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Ventorproduut -> Orthogonaler Veutor Eu 2 veutoren /a₂b3-a3b₂ X= axb=a3b₁-a₁b₂ 2xB= a₁b₂-a₂b₁/ tant gilt nur im 3D-Raum Rechengesetze des Veltorprodukts (1) ax=-(³x) => Antikommutativgesetz (28B nicht einf. tauschen) (2) (PB) x2 = P(x) => Assoziativgesetz (reele tahlen lönnen ausulammern) (3) ẩx (b + z ) = (ả xổ) + là xề) = Distributiugesete Normalenventor axbn illa Normalengleichung einer. Ebene AXLn AX=(x-)on=0 E: (2-a) on = 0 Parameter form einer Ebene E₁X = (OA) + (AB) ++ (A²) +t Koordinatenform einer Ebene E: ₁X + n₂y + n₂t = don Winkelrechnung Schnittwinkel zwischen Gerade/Gerade Z cos (y) = Ext => y = cos' ( ). Schnitt winkel zwischen Ebene/Gerade A Im₂ m₂l Imal Imal Sin (x) = દદવ · Imionel Schnittwinkel zwischen Ebene/Ebene Imal. Incl => x = sin' ( ) COS. (x)= Spurgeraden. von Ebenen mit . Uoordinatenachsen Innl Inel In xy-E: Exy: Z=0. zy-E: Ezy : x = 0 xZ-E: Exz:y=0 Exy = Spurgerade 9xy ixt, ty Hesse'sche Normalenform no In ==>Normalenveutor mit Länge I ANALYTISCHE GEOMETRIE no: normierter Normalen veutor. 02 (2) Kehrwert: 12/21 - (^²) = ño => α = cos' ( ) Sualarproduut 2²₁0b²₁= a₁b₁ + a₂b₂ + a3b3 a ob = 0 => 216² Rechenregeln Shalarprodukt abba => Kommutativgesetz (a+b) ² = ao c'+boc Distributivgese NICHT Funktionierende Rechenregel (ab) • a• (b) => Assoziativgesetz Betrag eines Veutors ảca = lal·lal.cos (0) Tal²2² = a. Längenberechnung durch SKP Lagebeziehungen von Geraden 963.1 identisch Xp Punktprobe Richtungsveutoren vergleichen vielfaches Xp nicht drauf E=F Lase von Punut und Ebene J => PEE parallel Schneiden Vielfaches Gleichsetzen Lösbar =>P&E. Punutprobe X= P =) Parameterform = P => Normalenfunution = P => Koordinatenform Lase von Gerade und Ebene # B. C. Ilage von Ebene / Ebene A 1. Gerade als GLS darstellen I x=a+rb I y=c+rd III=e+rf 2. x,y,z in E einsetzen (Koordinatenform) und...
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lösen (A) wahre Aussage r=k (00 Lösungen für r) (B) Wenn eindeutiges r gefunden + SP! (C) unwahre Aussage ru (keine Lösung für r) (2) Parallel (3) identisch (A) 9 liest in E (identisch) (B) 9 und. E schneiden sich in Punut. S (C) g und E verlaufen parallel. (1) Schnitt gerade Schnittserade nicht Windschief Parameterform als GLS X= a + rb + SC y= d+re+sF E = 9+rh + Si Einsetzen in Koordinatenform Uoordinatenform / Parameterform (1) Variablen sind voneinander abhängig in Parametergleichung einsetzen für (2) Aussage unwahr (9=9) (3) Aussage wahr (910) Flächeninhalt von einem Parallelogramm/Dreiecu Punktprobe Bedingungen: A₂ = √²6²-(²²) ² (AD = — Ap) Liest Punut im Dreiecu? • ٤٣٤ 0≤s≤1 0≤str≤! Volumen eines Sparts Spart: 3D Parallelogramm, Prisma mit Parallelogramm ·als Grundseite Vg= I (ã xử l a Volumen einer dreiseitigen Pyramide. VDP = (²x)2²1 (Vop==Vs) => Dreiecusprisma Vpyramide = 1/3 VDP Vp=2 ‚= ½ | (α ׯ)•²] : Lotfußpunut verfahren => Pyramide Ap= lẩão ẩ) ²√²² - (²³)² A (1) Lotgerade bilden 9:7=(A) +r (₁) b (2) Schnittpunut F von gund E berechnen => GLS von 9 in E Geg.: Punkt A und Ebene E, in Uoordinatenform F x= x₁ + ra y = x₂ +rb Z= x₂+rc (3) Punut F ist der Lotfurspunut =>r in 9 einsetzen = F Spiegelung an einer Ebene Lot (1) Lotfußpunutverfahren (2) A' herausfinden OA' = OA + 2-A Lot Senurechte Verbindung zwischen einer Ebene und einem Punut. Abstandsberechnung /F Gerade/Punkt Ebene/Punut (1) Lotfußpunutverfahren (2) Abstand von P und F S|FP| Abstandsformel ohne F d= d (PE)= (-²) onl (1) Hesse'sche Normalenform (2) Abstandsformel anwenden Parallelität Ebene/Ebene B R A m 24 ni = uiñ'? Orthogonalität Ebene/Ebene oder A LV shov =೦ ũ Lữ sn cũ so ni 1² Legende non²=0 Orthogonale Ebene aufstellen (1) SchniHgerade aufstellen (2) Normalenveutor durcu ureuzprodunt von P und ne, = Richtungsvektor = Normalenveutor = senurecht ab, beliebiger Veutor Ap= Flächeninhalt Parallelogramm AD = Flächeninhalt Dreiecu GLS = Gleichungssystem d= Abstand Parallelität Gerade/Ebene 1 In ANALYTISCHE GEOMETRIE A mon=0 (m³1n) Orthogonalität Gerade/Ebene H ·m² = k·ñ³· (kollinear)
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