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Mathe1,544 aufrufe·Aktualisiert May 21, 2026·3 SeitenTangentengleichung berechnen – Schritt für Schritt erklärt
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Tangentengleichung bestimmen - Die drei Schritte
Das Finden einer Tangentengleichung folgt immer demselben Schema, das du dir leicht merken kannst. Eine Tangente berührt den Graphen einer Funktion an genau einem Punkt und hat dort die gleiche Steigung wie die ursprüngliche Funktion.
Schritt 1: Den Berührpunkt bestimmen - Wenn du die Stelle x kennst, setzt du sie in die ursprüngliche Funktion f(x) ein. So erhältst du den y-Wert des Berührpunkts P(x|f(x)).
Schritt 2: Die Steigung berechnen - Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung f'(x) an der gegebenen Stelle. Bilde also die Ableitung und setze den x-Wert ein: m = f'(x).
Schritt 3: Den y-Achsenabschnitt finden - Mit der Geradengleichung g(x) = mx + b setzt du den Berührpunkt ein und löst nach b auf. Fertig ist deine Tangentengleichung!
Merktipp: Die Tangente "klont" die Steigung der Funktion an genau einer Stelle!
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Beispielrechnung Schritt für Schritt
Schauen wir uns das Ganze an einem konkreten Beispiel an: f(x) = 2x² - 6x + 4 an der Stelle x = 3. Diese Rechnung zeigt dir, wie systematisch du vorgehen kannst.
Berührpunkt berechnen: f(3) = 2·3² - 6·3 + 4 = 18 - 18 + 4 = 4. Der Berührpunkt ist also P(3|4).
Steigung ermitteln: Die Ableitung ist f'(x) = 4x - 6. An der Stelle x = 3: f'(3) = 4·3 - 6 = 6. Die Steigung der Tangente beträgt also 6.
Gleichung vervollständigen: Mit g(x) = 6x + b und dem Punkt P(3|4) ergibt sich: 4 = 6·3 + b, also b = -14. Die fertige Tangentengleichung lautet g(x) = 6x - 14.
Kontrolltipp: Setze den Berührpunkt in deine fertige Tangentengleichung ein - du musst den gleichen y-Wert erhalten!
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Praxisaufgabe mit kubischer Funktion
Bei komplexeren Funktionen wie f(x) = ⅓x³ - 2x² + 3x + 4 funktioniert das Verfahren genauso. Hier suchst du die Tangente an der Stelle x = 0.
Punkt bestimmen: f(0) = ⅓·0³ - 2·0² + 3·0 + 4 = 4. Der Berührpunkt ist P(0|4) - praktischerweise liegt er auf der y-Achse!
Ableitung bilden: f'(x) = x² - 4x + 3. An der Stelle x = 0: f'(0) = 0² - 4·0 + 3 = 3. Die Steigung ist 3.
Fertige Gleichung: Da der Berührpunkt bei x = 0 liegt, ist der y-Achsenabschnitt einfach der y-Wert: b = 4. Die Tangentengleichung lautet t(x) = 3x + 4.
Bonus: Diese Tangente bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck - perfekt für Flächenberechnungen!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen an genau einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat. Das Berechnen von Tangentengleichungen ist ein wichtiges Werkzeug in der Analysis, das dir zeigt, wie sich Funktionen an bestimmten Stellen verhalten.
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Tangentengleichung bestimmen - Die drei Schritte
Das Finden einer Tangentengleichung folgt immer demselben Schema, das du dir leicht merken kannst. Eine Tangente berührt den Graphen einer Funktion an genau einem Punkt und hat dort die gleiche Steigung wie die ursprüngliche Funktion.
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Schritt 3: Den y-Achsenabschnitt finden - Mit der Geradengleichung g(x) = mx + b setzt du den Berührpunkt ein und löst nach b auf. Fertig ist deine Tangentengleichung!
Merktipp: Die Tangente "klont" die Steigung der Funktion an genau einer Stelle!
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Beispielrechnung Schritt für Schritt
Schauen wir uns das Ganze an einem konkreten Beispiel an: f(x) = 2x² - 6x + 4 an der Stelle x = 3. Diese Rechnung zeigt dir, wie systematisch du vorgehen kannst.
Berührpunkt berechnen: f(3) = 2·3² - 6·3 + 4 = 18 - 18 + 4 = 4. Der Berührpunkt ist also P(3|4).
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Gleichung vervollständigen: Mit g(x) = 6x + b und dem Punkt P(3|4) ergibt sich: 4 = 6·3 + b, also b = -14. Die fertige Tangentengleichung lautet g(x) = 6x - 14.
Kontrolltipp: Setze den Berührpunkt in deine fertige Tangentengleichung ein - du musst den gleichen y-Wert erhalten!
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