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Die Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Experimenten mit zwei möglichen Ausgängen, die mehrfach wiederholt werden. Zentrale Aspekte sind:
27.4.2021
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Die Binomialverteilung findet Anwendung bei der Berechnung verschiedener Wahrscheinlichkeiten:
Beispiel: Bei 6 Versuchen mit p = 0,514 beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Erfolge: B(6; 0,514; 3) = (6 über 3) * 0,514^3 * (1-0,514)^(6-3) = 0,312 = 31,2%
a) Linksseitige Intervallwahrscheinlichkeit: P(X ≤ k) b) Rechtsseitige Intervallwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) c) Klassische Intervallwahrscheinlichkeit: P(k ≤ X ≤ m)
Highlight: Die kumulierte Binomialverteilung ist besonders nützlich für die Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten.
Beispiel: Bei 12 Versuchen mit p = 0,3 beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Erfolge: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - 0,4925 = 0,5075 = 50,75%
Diese Berechnungen können durch die Verwendung eines Binomialverteilung Rechners oder einer kumulierten Binomialverteilung Tabelle erleichtert werden.
Vocabulary: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Punkt.
Durch das Verständnis und die Anwendung der Binomialverteilung können komplexe Wahrscheinlichkeitsprobleme in verschiedenen Bereichen, von der Statistik bis zur Qualitätskontrolle, effektiv gelöst werden.
Die Binomialverteilung basiert auf dem Konzept des Bernoulli-Experiments.
Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen: Erfolg (E) oder Misserfolg (E).
Die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet. Wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal wiederholt wird, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
Highlight: Die Binomialverteilung Formel (auch Formel von Bernoulli genannt) berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer in einer Bernoulli-Kette:
P(X = k) = B(n;p;k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Dabei ist:
Beispiel: Bei einem Experiment werden 4 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 0,4. Die Wahrscheinlichkeit, genau 2 rote Kugeln zu ziehen, beträgt:
P(X = 2) = (4 über 2) * 0,4^2 * (1-0,4)^(4-2) = 0,3456 = 34,56%
Vocabulary: Der Binomialkoeffizient (n über k) berechnet sich als n! / (k! * (n-k)!).
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Highlight: Die kumulierte Binomialverteilung ist besonders nützlich für die Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten.
Beispiel: Bei 12 Versuchen mit p = 0,3 beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Erfolge: P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - 0,4925 = 0,5075 = 50,75%
Diese Berechnungen können durch die Verwendung eines Binomialverteilung Rechners oder einer kumulierten Binomialverteilung Tabelle erleichtert werden.
Vocabulary: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Punkt.
Durch das Verständnis und die Anwendung der Binomialverteilung können komplexe Wahrscheinlichkeitsprobleme in verschiedenen Bereichen, von der Statistik bis zur Qualitätskontrolle, effektiv gelöst werden.
Die Binomialverteilung basiert auf dem Konzept des Bernoulli-Experiments.
Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen: Erfolg (E) oder Misserfolg (E).
Die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet. Wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal wiederholt wird, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
Highlight: Die Binomialverteilung Formel (auch Formel von Bernoulli genannt) berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer in einer Bernoulli-Kette:
P(X = k) = B(n;p;k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Dabei ist:
Beispiel: Bei einem Experiment werden 4 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 0,4. Die Wahrscheinlichkeit, genau 2 rote Kugeln zu ziehen, beträgt:
P(X = 2) = (4 über 2) * 0,4^2 * (1-0,4)^(4-2) = 0,3456 = 34,56%
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