Analysis und Stochastik

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Dazwischen sind 12 Schülerinnen. 1) Stellen Sie die beschriebene Situation anhand einer Vierfeldertafel dar. 2) Die Lehrkraft formuliert zwei Aussagen: A: ,,Eine Person gibt die Hausaufgaben ab." B: ,,Ein Mädchen gibt die Hausaufgaben ab." Die Lehrkraft behauptet, dass diese zwei Ereignisse stochastisch abhängig voneinander sind. Überprüfen Sie, ob die Behauptung der Lehrkraft stimmt. (2+3 Punkte) Total: 20 Punkte DE Teil II- Aufgaben mit Hilfsmittel Aufgabe 1: Analysis b) 23.03.2020 A 3. Klausur GK Q1 135 min Analysis und Stochastik Michelle Kaminsh Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung f(x) = (x²+5x-9). e*, x € R. a) 1)-Berechnen Sie die Funktionswerte an den Stetten x-0 und x= 3.V 2) Weisen Sie nach, dass die Funktion genau zwel Nullstellen besitzt. 3) Skizzieren Sie in ein Koordinatensystem der Graphen von f Beschreiben Sie sein- Krümmungsverhalten. Schuljahr 2020/2021 (4+4+5 Punkte) Überprüfen Sie, dass der Graph der Funktion ein lokales Maximum und ein globales Minimum besitzt (Ergebnisse gerundet nach einer Stelle nach dem Komma). [Zur Kontrolle: f'(t) = (x²+x+4)*] 2) Begründen Sie, warum der Graph der ersten Ableitung f' im Bereich [-29,3; -3,68] unter der x-Achse laufen muss. Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte der Graphen von f und f". (10+4+5 Punkte) c) Die Funktion mit der Gleichung g(x) = (3x-9)-e-0,2x ersetzt sprungfrei und knickfrei für x 20 den Graphen von f. Die beide Graphen haben an der Stelle x = 0 gleiche Funktionswerte und Steigungen. 1) Prüfen Sie, ob die Funktionen fund g die sprungfreien und knickfreien Bedingungen erfüllt. 2) Bestimmen Sie den Punkt, an dem der Graph von g am stärksten abnimmt. (Zur Kontolle: P(13)2,2)] 3) Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente. Zeigen Sie, dass die Tangente ein Gefälle kleiner als 15 hat. [Zur Kontolle:t(x) = -0,22x+5.12] (4+8+6 Punkte) Total: 50 Punkte 3. Klausur GK Q1 23.03.2020 135 min Analysis und Stochastik Schuljahr 2020/2021 Michelle Kemirati Aufgabe 2: Stochastik Jährlich werden Umfragen zur Feststellung von Allergiker in Deutschland durchgeführt. Auf der Internetseite www.statista.com wurden Statistiken zu solchen Umfragen veröffentlicht. Laut dieser Statistik leiden 25 % der ganzen Bevölkerung unter Heuschnupfen. Eine Firma hat einen IgE-Antikörper Schnelltest entwickelt. Nach der Durchführung des Tests bedeutet ,,Test-positiv", dass die Person möglicherweise eine Heuschnupfen-Allergie hat. Bei einer Person, die tatsächlich Heuschnupfen hat, wird dieser Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% positiv. Bei einer Person ohne Heuschnupfen zeigt der Test in 2% der Fälle dennoch (falsch) positiv ist. Bei einer Person, die zufällig ausgewählt wurde, wird der Test durchgeführt. a) 1) Erstellen Sie zu dem Sachzusammenhang ein beschriftetes Baumdiagramm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse. 2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis positiv ist. 3) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Heuschnupfen-Allergie vorliegt, wenn der Test positiv ist. (7+4+4 Punkte) b) In einer Schule mit 800 Schülerinnen und Schüler wird der Test durchgeführt. Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt und gibt die Anzahl der ausgewählten Personen an, bei denen eine Heuschnupfen-Allergie vorliegt. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist demnach p= 0,25. 1) Berechnen Sie die zu erwartende durchschnittliche Anzahl der Schülerinnen und Schüler, die Heuschnupfen haben, und die Standardabweichung der Zufallsgröße X. 2) Bestimmen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: • ErGenau 195 Personen werden mit Heuschnupfen entdeckt. • E₂,Bei mehr als 200 wird wegen Heuschnupfen eine Allergie festgestellt" 3. Klausur GK Q1 23.03.2020 135 min Analysis und Stochastik • E3-Mindestens 180, aber höchstens 220 Personen sind allergisch wegen Heuschnupfen." 3) Ermitteln Sie durch systematisches Ausprobieren ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem ca. 95% aller Werte von X liegen. 4) Berechnen Sie wie viele Schülerinnen und Schüler getestet werden sollen, sodass mit mindestens 99% Sicherheit mindestens eine Person wegen Heuschnupfen allergisch ist. 5) Am Ende des Tests wurden genau 380 Schülerinnen und Schüter mit Heuschnupfen- Allergie gefunden. Dieser Wert liegt viel über dem Erwartungswert. Geben Sie die Trefferwahrscheinlichkeit pneu an, die eigentlich für dieses Ergebnis gültig wäre. Beschreiben Sie die Änderungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, wenn pneu anstatt p = 0,25verwendet wird. 1 21 16 Schuljahr 2020/2021 (4+8+5+5+5 Punkte) c) Heuschnupfensymptome werden bei Allergikern bereits bei 20 Pollen pro m³ Luft hervorgerufen. Um die Qualität der Luft auf dem Schulhof feststellen zu können, wurden zwei Methoden verwendet. Die Ergebnisse nach einer Schulwoche Messung sind in folgender Tabelle dargestellt. 3 25 20 2 Tag Methode A Pollen/m³ Luft 27 Methode B Pollen/m³ Luft 30 war die Übungsklausur aber leichtt! 4 24 27 Viel Erfolg 5 23 27 1) Zeigen Sie, dass beide Methoden den gleichen Erwartungswert liefern. 2) Beurteilen Sie, welche der beiden Methoden zuverlässiger ist. n=1-5 P = RO (4+4 Punkte) Total: 50 Punkte athe wausur Teil 1- Aufgaben ohne Hilfsmittel 2x a) f(x) = (2x³+4x). (²x 1) pr 2) Es b) f'(x) = (4.x²³ + 6x² + 8 x + ² ist, da 1. Die Uv+u.v² 2. X <+4). e².*. wird deutlich, dass Abbildung der Graph der Ableitung f مول Wahrscheinlichkeit. P(5≤ x ≤7), würde h=6 do im darstellt, welcher Histogram ca bei 0,21 liegt und somit auch höchste Balkh 1st. Generell hatte aber P(5≤x≤7) laut Wahrscheinch bet Histogram von ca. 0,153-0121. f 2. € (x) = D.PY € (x) = 15-P₁ 2 (3P) OP Ap fot ist für den Lehrer! 9540,5+0,5 2,5.05 28 1,5 75 5 1) Einsatz: 3€ würfe 3x K=KOPF Z-Zell A K² 2. LOWO # 4 2х корт K Z² 1 OLAN 28 u 3 P/ 48 on usp 2 avimt Ly zweiß mal loof 2€ zurich drei mal zurück b Joan -U7P Z8P Ont to swin kopf und einmal wopf einsate verloren 1980₁505=15 Spiegs, (52) → Anhand des Baumdiagramms and die von mir angemalth Prade ist schon eindeutig on erish, days I daw spill fair ist. Jedoch werde ich dies nun rechnensch nachweig: She years d) # (2 f H So 12 + 타 CP) S 5 을 14 r 력 27 N P P P P P parkrachra 자 P 고 4. 1/ 구 D Du hast f genen Aufgabe 1: a) 1) 14 f'(X) = (1/² + 11 x ₁4). e = 9 T f'(x) = (A. 174.3) e ³ fth (x) x=6 1₂0 = 10% Schreibwase 1 x f(x) = ( ²/3 x ² + 5x -9) e ³, XER ,2 2187 729 23 x per TR: zeros 713, 23 und x=3 funktionswerte berechnew 11:3 112 + y). es f. 17³4-es 3) √ 3) not. Bed: per FR: Solve (for). -X+Sx-g t so to 32 eg ) es 81 = {-16,6241, 1,624143 G 4x 11,1649 +4)e²³,x) (0) hin. Bed: f"2034 +17-0 yiel 1,6666730 Msomit Somit ist der Graph konver (links gentis Gheine werde stelle, caf" ist 191) Minimum: per Graph cas: (-3.68, -15,2) Maximum: # → Beide Graphen Sina Sie Schneidh sich bei (0.496, -6,8) und (0₁-9) 2) Der Graph nichmt (01-9) am das es ab ght. Jedoch ab Starwhen nus darin # (29 63) whichfrei f { nicht gefragt now fiert f kann man wich Sagen, dass der Gruph schoh ub. seinem malum (8,3.03) abnimmt. 3) Tangente be= (0.496, -6.8) (AP) J 20, # SP G (OP) te Aufgabe 2. Stochastik 1) 25% 25%. haben Heuschnulth (H) H p 757- leta Sn (wird angesagh "chis Bielo hite 39+ (len) harply 2) Dez 20 Mon = positiv 19 08 P→ (dus vie Hachup + → 0,25-0,35= 70,25-010520 70175-0,98= atral A: Die Wahrscheinlichkeit, dair dow Testergeonis positiv ist, liegt bei 1 3 70175-0102= 200 3 = 101 = 0,2525 €25,25%. 300 400 3) Die wahrscheinlichkeit, dass 251 25%. beantragen eine Person witwhich Helschnupth ciest bei ca. gst hat + 147 200 1) P=0125 n = 800 EPV سامالا = 1800 015 = 200 (d_1) du ² = 20 800 SUS X = binomialverteilt amake d. aos Personen V A: Es werdh ca. 200 Schüler Heuschnupft haben. =√800-0₁25 (7-0,25) = 12,2474 ✓ 2) E₁ Genau 195 Personen werch mit Heuschnupfsh entdecur E₂ Bei mehr als 200 wid wegen Heuschnuppen eine Allergie festgestellt. Ej: Mindesths 180, aber höchsths. 220 Heuschrupth sind auergisch gegen Eii per cas. po garant E₁: per cas: binomput(800,0.25, 195 € = 0,035 197 *31. AES # binomedf (800, 0.25, 201, 800) = 0,481011 x 48 %. 144 Ez per cas: binomed $(800,0.25, 180, 220) =01905962 291 um wantscheinlichsten Be J of Interpret! I 3) 4) rechnung: Solltes mindestens 32 Leuk getesteth werden man mindesths eine Person webpn the uschnupth. hat, die Cvergison ist 380 800 25= 32 800 P = 0,457 = 0,975 - 47,5% Die Trefferwan's betrayt 47.51 = 800-01457 365,6 0³ = -√800-5,457 (7-98457) 1410897 Michweit sollik dah 380 sunt Bei. Beide Methode liefern de Erwarturieswert. bei belder Methode aut are ni Goli 120 19 Pollen poznat pro m³ huft homut. deaft Plays= gleichen da man سال 4 مایاں = PP.B. Dennoch! = 1:21. = 27 3.25 u = 5.23 16 10 - مامل 16 3.20 = 60 W = 5.27 trosono = 2.27 54 = 4:24 F 21+54 +75+ 96+415 = 361 дезашти HU A 55 M = 2.30 = 60 w = 4.27 = 108 16 € 60 + 60 + 108 ¢ £35 349 gesamt A: Ich würde sagen, dass wethode B zuberessigt itp da dies ein etwas höheres Ergebnis hat, welches im Extrempule bessece Rechnungen anstelle Mann, ca man von einem holen wet 70 (Cap) dy Subjektive!! Bewertungsbogen: a 5 b 4 (5*) 5 d Punkteverteilung sehr gut 98-84 5 gut 83-69 23.03.2021 1a 23.03.2021 13 3. Klausur GK Q1 7 Michelle K. 1b 19 " Die mit Markierte Punkte sind Zusatzaufgaben. 135 min 1 1c 8 (18") Analysis und Stochastik 2a euxreichend (-). 15 Für die Note ausreichend müssen mindestens 40 Punkte erreicht werden. Für die Note „gut" müssen mindestens 70 Punkte erreicht werden. 2b 27 2C 0 (8") 11 15 1 befriedigend ausreichend mangelhaft 68-54 53-40 39-15 Schuljahr 2020/2021 98 (120°) 43 ungenügend 14-0