Mathe /

Arbeiten mit Termen und Gleichungen

Arbeiten mit Termen und Gleichungen

 1. ARBEITEN MIT TERMEN UND
GLEICHUNGEN
1.1. AUFSTELLEN VON TERMEN MIT VARIABLEN
Terme bestehen aus Zahlen, Variablen und Rechenausdrücken.

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Klara Richter

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1. Term aufstellen 2. Aufbau 3. Termumformung 4. zusammenfassen von Termen 5. Rechengesetze 6. Potenzen 7. Klammerauflösen 8. ausklammern

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1. ARBEITEN MIT TERMEN UND GLEICHUNGEN 1.1. AUFSTELLEN VON TERMEN MIT VARIABLEN Terme bestehen aus Zahlen, Variablen und Rechenausdrücken. Sie enthalten kein Relationszeichen. Schritte zum Aufstellen eines Termes: 1. Wie sehen Beispiele für die Berechnung aus? 2. Was ändert sich, was nicht? 3. Wie kann man die Berechnung mit Variablen ausdrücken? 1.2. AUFBAU EINES TERMS Term Тур Wortform I I (5+x)*y Produkt Multipliziere zu der Summe von x und 5 die Variable y. (y-x)+7 Summe => Zusammenfassen von Termen => Umformen mittels Rechengesetzen Addiere zu der Differenz von y und x mit 7. 1.3. WERTGLEICHE TERME - TERMUMFORMUNG Definition: Zwei Terme heißen wertgleich (äquivalent) zueinander, wenn sich bei jeder beliebigen Einsetzung übereinstimmende Werte ergeben. Bei einer Termumformung wird ein Term in einen anders aufgebauten, aber wertgleichen Term umgeformt. Man verbindet die beiden wertgleichen Terme durch ein Gleichheitszeichen. Die Wertgleichheit könnte durch einsetzen von verschiedenen Werten überprüft werden. Dies ist aber kein Beweis. Beispiele aus Wertetabellen können nicht als allgemeiner Beweis für eine Wertgleichheit des Terms benutzt werden. Der Beweis kann nur allgemein, also mit Variablen, durchgeführt werden. Dazu benötigt man die Zusammenfassung von Termen und wendet Rechengesetze an. 1.4. ZUSAMMENFASSEN VON TERMEN: ADDIEREN UND SUPTRAHIEREN Man addiert/ subtrahiert Terme, die sich nur in den Zahlenfaktoren unterscheiden, indem man die Zahlenfaktoren (Koeffizienten) addiert/ subtrahiert und die gemeinsamen Variablen beibehält. Beispiel: 7ab+5ab=12ab 1.5. ERKLÄRUNG DER RECHENGESETZE Assoziativgesetz -sagt das Ergebniss sich nicht ändert wenn man Klammern versetzt/ weglässt => in reinen Summen/ Produkten darf...

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man die Reihnfolfe der Rechnung selbst festlegen. Kommukativgesetz -sagt das Ergebnis sich nicht ändert wenn Summanden/ Faktoren vertauscht werden => Summanden/ Faktoren darf man vertauschen. 8x-2x=6x Aus jeder Summe kann eine Differenz und aus jeder Differenz eine Summe werden. Beispiel: 3+x=3-(-x) Summe -> Differenz 3-x = 3+(-x) Differenz-> Summe Aufeinanderfolgende Additions- und Subtraktionsschritte darf man beliebig tauschen. Beispiel: -x+3x-5 = 3x-x-5 = 5+3x-x 1.6. MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN VON TERMEN Multiplizieren eines Produktes mit einer Zahl Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man nur einen Faktor mit der Zahl multiplizieren. Beispiel: 4 (3•xy) = (4•3)•xy = 12xy Dividieren eines Produktes durch eine Zahl Man dividiert ein Produkt mit einer Zahl, indem man nur Faktoren durch die Zahl dividiert. Beispiel: (14 u):7 = (14:7)•ů = 2u 1.7. RECHNEN MIT POTENZEN Merke: Die Potenz beschreibt einen mathematischen Ausdruck, bei dem eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird. Exponent 3 2=8 Basis Potenzwert 2.2.2 Basis Beispiel einer Potenz = 8 Ergebnis = 1.8. AUFLÖSEN EINER KLAMMER 2.(3k+2p) Faktorisieren = 6k+4p Klammer auflösen Plusklammer auflösen => Steh nur ein Pluszeichen (+) vor der Klammer kann diese einfach weggelassen bzw. berechnet. werden. Minusklammer auflösen => Steht ein Minus vor der Klammer, fällt diese weg und alle Vorzeichen (auch (+) die nicht geschrieben wurden) ändern sich. Malklammer auflösen => Steht ein Faktor vor der Klammer kann man die Klammer auflösen. Dies geschieht dir Multiplikation des Faktors vor der Klammer mit jedem Klammerinhalt. Geteiltklammer auflösen => Steht ein Divisionszeichen vor einer Klammer kann dies als Bruch geschrieben werden. Handelt es sich bei der Aufgabe um eine Gleichung kann der Bruch meistens auf die andere Seite multipliziert werden. Auflösen einer Minusklammer - Subtrahieren einer Klammer (1) Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so heißt die Klammer Minusklammer. Das Minuszeichen vor der Klammer kann als Multiplikation mit (-1) aufgefasst werden. Das Multiplizieren mit (-1) liefert die entgegengesetzte Zahl. Man löst eine Minusklammer -(-3x+2y)=(-1)-(-3x+2y) auf, indem man jedes Glied der Summe oder Differenz in der Klammer mit (-1) multipliziert. (2) Subtrahieren bedeutet das Addieren der entgegengesetzte Zahl. a (b+c) = ab+ac (a+b) c = ac+bc =(-1) (-3x) + (-1)-2y = + 3x + (-2y) = 3x - 2y 7x-4-(2x-5y)=7x- (8x-20y) = 7x+(-(8x-20 y)) = 7x+(-8x+ 20y) = 7x-8x+ 20y = -x + 20y 1.9. DISTRIBUTIVGESETZ BEI DER MULTIPLIKATION Auflösen der Minusklammer bewirkt Ändern der Zeichen. Jeder Summand mal dem Faktor 1.10. TERMUMFORMUNG => Ausmultiplizieren („Regenbogenprinzip") => Die verschiedenen Variablen werden in der Regel nach dem Alphabet geordnet aufgeschrieben. Bei der obigen Termumformung 3x(y + 2) = 3xy + 3xz ist durch die Anwendung des Distributiv gesetzes ein Term ohne Klammer entstanden. Man sagt: Die Klammer wurde aufgelöst. Aus einem Produkt wurde eine Summe. Entsprechend wurde bei der Termumformung 2u (2x-3) = 4ux-6u ein Produkt in eine Differenz umgeformt. Man sagt auch: Es wurde ausmultipliziert. Auflösen einer Klammer in einem Produkt: Multiplizieren einer Summe oder Differenz Man multipliziert jedes Glied der Summe oder Differenz in der Klammer mit dem Faktor. Die Zeichen + und werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt. Beispiele: (1) 7 (4x+3y) = 7-4x+7-3y (2) -2x (3y-6z)=-2x-3y + 2x-6z = 28x + 21y -6xy + 12xz Den Faktor mit jedem Glied der Klammer multiplizieren 1.11. AUSKLAMMERN => Beim Ausmultiplizieren musst du den Faktor vor oder hinter der Klammer mit den Summånden in der Klammer multiplizieren. Wir haben dies auch das „Regenbogenprinzip" genannt. => Das Ausklammern ist wieder die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Es wird auch Faktorisieren genannt. 2.(3k+2p) = 6k+4p <-Faktorisieren Klammer auflösen -> 24a²b³ +36ab²-30a³b => Beim Ausklammern bzw. Faktorisieren musst du den Faktor finden, mit dem die Klammer multiplizieret werden kann. Im Beispiel ist es „2“. => 6k+4p=> Was ist in beiden Summanden gleich? Hier im Beispiel ist es leicht zu erkennen, das die beiden durch ,2“ teilbar sind und ich sie zerlegen kann: 2•3•k+2•2•p = 2 (3k+2p) => Das suchen eines geeigneten Faktors kann auch durch die Primfaktorzerlegung erleichtert werden. => Dabei werden die einzelnen Faktoren in Primzahlen zerlegt.. => 24 = 2.2.2.3 oder 36 = 2.2.3.3 usw. => Außerdem werden mögliche Potenzen bei Variablen ausgeschrieben. Faktorisierungsbeispiel: Primfaktorzerlegung = 2.2.2·3·a·a·b·b·b +2·2·3·3·a·b·b-2-3-5-a.a-a-k = 2.3·a·b· (2.2.a·b·b +2·3·b-5·a·a) = 6ab (4ab² + 6b-5a²) => Jetzt kann man erkennen welche Faktoren und Variablen in allen Summanden wirklich gleich sind. => Alle Summanden enthalten 2.3 und a.b => Also können wir 2.3-6 und a b=ab ausklammern, bzw. vor die Klammer schreiben. Der Rest der einzelnen Summanden wird in die Klammer geschrieben. => Zur Probe dann man den Term (das Ergebnis) wieder ausmultiplizieren und es müsste der Ausgangs Term erscheinen. Faustregel 1. Prüfe, ob es eine gemeinsame Zahl gibt, durch die alle Zahlen teilbar sind. Notiere diese. 2. Suche die Variable mit dem niedrigsten Exponenten (Hochzahl) und prüfe, ob die Variable in allen Summanden vorkommt. Wenn ja, notiere auch diese. 3. Die notierten Zahlen sind nun der Faktor vor der Klammer, die restlichen Summanden schreibst du in die Klammer. 4. Überprüfe dein Ergebnis mittels Ausmultiplizieren.

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man die Reihnfolfe der Rechnung selbst festlegen. Kommukativgesetz -sagt das Ergebnis sich nicht ändert wenn Summanden/ Faktoren vertauscht werden => Summanden/ Faktoren darf man vertauschen. 8x-2x=6x Aus jeder Summe kann eine Differenz und aus jeder Differenz eine Summe werden. Beispiel: 3+x=3-(-x) Summe -> Differenz 3-x = 3+(-x) Differenz-> Summe Aufeinanderfolgende Additions- und Subtraktionsschritte darf man beliebig tauschen. Beispiel: -x+3x-5 = 3x-x-5 = 5+3x-x 1.6. MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN VON TERMEN Multiplizieren eines Produktes mit einer Zahl Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man nur einen Faktor mit der Zahl multiplizieren. Beispiel: 4 (3•xy) = (4•3)•xy = 12xy Dividieren eines Produktes durch eine Zahl Man dividiert ein Produkt mit einer Zahl, indem man nur Faktoren durch die Zahl dividiert. Beispiel: (14 u):7 = (14:7)•ů = 2u 1.7. RECHNEN MIT POTENZEN Merke: Die Potenz beschreibt einen mathematischen Ausdruck, bei dem eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird. Exponent 3 2=8 Basis Potenzwert 2.2.2 Basis Beispiel einer Potenz = 8 Ergebnis = 1.8. AUFLÖSEN EINER KLAMMER 2.(3k+2p) Faktorisieren = 6k+4p Klammer auflösen Plusklammer auflösen => Steh nur ein Pluszeichen (+) vor der Klammer kann diese einfach weggelassen bzw. berechnet. werden. Minusklammer auflösen => Steht ein Minus vor der Klammer, fällt diese weg und alle Vorzeichen (auch (+) die nicht geschrieben wurden) ändern sich. Malklammer auflösen => Steht ein Faktor vor der Klammer kann man die Klammer auflösen. Dies geschieht dir Multiplikation des Faktors vor der Klammer mit jedem Klammerinhalt. Geteiltklammer auflösen => Steht ein Divisionszeichen vor einer Klammer kann dies als Bruch geschrieben werden. Handelt es sich bei der Aufgabe um eine Gleichung kann der Bruch meistens auf die andere Seite multipliziert werden. Auflösen einer Minusklammer - Subtrahieren einer Klammer (1) Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so heißt die Klammer Minusklammer. Das Minuszeichen vor der Klammer kann als Multiplikation mit (-1) aufgefasst werden. Das Multiplizieren mit (-1) liefert die entgegengesetzte Zahl. Man löst eine Minusklammer -(-3x+2y)=(-1)-(-3x+2y) auf, indem man jedes Glied der Summe oder Differenz in der Klammer mit (-1) multipliziert. (2) Subtrahieren bedeutet das Addieren der entgegengesetzte Zahl. a (b+c) = ab+ac (a+b) c = ac+bc =(-1) (-3x) + (-1)-2y = + 3x + (-2y) = 3x - 2y 7x-4-(2x-5y)=7x- (8x-20y) = 7x+(-(8x-20 y)) = 7x+(-8x+ 20y) = 7x-8x+ 20y = -x + 20y 1.9. DISTRIBUTIVGESETZ BEI DER MULTIPLIKATION Auflösen der Minusklammer bewirkt Ändern der Zeichen. Jeder Summand mal dem Faktor 1.10. TERMUMFORMUNG => Ausmultiplizieren („Regenbogenprinzip") => Die verschiedenen Variablen werden in der Regel nach dem Alphabet geordnet aufgeschrieben. Bei der obigen Termumformung 3x(y + 2) = 3xy + 3xz ist durch die Anwendung des Distributiv gesetzes ein Term ohne Klammer entstanden. Man sagt: Die Klammer wurde aufgelöst. Aus einem Produkt wurde eine Summe. Entsprechend wurde bei der Termumformung 2u (2x-3) = 4ux-6u ein Produkt in eine Differenz umgeformt. Man sagt auch: Es wurde ausmultipliziert. Auflösen einer Klammer in einem Produkt: Multiplizieren einer Summe oder Differenz Man multipliziert jedes Glied der Summe oder Differenz in der Klammer mit dem Faktor. Die Zeichen + und werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt. Beispiele: (1) 7 (4x+3y) = 7-4x+7-3y (2) -2x (3y-6z)=-2x-3y + 2x-6z = 28x + 21y -6xy + 12xz Den Faktor mit jedem Glied der Klammer multiplizieren 1.11. AUSKLAMMERN => Beim Ausmultiplizieren musst du den Faktor vor oder hinter der Klammer mit den Summånden in der Klammer multiplizieren. Wir haben dies auch das „Regenbogenprinzip" genannt. => Das Ausklammern ist wieder die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Es wird auch Faktorisieren genannt. 2.(3k+2p) = 6k+4p <-Faktorisieren Klammer auflösen -> 24a²b³ +36ab²-30a³b => Beim Ausklammern bzw. Faktorisieren musst du den Faktor finden, mit dem die Klammer multiplizieret werden kann. Im Beispiel ist es „2“. => 6k+4p=> Was ist in beiden Summanden gleich? Hier im Beispiel ist es leicht zu erkennen, das die beiden durch ,2“ teilbar sind und ich sie zerlegen kann: 2•3•k+2•2•p = 2 (3k+2p) => Das suchen eines geeigneten Faktors kann auch durch die Primfaktorzerlegung erleichtert werden. => Dabei werden die einzelnen Faktoren in Primzahlen zerlegt.. => 24 = 2.2.2.3 oder 36 = 2.2.3.3 usw. => Außerdem werden mögliche Potenzen bei Variablen ausgeschrieben. Faktorisierungsbeispiel: Primfaktorzerlegung = 2.2.2·3·a·a·b·b·b +2·2·3·3·a·b·b-2-3-5-a.a-a-k = 2.3·a·b· (2.2.a·b·b +2·3·b-5·a·a) = 6ab (4ab² + 6b-5a²) => Jetzt kann man erkennen welche Faktoren und Variablen in allen Summanden wirklich gleich sind. => Alle Summanden enthalten 2.3 und a.b => Also können wir 2.3-6 und a b=ab ausklammern, bzw. vor die Klammer schreiben. Der Rest der einzelnen Summanden wird in die Klammer geschrieben. => Zur Probe dann man den Term (das Ergebnis) wieder ausmultiplizieren und es müsste der Ausgangs Term erscheinen. Faustregel 1. Prüfe, ob es eine gemeinsame Zahl gibt, durch die alle Zahlen teilbar sind. Notiere diese. 2. Suche die Variable mit dem niedrigsten Exponenten (Hochzahl) und prüfe, ob die Variable in allen Summanden vorkommt. Wenn ja, notiere auch diese. 3. Die notierten Zahlen sind nun der Faktor vor der Klammer, die restlichen Summanden schreibst du in die Klammer. 4. Überprüfe dein Ergebnis mittels Ausmultiplizieren.