Arten linearer Gleichungssysteme und Lösungsmethoden

Dieses Kapitel führt in die verschiedenen Typen linearer Gleichungssysteme (LGS) ein und erläutert deren Lösungsansätze. Es werden genau bestimmte, unterbestimmte und überbestimmte LGS unterschieden.

Definition: Ein genau bestimmtes LGS hat genauso viele Gleichungen wie Variablen und in der Regel eine eindeutige Lösung.

Beispiel: Für ein genau bestimmtes LGS mit drei Variablen: -x₁ + x₂ - 2x₃ = -3 x₁ + x₂ + 2x₃ = 3 2x₁ - x₂ + x₃ = 2

Die Lösungsmethoden umfassen das Additionsverfahren und die Verwendung eines Grafikrechners. Für unterbestimmte Systeme (weniger Gleichungen als Variablen) gibt es oft unendlich viele Lösungen, während überbestimmte Systeme (mehr Gleichungen als Variablen) entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben können.

Highlight: Die Wahl der Lösungsmethode hängt vom Typ des LGS ab. Das Additionsverfahren ist besonders effektiv für genau bestimmte Systeme.

Vocabulary: GTR - Grafikrechner, der zur schnellen Lösung komplexer LGS eingesetzt werden kann.

Geraden und Ebenen im Raum

Dieses Kapitel behandelt die Lagebeziehungen von Geraden im dreidimensionalen Raum sowie die Darstellung und Eigenschaften von Ebenen.

Definition: Geraden im Raum können zueinander parallel, sich schneidend, identisch oder windschief sein.

Die Lagebeziehungen werden durch Analyse der Richtungsvektoren und gemeinsamer Punkte bestimmt. Ebenen im Raum werden durch Parameterdarstellungen beschrieben, die verschiedene Definitionsmöglichkeiten bieten.

Beispiel: Eine Ebene kann durch drei Punkte A, B und C definiert werden: E: x = A + r·AB + s·AC

Highlight: Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Sie sind wichtig für die Visualisierung der Lage einer Geraden im Raum.

Das Verständnis dieser Konzepte ist grundlegend für die Lösung von Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen.