Inhaltsübersicht Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie verbindet Algebra und Geometrie auf elegante Weise. Diese Zusammenfassung deckt alle wichtigen Themen ab, die du für den Matheunterricht der Oberstufe brauchst.

Wir beginnen mit den Grundlagen wie Punkten im Koordinatensystem und Abstandsberechnungen, bevor wir uns mit Vektoren und ihren Eigenschaften beschäftigen. Anschließend behandeln wir Geraden und Ebenen im Raum sowie deren Lagebeziehungen.

Besonders wichtig sind die verschiedenen Produkte von Vektoren (Skalar- und Kreuzprodukt) sowie die Abstandsbestimmungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten.

💡 Merke dir: Fast alle Probleme der analytischen Geometrie lassen sich auf Vektoren und ihre Operationen zurückführen!

Mit dieser Zusammenfassung kannst du dich gut auf Klassenarbeiten und das Abitur vorbereiten.

Punkte im Koordinatensystem

Im dreidimensionalen Raum wird jeder Punkt durch drei Koordinaten eindeutig bestimmt. Ein Punkt A wird als A(a₁/a₂/a₃) geschrieben.

Der Abstand zwischen zwei Punkten A(a₁/a₂/a₃) und B(b₁/b₂/b₃) lässt sich mit der Formel berechnen:

|AB| = √[(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²]

Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf den dreidimensionalen Raum. Du kannst dir den Abstand als Länge der direkten Verbindungsstrecke zwischen den Punkten vorstellen.

Beispiel: Für die Punkte A(4/-8/-4) und B(-4/0/10) ist der Abstand: |AB| = √[(-4-4)² + (0-(-8))² + (10-(-4))²] = √[(-8)² + 8² + 14²] = √584 LE

Die Länge eines Vektors berechnet sich ähnlich: |⃗v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

💡 Tipp: Die Abstandsformel ist eine der wichtigsten Grundlagen und wird in vielen weiteren Berechnungen verwendet!

Vektoren und ihre Grundlagen

Vektoren sind gerichtete Größen mit Betrag und Richtung. Sie werden als Spaltenvektoren geschrieben und verbinden Punkte im Raum.

Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B wird durch Subtraktion ihrer Koordinaten berechnet: ⃗AB = ⃗b - ⃗a = (b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃)

Ein Ortsvektor gibt die Position eines Punktes vom Ursprung aus an. Für einen Punkt P(p₁/p₂/p₃) ist der Ortsvektor ⃗p = (p₁, p₂, p₃).

Linearkombinationen von Vektoren haben die Form r·⃗a + s·⃗b + t·⃗c, wobei r, s und t reelle Zahlen sind. Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von Geraden und Ebenen.

Zwei Vektoren sind linear abhängig (kollinear), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Beispiel: ⃗a = (3,4,0) und ⃗b = (6,8,0) sind kollinear, da ⃗b = 2·⃗a.

💡 Kollineare Vektoren zeigen in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung – das ist wichtig für die Untersuchung von Geraden im Raum!

Skalarprodukt und Vektorketten

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ⃗a und ⃗b berechnet sich durch: ⃗a·⃗b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Es liefert einen Skalar (eine Zahl) und ist besonders nützlich für Winkelberechnungen. Wenn ⃗a·⃗b = 0 ist, stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander.

Der Mittelpunkt einer Strecke AB lässt sich durch eine Vektorkette berechnen: ⃗m = (⃗a+⃗b)/2

Beispiel: Für A(0/2/4) und B(1/-2/-3) ist der Mittelpunkt: ⃗m = ((0,2,4)+(1,-2,-3))/2 = (0,5/0/0,5)

Mit Vektorketten können wir Punkte auf Strecken finden. Die allgemeine Formel lautet: ⃗z = ⃗s + k·⃗p

Dabei ist ⃗z der gesuchte Zielpunkt, ⃗s der Startpunkt, ⃗p der Richtungsvektor und k gibt an, wie weit wir in Richtung ⃗p gehen.

Beispiel: Um einen Punkt C zu finden, der die Strecke AB im Verhältnis 3:1 teilt: ⃗c = ⃗a + (3/4)·⃗ab = (2,1,4) + (3/4)·(-2,2,4) = (0,5/2,5/7)

💡 Denke daran: Bei einer Teilung im Verhältnis m:n ist der Faktor k = m/(m+n)!

Kreuzprodukt und Winkel

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ⃗a und ⃗b ergibt einen neuen Vektor ⃗n, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht:

⃗n = ⃗a × ⃗b = ((a₂·b₃-a₃·b₂), (a₃·b₁-a₁·b₃), (a₁·b₂-a₂·b₁))

Dieses Produkt ist besonders nützlich zur Bestimmung von Normalenvektoren, die senkrecht auf einer Ebene stehen.

Beispiel: Für ⃗p = (2,1,3) und ⃗v = (4,2,1) ist: ⃗n = ⃗v × ⃗p = ((2·3-1·1), (1·2-4·3), (4·1-2·2)) = (1,-8,0)

Mit dem Kreuzprodukt kannst du auch den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen: A = |⃗AB × ⃗AC|

Für ein Dreieck ist der Flächeninhalt: A = (1/2)|⃗AB × ⃗AC|

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ⃗v und ⃗w wird mit dem Skalarprodukt berechnet: cos(α) = (⃗v·⃗w)/(|⃗v|·|⃗w|)

Daraus folgt: α = cos⁻¹((⃗v·⃗w)/(|⃗v|·|⃗w|))

💡 Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ! Die Reihenfolge der Faktoren ändert die Richtung des Ergebnisvektors.

Geraden im Raum

Eine Gerade im Raum wird in Parameterform durch einen Stützvektor ⃗p und einen Richtungsvektor ⃗u beschrieben:

g: ⃗x = ⃗p + r·⃗u

Der Stützvektor ⃗p gibt einen Punkt auf der Geraden an, während der Richtungsvektor ⃗u die Richtung der Geraden bestimmt. Der Parameter r durchläuft alle reellen Zahlen.

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt (Punktprobe), setzt du seinen Ortsvektor in die Geradengleichung ein und löst nach r auf. Erhältst du einen Wert für r, liegt der Punkt auf der Geraden.

Die Lage einer Geraden im Raum lässt sich durch ihren Richtungsvektor bestimmen:

• Parallel zur x-Achse: ⃗r = (a,0,0)
• Parallel zur y-Achse: ⃗r = (0,b,0)
• Parallel zur z-Achse: ⃗r = (0,0,c)

Ebenso gibt es besondere Richtungsvektoren für Geraden, die zu Koordinatenebenen parallel sind:

• Parallel zur x₁x₂-Ebene: ⃗r = (a,b,0)
• Parallel zur x₂x₃-Ebene: ⃗r = (0,b,c)
• Parallel zur x₁x₃-Ebene: ⃗r = (a,0,c)

💡 Durch zwei verschiedene Punkte im Raum verläuft genau eine Gerade. Der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor dieser Punkte!

Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Geraden g und h können im Raum verschiedene Lagebeziehungen haben:

1. Parallel: Die Richtungsvektoren sind kollinear (⃗u || ⃗v), aber die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt.
2. Identisch: Die Richtungsvektoren sind kollinear und die Geraden haben mindestens einen gemeinsamen Punkt.
3. Schneidend: Die Geraden haben genau einen gemeinsamen Punkt.
4. Windschief: Die Geraden liegen versetzt im Raum und haben keinen gemeinsamen Punkt.

Um die Lagebeziehung zu bestimmen, folge diesem Schema:

1. Prüfe, ob ein Punkt P der Geraden g auch auf h liegt.
2. Untersuche, ob die Richtungsvektoren ⃗u und ⃗v kollinear sind.
3. Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, prüfe, ob die Gleichung ⃗p + r⃗u = ⃗q + s⃗v eine Lösung hat.

Je nach Ergebnis dieser Prüfungen kannst du bestimmen, ob die Geraden identisch, parallel, sich schneidend oder windschief sind.

💡 Im dreidimensionalen Raum können Geraden windschief zueinander sein – im Gegensatz zur Ebene, wo sich nicht-parallele Geraden immer schneiden!

Ebenen im Raum

Eine Ebene im Raum wird in Parameterform durch einen Stützvektor ⃗p und zwei Richtungsvektoren ⃗v und ⃗u beschrieben:

E: ⃗r = ⃗p + r⃗v + s⃗u

Der Stützvektor ⃗p gibt einen Punkt in der Ebene an, während die Richtungsvektoren ⃗v und ⃗u die Ebene aufspannen. Die Parameter r und s durchlaufen alle reellen Zahlen.

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt (Punktprobe), setzt du seinen Ortsvektor in die Ebenengleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem nach r und s auf.

Die Lage einer Ebene im Raum lässt sich durch ihre Richtungsvektoren bestimmen:

• Parallel zu einer Koordinatenachse: Einer der Richtungsvektoren muss parallel zur entsprechenden Achse sein.
• Parallel zu einer Koordinatenebene: Beide Richtungsvektoren müssen in der entsprechenden Ebene liegen.

Zum Beispiel ist eine Ebene parallel zur x₁x₂-Ebene, wenn beide Richtungsvektoren die Form (α,β,0) haben.

💡 Eine Ebene kann durch drei nicht-kollineare Punkte eindeutig bestimmt werden. Die Richtungsvektoren sind dann die Verbindungsvektoren dieser Punkte!

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

Eine Gerade g und eine Ebene E können folgende Lagebeziehungen haben:

1. Gerade parallel zur Ebene: g || E
2. Gerade schneidet die Ebene: g ∩ E
3. Gerade liegt in der Ebene: g ∈ E

Um die Lagebeziehung zu bestimmen, setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löse das entstehende lineare Gleichungssystem (LGS):

• Genau eine Lösung: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
• Keine Lösung: Die Gerade ist parallel zur Ebene.
• Unendlich viele Lösungen: Die Gerade liegt in der Ebene.

Eine Ebene kann auch in Normalenform bzw. Koordinatenform dargestellt werden:

⃗n · (⃗r - ⃗p) = 0 oder ⃗n · ⃗r = ⃗n · ⃗p

Dies führt zur Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d

Dabei ist ⃗n der Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Er kann durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmt werden: ⃗n = ⃗v × ⃗u

💡 Der Normalenvektor ist ein Schlüsselkonzept für Ebenen! Er steht senkrecht auf der Ebene und bestimmt ihre Ausrichtung im Raum.

Lagebeziehungen von Ebenen

Eine Ebene kann verschiedene Lagebeziehungen zu Punkten und zum Koordinatensystem haben.

Um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, führst du eine Punktprobe durch:

• Bei einer Ebene in Parameterform setzt du den Punkt ein und löst das LGS
• Bei einer Ebene in Koordinatenform setzt du die Koordinaten des Punktes direkt ein

Die Lage einer Ebene zum Koordinatensystem lässt sich anhand ihres Normalenvektors bestimmen:

• Parallel zu einer Koordinatenachse: Der Normalenvektor muss senkrecht zur entsprechenden Achse sein.

  • Zur x-Achse: ⃗n = (0,n₂,n₃)
  • Zur y-Achse: ⃗n = (n₁,0,n₃)
  • Zur z-Achse: ⃗n = (n₁,n₂,0)

• Parallel zu einer Koordinatenebene: Der Normalenvektor muss parallel zur entsprechenden Achse sein.

  • Zur x₁x₂-Ebene: ⃗n = (0,0,n₃)
  • Zur x₂x₃-Ebene: ⃗n = (n₁,0,0)
  • Zur x₁x₃-Ebene: ⃗n = (0,n₂,0)

💡 Eine Ebene ist genau dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn ihr Normalenvektor senkrecht auf dieser Koordinatenebene steht!