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Analysis Lernzettel
4.11.2021
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Mathe Klausur Wendepunkt Notwendiges kriterium : f"(x) = 0 (= mögliche Hinreichendes kriterium: f"(x)=0 und f"" (xo) #0 Genauer: f(xo) => 0 : R-L-WP f(xo) =<O:L-R-WP Berechnung 1. 3 Ableitungen bilden 2. F"(x) null setzen. 3. Nullstelle berechnen 4. Nullstelle in F"(x) 5. Nullstelle in f(x) wendetangente wendetangente Wendepunkt Berechnung 1. Wendepunkt berechnen. 2. Formel:y=mx+n m= f(x) 3. y. m, x einsetzen 4. n ausrechnen 5. m, n in Formel einsetzen Extremstellen mit F"(x) f"(x)=>0 TP f" (x)=<0 HP Berechnung 1.2 Ableitungen bilden 2. Nullstellen von f'(x) 3. Nullstelle in f"(x) für HP/TP 4. Nullstelle in fcx) für y Kandidaten") Beispiel (S.25 Nr. 2d) f(x)= x3 +9x² + 7x-18 f'(x)= 3x² +18x +7 f"(x)=6x +18 F"(x) = 6 f"(x)=0 6x +18-01-18 6x=-18 1:6 x = -3 f" (-3)=6> 0 => R-L-WP (-3/15) f(-3)=15 Beispiel (S.25 Nr. 2 d) (-3/15) m = f'(-3) f'(-3)=-20 15=(-20) (-3) + n 15= 60 +n -45=n t: y=-20x-45 1-60 Beispiel (S.20 Nr. 1c) f(x)=x²-³x²+1 f'(x)=x²-2,25x = 0 f"(x)=2x-2,25 NS f'(x) x₁= 2,25,x₂= 0 f" (2,25) = 2,25 >0 TP (2,25/-2,8) f (2,25) -2,8 f" (O)=-2,25 <0 f(0) = 1 HP (0/1) Funktionenrekonstruktion AAAA mind. 2. mind. 3. mind. 4. Grades Grades Grades 2. Grades=3 unbekannte = 3 Bedingungen 3. Grades=4 unbekannte = 4 Bedingungen Berechnung 1. Grad ermitteln und 2 Ableitungen bilden 2.Bedingungen finden (hier: 3. Grades = 4 unbekannte) 3. Direkt ablesbare finden = f(0) 4. übrige Bedingungen addieren. ggf. 1 Bedingung .(-1) nehmen 5. gegebene unbekannte in belibige Funktion setzen und die letzte ausrechnen Achsen- symmetrie 1. Grad Symmetrie ermitteln und "kürzen", 1. Ableitung bilden 2.Bedingungen finden (hier: 2 unbekannte) Beispiel (S.32 Nr.3c) f(x) = ax³ + bx² + cx +d f'(x)= 3ax² +26x +C f"(x)= 6ax + 2b I...
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Alternativer Bildtext:
f(0) = 1 II f(1) = -1 III F'(A) = O IV ("(0) = 0 4. übrige Bedingungen addieren ggf. 1 Bedingung .(-1) nehmen f(0) = a.0³ + b.0² + c⋅o+d=> d= f(1) =a.1³ +b.1² + C.1+d=-1 II f(1) =a + C + 1 = -1 III f'(A) = 3a +C =0 II' F(A)= a + C = -2 + III'f'(A)=-3a-C=0 Rekonstruktion symmetrischer Funktionen A # Punkt- symmetrie As ungrade Exponenten streichen f(x) = ax² + bx³ + cx² +d²x+e = PS= grade Exponenten streichen f(x) = ax + bx³ + cx² +dx+e Berechnung Beispiel (S.32 Nr.5a) f(x) = ax³ +bx+cx + wegen PS f(x) = ax³ + cx f(x)=3ax² +c I f(1) = f(1) = a. 1³ + C. 1 = -1 f'(1)=30-1² +261 +C =0 f"(0) 6a 0+26= 0 => b=0 -2a= -2 1:(-2) a = in II' 1+C = -2 1-1 C = -3 f(x)=x²-3x+1 II f'(A) = 0 -^ •(-1) I a+c= -1 II-3a C = 0 (+)-2a = a + c = -1 f(1) = 3a 1² + c = 0 = 3a + c = 0 1.(-1) =-11:2 a = -0,5 5. gegebene unbekannte in belibige in I -0,5 + C = -1 1+0,5 Funktion setzen und die letzte C = -0,5 ausrechnen f(x)= -0,5x³0,5