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Analysis: Ableitungen

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 Ableitungen
mittlere Steigung
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Ableitungsregeln
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• Steigungsdreieck: m= Ax oder auch m=
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- wie bildet man die Ableitung - zeichnerisches Ableiten - Umkehrung der Ableitung (Stammfunktion) - Steigungsproblem - Steigungswinkelproblem - Extremalproblem - Tangentenproblem - Schnittwinkelproblem - Berührproblem

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Ableitungen mittlere Steigung 92 4x I Ableitungsregeln By X2 ду • Steigungsdreieck: m= Ax oder auch m= Differenzenquotient Bedeutung der miltleren Steigung: oft mittlere Änderungsrate mittlere Steigung Steigung der Geraden durch die beiden Punkte. Sekante. Wie bildet man die Ableitungsfunktion f'(x)? → f(x)= a.x² +C. Die Ableitungsfunktion f'(x) ordnet jedem Punkt x der Funktion f(x) eine Steigung zu und bildet damit einen. neuen Graphen. Ursprungsgraph: zeichnerisches. Ableiten Ableitungsgraph: f'(x)=n·a·x. c fällt in der Ableitung weg f(x) f'(x) f (x₂)-f(x₁) X₂ oder m n-^ m=0 -x₁²,da y = f(x) Wendepunkt m=0 an Wendepunkt wird Steigung größer -X dort ist die Steigung des Graphen O ↓ 1. Hoch- und Tiefpunkte ablesen und bei f'(x) auf 0 setzen 2. Steigt der Graph oder fällt er? steigt f'(x)= positiv fallt f'(x) = negativ →>> Umkehrung der Ableitung →Stammfunktion f(x)=x^→ F(x) = √²+₁ : X Beispiel: f(x)= 8x² nil → F(x) = 8 ¹ 1/2 x ³ f(x)= 8+x² 2 → F(x) = 8x - 3x² f(x)=x²-2x10 +30 • F(x) = x³ - 2·¼ ½ x^^ +.30x Anwendungen Steigungsproblem. gesucht: Steigung einer Funktion f an der Stelle xo. → Ableitung f'(x) aufstellen →xo einsetzen. → m= f'(xo). Steigungswinkel problem. gesucht: Steigungswinkel an der Stelle Xo. → tan (x) = m Steigung ausrechnen → m in Formel einsetzen. → & = arctan. (m). tan-1 Extremalproblem. gesucht: Hoch- und Tiefpunkte der Funktion → f'(xε] =.0, da die Extrempunkte keine Steigung haben Ableitung nullsetzen und nach x umformen → daraus gewonnenes & in Ursprungsfunktion einsetzen, um f(x), bzw.y zu bestimmen Tangenten problem →gesucht: Gleichung der Tangenten, die an einem Punkt P an den Graphen von f. gelegt wird Gleichung der Tangente + :...

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+(x)= m-x.+n. m= • Tangentensteigung = Kurvensteigung im Punkt P Beispiel: f(x)= x³ - 4x ; Stelle: x=2 f'(x) = 3x² - 4 = m f'(21 = 3·2² -4 = 8=m alleinstehende Zahl wird mit x multipliziert. → kurvensteigung in P= f'(xp) → m= f'(xp) . → m ausrechnen. → m &x (von Punkt P) in Tangentengleichung einsetzen y (von Punkt P) in Tangentengleichung einsetzen → nach n auflösen → alles in Tangentengleichung einsetzen 0=8·2+n. → 0= 16+ n. →n=-16 +(x) = 8x -16. Xo & Хо →X →X →X →X y-Wert zur Stelle: y = 2³ -4.2=0 Schnittwinkelproblem gesucht: Schnitt winkel von zwei Funktionen. → wenn S (oder P) nicht gegeben, dann f(x) = g(x) und Schnittpunkt bestimmen → wenn S gegeben: beide Funktionen ableiten → Steigung der beiden Funktionen im Schnittpunkt. berechnen: m₁ = f'(x₂) m₂ = 9₁. (x₂) Steigungswinkel berechnen: x =.tan^ (m₁) B = tan^ (m₂) → Schnittwinkel angeben y = 1α=B1 oder y = 180° - 1a - B1 der kleinere der beiden ist dann der Schnittwinkel! Berührproblem gesucht: Tangentengleichung des Berührpunkts zweier Funktionen → Funktionen gleich setzen → f(x) = g(x). → nach x umformen →Schnittpunkt bestimmen → erhaltenes x in f(x) oder g(x) einsetzen, um y zu ermitteln →P(xly) → f'(x) = g'(x) → Nachweis, dass Steigung gleich ist →→ Tangentengleichung : m, x und y in t.(x) = m;x+n einsetzen, um n zu ermitteln →Im Prinzip vorgehen wie bei Tangentenproblem. X. Berührtangente 9.

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