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Binomialverteilung
27.4.2021
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Binomialverteilung Bernoulli-Experiment. man spricht von einem Bernoulli- Experiment, wenn bei einem Zufallsexperiment nur 2 Ausgänge möglich sind, E und E. E gilt als Erfolg und E als Misserfolg. Die Treffer wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E. Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment n-mal, Spricht man von einer Bernoulli-kette der Längen mit der Trefferwahrscheinlichkeit p... Formel von Bernoulli Liegt eine Bernoulli-kette der Länge in mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor, so wird die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit B(n; p; k) bezeichnet. P(x = k) = B(n;p;k) = (2).pk. (1-p)n-k Bsp Binomialverteilte Zufallsgrößen Binomialverteilung Es sein eine natürliche Zahl und pe [0,1] line reele Zahl. Binomial koeffizient Eine Zufallsgröße X heißt Binomialverteilung mit den Parametern in unap, (n) = n. In-^)... (n-k+1) wenn fürk = 0, 1, 2, n gilt: P(x = k) = B(n; p; k) = (2).pk. (1-p) ^-k n! Es werden 4 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. L binomial verteilt, da die Bedingungen bei jedem Ziehen gleich sind X Anzahl der gezogenen. roten kugeln Berechne P(x=k) für k = 0,...,4 geg: n = 4 k = 0, 1, 2, 3, 4 p.= 0,4 (=, da 2 von 5 Kugeln rot sina). Wahrscheinlichkeit. k Anzahl der Treffer / Erfolge. Lsg: P(x=0) = (6)·0,4⁰ (1-0,4) 4-0 = 0₁1296 = 12, 96 % ·P(x=1) = (4) · 04 · (1-0,4)4-1 = 0₁ 3456 = 34,56% P(x=2) =(4) 0,4² (1-0,4) 4-2 = 0₁ 3456 = 34,561 P(x=3)...
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= (3) 0,4³. (1-0,4) 4-3 = 0,1536 = 15,36% P(x=4) =(4) 04 (1-0,4) 4-4 = 0,0256 = 2,56% Punkt wahrscheinlichkeit Beispiel: p=9514 n=6 k=3 B(6; 0,514; 3) = (3) 0,514³. (1-0,514) 6-3 0,312 31,2%. Intervall wahrscheinlichkeiten -linksseitige Intervallwahrscheinlichkeit PL x P(x ≤k)=P(x=0) + P(x=1) + ... + P(x = k) Bnig ({0;...; }) Beispiel: p = 0,23 n = 6 k = 0,1,2 P(x≤k)=P(x=0) + P(x = 1) +P(x=2) = 0,2084 +0,3735 +0,2789 = 0,860886,08% ≤k) 6-2 =(6)-0,23 (1-0,23)60+ (5) -0,23² (1-0,23) 6+ (2)-0,23² (1-0,23) 6 Beispiel: p=0,3 n=12 kumulierte Wahrscheinlichkeit X nimmt genau einen wert an und Zwar k -rechtsseitige Intervallwahrscheinlichkeit P(x2k) = P(x=k) + P(x=k+1) + ... + P(x=h) Beispiel: S.12117 k=4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12 P(x24)=P(x=4) + P(x = 5) + P(x=6) + ... + P(X= 12) = 1- P(X≤3) = 1-0,4925= 0,5075 = 50,75% eventuelles Gegenereignis: P(x2k) = 1- P(x ≤k-1) - klassische" Intervallwahrscheinlichkeit P(k≤x≤m) k<m Zusammensetzung":"kumuliert bis m P(K≤x≤m) = P(x≤m) - P(x².K-1) kumulielt bis k-1" oder Punktwahrscheinlichkeiten addieren n=12 P = 0,7 7≤k≤10 P(7≤k≤10)=P( X = 7) + P ( X = 8) + P(x =9) + P(x=10) = P(x ≤10) - P(x≤6) 97971 = 79,71%. P(x >k)=P(x >k + 1) = 1 - P ( x≤k) P(x <k) = P(x ≤k -1)