Grundlagen der Analytischen Geometrie im Raum
Das dreidimensionale Koordinatensystem bildet die Grundlage der Analytischen Geometrie. Im Raum werden Punkte durch drei Koordinaten x1,x2,x3 eindeutig bestimmt. Die Koordinatenebenen teilen den Raum in acht Oktanten und entstehen durch jeweils eine Null-Koordinate X1X2−Ebene:x3=0,X1X3−Ebene:x2=0,X2X3−Ebene:x1=0.
Definition: Der Ortsvektor OP eines Punktes Pp1,p2,p3 ist der Vektor vom Ursprung O zu P. Er wird durch die Koordinaten des Punktes eindeutig beschrieben.
Die Vektorrechnung ermöglicht es uns, geometrische Objekte algebraisch zu beschreiben. Grundlegende Operationen sind die Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation mit Skalaren. Der Betrag eines Vektors a = a1,a2,a3 berechnet sich durch |a| = √a12+a22+a32. Diese Formel entspricht der Länge des Vektors im Raum.
Zwei wichtige Konzepte sind die Kollinearität und der Gegenvektor. Vektoren sind kollinear, wenn sie sich nur um einen skalaren Faktor unterscheiden. Der Gegenvektor -a zu einem Vektor a hat die gleiche Länge, aber die entgegengesetzte Richtung.
Beispiel: Der Mittelpunkt M einer Strecke AB lässt sich durch die Formel OM = OA + ½B−A berechnen, wobei OA und B die Ortsvektoren der Endpunkte sind.