Analytische Geometrie

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- ~-(3) = 1 Lage beziehung Punkt & Ebene (1) Punkt liegt in der Ebene 6 Gleichsetzen P=E 4L6S hat eine Lösung S₂ (0/X₂/0) → Ansatz zur Bestimmung von Spurpunkten +E (2) Punkt liegt außerhalb der Ebene Gleichsetzen P=E 4 LGS hat keine Lösung E=0 in I: 0= 1+B+0 1-1 -1=B 1 I X₁=2-B+E I-II 0=0+0+8E 5 I 0= 1+B+5€ 0=8E -3 II 0= 1 + ß-3E E=0&B=-1 in I: x₁=2+1 +0 x1 = 3 S₁ (3/0/0) Schnittpunkt Höhen rechtwinkliges Dreieck 1. Verbindungsvektoren AB=OB-OÀ 2. Orthogonalitätskriterium Skalarprodukt AB AC =0 = ABLAČ C 3. Formel AA = 9;h Andylische Geometrie + 7 anl 4. Länge Verbindungsvektoren |AB| = 9²=√ a² +až +³ 5. in Formel einsetzen A = 9₁h 03 gleichschenkuges Dreieck 1. Verbindungsvektoren AB = OB-OÀ 2. Nachweis 2 Seiten gleich Lang (Länge Verbindungsvektoren) | AB| = (62)=√ 8²₁ +8₂ tả 3. Formel /g&h berechnen AA=2²19-BC_jh= MA 93 4. OM berechnen, um h zu bekommen 1/2 · (08+0C) = OM 5. in Formel einsetzen A₁ = g.h 2 Pyramide volumen Winkel zwischen 2 Vektoren COS α = à B lal. 161 7. Verbindungsvektor von Spitze & Durchstoßpunkt & Länge ausrechnen = h 8. in Formel einsetzen V=1/3·6·h Winkel = = Bsp.: a = /2 2-(3) 1 1-3/ Winkel zwischen 2 Geraden cosB IRVg+ RV₂L 0°≤ B ≤90° IRVgT. IRVnl B 5. Durchstoppunkt berechnen (Schnittpunkt zw. Gerade & Ebene) E=g = Parameter 6. Parameter in Gerade 0. Ebene, um F zu bekommen 1. Grundfläche ausrechnen (Dreieck) 2. Nachweis, dass 7 + zu AB, AC skalar produkt =0 3. Gerade konstruieren (muss Ebene schneiden) g:=s+a (Spitze als SV & Vals RV) (V1 Ebene) 4. Ebene aufstellen € ₁ X = ¯A + B · AB + 8 · AC -2 1 lal = √2² + 1² + (-3)² = -√ 14 1B1 = √(-2)² +4²+1² = √21 : a+b= = cosa ĀC B. 2 -2 (1)-(3) * 4 = -3 714.121 positives Ergebnis: spitzer Winkel (0°-90°) 0° ≤ x ≤180° →negatives Ergebnis stumpfer Winkel (90°-180⁰) = SA h IM 9 -4+4-3-3 AB α = cos ¹ (=1²27 +27) A -3 नाप-121 EDurchstoppunkt BC man nimmt immer den Innenwinkel 9:7 1 100,1° B Andulische Geometrie lineare Gleichungssysteme 1. genau bestimmtes LGS 4 genauso viele Gleichungen wie Variabeln ↳mögliche Lösungen genau eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen I X₁ + X₂-2x3 = -3 I¹=I+I I X₁ + x₂ + 2x3 = 3 x₁+x₂+2x3=3 II 2x₁-x₂-x3=2 -x₁ + x₂-2x3 = -3 I x₁ + x₂ + 2x3 = 12 II 5x₁-x₂ + x3 = 6 : I X₁ X₂=-1 ·1 I -6M = = -6 III 2X₁ + X₂= 4 2x2 = 0 12 X₂=0 2. unterbestimmtes LGS 4 ↳ weniger Gleichungen als Variablen ↳ moguche Lösungen: unendlich viele Lösungen I' = 5:I-I 5x₁+5x₂+10x3 = 60 5х1-X2 +X3 =6 3. überbestimmtes LGS ↳mehr Gleichungen als variabeln 4 mögliche Lösungen 4 I'=+2·I 2X1 X2 X3=2 -2x₁ + 2x₂ - 4x3 = -6 0 +6x₂ +9x3=54 1-9x3 6x2 =54-9x3 1:6 9-1,5x3 X₂ = überbestimmtes (1) 2 Gleichungen wählen, um 1 der beiden Parameter zu eliminieren. (2) Gleichungen addieren (3) Ergebnis in benutzte 6leichung (4) Prüfung der Ergebnisse in unbenutzte Gleichung 4 gleiches Ergebnis auf beiden Seiten 0 + x₂-5x3=-4 | x2=0 0+0-5x3= -4 1:(-5) x3 = 4/5 I'=I +I genau eine Lösung, keine Lösung Aufgabentypen: Punkt auf Ebene, Gerade & Gerade 1 5x1-x2+x3=6 x₁ + x2+2x3=12 I -6x₁=-6 1:66) X ₁ = 1 in I x₁ = 1 X₂=0 & X3= 4/5 in I -X₁+0-24/5=-3 -X₁ - 8/5 -X1 X₁ 1-X₂=-11-1 - x₂ = -21-(-1) x₂ = 2 6x₁ +0+3x3=18 1-3x3 -3x3 6x₁=18-3x3 1:6 x₁ = 3-1/2 X3 genau bestimmtes (1) Additionsverfahren, um 1 Unbekannte Zu eliminieren (2) Ergebnis in benutzte Gleichung ↳nach Unbekannten auflösen (3) Ergebnisse in noch nicht benutzte Gleichung einsetzen & wieder auflösen 4. Lösung mit dem GTR ↳menu → 3 (Algebra) → 2 (System Linearer Gleichungen lösen) → einsetzen = -3 1+85 =-114 1:(-1) 1,4 = (1,4/0/0,8) x3=r (3-12r 19-1,5r /r) X₁=1 & X₂=2 in III Probe 2.1 +2 = 4 2+2 = 4 4 = 4√ (1/2) unter bestimmtes (1) 2x Additionsverfahren, um eine Unbekannte zu eliminieren. (2) mit neuen Gleichungen Additions- verfahren anwenden, um noch eine Unbekannte zu elminieren (3) Gleichung nach Unbekannten auflösen (4) Ergebnis in neue 6leichung einsetzen & wieder auflösen (5) Ergebnisse in normale Gleichung lineare Gleichungssysteme Matrix & Gauß ax+ bB+c8-d ea+ +B+gy-h iα + jß + K8=1 i Variabeln fallen weg Andulische Geometrie ² 2 Taschenrechnerbefehl → 6TR → menu →7 (Matrix & Vektor)→ 1 (erstellen) → 1 (Matrix) ↳ Zeilenanzahl (3) 1./4 → Dreiecksform überprüfen/lösen → ref (a) → Diagonalform→ rret (a) Gauß-Verfahren 3 -( 4Dreiecksform / halbe Gauß ↳unter- oder überhalb der Diagonalen sind nur Nullen" -2 a b c 3 -2 ♡~♡ e Deutung der Lösung ↳ unendlich viele Lösungen: Variabel mit in cler Lösung ↳ Bsp.: α= 2-3t B=1-4t i ↳ genau eine Lösung: genau 3 bestimmte Lösungen ↳ Bsp.: x=2 B=3 x = 4 2 -3 5 -3 1 ↳ keine Lösung nur Nullen" gleich irgendwas 9 handschriftlich lösen (1) wert in Eche aussuchen, dann 2 Zeilen mit Additionsverfahren addieren, so dass jeweils eine ,,0" in jeder Zeile steht. (2) Die 2 benutzten Zeilen nochmal addieren, sodass noch eine "0" in nur einer Zeile stent. (3) Zeile nach Unbekannten auflösen & in benutzte Zeile einsetzen. Beide Werte in unbenutzte Zeile einsetzen. 4. I→ 59x = 118 1:59 X=2 18 11 I+2.II 3 +3.II 10/ ↳ Bsp.: α=0 B=0 8 = 0 (0 0 0 | 1) { 19 2.14 13 5 -3 -7 -3 100 ↳ Spaltenanzahl (4) ↳ Matrix definieren a:=... ab c f g е с i 31 71-31 33 -7y=71-7 y=-1 186 4 Möglichkeiten B6 i a a b c FO OO 3. 59 जजे 8 0 13 -7 5 -3 +9 (8) 00 118 33 1 ID/ x=2 in II: 13-2-7y=331-26 x=2 & y=-1 in III: 5-2-3-(-1) +2=10|-13 2=-3 Vektoren Ortsvektor ↳ Vektor, der den Ursprung (0/0/0) mit dem Punkt A verbindet - (²) OÀ= Verbindungsvektor ↳ verläuft von Vektor Å zu Vektor B AB=B-A Addition von 2 Vektoren a-6-)-(1)-(- lan /0₁\ a-B =9₂ аз Subtraktion von 2 Vektoren Skalarprodukt Andlulische Geometrie 3 10₁1 Bsp.: A (³) B(1), AB=(1)-(1)-(1) 6 b₂ b3 = = Skalare Multiplikation 10₁ r.a = r. a2 93/ /a₁+b₁ + b₂ a3 + b3/ 101-b₁1 42-b₂ 03-03 a+b=¹₂ D₂ = a₁∙b₁ + a₂⋅bz+C3° D3 43 → um Orthogonalität zu prüfen (alb) = Skalarprodukt muss „0" sein r.a11 A2 -.43/ Vielfachenprüfung → um die Parallelität zu bestimmen Kolinear Punkt in Gerade Bsp.: P (2/-1/3); g³x = ( ² ) + 8(¯¾) (-3) = (4) + 6(1) - (2) 8 ↳ wenn 2 Vektoren Vielfache voneinander sind, sind sie Parallel Vielfachenvektoren Richtungsvektoren (1)-0(3): 4 pxg ред Abstand von 2 Punkten α(A₁B) = √ (b₁-α₁)² + (b₂-(1₂)² + (D3-C13)² oder (3) - α. (1²21) RV 6x=1/3 12 →α = 1/3 Ok √18/→α= 1/3√ RV AB A B immer parallel nicht gleich orientiert nicht gleich lang Vektoren Länge eines Vektors ↳ Bestimmung der Länge einer Strecke oder den Abstand zweier Punkte 1a1=√√√α²³₁ +0²₂ +0²³3 alle Vektoren, die zu d&B orthogonal sind 1. der unbekannte Vektor muss mit den Vektoren im Skalarprodukt "0" sein ↳ Z La&b, es entstehen neule Gleichungen 2. die Skalarproduktgleichungen werden so addiert, so dass eine Unbekannte eliminiert wird 3. die dabei entstandene Gleichung wird mithilfe eines unterbestimmten L6S gelöst Geraden im Raum ↳ 2 Punkte (A&B) legen eine Gerade g eindeutig fest. ↳eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Parameter 9:7- OA+x • AB Stützvektor Andulische Geometrie 4 93/ Richtungsvektor ↳ Es gibt verschiedene Darstellungen ein & derselben Geraden. Zu jedem Wert des Parameters gehört genau 1 Punkt auf der Geraden & umgekehrt. Mittelpunkt: MAB= 1/₂2 · (OA+OB) + α ← Parameterdarstellung einer Geraden g (Ỗ) +α. x=-1 E A → parallel zur X₁-Achse OÀ Parametergleichung bestimmen (1) soll durch einen bestimmten Punkt laufen → Stützvektor (2) parallel zu einer anderen Geraden Richtungsvektoren gleich oder Vielfache (3) parallel zur X₁-Achse, X2-Achse oder X3-Achse → Wert der anderen beiden Achsen des Richtungsvektor =0 h: x= x=2 AB B 시2 α = 1/2 x = 1 *℃ (4) parallel zur X1,3-Ebene, X2,3-Ebene oder X1₁,2-Ebene →nicht vorhandener Wert der Ebene des Richtungsvektor=0 19₁ h:x² = Y₂ 93/ (12) ->parallel zur X₁,13-Ebene x3 (5) orthogonal zu einer anderen Gerade → Skalarprodukt der Richtungsvektoren = 0