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Analytische Geometrie

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ANALYTISCHE GEOMETRIE
I Vektoren
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•Punkte eines Raumes im Koordinatensystem
• Begriff des Vektors
• Rechnen mit Vektoren
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ANALYTISCHE GEOMETRIE I Vektoren ÜBERBLICK . •Punkte eines Raumes im Koordinatensystem • Begriff des Vektors • Rechnen mit Vektoren S 1-3 Skalarprodukt Winkelberechnung II. Geraden s.4-6 Geraden in der Ebene und im Raum •Lagebeziehungen • Spurpunkte III. Ebenen s.7-12 . Ebenengleichungen Lagebeziehungen IV. Winkel und Abstande s. 12-17 • Schnittwinkel Abstandsberechnung Punkte eines Raumes im Koordinatensystem Koordinaten im Raum dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem X I VEKTOREN 4 2 = 1 Begriff des Vektors xA (1/2/2) Wir fassen alle Pfeile der Ebene (des Raumes), die gleiche Länge, gleiche Richtung und gleichen Richtungssinn haben, zu einer Klasse zusammen. Eine solche Pfeilklasse bezeichnen Wir als einen Vektor in der Ebene (im Raum). Y 7 X 3 Y →7 nach vorne, 3 nach rechts, 2 nach unten 1-2/2 Ein Vektor ist nicht lokal festgelegt. Den Vektor å gibt es überall im Raum, da er lediglich eine Verschiebung darstellt. →Spaltenschreibweise Abstand zwischen 2 Punkten Wie kommt man von A zu B? Koordinatendifferenz! 4-3 AB= -1+2 ≈ 2 X xz-Ebene (4) 4.3 Ortsvektor २ 1 1 2 Lange eines Vektors d (A,B) = √(b₁-a₂)² + (b₂-Q₂)² + ² + (b3-α3) ²² AB = √(4-3)² + (-1+2)² + (5-1) ² A(3/-2/1) B(4/-1/5) OP = yz-Ebene xy-Ebene (:) Der Ortsvektor läuft vom Ursprung zum Punkt P Seine Koordinaten entsprechen exaxt den Koordinaten des Punktes P. 1 P(1/2/2) Der Betrag des Vektors Betrag in der Ebene a = (a :) → 1ã1 = √ai²+ a₂²² Betrag im Raum ả = (a ₂) = lal = √α₁ ² + α₂² + a₂²² 03 Spiegelung eines Punktes an einem anderen Punkt Der Punkt A(1/1/2) wird am Punkt P (2/3/1) gespiegelt. Auf diese Weise entsteht der Spiegelpunkt A'. Bestimmen sie die Koordinaten von A X 1) Wir bestimmen den Vektor =...

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AP 2-1 AP = ···() 3-1 1-2 2) für Punkt A' gilt: A¹ = (2+ 4 / 3+2 / 4-^) A¹ = (3/510) 2 1 A ^ 24 2 20 y A' Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit •Drei Vektoren a,b und & sind linear abhängig, wenn ra + s⋅b + t⋅ =0 und ₁S₁t sind reelle. Zahlen. • Drei Vektoren a, b und 2 wenn es nur die Lösung Skalarprodukt .6 = Bsp. a= → à -(1) allg. Formel: cos= jal. 161 cos y Bsp.: å= (3) b= ả= " a.b - = 1·3+2·0-2.1 sind linear unabhängig, 1 Winkelberechnung zw. 2 Vektoren a.b r=0 gibt. $=0 t=0 √50 75 COS la = √4² +5² +3² = √50 161 = √7²³ +5² + 1² = √75¹ Tall ≈ 0.9145 -1 COS 019 145 | cos 8= 23,87° (Kosinusform) 2 (koordinatenform) Dreiecksregel Addition durch Aneinanderlegen 1st a = PQ und 6 = QR, so ist die Summe a + b der Vektor PR. Linearkombination von Vektoren Bsp: Gegeben sind die Vektoren a dargestellt werden kann. (:) -- () - ₁ (1) S ar + As = 3 1r + 15 = 1 1r + as = 0 Р r = 2 S = -1 â 76 18 Definition: Eine Summe der Form ₁₁ + 1₂ ·ả₂ · + ... + 'nan nennt man Linear kombination der Vektoren ,₂... R 10 ((1) -(1), ₁-(3). C Parallelogrammregel Der Summenvektor a tb lässt sich als Diagonalen - vektor in dem durch a und 6 aufgespannten Parallelo - gramm darstellen. Überprüfung in III: Zeige, dass als Linear kombination von 1.2 + 2 (-1)=0 0 = 0 ✓ 6 р atb und b 20 3 R Q II. GERADEN Die vektorielle Parametergleichung einer Geraden Eine Gerade mit dem Stūtzvektor a und dem Richtungsvektor mo hat die Gleichung g: x = a + rm (re). r heißt Geradenparameter Spurpunkte Die Schnittpunkte einer Geraden mit Koordinatenebenen heißen Spurpunkte der Geraden LAGEBEZIEHUNGEN Z Gegeben ist die Gerade g⋅x = auf der Geraden liegen. Spurpunkt spurpunkt Gegenseitige Lage Punkt / Gerade und Punkt / Strecke ·()·()· r Die Zweipunktegleichung einer Geraden Die Gerade g durch die Punkte A und B mit den Ortsvektoren a und to hat die Gleichung g: = =a+ r. (b-a) Z.B. A(-3/1/0), B(4(0/2) 9:X = *** (1) * · (²3) Sxy: Es gilt z = 0 1 (0)-(3-0) 5-8-8 (FER) Spurpunkte bestimmen gx = (0)·(3)-(8) =>r = 5 => Der Punkt A liegt auf der Geraden (1) · () · () * ³* r = 2 9 * =(3) ₁² (4) =>₁=3 => Der Punkt B liegt nicht auf der Geraden ⇒ r = 2 Weisen Sie nach, ob die Punkte A (7/4/8) und B(7/2/5) Für r=2" (4/6/0) T Gegenseitige Lage von zwei Geraden im Raum parallel - RV. linear abhängig 09 - kein gemeinsamer Punkt ja g=h identisch →>> identisch Gilt g=h? Liegt der Stützpunkt von h auf g - RV. linear abhängig (3) (3) - alle Punkte gleich 2) Punktprobe: 0 = 3-3r 12 = 0 + 6r => r = 2 4 = 1 + 3r ja r=1 r = 1 nein 1) Parallelitätsuntersuchung: = ^ · () = -³ - (1) - - - g mg Richtungsvektoren sind linear abhängig glih, gh echt parallel schneidend Untersuchungsschema => Widerstand - RV. linear unabhängig -Schnittpunkt berechnen Sind g und h parallel? Sind Rv linear abhängig? ja gnh: schneidend 1 = {S} nein windschief parallele Geraden Gegeben sind die Geraden 9:x=(8) + ‹(3) und h: x = 12 + S-8 Welche relative Lage zueinander nehmen -4 die Geraden g und h ein ? Untersuchung auf parallel oder identisch - RV linear unabhängig -Schnittpunkt berechnen Schneiden sich g und h? Xeindeutig Ist xg lösbar? X nein 2 g und h sind windschief Z 5 Y Die Punktprobe zeigt, dass der Stūtzpunkt P(0/12/4) von h nicht auf g liegt. Also sind die Geraden nicht identisch, sondern echt parallel. schneidende Geraden Die Gerade g verläuft durch die Punkte p(0/0/6) und Q(8/12/2). Die Gerade h geht durch A(4/012) und B(4/12/6). Untersuchen Sie die relative Lage von 9 und h. →>> Richtungsvektoren sind linear unabhängig: Untersuchung auf schneidend oder windschief. 4) Parametergleichung aufstellen 9: 9¹³ = (8) + (4) h : ²₁ - (2) ₁ ² ( 8 ) windschiefe Geraden Untersuchen Sie die relative Lage von g: * - 1) Schnittpunkt untersuchung = + (0)·(4)·(8)·4) 2) Schnittuntersuchung Das Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung r= √, s = 11. Die Geraden schneiden sich. Der Schnittpunkt lautet S(4/6/4). 2 + r 0 + S (8)·(4)·() · (8) = 1 + 2s 25 -2r= -3s 8r 12r 6-4r = 4 = 12s = 2 + 4s I-II: 2=1 Widerspruch 9₁² · (8) +-( :) Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Untersuchung auf schneidend oder windschief. und h:x= 9 und h Sind windschief →>> + S 1 S = 4 = 4 ->> X S 2 h S (4/6/4) 9 6 y III. EBENEN Umwandlung: Parameterform, Normalenform, Koordinatenform: A(1/21-2), B(0/5/0), C(5/01-2) Parameterform: E:X = جا Normalen form: =0 -2 =0 (၁) (၆- ၁) (၁-၀ - - - (-)-(-) → [0]). Nf: 5 Koordinatenform: - (1) (3) - = -2x - 4y + 5z =0 = 0 Vektorielle Parametergleichung EX= a + ru + Sv X: allg. Ebenenvektor a: Stūtzvektor V: Spannvektoren ris Ebenenparameter -Ana+ 3nat 2n3 = 0 un₁-2n₂ + On3 = 0 X 1-(-2) + 2-(-4) + (-2) 5 = 0 X = -20 a stehen alle senkrecht zu Punkt, dar fest liegt Koordinatengleichung E: ax +by + cz =d Dreipunktegleichung E = a + r. (b-a) + s. (c-a) A,B,C seien drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte mit den Ortsvektoren a, b, c. Normalengleichung 7 E: (x-α) = 0 ↑ Stutzvektor n - (8) ist ein Normalenvektor von E Normalenvektor Umwandlung rückwärts 1) Von der Koordinatengleichung zur Normalengleichung A 2x + 3y + 4z = 19 Wir brauchen Stūtzvektor, Normalenvektor X 2) Von der Koordinatenform zur Parameterform Achsenabschnittsgleichung durch Probieren. oder SV 2x + 3y - 2 = 6 43 Punkte bestimmen ↳ Stūtzvektor + Richtungsvektor bestimmen oder 2 с B 9 → [2 · (;)] · (§) E: X+Y+² = 1 A B C Lösung EX= a + r.vt. w 1 Stützvektor probieren Normalen vektor ✓ 13 · (3) = 0 : =0 = 0 Beispiel: Wie lauten die Achsenabschnitte der Ebene E: 4x + 2y = 12 (3) * = (3) E: 4x + 2y = E: x + y = 1 = 12 1:12 A=3 B-6 8 LAGE BEZIEHUNGEN Die Lage von Punkt und Ebene Punktprobe mit der Parameterform Liegen P(2/-2/-1) oder Q(2/1/1) in der Ebene E- P(21-2/-1): P für einsetzen () () () · () + r Gleichungssystem 2r + S - + S r + s = 1 = 0 S = -1 r = 1 P einsetzen. 2-2 + (-2)-3(-1) = 5, d.h. 5=5 ↳ Der Punkt P(21-2/-1) liegt in E wohr ها 7 - (0) + (-) + (3) +r +S Probe A+ (-1) = 0 Punktprobe mit der Koordinatenform Liegen P(21-21-1) oder Q(2/1/1) in E: 2x +y - 32 = 5 ? A einsetzen /0 2 0 [0·0)]·() · () () - A(1/4/0) liegt in E p(2/-2/-1) liegt in E Punktprobe mit der Normalenform Prüfe, ob der Punkt A (1/4/0) in der Ebene E: Q(2/4/1) P für X einsetzen + () ()·()·() Gleichungssystem dr + S -r + S r + S [ * -(1)]*(1) = 0 liegt. = A = 1 = 2 Q einsetzen 2.2 + 1-3=5, dh. 2=5 ↳ Der Punkt Q (2/1/1) liegt nicht in E S = 1 r = 0 Probe 0+1 = 2 9 falsch Q(2/1/1) hegt nicht in E Die Lage von Gerade und Ebene parallel-0 SP Gerade parallel E zur Ebene / Gerade in der Ebene Lage von 9₁ zu E Koordinaten von g₁² X = 2 tr y = 3 + r 2 = 1-r Einsetzen in die Gleichung E: (2+r) + 2(3+r) + 3(1-r) = 9 11 = 9 A Gegeben sind die Geraden Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g₁ und 92 zu E. schneidend→ SP Gerade und Ebene schneiden sich 9 in E einsetzen: 2 + 2 (4 + 2r) + 3 (2+r) = 9 7r + 16 = 9 7r = -7 r = -1 Gegeben sind die Gerade g: x = 9 Schneidet E für r = -1 (0)--(8) · ₁ - (:1) ₁ (1:1) (²) 92³X = → keine wahre Aussage : echt parallel ; - (:) +- (8) tr Zeigen Sie, dass g und E sich schneiden. identisch viele SP tr sowie die Ebene E= x + 2y + 32 = 9. Lage von 9₂ zu E Koordinaten von 9₂ x = 2 +tr y = 2 + r 2 = 1-r Einsetzen in die Gleichung von E (2+ r) + 2(2+ r) + 3(1-r) =9 9 = 9 und die Ebene E x + 2y + 32 = 9. 10 Schnittpunkt berechnen ² -(:) + (--( :) · (3) = (-1) → S(2/2/1) wahre Aussage: 9 liegt in E (identisch) Die Lage von zwei Ebenen parallel kein SP F schneidende Ebenen: Untersuche die Lage von E und F. identisch unendlich viele SP Einsetzen in die Koordinatengleichung 4. (3t+ 3s) + 3.2r + 6⋅ (3-r-s) = 36 12r + 12s + 6r + 18-6r - 6s = 36 6s S Koordinatenform / Parameterform Besonders einfach lässt sich die gegenseitige Lage von Ebenen untersuchen, wenn eine der Ebenengleichungen in Koordinatenform und die andere in Parameterform vorliegt. E=F = 18-12r = 3-dr parallele und identische Ebenen: E: 4x + 3y + 62 = 36 ** · (8) + (-) + (-:-) F: X = F in G einsetzen: 2(1-3r+s) + 2(1+r+s) + (8 + 4r - 4s) =6 12 = 6 Widerspruch: E und F sind parallel schneidend unendlich viele SP Koordinatenform 2 0 →Parameter form 1. Ebene in KOF 2. Ebene in PF Bestimmung der Schnittgeraden g: 9: x = tr +(3-dr) 9²² - (8) + ² (²4) ₁ (3-2₁) (²2) = (8) + (²) (Schnittgerade). tr + Untersuche die gegenseitige Lage der Ebene E = 2x + 2y + z = 6 mit den Ebenen F₁ X = · (0)··(3)·() · · () · ·¯)*¹) G: X = Lage von E und F: Lage von E und G α 11 bzw. G in E einsetzen 2(2-3r-s) + 2(4+ 2r-ds) + (-6+2r+ 6s) =6 6=6 wahre Aussage: E und G sind identisch kleiner Exkurs: Parallelitāt, Orthogonalitāt, Spiegelung parallele Geraden: Die Richtungsvektoren sind linear abhängig. Die überprüfung erfolgt durch Hinsehen. Orthogonale Geraden. Die Richtungsvektoren sind Orthogonal. Die Überprüfung erfolgt durch das Skalarprodukt Parallelitat Gerade / Ebene: Die RV der Geraden und der Normalenvektor der Ebene sind orthogonal. Orthogonalitat Gerade / Ebene: Der RV der Geraden und der Normalenvektor der Ebene sind linear abhängig. Spiegelung spiegelt man einen Punkt A an einer Ebene E, so gilt für den Spiegelpunkt A', dass die Gerade durch A und A' orthogonal zur Ebene E ist und dass der SP F dieser Geraden mit der Ebene E die Verbindungsstrecke AA' halbiert. Kreuzprodukt (88) ba a3 b3 ал (3)() Vektor Vektor Vektor a2 b3 - az.ba a3b₁a₁b3 a₁ b₂ a₂ b₁/ = A M₁ C ma D M₂ 3.7 4.6 4.5 7-2 2.6 3.5 BSP. ū- (3) 7. (3) Bsp.: = m₂ = rm²₁ A' m₁ m₂ = 0 nm = 0 m=r·n 3. Vektor, der senkrecht ist +3 V 12 IV WINKEL & ABSTANDSBERECHNUNG WINKEL ZW. 2 GERADEN cos y RV. V COST = Iv. WI IMI-IAI Cosy 11-(-1) +2·2+2·11 √4² +2²+2²√(-4)² +2²+42² 0,68 w= 0,68 Icos 8 = 47,12 Sp: Schnittpunkt zw. 2 Geraden gi-(;) · () bi-(;). (:) h:x= g und h gleichsetzen: (3) +-(3)·(8)·(3) Gleichungssystem: Ar + 15 = 2 ar as = 0 ar 15 = 1 -1 1 für r einsetzen r=1 ⇒ S=1 = (8) + + (3) · (3) WINKEL GERADE EBENE Sin = RV: V *-(-3) (1) n= Iv.nl 1171 Sin y 12-3+11+ (-2) 21 √2²+1²+(-2)²√3²+4² +2²° ≈0,27 Sin = 0,27 8 = 15,6 Isin Schnittpunkt Gerade/Ebene. Die Gerade g durch A(2/1/3) und B(4/2/1) Schneidet die Ebene €: [7-(3)) () - 0 E: Gerade aufstellen: 9:*-(1)-(3) Ebene in KF umwandeln E: 3x + 14+ 22 = 16 r 9 in E einsetzen 3 (2+2r) + 1 (1+r) + 2 (3-2r) = 16 13 + 3r = 46 = 1 WINKEL ZW 2 EBENEN cos = RV. ₁₂1 ₂ *-(1) -(8) COS=14-03-3+2·21 √42+3²+2√²+3² +2²¹ 0,67 cos y = 0,67 Icos 8 = 47.9% -^ Wie erhalte ich die Normalen vektoren? Die Ebene E 4x+ 3y + 2z = 12 und E₂: C²-(0)¹=0 schneiden sich. n₂ = 1 für r einsetzen SP : (3) + + (-3) - (2) Sp: 13 ABSTAND PUNKT / EBENE Lotfußpunktverfahren Unter dem Abstand eines Punktes P von einer Ebene E versteht man die Länge d der Lot strecke PF, die senkrecht auf der Ebene steht. Der Punkt F heißt Lotfußpunkt. Gesucht ist der Abstand d des Punktes P/4/4/5) von der Ebene E. x+y+ 2z = 6. 1) Lotgerade aufstellen: 9: 7 = 9³² · () () + r 2)Schnittpunkt von 9 und E berechnen (4 +r) + (4+r) + 2. (5+ 2r) = 6 = 6 6r+ 18 r 3) Schnittpunkt F |+(-2) (1) ·~~(:)-(3) E = -2 d d 6.3 => F(2/2/1) 4) Abstand von P und F berechnen d = IPFI = √(2-4)² + (2-4)² + (1-5) ² (as 4,90 P Hesse 'sche Normalenform Es handelt sich um eine Normalengleichung der Ebene, in der ein Normalenvektor no verwendet. wird, der normiert ist, d. h. die lange Iñol = 1 besitzt Man spricht von einem Normaleneinheitsvektor. [*-(:)) (3) -0 =0 und bestimme dessen Abstand zum Punkt P (4/4/5) Bestimme die HNF der Ebene E: 1) Betrag des Normalenvektors = 2) Normaleneinheitsvektor n IRI 101 =√1² +2³² + 3²² = 3) HNF von E: E: [R -(4)] = 5,35 1/144 2/√14¹ 31 रुप 4) Abstand von P und E: d= - [ (8) -(8)] · ( 1/144 2 / निप 1/√44' 2/10 3/ √AY 3/√14 1/√14 21 रुप 3/√14 = 14 14 Die Hesse' sche Normalenform E: (x-a) no =0 allg. Ortsvektor der Ebene a: Ortsvektor eines Ebenenpunktes → no: Normalenvektor mit Inol = 1 9 ABSTAND GERADEN/ EBENE ZU EINER PARALLELEN EBENE B F A X P(-1/4/5) tr g: x = 9¹*-(:)" () ABSTAND PUNKT - GERADE 9 Punkt-Ebene Abstand - nehme irgendeinen Punkt auf Gerade g 2. Schnittpunkt von g und H [+)-()]) -14 + 14r r ⇒ F(0/5/4) Hesse'sche Abstands formel (Punkt / Ebene) = 0 1) Aufstellen Hilfsebene H, die geht durch P und zu g A [ ²-(3)]-(1)-0 = 0 E: (-a) no =0 sei eine Hesse' sche Normalengleichung der Ebene E. Dann gilt für den Abstand d eines beliebigen Punktes P mit dem Ortsvektor p von der Ebene E: dd(PE)= |(p-a) nol = 1 € 3 Abstand von P und F - -)-(3) - IPFI = (6) d= 15 √3 ~1173 ABSTAND PARALLELER P la 1) Aufstellen Hilfsebene H G-(:))-(3) · =0 4. Schnittpunkt 13 -5 h +1. -20 12 -2 GERADEN 9:3 = ( ³ ) + ² ( 5 Abstand zw. beiden Punkten 10x -6y + 12 Hh (-7/7/3) Hg (-8/5/1) 2. Schnittpunkt von H mit g und Umwandlung Htin KOF *0-00 h: x = ABSTAND WINDSCHIEFER GERADEN Abstandsformel: 9 und ʼn besitzen den Abstand: d= |(p-a) · ñ。 | Stützvektor Stutzvektor von h von g einsetzen =0 + S - 109 20 3. Schnittpunkt von H und g (1) Schnittpunkt von H und h H: 10x6y+z=-109 h: x = = 5 + S 10 (13-20s)-6-( −5+ 125) + (5-2s) = -109 -274s + 165 = 109 1-165 = - 274 = 1 - 2745 S Skalarprodukt der beiden RV der Geraden ausrechnen FG FH d h G 16 H 17 Beispiel Zeigen Sie, dass g und h windschief sind. Berechnen Sie sodann den Abstand von g und h. : 9- ² ⋅ (8) + ( : ) · ² · (8) · (3³) 9: x = t 4 h: x = + S 1) Normalenvektoren bestimmen (8-0). = 0 n₂ -20₁ +102 + On3 =0 3n, + 3n₂ An3 = 0 2) Abstandsberechnung d=(p-₁) no -[0)-(3)] =0 ·- = -> no l = 312 "1 A