ANALYSIS -Mathe Abi 2022

Alternativer Bildtext:

ist eine Parabel 3. ganzrationale Funktion/ fineare Funktion quadratische Funktion Allgemein f(x)-m-x+b 1 Steigung nach rechts und m nach oben unten) Allgemein f(x) = ax²+bx+c fox-ax² - Polynom funktion → Übergriff von vielen Funktionen wie... ·konstante Funktion irrationale Zahlen (unendlich viele Nach- kommastellen, die sich nicht wiederholen Quads Glied reelle Zahlen (alle Zahlen, die es gibt) Scheitelform: f(x)= a(x-d)² +e far-c → Funktion 1. Gerades →Funktion 2. Gerades 4. Wurzeffunktion Allgemein: f(x)=√x TT Mellone ferend 1 Allgemein: f(x) = ax +1 +bx Koeffizienten y-Achsenabschnitt I absolute Glied e fineare Glied R → nur gerade Exponenten achsensymmetrisch zur y-Achse →nur ungerade Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung → hat eine ganzrationale Funletion n Grade, hat sie höchstens n Nullstellen Potenz Exponent 2-d + S(dle) .+gx+h 0,25 3x³ +9x²+x-63 QZ N N 17 2 -21/1 -1 0 -21 -99 f(x)=ax²+bx+c Binomische Formeln natürliche Zahlen +0 mit den bono. Formeln kann man Terme wore (a+3)² schnell ausmultiplizieren. 1.bino Formel (a+b)² = a² + 2ab-b² 2 bino Formel (a-b)² 0²-2ab-b² & bino Formel (a+b)(a-b)= a¹-b¹ quadratische Ergänzung binomische Formel anwenden ganze Zahlen (positiv u. natürliche Zahlen (enthalt alle Zahlen, mit denen man Dinge in der Natur zohlen kann → positiv) -keine Brüche) rationale Zahlen (Briche aus ganzen Zahlen Kommazahl, wenn man sie in Bruch umwandelt) f(x)=a(x-d)³+e Ableitungen wird auch differenzieren genannt f(x) = x² pas-n.xn- L'(x) f"(x) Ableitungsregel 1. Konstanten 2. Potenzregel 3. Faktorregel 5. Produletregel →1. Ableilung Slegung →2. Ableitung Krümmung -3. Ableitung Hoch- und Tiefpuniet f(x) = 5 L'(x)=0 4. Summenregel jeden Tal ansand otherlen 7. Kettenregel semurhanud verscheen sed f(x) = x³ f'(x)=3.x² 6. Quotientenregel mil Bruchen f(x). 3.x L'(x)= 3·5·x"= 15x" f(x)= -√2 f'(x)=0 f(x)= x³ x³ U f(x)= x 1000 f'(x)=1000. xand 100=U·VU.V f(x)=x²-5x³+3 f'(x)=2x-3.5x² =2x-J5x² fox- 3x¹ x³ + x³.5x* f'(x). -3x² + 5x = 8x² 2x +3³4 Tangente f(1) = √2.6" $'(0)=√2.4.6² Sekante f(x) = (x² + 5)² @ f'(x)- (².v' OuBere F. f(x)= Sin (2x) u.veu.v V² 2.x³(2x-3)-5x (x5) ² f'(x)= ('.V' -4x².7. (x²+5)* =2.cos(2x) Passante f(x)= x-> f(x)=-7x-d U = x³ V = X5 xs lon. ²}+x² £'w. £.3.x² u=2x-3 u=2 u= 3x² V= 5x" v=u² V= 5x be Summen immer Klounmer ) U=X+5 U'= 4x³ V. 7.uº U = 2x v=sin(u) V= cos(u) u=2 Zusammenhänge der Ableitung N f(x)=( (m+0) w f'(x) = u. v' = 3.e 3x TP(m-O) f(x)= 8. √x²+d fox) f'(x) = 8. (u' v') =8-2x = (x²-1) ¹¹/2 & FELL r 1x) Steigungsverhalten wenn da nichts slent immer 2 4 = 8. (x²+1) fo Krummungsverhalten wenn da nichts stelt immer u = 3x v=e2 Anwendung: fx-Nullstelle einer Funktion f'(-0 Hoch-, Tief-, Sattelpunkte fal=0 fix)= g(x) NEW-Regel far|N|E →WP esondert sich die Richturg der Kurve stareste Stegung → Abteilung rot die Stegung einer Tangente (mit x-West engesetzt) →ist 1000 steigt der Graph von f an der Stelle x →ist f'(x)=0 fallt der Graph von f an der Stelle x l'on Wendepunkte Schnittpunkte ·Ⓒ positiv enesterummig → negativ. reclatslenimmig u= 3 v.es U=x²+ U= 2x v=u V. 12.04 __Ableitungen-spezielle Funktionen f(x)=√x-x¹/2 f(x)= = = x²d-1-x² f(x)= ex f(x) = f(x) f(x)= logo (x) Stammfunktion F(x) → Teil der Integralrechnung Integral f'(x) = 1·x f'(x). l'(x)= ex f'(x) = f'(x)= = fn(b) Sfcx) dx = 7 foxo Л 10 neg Bruch doof (umschreiben in 5) immer 1, wenn negativ X лох x² 5x² 3x-2x³+4 = F(x) + C Aufgabe Zegen Sie, dass die Funktion H mit H(E)=-40e-ast. (t+2) +0₁7e* +at+79,3 eine Stammfunktion von h ist. →h(t)-20t east-2.1e-3t+q Unbestimmtes Integral F'(x) = f(x) mit Integrationsgrenzen F(x) 1x = x 10x 1/2x² 10/2x² 1/3x³ 5/8xd 3/5x5-2/4x4+4* H(t) = -40.e-0,56 (t+2)+0₁7e-³t+at+79,3 Prodwet regel H(t)= 20e-0,5t. (t+2) + (-40)e-0.st. 1+9-2₁1.e-3t = [20- (+2)+(-40)]. ·e-0,56 -2,1e-3t - [20t+40-40].e-0.5t -2, le-3t+Q •h(t) f(x)= sin(x) f(x) = cos(x) f(x)= tan(x) • Fächen-und Volumenberechnurg •Berechnung von • bestimmtes-und unbestimmtes Integral Integraten heißt Integration ohne Grenzen auch z.B. e beliebige konstante, die die Verschiebung auf der y-Achse angibt f(x)=√x² cos(x) f(xx-sin(x) f'(x)- cos ¹(x) = tan² (x) +-1 F(x) ↑ f(x) differenzieren ↓ integrieren differenzieren ↓ Beispiel: f(x)= 3x²+x f(x)= 3x³-2x²+1 f(x) = 3ex f(x) = 5e 5x+2 f(x)=2e²x + 2x fear du Beispiele. f'(x)= §.x²1 23-1-14-3 Ausgangsfunktion f'(x) 1. Ableitungsfunktion Stammfunktion f"(x) 2. Ableitungsfunktion f(x) dx = F(x) + C F(x)= 3/3x³+1/2x² = x² + ¹/2x² F(x)= 3/6x6 - 2x² +X F(x)= 3e* F(x)=e5x-2 F(x)=2x + 2/2x² f(x) F(x) 2x dx = x² +C! f(x) dx - [ ] F(x) √x³ dx = x² + c Bestimmtes Integral → wenn Integrationsgrenzen angegeben sind [fon dx= [Fox 1 = (Fow - FCM) Rechenregeln. • Sc. Fow dx = c. √ fox dx f(x) f(x) ・Sigean thoail dx = £900) [new de g(x) + h(x) dx Mittlere / durchschnittliche Änderungsrate →die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Sekante → braucht man, wenn durchschnittliches (Wachstum, Geschwindigkeit etc.) gesucht ist Differenzquotient f(b)-f(a) b-a mg = I- [a,b] → rechnerisch lösen: [= [a,b] b-a ·x-Wert in f'(x) einsetzen f(b)-f(a) Tangente Sekante Momentane/lokale Änderungsrate → Bestimmung der Steigung an einem bestimmten Punkt (mit Tangente) → wird auch Differentialquotient genannt Aufgabe: Berechne die Floche B. Stow dx = [Fox ] f(x) = F(0) - F(-1) = 2,00-1,37 = 0,63FE a = linke Intervallgrenze b = recute Intervallgrenze 2 in Fox) einselen - infon einsetzen f(2)-f(-1) 2-(-4) f(b)-f(a) m" b - a Passante Beispielaufgabe: Berechne die mittlere Änderungsrate zu f(x) = 3x²-x im Intervall [-1;2]. momentane Anderungsrate * Tangente % the az Mal mo IS (3.2²-2)-(3-(-1)²-(-1)) 10-4 3 3 MA X₂ %₂ m=-1 F(X) m-o a₁ ** -2 = m-OS Ableitungsfunktion f(x) 0 2,00 1.37 2 1,02 beschreibt das Steigungsverhalten der Ausgangsfunktion f Krümmungsverhalten Das Krümmungsverhalten gibt an, ob der Graph einer Funktion eine Rechts- oder Linkskurve macht. 1. 2. Ableitung bestimmen 2. Nullstellen der 2. Ableitung ermitteln da Nullstellen die Grenzen von Intervallen angeben an Stellen in jedem Intervall bestimmen : 3. 2. Ableitung ・f"(x) > 0 → f(x) links gekrümmt •f"(x) < 0 → f(x) rechtsgekrümmt Beispielaufgabe: f(x) = x² + 3x² - 4x + 2 f'(x) = 3x²+6x-4 f*(x) = 6x +6 → Grenzen von Intervallen: 1₁ = [~∞ ₁-₁]; I₂ = [-1; +∞0] i im Intervall 1 1. Ableitung 2. Ableitung → wp. rechtsgekrümmt → Nullstellen der 2. Ableitung ermitteln: 6x+6=0 1-6 6x = -6 1.6 → 2. Ableitung an Stellen in jedem Intervall bestimmen: 1₁-[-00₁-1] beliebige Zahl nehmen 260.00 und -1 f"(-2) 6-(-2) +6=-6 <0 => recutskrümmig X=-1 →→sagt aus, dass f"(x) an der Stelle -1 eine Nullstella hat + Wendepunkt für for an der Stelle X=-1 linksgekrümmt 1₂= [-₁₁+00] → f(0) = 6·0+ 6 = 6 > >> linkskrümmig beliebige Zahl nehmen 260.00 und -1 f(x) Monotonie Das Monotonie verhalten gibt an, ob der Graph einer Funktion in einem Intervall steigt oder fällt. → um Verlauf eines Graphen zu beschreiben → rechnerisch bestimmen: 1. 1. Ableitung bestimmen 2. Nullstellen Beispiel aufgabe: f(x) = x³ + 2x² - 4x-8. -8)₁. f'(x)= 3x²+4x-4 → Intervalle angeben: L₁=[-∞; -2]; I₂ = [-2; ¹/3]; I ₂ = [ ¹3; + ∞] 3. Intervalle angeben 4. beliebige Stelle aus jedem Intervall überprüfen (in Ableitung einsetzen) ・Ableitung I3¹ f(1) = 3.1² + 4·1-4 = 3 >0 ➜> | √ streng monoton | steigend I | | → Stelle in Ableitung einsetzen: I f'(-3)=3-(-3)² +4·(-3) -4 = 11 > 0 => streng monoton steigend I₂: f'(o)= 3.0² + 4·0-4 = - 4 < 0 => streng monoton fallend · streng monoton steigend 4. Extrempuniete angeben → X-Werte in f(x) streng monoton fallend 2 I I | L 13 f(x)/ A streng | monoton I steigend → Nullstellen: Extrema 1. 1. und 2. Ableitung bilden 2. Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen f'(x)=0} notwendige Bedingung 3. Nullstellen in die 2. Ableitung einsetzen → >0 lokales Minimum (TP) → <0 lokales Maximum (HP) - monoton steigend, wenn: f'(x) im Intervall ≥ 0 - - streng monoton steigend, wenn: f'(x) im Intervall > 0 → X₁ = → X₂= - monoton fallend, wenn: f'(x) im Intervall ≤ 0 3x² + 4x-4 = 1:3 x² + 3x-1=0 | p-q-Formel - streng monoton fallend, wenn: f'(x) im Intervall < 0 - £ ± √(£)² - + -2+ 2/3 f'(x) + -9 1/323 4/3 √(²/2)² -(4/3) 4 + 4/3 2/3 -²1/3 · 4/3 = -2 - monoton steigend hinreichende Bedingung f"(x) = 0 Wendepunkt/Wendestelle (Krümmungsverhalten) → CUP ist ein Punkt in einer Kurve, wo sich die Richtung der Kurve ändert 20 >0 →f"(x) = (kein HP oder TP) → am WP ist die Steigung am extremsten Beispiel: fax)= x¹-6x² +5 f'(x - 4x³-12x f"(x)= 12x²-12=0 1+12 - 12x² = 12 1:12 ²₂²² = 1 15 Beispiel: ✓ X₁ = A Sattelpunkt besonderer WP → Wendepunkt einer Kurve, in dem die Kurve eine waageredute Tangente hat Graph hat die Steigung O X2=-1 → wenn f'(x)=0 ist f(x)= x¹-6x² +5 f'(x - 4x³-12x f"(x) = 12x²-12=0 / +12 12x² = 12 1.12 ~² = 1 15 ✓ X₁ = A X-Werte in 3. Ableitung, wenn #0 dann liegt ein WP vor: f(x) = 24x - f" (₁) = 24.1=240 ·ft (-1) = 24.(-1) = -24 0 X₂=-1 X-Werte in 3. Ableitung, wenn *0 dann liegt ein WP vor : f(x) = 24x - f™ (₁) = 24.1= 24 0 ・ft (-1)=24 (-1) = -24 0 X-Werte in f(x) einsetzen für WP(xly): f(₁) = 1"-6.1² +5=0 COP₁ (110) f(-₁)=(-1)-6-(-1)² +5=0 COP₂ (-110) Schnittpunkt Y-Achse Nullstelle f(x). Grenzverhalten. Extrempunkt (HP) Wendepunkt Nullstelle Extrempunkt (TP) Tangente Grenzverhalten f'(x)=0 ? f'(x) = 4x²-12x = 0 f(1)=4-1²³-12-10 f'(-1)=4-(-1)²³-12-(-1) +0 Nullstelle X-Werte in f(x) einsetzen für WP(xly): f(₁) = 1²-6-1² +5=0 COP₁ (110) f(-1)=(-1)-6-(-1)² +5=0 (UP₂ (-110) => kein Sattelpunkt x Verhalten im Unendlichen → es gibt 2 Guenzwerte: lim X8 → wenn man nur eine Funktion f(x) gegeben hat und sein Verhalten ermitteln soll, dann betrachtet man: es gibt 4 Möglichkeiten: und @f(x)=5x²+3x² - 1 h(x) Di(x) g(x) = -5x+3x 1. den höchsten Exponenten (x²) 2. das Vorzeichen der Zahl vor dem höchsten Exponenten (+/- 4x²) 6 lim X178 -8x²-3x² +10x15 == -x³ +6x²-2x^^ +∞ + 8 + 00 Exponent gerade /Vorzeichen positiv gerade /negativ ungerade / positiv ungerade /negativ 木 + + ∞ • lim X-00 • lim fox. 0⁰ • lim X4.00 X-00 • lim • lim X-80 f(x)=00 foo 00 f(x)==0 8.4x foo== ∞ lim f(x)=0 • lim • lim f(x) = + ∞ f(x) = + foo 00 f(x) = + 00 Tangentengleichung aufstellen Geradengleichung der Gerade, Tangente" → Was ist id.R. gegeben? Funktion fox) und 1 Punkt oder x-Wert Aufgabe: Die Funktion f(x)=2x²-6x+4 wird von einer Tangente an der Stelle x=3 berührt. Bestimme die Tangentengleichung! 1. y-Wert berechnen. f(3) = 2.3²-6.3+4=4 → Berührungspunkt ist Pg (314) 2. F(x) ableiten f(x)=2x² - 6x +4 So •f'(x) = 4x-6 momentane Änderungsrate 3. Um die Steigung an der Stelle x=3 zu ermitteln, setzen wir den Wert in die Ableitung ein. Damit erhalten wir die Steigung an der Stelle x=3. m = f(3) = 4-3-6-6 →>m=6 m Steigung 4. Alle zuvor berechneten Werte in die allg. Gleichung der Tangente einsetzen. t(x)= mx + b→→ Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse t(x)-6-3+b = 4 IVE 18+ b = 4 1-18 b = -14 5. m und b in die allg. Tangentengleichung einsetzen (ohne x!) t(x) = 6·x-14 Sekantengleichung aufstellen. → die Selante schneidet f(x) in 2 Punkten mittlere Änderungsrate → die Steigung der Sekarte beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem Bereich, der durch die Schnittpunkte P₁ und P₂ der Geraden mit der Funktion gegeben ist → Was ist id.R. gegeben? Funktion fox und 2 Punkte oder 2 x-Werte Vorgehen 1. allg. Geradengleichung f(x) = mx +b → •gesudet werden m und bo 2. für m 3. für b: m= Die Tangentengleichung ist die Geradengleichung einer Gerade, die eine Funktion in einem bestimmten Punkt berührt. f(b)-f(a) b-a m+ einen der beiden Punkte (P₁ oder P₂) in allg. Geradengleichung einsetzen → nach to auflösen