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Janna :)
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Wendepunkt, Wendetangente, Extremstellen mit 2. Ableitung, Rekonstruktion von (symmetrischen) Funktionen
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Mathe Klausur Wendepunkt Notwendiges kriterium: f"(x)=0 (=mögliche Kandidaten") Hinreichendes kriterium:f"(x₂)=0 und f""(xo) *0 Genauer: f(xo) => 0 : R-L-WP f(xo) =<O:L-R-WP Berechnung 1. 3 Ableitungen bilden 2. F"(x) null setzen. 3. Nullstelle berechnen. 4. Nullstelle in f"(x) 5. Nullstelle in f(x) wendetangente wendetangente wendepunkt Berechnung 1. Wendepunkt berechnen 2. Formel:y=mx+n m= f'(x) 3. y, m, x einsetzen 4. n ausrechnen 5. m, n in Formel einsetzen Extremstellen mit f"(x) f"(x)=>0 TP f" (x)=<0 HP Berechnung 1.2 Ableitungen bilden 2. Nullstellen von f'(x) 3. Nullstelle in f"(x) für HP/TP 4. Nullstelle in fcx) für y "I Beispiel (S.25 Nr.2d) f(x)= x³ +9x² + 7x −18 f'(x)= 3x² +18x+7 f"(x)=6x +18 f"(x)=6 f"(x)=0 6x +18=0 1-18 6x=-18 1:6 x = -3 f"(-3)=6> 0 => R-L-WP (-3/15) f(-3)=15 Beispiel (S.25 Nr. 2 d) (-3/45) m= f'(-3) f'(-3)=-20 15= (-20) (-3) + n 15= 60 +n -45=n t: y=-20x-45 1-60 Beispiel (S.20 Nr. 1c) F(x)=x²-x²+1 f'(x)=x²-2,25x = 0 f"(x)=2x-2,25 NS f'(x) x₁= 2,25; x 2 = 0 f" (2,25)= 2,25 >0 TP (2,25/-2,8) f (2,25) -2,8 f"(0)=-2,25 <0 f(0) = 1 HP (0/1) Funktionenrekonstruktion AAAA mind. 2. mind. 4. Grades Grades 2. Grades = 3 unbekannte = 3 Bedingungen 3. Grades = 4 unbekannte = 4 Bedingungen mind. 3. Grades Berechnung 1. Grad ermitteln und 2 Ableitungen bilden 2. Bedin ingungen finden (hier: 3. Grades = 4 unbekannte) 3. Direkt ablesbare finden = f(o) 4. übrige Bedingungen addieren ggf. 1 Bedingung .(-1) nehmen 5. gegebene unbekannte in belibige Funktion setzen und die letzte ausrechnen Achsen- symmetrie 2. Bedin ngungen finden (hier: 2 unbekannte) Beispiel (S.32 Nr.3c) f(x) = ax³ + bx² + cx +d f'(x)= 3ax² +26x + c f"(x) = 6ax + 2b I f(0) = 1 II f(1) = -1 III f'(A) =...
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O IV f" (0)=0 4. übrige Bedingungen addieren ggf. 1 Bedingung .(-1) nehmen II f(1) =a+c+ 1 = -1 III f'(A) = 3a +C =0 II' fc^)= a + c = -2 + III'f'(A)=-3a-c=0 Punkt- f(0) = a.0³ + b.0²+c⋅o + d =^ => d=1 f(1) =a.1³ +b.1² + C·1+d=-1 f(1) = 30.1² +26·1+C =0 f"(0)=6a.0+26= 0 => b=0 Rekonstruktion symmetrischer Funktionen H symmetrie As = ungrade Exponenten streichen f(x) = ax² + bx³ + cx² +d²x+e f(x) = 0x² + bx³ + cx² + dx + e PS= grade Exponenten streichen Berechnung Beispiel (S.32 Nr.5a) f(x) = ax³ + bx² + cx + đ 1. Grad + Symmetrie ermitteln und "kürzen", 1. Ableitung bilden f(x) = ax³ + cx f(x)=3ax² +c I f(1) = -1 C = -3 f(x)=x²-3x+1 -20-2 1:(-2) a = 1 in II' A+C=-2 1-1 II f'(A) = 0 -^ •(-1) I a + c = -1 II-3a (+)-2a C = 0 wegen f(₁) = a · 1²³ + C · 1 = -1 = a + c = -1 f(1) = 3a-1²¹² + c = 0 PS = 3a + c = 0 1. (-1) = -1 1:2 = -0,5 a 5. gegebene unbekannte in belibige in I -0,5 + C = -1 | +0,5 Funktion setzen und die letzte C = -0,5 ausrechnen f(x)= -0,5x³0,5
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