₂) → Schnittwinkel angeben y = 1α =B1 oder y = 180° - 1α-B1 der kleinere der beiden ist dann der Schnittwinkel! Berührproblem gesucht: Tangentengleichung des Berührpunkts zweier Funktionen f(x) = g(x) - →Funktionen gleich setzen →nach x umformen →Schnittpunkt bestimmen → erhaltenes x in f(x) oder g(x) einsetzen um y zu ermitteln →P (xly) f'(x) = g(x) Nachweis, dass Steigung gleich ist →>>> Tangentengleichung: m, x und y in +(x) = m³x+n einsetzen, um n zu ermitteln →Im Prinzip vorgehen wie bei Tangentenproblem. K Berührtangente