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Analytische Geometrie: Überblick und Vektoren für Abi Lk 2022

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jac

@jac_bzgd

Die analytische Geometrie bringt Vektoren, Geraden und Ebenen zusammen -... Mehr anzeigen

# Analytische Geometrie Addition $\binom{x_1}{y_1} + \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}$ Betrag $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2

Grundlagen der Analytischen Geometrie

Du arbeitest mit Vektoren, die Punkte im Raum beschreiben und dir bei Berechnungen helfen. Die Vektoraddition funktioniert komponentenweise: (x1y1)+(x2y2)=(x1+x2y1+y2)\binom{x_1}{y_1} + \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}.

Der Betrag eines Vektors gibt dir seine Länge: ∣x⃗∣=x12+x22+x32|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}. Das Skalarprodukt v⃗⋅u⃗=u1⋅v1+u2⋅v2+u3⋅v3\vec{v} \cdot \vec{u} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 brauchst du für Winkelberechnungen und um zu prüfen, ob Vektoren orthogonal sind dannistdasSkalarprodukt=0dann ist das Skalarprodukt = 0.

Geraden beschreibst du mit g:x⃗=OA⃗+r⋅u⃗g: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{u}, wobei OA⃗\vec{OA} der Stützvektor und u⃗\vec{u} der Richtungsvektor ist. Bei Ebenen hast du drei Darstellungsformen: die Parameterform E:x⃗=OA⃗+s⋅u⃗+t⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}, die Normalenform und die Koordinatenform E:ax+by+cz=dE: ax + by + cz = d.

Tipp: Zwei Vektoren sind parallel, wenn b⃗=r⋅a⃗\vec{b} = r \cdot \vec{a} gilt - einer ist also ein Vielfaches des anderen!

Winkel im Raum berechnest du mit cos⁡(φ)=v⃗⋅u⃗∣v⃗∣⋅∣u⃗∣\cos(\varphi) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u}|}. Für Gerade-Ebene-Winkel nimmst du den Sinus, für Ebene-Ebene-Winkel den Kosinus der Normalenvektoren.

# Analytische Geometrie Addition $\binom{x_1}{y_1} + \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}$ Betrag $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2

Abstände berechnen

Abstandsberechnungen sind ein zentraler Teil der analytischen Geometrie - hier lernst du systematisch vorzugehen. Der einfachste Fall ist der Punkt-Punkt-Abstand: ∣AB⃗∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2|\vec{AB}| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}.

Für den Punkt-Ebene-Abstand verwendest du bei der Koordinatenform die praktische Formel: ∣ax+by+cz−d∣a2+b2+c2\frac{|ax+by+cz-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. Alternativ bildest du eine Lotgerade durch den Punkt orthogonal zur Ebene, findest den Lotfußpunkt und berechnest dessen Abstand zum ursprünglichen Punkt.

Bei windschiefen Geraden (die sich nicht schneiden und nicht parallel sind) bildest du eine Hilfsebene durch eine Gerade mit dem Richtungsvektor der anderen. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der zweiten Gerade gibt dir den nächstgelegenen Punkt.

Merksatz: Wenn zwei Geraden parallel sind, berechnest du einfach den Abstand eines beliebigen Punktes der einen Gerade zur anderen!

Der Punkt-Gerade-Abstand funktioniert über eine Hilfsebene orthogonal zur Gerade oder durch Orthogonalitätsbedingungen. Du setzt den Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Gerade und löst das entstehende Gleichungssystem.



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Anna

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Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Koordinatengeometrie

 

Mathe

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2.963

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1. Jan. 2026

•

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Analytische Geometrie: Überblick und Vektoren für Abi Lk 2022

J

jac

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Die analytische Geometrie bringt Vektoren, Geraden und Ebenen zusammen - hier lernst du, wie du im dreidimensionalen Raum rechnest und geometrische Probleme algebraisch löst. Mit den richtigen Formeln und Methoden kannst du Abstände berechnen, Winkel bestimmen und Lagebeziehungen analysieren.

# Analytische Geometrie Addition $\binom{x_1}{y_1} + \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}$ Betrag $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2

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Grundlagen der Analytischen Geometrie

Du arbeitest mit Vektoren, die Punkte im Raum beschreiben und dir bei Berechnungen helfen. Die Vektoraddition funktioniert komponentenweise: (x1y1)+(x2y2)=(x1+x2y1+y2)\binom{x_1}{y_1} + \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}.

Der Betrag eines Vektors gibt dir seine Länge: ∣x⃗∣=x12+x22+x32|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}. Das Skalarprodukt v⃗⋅u⃗=u1⋅v1+u2⋅v2+u3⋅v3\vec{v} \cdot \vec{u} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 brauchst du für Winkelberechnungen und um zu prüfen, ob Vektoren orthogonal sind dannistdasSkalarprodukt=0dann ist das Skalarprodukt = 0.

Geraden beschreibst du mit g:x⃗=OA⃗+r⋅u⃗g: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{u}, wobei OA⃗\vec{OA} der Stützvektor und u⃗\vec{u} der Richtungsvektor ist. Bei Ebenen hast du drei Darstellungsformen: die Parameterform E:x⃗=OA⃗+s⋅u⃗+t⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}, die Normalenform und die Koordinatenform E:ax+by+cz=dE: ax + by + cz = d.

Tipp: Zwei Vektoren sind parallel, wenn b⃗=r⋅a⃗\vec{b} = r \cdot \vec{a} gilt - einer ist also ein Vielfaches des anderen!

Winkel im Raum berechnest du mit cos⁡(φ)=v⃗⋅u⃗∣v⃗∣⋅∣u⃗∣\cos(\varphi) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u}|}. Für Gerade-Ebene-Winkel nimmst du den Sinus, für Ebene-Ebene-Winkel den Kosinus der Normalenvektoren.

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Abstände berechnen

Abstandsberechnungen sind ein zentraler Teil der analytischen Geometrie - hier lernst du systematisch vorzugehen. Der einfachste Fall ist der Punkt-Punkt-Abstand: ∣AB⃗∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2|\vec{AB}| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}.

Für den Punkt-Ebene-Abstand verwendest du bei der Koordinatenform die praktische Formel: ∣ax+by+cz−d∣a2+b2+c2\frac{|ax+by+cz-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. Alternativ bildest du eine Lotgerade durch den Punkt orthogonal zur Ebene, findest den Lotfußpunkt und berechnest dessen Abstand zum ursprünglichen Punkt.

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Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Vektoren in Crash-Simulationen

Entdecken Sie die Anwendung von Vektoren in der Fahrzeugentwicklung, insbesondere bei Crash-Simulationen von Porsche. Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen von Vektoren, deren Addition, Subtraktion, Skalare Multiplikation und die Prüfung von Orthogonalität. Ideal für Mathematik- und Ingenieurstudierende, die sich auf das Abitur vorbereiten. Quellen: Abitur Skript Mathematik Stark Verlag.

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Lineare Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen: Erfahren Sie, wie man Punkte testet, Wertetabellen erstellt, Funktionen zeichnet und die Steigung sowie den y-Achsenabschnitt bestimmt. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Umformung von Gleichungen in die Normalform und zur Bestimmung von Schnittpunkten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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