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fus=2x-1
Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x=1/x

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komplette Zusammenfassung zu allem was man fürs ABI über Abalysis wissen muss :) -unterschiedliche Funktionen -Funktionsscharen -Differentialrechnung -Kurvendiskussion -Extremwertaufgaben -Integralrechnung

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-A 3 2- 1- i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x=1/x+b 3= 1·2+b (nach b umstellen b=2 → f(x)=x+2 * 5- 4- 3- 2- 0 Schnittpunkt zweier Geraden Bedingung: Die zwei Graphen müssen eine unterschiedliche Steigung da sie sonst parallel verlaufen (f(x)=2x+1; g(x)=2x) Vorgehensweise: f(x) = g(x) | gleichsetzen 2x+1=x+2 | nach x auflösen >X Normalparabel: x² Definition f(x)= mx +b (m, b ETR) max Definitions menge D₁ = TR graphische Darstellung: Gerade m - Steigung, b-y-Achsen abschnitt LINEARE FUNKTIONEN Schnittpunkte Achsen f(x)=2x-1 verschiebung in x-Richtung: •d>0: Verschiebung um d nach rechts •d< 0: Verschiebung um d nach links →y-Achsenabschnitt ablesbar x = 0,4 | y-wert ausrechnen Y = 2.(0,4) +1 Y = 1,8 → S(0,411,8) Y=-1 →x-Achsen abschnitt: f(x) = 0 <=> 0=2x-1 → Xn=0₁5 (x+1)² Einfluss der Parameter in Scheitelform Öffnungsrichtung und Streckung / Stauchung: • a>0: Parabel nach oben geöffnet • aco: Parabel nach unten geöffnet • lak<1: Parabel Richtung 4-Achse gestaucht • lala: Parabel Richtung y-Achse gestreckt Orthogonale Geraden: D f(x) = g(x) ・Definition f(x) = ax² +bx+c a,b,c ER und a*o max Definitions menge D₁ = TR (x-1)² Steigung •wenn m>0, steigt der Graph •wenn m<o, fällt der Graph • wenn m=0 verläuft die Gerade waagerecht parallel zur x-Achse •Steigung berechnen- allgemein: m = tan(x) = Bsp: P₁(21-3), P₂ (416) 2 = keine Lösung D<O m = m/m1 슬 Homen kein QUADRATISCHE FUNKTIONEN Scheitelpunktform: f(x)= a(x-d)²+e → HP (dle) direkt ablesbar nullstellen → Anzahl der Nullstellen wird durch die Diskriminante D= 6³²-4ac angegeben Y * # →PQ-Formel: X₁,2 = -1/2 ± √(2) ²-q² (f(x)=x²+px+q) PQ-Formel funktioniert nicht mit vorfaktor a ! 12x² 1-2x² eine Lösung D=O -1/2x² verschiebung in y-Richtung: •e>o: verschiebung um e nach oben •e<o:...

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Verschiebung ume x²1 nach unten m=1 n=-2 Have You to m = 6-(-3) 2=4₁5 →- • fox) = 4,5x+b 4-2 Punktprobe nachweisen, ob Punkt auf dem Graphen liegt 1. Punkt in Gleichung einsetzen 2. Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Bsp.: P₁(213) fx)=1/(x+2 1. 3= 1/-2+2 f(x₂)-f(x₁) X2-X1 2. 3=3 → Punka tiegt auf der Geraden Bsp.: P₂ (115) f(x)= 1/2x+2 1.5=1/2·1+2 5 2,5 → Punkt liegt nicht auf der Geraden zwei Lösungen D>O (x₁+x₂) Umformungen von Normalform in Scheitelform: f(x)=x² +6x+8 IQE = x² + 6x +(²(2)² +8 | berechnen = x² +6x +9-9 +8 | binomische Formel = (x + 2)²-9 +8 | vereinfachen = (x+3)²-1 Scheitelform von Scheitelform in Normalform: 1. f(x)=(x-4)² +5 I binomische Formel =x²-8x+16+5 I vereinfachen =x²-8x+21 (→ Normalform 2. f(x) = 4(x-3)² +61 2. binomische Formel = 4(x²-6x+9) +6 | ausmultiplizieren = 4x²-24x+42 → allgemeine Form Schnittpunkte mit den Achsen: →>> fox)=0 Schnittpunkt x-Achse f(0) = 5 Schnitt punkt y-Achse f'(x)= 2ax+b F(x)=x²+2x² + cx+d Definition. f(x)= anx"+an-^x^-+Q n-zx^-².+Q₁x + Qo, NEIN Df=TR ganzrationale Funktion n-ten Grades Die höchste Potenz gibt den Grad der Funktion an Lineare Gleichungssysteme lösen. Form: f(x)=ax² +bx+c I a. 2²+ b 2 + c = 8 II: Q .(-1)² + b⋅ (1)³²³ +C = -1 II: a·(-4)³²+ b⋅ (4)² + c = -4 I: 40+2b+c=8 I: 1a-b+c= -1 II: 16a-4b+c= -4 "b" ausrechnen: 9= 3-1 +36 bb= ||f(x)=x²+x+y Rechenweg (Lim f(x)): 2. (-x).(-x).(-x). (x).(-x).(-x) = ∞ X4-00 Verhalten für x = ∞ Das verhalten von f für x→±∞ wird allein durch den höchsten Exponenten (anx") bestimmt Y₁ f(x)=sin(x) f(x) = cos(x) HP Amplitude (TT11) -1 글자 in y-Richtung: •a>1: Steckung •1>a>0 Stauchung streckung /Stauchung in x-Richtung: •Streckung 0<b<1 Stauchung b>1 儿 RT (TT (1) -यां है। -TT Punkte: f(2)=8, f(-11-1), f(-41-4) "C" eliminieren: I.-T.:9-3a+ 3b I I-II. 3-15a +36 I "a" ausrechnen: -:6-18a → a=4 a und bin I einsetzen: -1=+c→→ 1+ Tangensfunktion F Einfluss der Parameter in Scheitelform Streckung /Stauchung 1- A -^- X 2+ -1 + 1 g(x)=sin(x) f(x) = 1,5 sin(x) ~ POLYNOMFUNKTION TT Str 1 g(x)=sin(x) f(x) = sin(0,5x) ہنے E Beispiel: 3x4+7x²+x+9 => Funktion 4. Grades (Sy(019)) 24T 2-TT 2TT Länge der Periode TT ist a oder b negativ wird die Funktion an der x- Achse gespiegelt b= TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN -Definition |fx)= a.sin(b. (x-C) +d; x ER |fcx = a.cos(b⋅ (x-C) +d Dmax=R 3TT Symmetrie • nur gerade Exponenten f(-x)=f(x) Bsp.: fox)=2x-x² +1 → Achsensymmetrisch zur Y-Achse •nur ungerade Exponenten f(-x) = -f(x) Bsp.: fox)= 1,5x7+4,5x³ → Punkatsymmetrisch zum Ursprung nullstellen Eine Polynomfunktion mit dem Grad f=n>o nat höchstens n verschiedene Nullstellen Bsp: fox)= 3x6 +5x²... (Xn=max.6) 2. Substitution: 4TT 1. X-ausklammern: 0=-3x³+2x²-2x 1 x auskl. 0= x(-3x²+2x-2) 1:X 0=-3x²+2x-2 I PQ-Formel X₁=0, X₂=1,54₁ X3 = 0,23 x₁ = 0,23 3. Klammernschreibweise: gerade Funktionen: Ein Produkt wird null, wenn ein Faktor=0" 0= (x+5)-(x-² x₁=-5 doppelte X2,3 = 1/3 ungerade Funktionen: fix)=2x-x² lim f(x) = ∞ X→-00 Lim f(x) = ∞ x →DO Sin( )= Verhältnis sink ) = winkel verschiebung in y-Richtung: d>0 nach oben d<0 nach unten verschiebung in x-Richtung: • nach rechts C<O nach links occ Definition f(x)=tan(x) tan(x) = sin(x) D=Ry# (k+¹₂). πT, KEZ; W=TR COS (X) -1. AA Punktsymmetrisch zum Koordinaten ursprung Ableitung Tangens: (tan(x))²1+tan²(x) Stammfunktion: F(x) = -(n (IcOS(X)I) fix)=x4-13x²+36 | x² = z nullstellen Bsp: fox)= 63.sin (2T (X-7,5)) +10 1-10 -10= 63 Sin (2)(x-7,5) 1:63 |: Sin (²) -0,763 = x-7,5 1+7,5 6,7xx Ceine von vielen Nullstellen) TT Z²-13z +36 1 PQ-Formel Z₁ =4₁ Z₂ =9 IIM x₁ = ±2 x₂ = ±3 COS(X) g(x)=-1₁5x7+4x5-2x³ Lim g(x) 84-8 2-TT 2-TT Lim x →∞0 ∞0+ = 1 g(x)=sin(x) fox) = sin(x) + 1 - =-∞ sin(x) -sincx) 815 g(x)=sin(x) fox)=sin(x-1) Ableitung Str ATT COS(X) Ableitung Bsp: f(x)= 2.sin(6x-2) + cos(x) +18 f'(x) = 12 cos(6x-2)-sin (2x) Lineares Wachstum Die Differenz d-B(n)-B(n-1) ist konstant und heißt Wachstumsrate ↳ Explizite Rechnung: B(n)= B(o) + n・d Definition a(x-d) (+b) f(x)= a.q Q>1=zunehmend ↑ Anfangswert Wachstumsfaktor 9<1= abnehmend Berechnung von 9: Bsp: B(0)=0,3 (6)=0=2=9615 B(6)=0,6 9~1,2 EXPONENTIALFUNKTIONEN f fox)= ex g(x)=2ex ha=15X+1 2 +^ 7- 6- 5+ 4+ 3+ 2+ 0 2 +2 -Definition |f(x)=a.ex+b natürliche Exponentialfunktion max Definitionsmenge: Df=R W==R* Eigenschaften- •Y-Achsenabschnitt: Der Schnittpunkt ist bei der Grundform bei Sy COW). Hat die Funktion einen Vorfaktor oder einen lineaven Faktor ergibt sich daraus ein neuer Achsenabschnitt •Monotonie: für 0<a < 1 streng monoton abnehmend, für a>^ streng monoton zunehmend. Es existieren keine Extrema Ableitungen Eine E-Funktion ist grundsätzlich sehr leicht abzuleiten, weil sie an jeder Stelle die eigene Steigung angibt. f(x)=ex f'(x)= ex Weicht die Funktion von der Normalform ab f(x)=e²x f'(x)=2e²x → Verkettung innerhalb der Funilation /900)=2-1,5%/ kommt von der Exponentialfunktion fox)=ax t the too b→ verschiebung entlang der y-Achse verknüpfung von ganzrationalen Funktionen & E-Funktionen: f(x)= k·ex + g(x) → f'(x)= k·ex + g'(x) Exponentielles Wachstum 9= Eigenschaften 1. Nullstellen: Exponential funktionen haben keine Nullstellen wenn b=0 ist 2. Asymptote: die x-Achse ist ist Asymptote der Exponentialkurven. Es gilt für 0<a<1: Lim ax=0 und für a>1: lim X→DO X-→-D f(x)=1₂5x 4 ynti-Yn Yn explizite Rechnung: B(n)= B(o)-qh -Logarithmus Der Logarithmus von b zur Basis a ax=b x=Loga (6) ist diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Man schreibt kurz: loga (b) natürlicher Logarithmus: Die Zahl e ist auch gleichzeitig die Basis des natürlichen Logarithmus E-FUNKTIONEN Der Quotient ist konstant und heißt Wachstumsfaktor KX)= 45X-2 Streckung des Graphen: f(x) = 1,5x g(x) = 2·1,5*: Um Faktor 2 in y-Richtung Verschiebung in y-Richtung: h(x)=1,5x+1 : 1st um AE nach oben verschoben verschiebung in x-Richtung: K= 1,5X-2 : *-9x=₁²*=+ Logarithmusgesetze 1. log (u.v) = Log (u) + log (v) 2. Log (4) = log (u)- (og (v) : Ist um 2E nach rechts verschoben 1. Logarithmus nutzen: e²x 7ex=0 lex = z Fuler'sche zahl e≈2,71... Die euler'sche Zahl ist eine irrationale Zahl, da sie unendlich viele kommastellen hat. (ähnlich wie TT) •Sie ist die Basis einer natürlichen Exponential funktion. Z²-77=0 Z(z-7)=0 1: Z Z=7 lex = z →ex = 7 In () x= 1,94 (n(x) = log₂ (x) nullstellen Die Grundform besitzt keine Nullstellen. Sofern die Funktion sich von dieser unterscheidet können Nullstellen entstehen 2. ex ausklammern: f(x)= ex. (2x-5) f'(x)= ex. (2x-3) 1:ex = 2x-3 +3 1:2 X = 1,5 ! Funktioniert nur, wenn jede zahl mit ex als Produkt vebunden ist. 3. Log (u) = v. Log (u) 4. Log/√=· Log (u) - Bsp: f(x)=x³+ež ež F(x)=2x4+ =12x4+ e ax=0 euos (I'(X) Stammfunktion um die E-Funktion aufzuleiten wird durch die Ableitung des Exponenten geteilt f(x) = eux) F(x) = gw=²x-2x G(x)=- _ezx - x² 1600- 1200 800+ 400- 0 a=22 a=20 a=26 a=24 12t²=X² x₁ = 12t 3 2 Nullstellen Nullstellen einer Funktionsschar sind häufig abhängig von dem Parameter Bsp: f(x)= x³-12t²x 0 = x³-12+²x Ix auskl. 0= x (x²-12t²) 1:x 0= x²-12t² 1+12+² H x₂ = -12t 2 1 =-k.exx, 7 Kunvendiskussion Beispiel fWx=x.ekx fk (k>0) f'(x) = ekx +x. (+). (*x = e-kx (1-kx) f"(x) = -ke-kx.(1-kx) +- (**(K) 6 8 10 * (2-kx) /K=O 12 _k=a5 K=1 T 1 2 3 4 FUNKTIONSSCHAR Definition Eine Funktionschar ft ist eine Menge von Funktionen, da sie neben der Variable x noch einen weiteren Parameter hat • Für jedes t ER ist dabei eine Funktion gegeben • Mit dem Parameter rechnet man so, als wäre es eine reele zahl, die für den Moment noch nicht genauer bekannt ist. Parameter berechnen Für welchen wert vonk verläuft der Graph von fe durch P(11-3): Bsp: fk (x)= x³-kx (k>0) -3=1³-K.1 -3-1-k -4=K Verhalten: lim = -00 X-∞ lim = X→∞ Integralrechnung Fläche in Abhängigkeit von k berechnen: 8p: jck-ex-1) dx =3 [k·ex -x]= (ke¹-4)-K =3 K= Symmetrie keine PS und As 1-1 ->K=4 7 еч-л Schnittstellen: Sy(010) Sx (010) TP(ek) WP(12²) еч к-4-k=3 1+4 e4k-k=7 (e4-1). K= 7 1 = kx 1: K x = = Extrempunkte: f'k(x)=e*x (1-kx) 0=e=kx (1-kx) 1:e-kx 0 = 1-kx 1-1 1-(-1) xst f(²)= £²e² Fe = 0=3.0²-k Steigung berechnen Welche Steigung hat der Graph im Ursprung? f(x)=3x² - K f"(x)= k·ekx (2-KX) f" (1)= -Ke^- (2-1) = -K. 0,37 => TP Itk Gemeinsame Punkte aller Graphen 1. Funktionen mit allgemeinen Punkten aufstellen 2. Funktionen gleichsetzen und lösen ft(x)=x³-tx f₁(x)=x³-t₁(x) ftz (X) = x³-t₂(x) ft₁(x) = ft₂(x) x³-t₁.x = x³-t₂-x 1-x³ -t₁x = -t₂-X 1+t₂x Beispiel: facx)= ax³+x²-x fax)= 3ax²+2x-1 f₁cx)=1x³+x²- 1x fs(x) = 5x³+x²-x ⇓ X=0 -t₁x+t₂x = 0 x(-t₁+t₂)=0-t₁+tz=0 k = 0 =x Wendepunkte: f"k(x)=-k-ekx (2-kx) 2= kx 0=-k₁ekx (2-kx) = (-k.e**) 1-2 1. (-1) (2-kx) 1: K t₂=t₁= fk (²) = 2/2 ek. Z = ²/1/2-e² 2.6² k Differenzenquotient Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung zwischen zwei Punkten x (Selcantensteigung) m= Af = dy = fox₂)-f(x) X₂-X1 →wird auch oft als "mittlere Anderungsrate" bezeichnet Ableitungsregeln Potenzregel: f(x)= x^ Beispiel: f'(x)=n-x^-^ f(x)=x5 >f'(x)=5x4 Kettenregel fox) = u(v(x)) → f'(x) = ('(v(x))- V'(X) Bsp.: fox)= 3e²x g(x)=3sin (2x) f'w=6e²x g'(x) = 6COS (2X) äußere mal innere Aldeitung" Quotientenregel: f(x) = √∞ U(X) Grad 3: kubische Funktion/ f'(x) O > пхп-л Z7X COS(x) 1 COS²(x) ax. (n(a) ex zezx x. un(b) f(x) a; GER X хи +x 슷 ex F(X) n+^ 3x²+C (n (x) + C sin(x) -COSCx)+c tan(x) -In Itan(x)) ax ezx Logo (x) ax+c 1x²+c .n+1 xm dx extc 1/3. e²x DIFFERENTIALRECHNUNG idy Summenregel: f(x) = u(x)+v(x) f'(x)=U'(x)+V'(X) Geometrische Bedeutung von Ableitungen Die Ableitung gibt die Steigung der Grundfunktion an. So kommt es immer wieder zu einem vorzeichen wechsel im negativen Bereich, was zu einer veränderung des verlaufs der Funktion im negativen Bereich führt. Grade et funktion X Grad 2: Qadratische Funktion Differentialquotient Der Differentialquotient entspricht der Steigung der Tangente in einem Punkt y₂-y₁ X₂-X1 fox) f(x) → f'(x) = ('(x). V(X) - U(X) · V'CX) V²(x) Produktregel f(x) = u(x). Vcx) → f'(x) = ('(x) · V(x) + u(x). V'(x) Bsp.: f(x)=3+(x-1). ezx = 1. e^= x + (x-1)-(-_^); (Ax - ex (1-3x+¹) fox=x².ex WT Graphisches Ableiten Graph von fux) HP/TP/Sattelpunkt monoton steigend monoton fallend Wendepunkt weitere wichtige Ableitungsbeispiele: |1. f(x)= x =e4xx1 2. f(x)=√x².ex f'(x) = 4e4x.x1 +e4x. (x²) = £x ²².6²x+√x.1.ex e4x ((4-x-1)+(-x²) =e4x ((+)-1) = 1/e²x (x^² + √x²) = 1/2.ex (√x + √²) Som ax ➜→x Der Abstand zwischen fox) und f(x) soll unendlich klein werden um eine Steigung Faktortegel: f(x)=3x+2x³+6 fox)=c-goxx) f(x)=-3x² f'(x)=3+6x² f'(x)=C-g'(x) f'(x) = 2.(-3)x 3. f(x)= Wendetangente aufstellen Y = m= Lim fox)-f(x) = f'(xo) X-DX₂ X-Xo (x²+6) (x²+6) = (x²+651 Nullstelle kurve liegt uber derx-Achse Kurve liegt unter der x-Achse Hoch-/Tiefpunkt (x²+6)² Graph von f'(x) f'(x) = -(x²+6)²2x ..2x = f'(x)=2x-ex + x². ex = ex.(2x+x²) f"=ex (x²+x+2) >x f'(x)= ex (x²+6x+6) dy ax 2x (x²+6)² = f'(xo) dy = f'(x)-dy Konstantenregel: f(x) = k k = 0 Regeln bei Wurzeln und Kehrwerten: f(x) == x₁ → f'(x) = -x ² = - 11/2² f(x)==x²³fx=-3x4= f(x)==x²¹² →flcx)= −1⁄2x² = -24x3 fox)=√x² = x² →→ f(x) = 2√x f(x)=5 f'(x)=0 Nullstelle (x³ +²=x+ ²√x²³² = (x³) ²) x² = √√x³1 Graph von f"(x) Sattelpunkt: Nullstelle Grad 0: konstante Fundation f'(xw) = m = ex. (x²+2x) Kriterium f'(x)=0 f'(x) >0 f'(x) <0 f"(x)=0 f"(x)= x (x²+x+2) 0=ex (x²+4x+2) 1:ex lpg-Formel X1₁2 = -2± √(2)²-2 x₁=-2+√²² X₂=-2-√√√2¹ WP(-2-√2¹10,384) = e(²-2-√2¹). ((-2-√2¹) +2.(-2-√2²)) = 0,159 WT = g(x) = mx +b = 0,384 = 0,159.(2-√√2¹) ⇒b=993 WOX)=0,159.x+ 0,93

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fus=2x-1
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2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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Verschiebung ume x²1 nach unten m=1 n=-2 Have You to m = 6-(-3) 2=4₁5 →- • fox) = 4,5x+b 4-2 Punktprobe nachweisen, ob Punkt auf dem Graphen liegt 1. Punkt in Gleichung einsetzen 2. Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Bsp.: P₁(213) fx)=1/(x+2 1. 3= 1/-2+2 f(x₂)-f(x₁) X2-X1 2. 3=3 → Punka tiegt auf der Geraden Bsp.: P₂ (115) f(x)= 1/2x+2 1.5=1/2·1+2 5 2,5 → Punkt liegt nicht auf der Geraden zwei Lösungen D>O (x₁+x₂) Umformungen von Normalform in Scheitelform: f(x)=x² +6x+8 IQE = x² + 6x +(²(2)² +8 | berechnen = x² +6x +9-9 +8 | binomische Formel = (x + 2)²-9 +8 | vereinfachen = (x+3)²-1 Scheitelform von Scheitelform in Normalform: 1. f(x)=(x-4)² +5 I binomische Formel =x²-8x+16+5 I vereinfachen =x²-8x+21 (→ Normalform 2. f(x) = 4(x-3)² +61 2. binomische Formel = 4(x²-6x+9) +6 | ausmultiplizieren = 4x²-24x+42 → allgemeine Form Schnittpunkte mit den Achsen: →>> fox)=0 Schnittpunkt x-Achse f(0) = 5 Schnitt punkt y-Achse f'(x)= 2ax+b F(x)=x²+2x² + cx+d Definition. f(x)= anx"+an-^x^-+Q n-zx^-².+Q₁x + Qo, NEIN Df=TR ganzrationale Funktion n-ten Grades Die höchste Potenz gibt den Grad der Funktion an Lineare Gleichungssysteme lösen. Form: f(x)=ax² +bx+c I a. 2²+ b 2 + c = 8 II: Q .(-1)² + b⋅ (1)³²³ +C = -1 II: a·(-4)³²+ b⋅ (4)² + c = -4 I: 40+2b+c=8 I: 1a-b+c= -1 II: 16a-4b+c= -4 "b" ausrechnen: 9= 3-1 +36 bb= ||f(x)=x²+x+y Rechenweg (Lim f(x)): 2. (-x).(-x).(-x). (x).(-x).(-x) = ∞ X4-00 Verhalten für x = ∞ Das verhalten von f für x→±∞ wird allein durch den höchsten Exponenten (anx") bestimmt Y₁ f(x)=sin(x) f(x) = cos(x) HP Amplitude (TT11) -1 글자 in y-Richtung: •a>1: Steckung •1>a>0 Stauchung streckung /Stauchung in x-Richtung: •Streckung 0<b<1 Stauchung b>1 儿 RT (TT (1) -यां है। -TT Punkte: f(2)=8, f(-11-1), f(-41-4) "C" eliminieren: I.-T.:9-3a+ 3b I I-II. 3-15a +36 I "a" ausrechnen: -:6-18a → a=4 a und bin I einsetzen: -1=+c→→ 1+ Tangensfunktion F Einfluss der Parameter in Scheitelform Streckung /Stauchung 1- A -^- X 2+ -1 + 1 g(x)=sin(x) f(x) = 1,5 sin(x) ~ POLYNOMFUNKTION TT Str 1 g(x)=sin(x) f(x) = sin(0,5x) ہنے E Beispiel: 3x4+7x²+x+9 => Funktion 4. Grades (Sy(019)) 24T 2-TT 2TT Länge der Periode TT ist a oder b negativ wird die Funktion an der x- Achse gespiegelt b= TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN -Definition |fx)= a.sin(b. (x-C) +d; x ER |fcx = a.cos(b⋅ (x-C) +d Dmax=R 3TT Symmetrie • nur gerade Exponenten f(-x)=f(x) Bsp.: fox)=2x-x² +1 → Achsensymmetrisch zur Y-Achse •nur ungerade Exponenten f(-x) = -f(x) Bsp.: fox)= 1,5x7+4,5x³ → Punkatsymmetrisch zum Ursprung nullstellen Eine Polynomfunktion mit dem Grad f=n>o nat höchstens n verschiedene Nullstellen Bsp: fox)= 3x6 +5x²... (Xn=max.6) 2. Substitution: 4TT 1. X-ausklammern: 0=-3x³+2x²-2x 1 x auskl. 0= x(-3x²+2x-2) 1:X 0=-3x²+2x-2 I PQ-Formel X₁=0, X₂=1,54₁ X3 = 0,23 x₁ = 0,23 3. Klammernschreibweise: gerade Funktionen: Ein Produkt wird null, wenn ein Faktor=0" 0= (x+5)-(x-² x₁=-5 doppelte X2,3 = 1/3 ungerade Funktionen: fix)=2x-x² lim f(x) = ∞ X→-00 Lim f(x) = ∞ x →DO Sin( )= Verhältnis sink ) = winkel verschiebung in y-Richtung: d>0 nach oben d<0 nach unten verschiebung in x-Richtung: • nach rechts C<O nach links occ Definition f(x)=tan(x) tan(x) = sin(x) D=Ry# (k+¹₂). πT, KEZ; W=TR COS (X) -1. AA Punktsymmetrisch zum Koordinaten ursprung Ableitung Tangens: (tan(x))²1+tan²(x) Stammfunktion: F(x) = -(n (IcOS(X)I) fix)=x4-13x²+36 | x² = z nullstellen Bsp: fox)= 63.sin (2T (X-7,5)) +10 1-10 -10= 63 Sin (2)(x-7,5) 1:63 |: Sin (²) -0,763 = x-7,5 1+7,5 6,7xx Ceine von vielen Nullstellen) TT Z²-13z +36 1 PQ-Formel Z₁ =4₁ Z₂ =9 IIM x₁ = ±2 x₂ = ±3 COS(X) g(x)=-1₁5x7+4x5-2x³ Lim g(x) 84-8 2-TT 2-TT Lim x →∞0 ∞0+ = 1 g(x)=sin(x) fox) = sin(x) + 1 - =-∞ sin(x) -sincx) 815 g(x)=sin(x) fox)=sin(x-1) Ableitung Str ATT COS(X) Ableitung Bsp: f(x)= 2.sin(6x-2) + cos(x) +18 f'(x) = 12 cos(6x-2)-sin (2x) Lineares Wachstum Die Differenz d-B(n)-B(n-1) ist konstant und heißt Wachstumsrate ↳ Explizite Rechnung: B(n)= B(o) + n・d Definition a(x-d) (+b) f(x)= a.q Q>1=zunehmend ↑ Anfangswert Wachstumsfaktor 9<1= abnehmend Berechnung von 9: Bsp: B(0)=0,3 (6)=0=2=9615 B(6)=0,6 9~1,2 EXPONENTIALFUNKTIONEN f fox)= ex g(x)=2ex ha=15X+1 2 +^ 7- 6- 5+ 4+ 3+ 2+ 0 2 +2 -Definition |f(x)=a.ex+b natürliche Exponentialfunktion max Definitionsmenge: Df=R W==R* Eigenschaften- •Y-Achsenabschnitt: Der Schnittpunkt ist bei der Grundform bei Sy COW). Hat die Funktion einen Vorfaktor oder einen lineaven Faktor ergibt sich daraus ein neuer Achsenabschnitt •Monotonie: für 0<a < 1 streng monoton abnehmend, für a>^ streng monoton zunehmend. Es existieren keine Extrema Ableitungen Eine E-Funktion ist grundsätzlich sehr leicht abzuleiten, weil sie an jeder Stelle die eigene Steigung angibt. f(x)=ex f'(x)= ex Weicht die Funktion von der Normalform ab f(x)=e²x f'(x)=2e²x → Verkettung innerhalb der Funilation /900)=2-1,5%/ kommt von der Exponentialfunktion fox)=ax t the too b→ verschiebung entlang der y-Achse verknüpfung von ganzrationalen Funktionen & E-Funktionen: f(x)= k·ex + g(x) → f'(x)= k·ex + g'(x) Exponentielles Wachstum 9= Eigenschaften 1. Nullstellen: Exponential funktionen haben keine Nullstellen wenn b=0 ist 2. Asymptote: die x-Achse ist ist Asymptote der Exponentialkurven. Es gilt für 0<a<1: Lim ax=0 und für a>1: lim X→DO X-→-D f(x)=1₂5x 4 ynti-Yn Yn explizite Rechnung: B(n)= B(o)-qh -Logarithmus Der Logarithmus von b zur Basis a ax=b x=Loga (6) ist diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Man schreibt kurz: loga (b) natürlicher Logarithmus: Die Zahl e ist auch gleichzeitig die Basis des natürlichen Logarithmus E-FUNKTIONEN Der Quotient ist konstant und heißt Wachstumsfaktor KX)= 45X-2 Streckung des Graphen: f(x) = 1,5x g(x) = 2·1,5*: Um Faktor 2 in y-Richtung Verschiebung in y-Richtung: h(x)=1,5x+1 : 1st um AE nach oben verschoben verschiebung in x-Richtung: K= 1,5X-2 : *-9x=₁²*=+ Logarithmusgesetze 1. log (u.v) = Log (u) + log (v) 2. Log (4) = log (u)- (og (v) : Ist um 2E nach rechts verschoben 1. Logarithmus nutzen: e²x 7ex=0 lex = z Fuler'sche zahl e≈2,71... Die euler'sche Zahl ist eine irrationale Zahl, da sie unendlich viele kommastellen hat. (ähnlich wie TT) •Sie ist die Basis einer natürlichen Exponential funktion. Z²-77=0 Z(z-7)=0 1: Z Z=7 lex = z →ex = 7 In () x= 1,94 (n(x) = log₂ (x) nullstellen Die Grundform besitzt keine Nullstellen. Sofern die Funktion sich von dieser unterscheidet können Nullstellen entstehen 2. ex ausklammern: f(x)= ex. (2x-5) f'(x)= ex. (2x-3) 1:ex = 2x-3 +3 1:2 X = 1,5 ! Funktioniert nur, wenn jede zahl mit ex als Produkt vebunden ist. 3. Log (u) = v. Log (u) 4. Log/√=· Log (u) - Bsp: f(x)=x³+ež ež F(x)=2x4+ =12x4+ e ax=0 euos (I'(X) Stammfunktion um die E-Funktion aufzuleiten wird durch die Ableitung des Exponenten geteilt f(x) = eux) F(x) = gw=²x-2x G(x)=- _ezx - x² 1600- 1200 800+ 400- 0 a=22 a=20 a=26 a=24 12t²=X² x₁ = 12t 3 2 Nullstellen Nullstellen einer Funktionsschar sind häufig abhängig von dem Parameter Bsp: f(x)= x³-12t²x 0 = x³-12+²x Ix auskl. 0= x (x²-12t²) 1:x 0= x²-12t² 1+12+² H x₂ = -12t 2 1 =-k.exx, 7 Kunvendiskussion Beispiel fWx=x.ekx fk (k>0) f'(x) = ekx +x. (+). (*x = e-kx (1-kx) f"(x) = -ke-kx.(1-kx) +- (**(K) 6 8 10 * (2-kx) /K=O 12 _k=a5 K=1 T 1 2 3 4 FUNKTIONSSCHAR Definition Eine Funktionschar ft ist eine Menge von Funktionen, da sie neben der Variable x noch einen weiteren Parameter hat • Für jedes t ER ist dabei eine Funktion gegeben • Mit dem Parameter rechnet man so, als wäre es eine reele zahl, die für den Moment noch nicht genauer bekannt ist. Parameter berechnen Für welchen wert vonk verläuft der Graph von fe durch P(11-3): Bsp: fk (x)= x³-kx (k>0) -3=1³-K.1 -3-1-k -4=K Verhalten: lim = -00 X-∞ lim = X→∞ Integralrechnung Fläche in Abhängigkeit von k berechnen: 8p: jck-ex-1) dx =3 [k·ex -x]= (ke¹-4)-K =3 K= Symmetrie keine PS und As 1-1 ->K=4 7 еч-л Schnittstellen: Sy(010) Sx (010) TP(ek) WP(12²) еч к-4-k=3 1+4 e4k-k=7 (e4-1). K= 7 1 = kx 1: K x = = Extrempunkte: f'k(x)=e*x (1-kx) 0=e=kx (1-kx) 1:e-kx 0 = 1-kx 1-1 1-(-1) xst f(²)= £²e² Fe = 0=3.0²-k Steigung berechnen Welche Steigung hat der Graph im Ursprung? f(x)=3x² - K f"(x)= k·ekx (2-KX) f" (1)= -Ke^- (2-1) = -K. 0,37 => TP Itk Gemeinsame Punkte aller Graphen 1. Funktionen mit allgemeinen Punkten aufstellen 2. Funktionen gleichsetzen und lösen ft(x)=x³-tx f₁(x)=x³-t₁(x) ftz (X) = x³-t₂(x) ft₁(x) = ft₂(x) x³-t₁.x = x³-t₂-x 1-x³ -t₁x = -t₂-X 1+t₂x Beispiel: facx)= ax³+x²-x fax)= 3ax²+2x-1 f₁cx)=1x³+x²- 1x fs(x) = 5x³+x²-x ⇓ X=0 -t₁x+t₂x = 0 x(-t₁+t₂)=0-t₁+tz=0 k = 0 =x Wendepunkte: f"k(x)=-k-ekx (2-kx) 2= kx 0=-k₁ekx (2-kx) = (-k.e**) 1-2 1. (-1) (2-kx) 1: K t₂=t₁= fk (²) = 2/2 ek. Z = ²/1/2-e² 2.6² k Differenzenquotient Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung zwischen zwei Punkten x (Selcantensteigung) m= Af = dy = fox₂)-f(x) X₂-X1 →wird auch oft als "mittlere Anderungsrate" bezeichnet Ableitungsregeln Potenzregel: f(x)= x^ Beispiel: f'(x)=n-x^-^ f(x)=x5 >f'(x)=5x4 Kettenregel fox) = u(v(x)) → f'(x) = ('(v(x))- V'(X) Bsp.: fox)= 3e²x g(x)=3sin (2x) f'w=6e²x g'(x) = 6COS (2X) äußere mal innere Aldeitung" Quotientenregel: f(x) = √∞ U(X) Grad 3: kubische Funktion/ f'(x) O > пхп-л Z7X COS(x) 1 COS²(x) ax. (n(a) ex zezx x. un(b) f(x) a; GER X хи +x 슷 ex F(X) n+^ 3x²+C (n (x) + C sin(x) -COSCx)+c tan(x) -In Itan(x)) ax ezx Logo (x) ax+c 1x²+c .n+1 xm dx extc 1/3. e²x DIFFERENTIALRECHNUNG idy Summenregel: f(x) = u(x)+v(x) f'(x)=U'(x)+V'(X) Geometrische Bedeutung von Ableitungen Die Ableitung gibt die Steigung der Grundfunktion an. So kommt es immer wieder zu einem vorzeichen wechsel im negativen Bereich, was zu einer veränderung des verlaufs der Funktion im negativen Bereich führt. Grade et funktion X Grad 2: Qadratische Funktion Differentialquotient Der Differentialquotient entspricht der Steigung der Tangente in einem Punkt y₂-y₁ X₂-X1 fox) f(x) → f'(x) = ('(x). V(X) - U(X) · V'CX) V²(x) Produktregel f(x) = u(x). Vcx) → f'(x) = ('(x) · V(x) + u(x). V'(x) Bsp.: f(x)=3+(x-1). ezx = 1. e^= x + (x-1)-(-_^); (Ax - ex (1-3x+¹) fox=x².ex WT Graphisches Ableiten Graph von fux) HP/TP/Sattelpunkt monoton steigend monoton fallend Wendepunkt weitere wichtige Ableitungsbeispiele: |1. f(x)= x =e4xx1 2. f(x)=√x².ex f'(x) = 4e4x.x1 +e4x. (x²) = £x ²².6²x+√x.1.ex e4x ((4-x-1)+(-x²) =e4x ((+)-1) = 1/e²x (x^² + √x²) = 1/2.ex (√x + √²) Som ax ➜→x Der Abstand zwischen fox) und f(x) soll unendlich klein werden um eine Steigung Faktortegel: f(x)=3x+2x³+6 fox)=c-goxx) f(x)=-3x² f'(x)=3+6x² f'(x)=C-g'(x) f'(x) = 2.(-3)x 3. f(x)= Wendetangente aufstellen Y = m= Lim fox)-f(x) = f'(xo) X-DX₂ X-Xo (x²+6) (x²+6) = (x²+651 Nullstelle kurve liegt uber derx-Achse Kurve liegt unter der x-Achse Hoch-/Tiefpunkt (x²+6)² Graph von f'(x) f'(x) = -(x²+6)²2x ..2x = f'(x)=2x-ex + x². ex = ex.(2x+x²) f"=ex (x²+x+2) >x f'(x)= ex (x²+6x+6) dy ax 2x (x²+6)² = f'(xo) dy = f'(x)-dy Konstantenregel: f(x) = k k = 0 Regeln bei Wurzeln und Kehrwerten: f(x) == x₁ → f'(x) = -x ² = - 11/2² f(x)==x²³fx=-3x4= f(x)==x²¹² →flcx)= −1⁄2x² = -24x3 fox)=√x² = x² →→ f(x) = 2√x f(x)=5 f'(x)=0 Nullstelle (x³ +²=x+ ²√x²³² = (x³) ²) x² = √√x³1 Graph von f"(x) Sattelpunkt: Nullstelle Grad 0: konstante Fundation f'(xw) = m = ex. (x²+2x) Kriterium f'(x)=0 f'(x) >0 f'(x) <0 f"(x)=0 f"(x)= x (x²+x+2) 0=ex (x²+4x+2) 1:ex lpg-Formel X1₁2 = -2± √(2)²-2 x₁=-2+√²² X₂=-2-√√√2¹ WP(-2-√2¹10,384) = e(²-2-√2¹). ((-2-√2¹) +2.(-2-√2²)) = 0,159 WT = g(x) = mx +b = 0,384 = 0,159.(2-√√2¹) ⇒b=993 WOX)=0,159.x+ 0,93