Analysis Übersicht

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verschiebung um e nach oben (x-1)² ·e<o: verschiebung ume x²1 nach unten /тел n=-2 Xame You Fome m=1 m = 6-(-3) — 2/2 = 4₁5 → f(x) = 4₁5x+b 4-2 f(x₂)-f(x₁) X₂-X₁ Punktprobe nachweisen, ob Punkt auf dem Graphen liegt 1. Punkt in Gleichung einsetzen 2. Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Bsp.: P₁(213) f(x)=1/(x+2 1.3=1.2+2 2. 3=3 → Punkt tiegt auf der Geraden Bsp: P₂ (115) f(x)= 1/2x+2 1.5=1/21+2 52,5 → Punkt liegt nicht auf der Geraden zwei Lösungen D>O (x1+x₂) Umformungen von Normalform in Scheitelform: f(x)=x² +6x+8 IQE = x² + 6x + ( )²³ (2) ² +8 | berechnen = x² +6x +9 -9 +8 | binomische Formel = (x + 2)²2-9+8 | vereinfachen = (x+3)²-1 Scheitelform von Scheitelform in Normalform. 1. f(x)=(x-4)² +5 I binomische Formel =x²-8x+16+5 | vereinfachen =x²-8x+21 → Normalform 2. f(x) = 4(x-3)² +61 2. binomische Formel = 4(x²-6x+9) +6 lausmultiplizieren = 4x²-24x+42 → allgemeine Form Schnittpunkte mit den Achsen: fox)=0 Schnittpunkt x-Achse f(0) =s Schnittpunkt y-Achse f'(x)= 2ax +b F(x)=x²+2x² + cx+d Definition f(x)= anx"+an-1x^-^+an-zx^-²+A₁x + Qo, NEIN Df=TR ganzrationale Funktion n-ten Grades ! Die höchste Potenz gibt den Grad der Funktion an Lineare Gleichungssysteme lösen. Form: f(x) = ax²+bx+c I a. 2²+ b 2 + c = 8 II: a (-1)² + b⋅ (-1)³²³ +C = -1 III: a·(-4)² + b⋅ (-4)²+(= -4 I: 40+2b+c=8 I 1a-b+c = -1 III: 16a-4b+c= -4 "b" ausrechnen: 9= 3-1 + 3b b→ b== f(x)=x²+x+ Rechenweg (Lim f(x)): 2. (-x).(-x).(-x). (x).(-x).(-x) = ∞ X-→-00 -1 Y₁ f(x)=sin(x) f(x)= COS(X) 5HP Amplitude (TT11) 글자 Verhalten für x → = ∞ Das verhalten von f für x→ ∞ wird allein durch den höchsten Exponenten (anx") bestimmt 1/h Streckung/Stauchung ₁- in y-Richtung: • Q>1: : Streckung •1>a>0 Stauchung streckung /stauchung in x-Richtung: •Streckung 0<b<1 Stauchung b>1 -21-TT π 2π (½ (1) -TT I.-T.:9=3a + 3b II I-II. 3-15a + 3b I "a" ausrechnen: -:6=18a → a=1 a und b in I einsetzen: -1=1+c→→ Punkte: f(2)=8, f(-11-1), f(-41-4) "C" eliminieren: 1- -1- Tangensfunktion 卡 Einfluss der Parameter in Scheitelform A X 2+ -1 + -2+ 1 g(x)=sin(x) f(x) = 1,5 sin(x) IN POLYNOMFUNKTION TT 24T Beispiel: 2TT 1 g(x)=sin(x) f(x) = sin(0,sx) 3x4+7x²+x+9 => Funktion 4. Grades (Sy(019)) E IT 2TT Länge der Periode TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN -Definition |fx)= a.sin(b. (x-C) +d ; x ER |f(x) = a.cas (b⋅ (x-C) +d Dmax=R ist a oder b negativ wird die Funktion an der x- Achse gespiegelt b= 315 3TT Symmetrie • nur gerade Exponenten f(-x)=f(x) → Achsensymmetrisch zur Y-Achse •nur ungerade Exponenten f(-x) = -f(x) Bsp.: fox)= 1,5x²+4,5x³ → Punktsymmetrisch zum Ursprung 4TT nullstellen Eine Polynomfunktion mit dem Grad f=n>o nat höchstens n verschiedene Nullstellen Bsp: f(x)= 3x6 +5x²³... (Xn = max.6) 2. Substitution: 1. X-ausklammern: 0=-3x³+2x²-2x 1x auskl. 0= X(-3x²+2xX-2) 1:X 0=-3x²+2x-2 I PQ-Formel X₁-0₁ X₂=1,54₁ X3 = 0,23 x₁ = 0,23 8. Klammernschreibweise: gerade Funktionen: Ein Produkt wird null, wenn ein Faktor=0" 0= (x+s) (x-² x₁=-5 doppelte X₂,3 == ungerade Funktionen: fix)=2x-x² lim f(x) = ∞ x →-∞ Lim f(x) = ∞ x →∞ Sin( )= Verhältnis sink ) = winkel verschiebung in y-Richtung: d>0 nach oben d<0 nach unten verschiebung in x-Richtung: Punktsymmetrisch zum Koordinaten ursprung • nach rechts C<O • nach links Occ Definition f(x)=tan(x) tan(x) = sin(x) COS(X) D = R1 y(k+¹) TT, KEZ; W=TR -1. LA Ableitung Tangens: (tan(x))²= 1+tan²(x) Stammfunktion: FWxXx) = -(n (IcOS(X)I) Bsp: fox) = 2x6-x² +1 Nullstellen Bsp: f(x)= 63.sin((x-7,5))+10 1-10 -10= 63 Sin (2)(x-7,5) 1:63 1: sin (²) -0,763 = x-7,5 1+7,5 6,7xx Ceine von vielen Nullstellen) f(x)=x4-13x²+36 | x² = z TT Z²-13z +36 1 PQ-Formel Z₁ = 4, Z₂=91 X₁₂₁= ±2 x₂ = ±3 - COS(X) g(x)=-1₁5x7+4x5-2x3 Lim g(x)= 2TT 2TT Lim g(x)=-∞ X→∞ = +∞o g(x)=sin(x) fox) = sin(x) + 1 sin(x) 37 g(x)=sin(x) fox)=sin(x-1) Ableitung -sin(x) BTT MIT COS(X) Ableitung Bsp: f(x)= 2. sin(6x-2) + cos(x) +18 f'(x) = 12 cos(6x-2)-Sin (2x) -Lineares Wachstum Die Differenz d=B(n)-B(n-1) ist konstant und heißt Wachstumsrate ↳ Explizite Rechnung: B(n)= B(o) + n・d Definition (x-d) (+b) f(x)= a.q G>1= zunehmend Anfangswert Wachstumsfaktor 9<1= abnehmend Berechnung von 9: Bsp.: B(0)=0,3 (6)=0,3²=2=9615 B(6)=0,6 9~1,2 EXPONENTIALFUNKTIONEN f f(x) = ex g(x)=2ex 2 hax)= 15X+1 X +1 7+ 6- 5+ 4+ 3+ 2+ 0 +2 -Definition |f(x)=a.ex+b natürliche Exponentialfunktion max Definitionsmenge: D₁ = R W==R* Eigenschaften- •Y-Achsenabschnitt: Der Schnittpunkt ist bei der Grundform bei Sy COM). Hat die Funktion einen Vorfaktor oder einen linearen Faktor ergibt sich daraus ein neuer Achsenabschnitt •Monotonie: für 0<a < 1 streng monoton abnehmend, für a>1 streng monoton zunehmend. Es existieren keine Extrema Ableitungen Eine E-Funktion ist grundsätzlich sehr leicht abzuleiten, weil sie an jeder Stelle die eigene Steigung angibt. f(x)=ex f'(x)= ex Weicht die Funktion von der Normalform ab f(x)=e²x f'(x)=2e²x Verkettung innerhalb der Funktion Exponentielles Wachstum /90x)=2-1,5%/ Eigenschaften 2 3 4 1. Nullstellen: Exponential funktionen haben keine Nullstellen wenn b=0 ist 2. Asymptote: die x-Achse ist ist Asymptote der Exponentialkurven. Es gilt für 0<a<1: Lim ax=0 und für a>1; lim X→DO kommt von der Exponentialfunktion fox)=ax E the too b⇒ verschiebung entlang der y-Achse verknüpfung von ganzrationalen Funktionen & E-Funktionen: f(x)= k·ex + g(x) → f'(x)= k·e* + g'(x) 9= -Logarithmus Der Logarithmus von b zur Basis a ax=b x=Loga (6) ist diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um 6 zu erhalten. Man schreibt kurz: loga (b) natürlicher Logarithmus: Die Zahl e ist auch gleichzeitig die Basis des natürlichen Logarithmus E-FUNKTIONEN f(x)=1,5x ynte-Yn Yn explizite Rechnung: B(n)= B(o).qn Der Quotient ist konstant und heißt Wachstumsfaktor k(x)=1,5X-2 Streckung des Graphen: f(x) = 1,5x g(x)=2·1,5*: Um Faktor 2 in y-Richtung verschiebung in y-Richtung: h(x)=1,5x+1 : 1st um AE nach oben verschoben verschiebung in x-Richtung: KCX)= 1,5X-2 : : Ist um 2E nach rechts verschoben -9x=+ gx=+ Logarithmusgesetze 1. log (u.v) = Log (u) + log (v) 2. Log (4) = log (u)- (og (u) 1. Logarithmus nutzen: e²x 7ex=0 lex = z Euler'sche zahl e≈2,71... Die euler'sche Zahl ist eine irrationale Zahl, da sie unendlich viele kommastellen hat. (ähnlich wie TT) • Sie ist die Basis einer natürlichen Exponential funktion. Z²-7Z=0 Z(z-7)=0 1: Z Z=7 lex = z → ex = 7 In () x = 1,94 nullstellen Die Grundform besitzt keine Nullstellen. Sofern die Funktion sich von dieser unterscheidet können Nullstellen entstehen 2. ex ausklammern: f(x)= ex. (2x-5) f'(x)= ex. (2x-3) 1:ex = 2x-3 1+3 1:2 X = 1,5 ! Funktioniert nur, wenn jede zahl mit ex als Produkt vebunden ist. Ln(x) = loge (x) Bsp: f(x)= x³ + ež 3. Log (u) = v. Log (u) 4. Log/√/= log (u) ax=0 Stammfunktion um die E-Funktion aufzuleiten wird durch die Ableitung des Exponenten geteilt f(x) = eucx) F(x) = eu(x) (I'(X) FWX=1/12/2x4+ ² + = 12x4+ e gw=²x-2x -e-zx- G(x)=- -x² 1600- 1200 800- 400 0 2 Q=26 a=24 a=20 a=22 12t²=x² x₁ = 12t 3 2 1 4 6 Nullstellen Nullstellen einer Funktionsschar sind häufig abhängig von dem Parameter Bsp: f(x)= x³ - 12+²x 0 = x³-12t²x Ix auskl. 0= x (x²-12t²) 1:X 0=x²-12t² 1+12+² 8 Kunvendiskussion Beispiel fWx=x.ekx fk (k>0) f'(x) = ekx +x-(-+). ekx = e-kx (1-kx) f"(x) = -ke-kx. (1-kx) +- (**(K) = -k.e * (2-kx) -kx IM x₂ = -12t K=1 1 10 2 12 /K=O k=95 T T 3 4 Definition Eine Funktionschar [- ist eine Menge von Funktionen, da sie neben der variable x noch einen weiteren Parameter hat • Für jedes t ER ist dabei eine Funktion gegeben • Mit dem Parameter rechnet man so, als wäre es eine reele zahl, die für den Moment noch nicht genauer bekannt ist. FUNKTIONSSCHAR Parameter Berechnen Für welchen wert vonk verläuft der Graph von fe durch P(11-3): Bsp.: fk (x)= x³-kx (k>0) -3=1³-K1 -3-1-k -4=K verhalten: lim = -∞ Integralrechnung Fläche in Abhängigkeit von k berechnen: Bsp.: √(k-ex-1) dx = 3 X-4X Lim = X-→∞ Symmetrie keine PS und As [kex -x]= (ke¹-4)-K =3 K= 1-1 => K=4 7 ес-л Schnittstellen: Sy(010) Sx (010) TP(ek) WP(122²) e4k-4-k=3 1+4 e4k-k=7 (e4-1). K= 7 f(²)= £²e²² Fe Steigung berechnen Welche Steigung hat der Graph im Ursprung? f(x)=3x² - K 03.0²-k Extrempunkte: f'k(x)= xx (1-kx) 0=e-kx (1-kx) 1:e-kx 0=1-kx 1-1 1-(-1) 1 = kx 1: K 1/2 = x = f"(x) = -kekx (2-kx) f" () = -k.e^ (2-1) = -K. 0,37 => TP 1 tk Gemeinsame Punkte aller Graphen 1. Funktionen mit allgemeinen Punkten aufstellen 2. Funktionen gleichsetzen und lösen f(x)=x³-tx ft₁ (x)=x³-t₁(x) ftz (X) = x³-t₂(x) Beispiel: facx) = ax³+x²-ax fax)= 3ax²+2x-1 f₁(x) = 1x³+x²-1x fs(x) = 5x³+x²-x K = 0 ft₁(x) = ft₂(x) x³-t₁.x = x³-t₂ix 1-x³ -t₁x = -t₂-x 1+t₂x ⇓ X=0 -t₁x+t₂x = 0 x-t₁+t₂)=0-t₁+t₂=0 =x Wendepunkte: f"(x) = -k-ekx (2-kx) 0=-kekx (2-kx) :(-k.ekx) (2-kx) 1-2 1. (-1) 2 = kx 1:1 t₂=t₁² fk (²2) = 2/2 ek. Z е = 1/2-e² 2.2² k Differenzenquotient Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung zwischen zwei Punkten x, (Selcantensteigung) Af dy = f(x₂)-f(x₂) ΔΧ dx X₂-X1 m= →wird auch oft als "mittlere Änderungsrate" bezeichnet Ableitungsregeln Potenzregel: f(x)= x^ Beispiel: f'(x)=n.xn-1 f(x)=xs >f'(x)=5x4 Kettenregel fox)= a(v(x)) → f'(x) = ('(v(x)). V'(X) Bsp.: fox)= 3e²x g(x)= 3sin (2x) f'(x)=6e²x g'(x) = 6COS (2X) äußere mal innere Aldeitung" Quotientenregel: f(x) = 400 u(x) Grad 3: kubische Funktion? f'(x) O > nxnx Z7X -12₂ COS(x) 1 cos²(x) ax. (n(a) ex zezx x. un (b) f(x) a; GER X = хи 슷 sin(x) tan(x) ax ex ezx (096 (x) F(X) ax+c 1x² +c nha x e 4x | 1. f(x) = f'(x) = 4e4x.x1 +e4x. (x²) e4x ((4-x^²)+(-x²) =e4x ((*)*) n+1 x+C Ln(x)+c -COS(x)+c -In Itan(x)) dx idy Geometrische Bedeutung von Ableitungen Die Ableitung gibt die Steigung der Grundfunktion an. so kommt es immer wieder zu einem vorzeichenwechsel im negativen Bereich, was zu einer veränderung des verlaufs der Funktion im negativen Bereich führt. extc 1/2 e²x DIFFERENTIALRECHNUNG Summenregel: f(x)= u(x) + VOX) f'(x)=U'(X) +V'(X) V(X) → f'(x) = u(x). V(X) - U(x) · V'CX) V²(x) weitere wichtige Ableitungsbeispiele: Grad 2: Qadratische Funktion =eux.x1 2. f(x)=√x¹.ex Differentialquotient Der Differentialquotient entspricht der Steigung der Tangente in einem Punkt AY Yz-Y₁ X₂-X1 f(x) f(xo) t Produktregel f(x) = u(x). Vcx) → f'(x) = ('(x). V(X) + u(x). V'(x) Bsp.: f(x)=3+(x-1). ex = 1·²+ (x-1)-(-4). (fx - ex (1-3x + 1) = dx Faktorregel: f(x)=3x+2x³+6 f(x)=c-gcx) f'(x)=3+6x² f'(x) = c. g'cx) →X Der Abstand zwischen fox) und f(x) soll unendlich klein werden um eine Steigung Graph von fox) HP/TP/Sattelpunkt monoton steigend monoton fallend Wendepunkt = £x ²².ex+√x. = 1⁄2 e ² x (x ² = ² + √x²) Graphisches Ableiten = 1/2₁ e ¹²x (√x + √²) fox=x².ex Y WT m= lim fux)-f(x) = f'(xo) X-DX₂ X-Xo = Wendetangente aufstellen Grad lineare Funktion * Graph von f'(x) Nullstelle kurve liegt uber derx-Achse Kurve liegt unter der x-Achse Hoch-/Tiefpunkt = 1 3. f(x)= (x²+6) 1.ex (x²+651 f'(x) = − (x²+6) ¹². 2x -(x²+6j²-2x = -2x6 (x²+6)² 1 f(x)=-3x² f'(x) = 2.(-3)x f(x)=2x ex +x². ex .ex.(2x+x²) dy ax f"(x)= ex (x²+4x+2) >x f'(x)= ex (x²+6x+6) = f'(xo) dy = f'(x) dy Konstantenregel: f(x) = K t² = 0 Regeln bei Wurzeln und Kehrwerten: f(x) ==x^>f'(x)= -x². 12 f(x)= x= x³ →→ f'(x) = -3x4 = - 3- f(x)==x²¹ → fcx)= -1/2x² f(x)=√x²=x²² →→ f(x) = 2√x² Nullstelle Graph von f(x) Sattelpunkt: Nullstelle (x³ +=x+ ²√x²³¹= (x³) ²) x = -√√x³1 Grad 0: konstante Funktion f(x) = 5 f'(x)=0 X1₁2 == = -2± √(2)²-2 f'(xw) = m = ex. (x²+2x) = e(-2-√2²) Kriterium f"(x)= x (x²+4x+2) 0=ex (x²+4x+2) 1:ex lpg-Formel f'(x)=0 f'(x) >0 f'(x) <0 F"(x)=0 X₁=-2+√2²¹ X₂=-2-√√2 WP(-2-√210,384) ((-2-√2)+2.(-2-√2)) = 0,159 WT=g(x) = mx +b = 0,384 = 0,159. (-2-√√2¹) => b= 0,93 WOX) = 0,159.x+ 0,93 Kleiner Überblick. • Definitionsbereich, werte bereich • Funktion auf Symmetrie untersuchen • Verhalten von x→ ± ∞o • Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) • Wendepunkte (evtl. Sattelpunkte) • Monotonie Krümmung KURVENDISKUSSION Definitionsbereich Die Definitionsmenge D ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion f ein Funktionswert zugeordnet werden kann. Wichtigste zahlenmengen 1. Natürliche zahlen: № = {0, 1,2,3...} 2. Ganze Zahlen: Z = {...,-3,-2,-1,0, 1...} 3. Rationale Zahlen: Q = {m\m,n €Z, n=0} 4. Reele Zahlen: IR Extrempunkte. Nullstelle vorgehen: 1. Notwendige Bedingung: fo=0 → potentielle Extremstelle 2. Hinreichende Bedingung. •f"(XE) <0 Hochpunkt (HP) •f"(x) = 0 Sattelpunkt ! vorher VZW •f'(XE) >0 Tiefpunkt (TP) 3. Y-wert des EP ausrechnen Schnittpunkt Y-Achse Grenzverhalten Schnittpunkte erster Schritt in einer Funktionsuntersuchung: Schnittpunkte an x- und y-Achse bestimmen Sy (XIO) Sx(Olf(x)) Symmetrie Achsensymmetrisch. nur Exponenten müssen alle gerade sein (2.B. fox)= 3x4 -x² +1) Punktsymmetrisch: nur Exponenten müssen alle ungerade sein (z. B. f(x)=3x3-5x5+3x¹¹) Beispiel: 1. f(x)=x³+1/2x²-2x f'(x)=x²+x-2 •Monotonie 0= x²+x-2 1pq-Formel X₁,2== - 1 ± √(1²)² + 2 x₁=1 X₂ = -2 2. f"(1)=2·1+1=1>0 → TP f"(-2)=2(2)+1=-3<0 → HP 3. TPC11-) HP(-21) f'(x)=0 f(x) ist monoton wachsend/steigend f'(x) ≤0 f(x) ist monoton fallend f'(x) >0 →→ f(x) ist streng monoton wachsend /Steigend f'(x) <0 → f(x) ist streng monoton fallend Vorgehen: Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen und werte, die links und rechts von den Nullstellen liegen auf eine Änderung der Steigung überprüfen Wichtige Begriffe Extrempunkt (HP) Rechenweg Nullstelle Wendepunkt fix)=2x-x² Lim f(x) = ∞ X→-60 Wertebereich Der wertebereich w ist die Menge von y-werten, die man erhält, wenn man jedes möglich x in die Funktion fox) einsetzt → Alles, was für y rauskommen AY Beispiel: D Lim f(x) = ∞ x →DO →→X Extrempunkt (TP) - Verhalten für x → ± ∞ Das verhalten von f für x→± ∞ wird allein durch den höchsten Exponenten (anx") bestimmt gerade Funktionen: ungerade Funktionen: -8 ist der niedrigste y-wert, der erreicht wird. Nach oben gibt es jedoch keine Begrenzung • es kann jeder y-Went angenommen werden Grenzverhalten •Wendepunkte- Nullstelle Hato (Lim fx)): 2. (-x).(-x).(x). (x).(-x).(-x) = ∞ X→-∞ F"(x) >0 → f(x) ist linksgekrümmt →>>> bzw konvex U Beispiel: 1. f(x)= x³ f'(x)=3x² f"(x)=6x f'(X)=6 0=6x 1:6 хто 2. f (6)=0 f¹ (6) >0 = WP 3. f(0)-303-0 WP (010) f"(x) < 0 → f(x) ist rechtsgekrümmt bzw. konkav n g(x)=-1₁5x7+4x5-2x³ Lim g(x) = +∞o X→-∞ vorgenen: 1. Notwendige Bedingung: f(x)=0 → potentieller Wendepunkt 2. Hinreichende Bedingung: •f"(Xw) <0 links-rechts-WP •f(XW) #0 f (xw) >0 Rechts-links-wp 3. y-Wert des WP ausrechnen En sattelpunkt ist ein WP mit einer Steigung von 0 (f'(x)=0) T Lim g(x)=-∞ X→→∞ •Krümmung zur Beurteilung der Krümmung verwendet man häufig die II. Ableitung f(x) LK WP RK →X EXTREMWERTAUFGABEN Wozu dienen Extremwertprobleme? → Es geht darum Prozesse zu optimieren, minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder volumen zu erhalten. → Funktion wird gesucht, um das Problem zu beschreiben → Nur eine variable darf vorliegen, wenn mehrere dann, eliminieren" durch NB Beispiel Gegeben sei die Funktion f(x) im ersten Quadranten. Welche Koordinaten muss Punkt P besitzen, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist ? 1. Hauptbedingung aufstellen: Fläche des Dreiecks 3. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen: ↳ A₂ (u) = 12. U. (-1/4² +4,5) = 5. Restliche Werte bestimmen: A(3)=-43² +4,5 = 3 An P(313) ist das Dreieck maximal -124³ +2,254 → zielfunktion a max. Fläche nur 400m zaun WT 2. Nebenbedingung schreiben: In diesem Fall, dass der Punkt P auf dem Funktionsgraphen liegen mus ↳ so kann man die Grundseite g und die Höhe ʼn durch die Koordinaten von Persetzen g=u und n=f(u) - 1/4² +4,5 Typische Aufgaben. 1.) Fläche – Seitenlange begrenzt HB: A (a,b)= a⋅b NB: V(a,b) = 2.(a+b) = 400 ⇒b=200-a in HB ZF: A(a)= a² + 200 W A₁ = 1/2.g.h b ft(x) = (x+t)-ex f(x)= ex(-x-t+1) f'(x)= x (x+t-2) m =-e²+t (-1) Extremwertproblem mit Funktionsschar A₁ = 1/2.3.3 Steigung der WT: f't(2-t) = (2-t). (-(2-t)-t+x) -2+t =e flu) { = 4,5 cm² f"t(x)=ex (x+t-2) 1:e-x 0= x+t-2 1+2 1-t X2-twendepunkt t-2 a h 3a max. volumen nur 84cm Draht f(u) = -1/u²+4₁5 P(ulf(u)) и Die wendetangente von ft(x)= (x++) ·ex und die koordinaten achsen begrenzen ein Dreieck. Für welches & wird A maximal ? y-Achsenabschnitt: Wt(x) = mx tb zet-2=-et-2 (2-t) +b 1 + et-². (2-t) b=2e -tet-2. (2-t) b= (4-t)-et-2 2.)Quader-kantenlänge begrenzt HB: VCa,h) = 3a².h NB: K(a,h)=16a+ 4h=84 A" (u) = -1/u >X 4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen: f'(x)=0 A(u) = -4u²+2,25 =0 1-2,25 - 1u² = -2,₁25 1-(-4) u² = 9 IM = ft(x) = (x+4). ex ft (xw)=((2-t) +t). e²tt = 2e²4t Wp = (2-t12e-2) →h=21-4a ZF: v(a) = 30² (21-4a) - Vorgehensweise 1. Hauptbedingung aufstellen: was soll maxi-/minimal werden? 2. Rand bzw. Nebenbedingung: Angabe im Text 3. Nebenbedingung nach einer Variable umstellen und in Haupt- bedingung einsetzen → Zielfunktion 4. Zielfunktion auf Extrem Stellen untersuchen 5. Alle fehlenden werte bestimmen CRandwerte beachten!) 1473 -1.3/2 <0 → HP des Maximum ·3= Wt(x) = -²+x+((4-t). (8-2)) u₁=3 4₂ = -3 3.) Dose-Material begrenzt nur HB: V(rh)=Tr².h 300cm² NB: 0 (r,h) = 21TH ² +r.h=300 Material <>h= --r in HB ZF: VC)=150r -πt.r³ 300 2TT max. volumen 1. Hauptbedingung. A₁ = 1.g.h g= = Nullstelle WT (Xo) h=y-Achsenabschnitt WT 2. Nebenbedingung: g=Wt (t)=0=4-t h= (4-t)-et-2 3. Act) = (4-t)². et-z )= = (1/2t²-4t+8).et-z 4. Act) = et-². (t²-3++4) 1:6=-2 0=12t²-3t+4 1.2 0=t²-6t+8 1pq-Formel t₁ =4t₂ = 2 A" (4) >0 → min. A" (2) <0 max. t=2=max A A = 1gh A(2)=(2²-4.2+8) = 2 INTEGRALRECHNUNG Der orientierte Flächeninhalt Der Orientierte Flächeninhalt eines Ableitungsgraph (momentane Änderungsrate), zwischen Graph und x Achse beschreibt die Gesamfänderung der Funktion. 2.B. um welche Menge sich das Volumen des Wassers im Tank ändert. Bei normalen Polynomfunktionen muss man den Flächeninhalt mit Rechteck- summen berechnen. f(x). Ax ! Je kleiner die Abschnitte sind, desto besser ist die Annäherung an die Funktion F bzw. den Grenzwert. 8 4- 1 2 M₁ 3 6 M3 Funktion f Stammfunktion 8 4 1 n+1 Potenzregel хи M₂ M3 Eine Funktion F heißt integrierbar im Intervall [a; 6], wenn die Annäherungen duch Rechtecksummen von unten und von oben denselben Grenzwert liefern. Diesen Grenzwert nennt man (bestimmtes) Integral von fim intervall [a, b]. Das Integral entspricht dem orientierten Flacheninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse zwischen der unteren Grenze a un der oberen Grenze b einschließt. = хитл 2 m₁ d=100-1/2-e¹ 98,64 F(x)=1/12.ex + 9864 3 4 M₂ Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung [fwx)dx= [(Fox)] = (F(b)-(F(a)) Ist die Funktion f im Intervall [a;6] integrierbar und ist # eine Stammfunktion von a f im Intervall [a,b], so gilt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Der konstante summand fällt bei der Differenz weg, weshalb man mehrere Stammfunktionen einer Funktion zuordnen kann. Bsp.: f(x)= 3x² F(x)=x²³ F'(x)=3x² G(x)=x³+5 G(X) = 3x² Bestimmen von Stammfunktionen Stammfunktionen zu einfachen Funktionen: x² X 1 x²² Sin(x) COS(X) f(x) F(x) 33x³ 1⁄2x² x -xx -COSCX) sin(x) Bestimmen der Stammfunktion mit F(1) = 100: f(x) = 1/2.ex F(x)=1/12 · ex+d² F(1)=100 1/₁e¹+d=100 1-1½.e^ = Konstanter Faktor f(x)= c.g(x) F(x)= (-G(X) ex ex Bei einem Graph aus geradlinigen Teilstücken kann man den orientierten Flächeninhalt durch addieren der Flächen berechnen. A₁+ A₂-A3=SFE 6+2-3=SFE √²x²-e²x)dx= [(-x²-2x-2)] = (-10e²)-(-2.eº) = = 0,6466 A3m = f(m₁). 2 + f(m₂). 2+ f(m₂). 2~ 49,21 Beide Annäherungen (Annäherung von unten) Streben denselben A3,m= f(m) 2+f(m₂)·2+ f(M3):2≈ 57,49 Grenzwert an: 52,80 (Annäherung von oben) (=integrierbar) 3-1 2- 1- An Summenregel f(x) = g(x) +h(x) FLX)=G(X) +H(X) ! Az 1 2 3 4 5 6 A 3 Beispiele Kettenregel: f(x)= (₁³5)4 = 3.(1-5x); = 3 GT (-SX) (4) -3 = (1-5x)³ = 5₁1-SA)3 S(1-5x)³ nbe Obere Grenze ffow dx < Integrationsvariable - Integrand untere Grenze Lineare Substitution f(x) = g.(a.x+b) F(x)=G(ax+b) Rechenregeln für Integrale: rb a 1 [c-fix dx = cffcxax 6) figo+h(x) dx = fgwax + frix dx -Koeffizientenvergleich Um die Stammfunktion zusammengesetzter Funktionen aufzustellen kann man nicht wie beim Ableiten die Produktregel nutzen, sondern muss den koeffizientenvergleich anwenden f(x)= x².ex FX)= (2ax +b) -ex + (-ax²-bx-c) ex f(x)=x².e-x F(X) - Cax² +bx+ ().ex = ex(zax+b-ax²-bx-c) = (1x²+0x +0) ex ((-a)x² + (2a-b)x+ (b-c)) f(x)=√9-4x=(9-1x) ² = ³ (9-1x) ²²/ = 2√(9-³¹ a = -1 b = -2 -α = 1 2a-b=0 <=> b-c=0 F(x) = (x²-2x-2). ex C=-2 Berechnung von Flächeninhalten Fläche zwischen Funktion und x-Achse: Vorgehensweise: 1. Funktion im Intervall auf Nullstellen untersuchen 2. Integral aufstellen 3. Stammfunktion bilden 4. Beträge addieren Fläche zwischen zwei Function: Vorgehensweise: 1. Schnittstelle bestimmen. 2. Integral aufstellen 3. Flächen ausrechnen 4. Beträge addieren 4. A = |A₁|+|A₂| 94. Ал A = 281,25+24= 305,25 -4. /f-8- vorgehensweise: 1. Funktionen voneinander subtrahieren 2. neue Funktion ableiten 3. auf Extrem stellen untersuchen 4. Y-Wert ausrechnen Beispiel: 4 8 12 T ▶X A₂ 1. 1. f(x)=3(x+2)(x-3)(x-S) ↳₂ x₁=-2 X₂=3×3=5 3x³-18x²-3x+90 dx + 30 dx + | √3x³-187 2. →X 3. | √³x³- “- [3x4- 6x³2x² +90x] 6x³-2ײ+90×|ª|-|(155,25)-(-126)|=A₁ = |281,25| 30×]5|-|(131,25)-(155,25)|=A2=|-24| g(x)= 0,2x²-1,7x-1 f(x)= 0,1x³-x² +2 g(x) = f(x) X₁=-1; X₂=3; X3=10 10 2. · | [²(fox-gox) dx | + |1 ^ (f(x)-g(x) dx| 3 = |96|+|-42,9| 4. A 19,61+1-42,91= 52,5 -Minimaler/maximaler Abstand zwischen zwei Graphen Cohne Schnittpunkte!) 1. d(x) = f(x)-g(x) Veus fux) = Idmin dcx) = 2,75x²+2x+3 T g(x) x³-18x²-3x+90dx = A 0,2x²-1,7x-1= 0,1x²-x² +2 (3x²+2x+3)-(-0,25x²) 2. d'(x) = 5,5x+2 0=0,1x³-0,2x² +1,7x+3 3. 0= $Sx+2 1-2 1:5,5 x= -4 f"(-4)=5₁5 >0 → TP 4. d-)263 minimaler Albstand der 2 Funktionen: 2,63