Analytische Geometrie

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= 4 2+2 = 4 4 = 4√ (1/2) unter bestimmtes (1) 2x Additionsverfahren, um eine Unbekannte zu eliminieren. (2) mit neuen Gleichungen Additions- verfahren anwenden, um noch eine Unbekannte zu elminieren (3) Gleichung nach Unbekannten auflösen (4) Ergebnis in neule Gleichung einsetzen & wieder auflösen (5) Ergebnisse in normale Gleichung Gerade im Raum Lagebeziehung zweier Geraden 1. g 11h parallel (Richtungsvektoren müssen parallel sein)→ kein Punkt gleich 2 g xh schneiden sich → ein Punkt gleich 3. g=h identisch → alle Punkte gleich 4. gh windschief → keine Punkte gleich Richtungsvektoren parallel ? Vielfachenprüfung gemeinsamer Punkt? 4 Punktprobe mit Stützvektoren ja✓ g=h identisch Ebenen im Raum Parameterdarstellung /4₁) E: X = 4₂ U₂ +x Andulische Geometries Stützvektor nein glh parallel EEE W₂ +B. W3 Sponnvektoren ↳drei Punkte A,B & C EX=+r AB +S·AC va gxh schneiden sich A. nein Schnittpunkt? ↳ gleichsetzen & LGS Lösen AC wird bestimmt durch: ↳ einen Punkt A & zwei Linear unabhängige Vektoren & EX-d+r+S. V ↳ eine Gerade 9 & ein Punkt B EX=a+r+S. AB B ↳ zwei sich schneidende Geraden EX=a+r+s V ↳ zwei echt parallele Geraden. EX=+r+S. AB A 7 3 AB B Shein gh Windschief h Spurpunkte einer Geraden ↳ Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinaten ebenen 9 B Punktprobe (²³)-(-¹) + (4) -(¹) x 7 Z A ✓ 9 ? = x B h →x-8/3 - 7/9 13/7 → a Ebenen im Raum Parameter formen der Koordinatenebenen | +r(1)+5. X₁ X₂-Ebene: x= x3=0 X₁X3-Ebene: x₂ = 0 x↓ X₂X3-Ebene: x1=0 X Andulische Geometric 000 1 (8) +- (6)+₁-(8) (8)-(:)-(8) r. 1 (2) Gerade 9 liegt in Ebene & ↳ Gleichsetzen g=E Lagebeziehung zwischen Gerade & Ebene (1) Gerade g ist parallel zur Ebene E ↳ Gleichsetzen g=€ ↳ LGS hat keine Lösung O 1 O (3) Gerade g Schneidet Ebene ↳ Gleichsetzen g=t ↳ LGS hat eine Lösung Durchstoßpunkt ermitteln ↳ LGS hat unendlich viele Lösungen 1 Bsp.: S₁= € (G)-()--) 1+ ε = 0 in I: 0=1+3+0 1-1 -1=B 4₁ 1+ -3/ X3 ·Xz Spurpunkte einer Ebene ↳ Schnittpunkte der Ebene mit den hoordinatenachsen ↳ max. Spurpunkte pro Ebene Lage beziehung Punkt & Ebene (1) Punkt liegt in der Ebene 6 Gleichsetzen P=E LGS hat eine Lösung ↳Spurpunkt x₁ Achse : S₁ (X₁/0/0) X₂ Achse S₂ (0/X2/0) → Ansatz zur Bestimmung von Spurpunkten X3 Achse S3 (0/0/X3) ↳ Punktprobe (2) Punkt liegt außerhalb der Ebene Gleichsetzen P=E 4 LGS hat keine Lösung 6 +E S I 0=1+3+5€ 1 I x₁=2-B+E II-III 0=0+0+8E 0=8E III 0= 1+B-3€ E=0&B=-1 in I: x₁=2+1+0 x1=3 5₁(31010) Schnittpunkt lineare Gleichungssysteme Matrix & Gauß ax+bB+cy-d ea+ + ß+g8=h iα + jß + kɣ=l i Variabeln fallen weg Taschenrechnerbefehl → 6TR → menu →7 (Matrix & Vektor) → 1 (erstellen) → 1 (Matrix) ↳ Zeilenanzahl (3) Spaltenanzahl (4) ↳ Matrix definieren a: =... → Dreiecksform überprüfen/lösen → ref (a) → Diagonalform→ rref (a) Gauß-Verfahren ↳Dreiecksform / halbe Gauß ↳unter- oder überhalb der Diagonalen sind nur Nullen" 4 Deutung der Lösung ↳ unendlich viele Lösungen: Variabel mit in der Lösung 4Bsp.: α-2-3t B=1-4t Andulische Geometrie 425 genau eine Lösung: genau 3 bestimmte Lösungen ↳ Bsp.: x=2 B=3 8 = 4 1. 4 a b c e f g i j k ↳ keine Lösung : nur Nullen" gleich irgendwas ↳ Bsp.: α=0 B=0 -2 handschriftlich lösen (1) Wert in Eche aussuchen, dann 2 Zeilen mit Additionsverfahren addieren, so dass jeweils eine ,0" in jeder Zeile stent. (2) Die 2 benutzten Zeilen nochmal addieren, sodass noch eine 0" in nur einer Zeile steht. (3) Zeile nach Unbekannten auflösen & in benutzte Zeile einsetzen. Beide Werte in unbenutzte Zeile einsetzen. 3 2 -3 -2 که شاد h L -3 11 I+2.II 10/ 3 +3.II 29 H35 2. 14 -3 -7 -3 8=0 (00011) 007 2 ab c of g O 33 10/ 31 71-31 -7y=71-7 y=-1 00 e ço i k a b c Dep efo 1 0 0 ง d 4 Möglichkeiten :) ( 3. 59 13 5 000 O отр i -3 fg J 007 1 k ( 118 33 10 4. I→ 59x=118 1:59 X=2 in II 13:2-7y=331-26 x=2 & y=-1 in III: 5.2-3-(-1)+2-10-13 X=2 2=-3 Vektoren Ortsvektor ↳ Vektor, der den Ursprung (0/0/0) mit dem Punkt A verbindet OÀ= Verbindungsvektor ↳ verläuft von Vektor Å zu Vektor B AB-B-A Bsp.: () (), AB(1)-(1)-(1) Addition von 2 Vektoren /a₁1 a+b=92 193 Subtraktion von 2 Vektoren a-b = lan C1₂ аз Skalarprodukt با Andulische Geometrie 3 + (32) - = 02 1911 a+b=₂b₂ = a₁∙ b₁ + a₂⋅b₂+Q3°D3 93 → um Orthogonalität zu prüfen (alb) = Shalarprodukt musso" sein Skalare Multiplikation = /α₁+b₁\ A₂+ b₂ 1a3 + b3/ r.a Vielfachenprüfung → um die Parallelität zu bestimmen 101₁-0₁₂1 4₂-b₂ 03-03 Punkt in Gerade Bsp.: r.a₁ r.az r.a3/ Kownear P(2/-1/3); g³x = ( ² ) + 8(¯}) wenn 2 Vektoren Vielfache voneinander sind, sind sie Parallel Vielfachenvektoren Richtungsvektoren (-3)=(4) + 8 (1)-(3) (-3) - 6 ( 338 4 Peg Abstand von 2 Punkten d(A,B)= 1/2 -1 | (b₁-C¹1₁)² + (b₂-C₁₂)² + (D3-(13)² OA oder (3) - α. (1²1) →x-1/3 →α = 1/3 ➜a= ·1/3√ AB A XB Gimmer parallel nicht gleich orientiert nicht gleich lang Höhen rechtwinkliges Dreieck 1. Verbindungsvektoren AB=OB-OÀ 2. Orthogonalitätskriterium 3. Formel AA = 9₂h 4. Länge Verbindungsvektoren 5. in Formel einsetzen A = 9h 2 gleichschenkuges Dreieck 5. in Formel einsetzen A₁ = gh 2 Pyramide Volumen 1. Grundfläche ausrechnen (Dreieck) 2. Nachweis, dass zu AB, AC Skalar produkt = 0 Andulische Geometrie COS α = Bsp.: 1. Verbindungsvektoren AB = OB-OÀ 2. Nachweis 2 Seiten gleich lang (Länge Verbindungsvektoren) |AB| = (2)=√₁+₂+³ 3. Formel /g & h berechnen AA=9₂ ig-BC_jh= MA 4. OM berechnen, um h zu bekommen 1/2. (OB+OC) = OM 7. Verbindungsvektor von Spitze & Durchstoßpul & Länge ausrechnen = h 8. in Formel einsetzen V=1/3·6·h Winkel Winkel zwischen 2 Vektoren à *B lal. 161 Winkel zwischen 2 Geraden COSB= IRVg+ RVn! 0°≤ B ≤90° IRVGI IRVnl a =/2 Skalarprodukt AB AC =0 = ABLAČ C |= √² +² +² ĀC . IABI=4₂= 03 B = 3. Gerade konstruieren (muss Ebene schneiden) g: X=S+x·V (Spitze als SV & V als RV) (VL Ebene) 4. Ebene aufstellen € ₁ X=OÀ+B · AB+ 8. AC 5. Durchstoppunkt berechnen (Schnittpunkt zw. Gerade & Ebene) E= g = Parameter 6. Parameter in Gerade o. Ebene, um F zu bekommen -3 lợi = tổ + 12+(30 tu 1B1 = √(-21² +4² +1² = -√21 positives Ergebnis spitzer Winkel (0°-90°), negatives Ergebnis stumpfer Winkel (90°-1809) : a+b = /2 cosx = - * -3 114-121 B. = A x=cos -14 h -4+4-3= -3 IM 9 EDurchstoßpunkt balko B AB î BC man nimmt immer den Innenwinkel S 0°≤ x ≤180° с 100,1° 9:x Vektoren Länge eines Vektors ↳ Bestimmung der Länge einer Strecke oder den Abstand zweier Punkte 1a1 = √√²+d²₂² +0²3 alle Vektoren, die zu d&B orthogonal sind 1. der unbekannte Vektor muss mit den Vektoren im Skalarprodukt "0" sein ↳ Lab, es entstehen neule Gleichungen 2. die Skalarproduktgleichungen werden so addiert, so dass eine Unbekannte eliminiert wird 3. die dabei entstandene Gleichung wird mithilfe eines unterbestimmten L6S gelöst Geraden im Raum ↳ 2 Punkte (A&B) legen eine Gerade g eindeutig fest. ↳eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Parameter +α. AB K Andulische Geometric 9:X- OA+ ← Parameter darstellung einer Geraden g Stutzvektor Richtungs vektor ↳ Es gibt verschiedene Darstellungen ein & derselben Geraden. Zu jedem Wert des Parameters gehört genau 1 Punkt auf der Geraden & umgekehrt. Mittelpunkt: MAB= 1/2. (OA+B) h: X= +α. 4 x=-1 *E Parametergleichung bestimmen. (1) soll durch einen bestimmten Punkt laufen → Stützvektor (8) +α. A → parallel zur X₁-Achse OÁ AB (2) parallel zu einer anderen Geraden → Richtungsvektoren gleich oder Vielfache (3) parallel zur X₁-Achse, X₂-Achse oder X3-Achse → Wert der anderen beiden Achsen des Richtungsvektor =0 (3) α = 1/2 x=2 x= 1 *C (4)parallel zur X1,3-Ebene, X2,3-Ebene oder X₁,2-Ebene →nicht vorhandener Wert der Ebene des Richtungsvektor=0 h: x² = (3) →parallel zur X1₁,3-Ebene (5) orthogonal zu einer anderen Gerade → Skalarprodukt der Richtungsvektoren = 0